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ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA “VESALIUS”

EXCELENCIA 2012

PROFESOR: Erick Vásquez Llanos

ASIGNATURA: GEOMETRÍA

FECHA: 14 – 07 – 2012

Nº 02- ANGULOMETRIA – RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE – ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO 01. ÁNGULO: Es la reunión de dos rayos que tienen un punto extremo común, es decir tienen el mismo origen. Los dos rayos son los lados del ángulo y el punto extremo común se llama VÉRTICE del ángulo. A

B

04. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS.

SEGÚN SU MEDIDA

a) Ángulo Agudo: Es aquel ángulo cuya medida es menor que 90° pero mayor que 0°.

1.1. Elementos del ángulo. y

: es bisectriz del ∠ AOB

• m∠AOX =∠ XOB = θ°

4.1.

O

OA

OX

Los ángulos se clasifican según su medida, de acuerdo a su posición y según sus características.

θ

1. Lados:

•

OB

2. Vértice: “O” 3. Simbología: ∠ AOB, AOB; ∠ AOB 4. Notación: ∠ AOB =

OA

∪

OB

5. Medida: m ∠ AOB = θ° 02. ÁNGULOS CONGRUENTES. (≡) Dos o más ángulos son congruentes si tienen igual medida. A

b) Ángulo Obtuso: Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90° pero menor que 180°.

P

∝°

∝

O

O

B

Q

∠AOB ≅ ∠POQ

03. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO. La bisectriz de un ángulo es el rayo que partiendo del vértice divide al ángulo en dos ángulos congruentes. A

θ° O

x

θ° B

c) Ángulo Llano o rectilíneo: Es aquel ángulo cuyos lados son dos rayos opuestos; es decir son colineales y su medida es 180°.

d) Ángulo Recto: Es aquel igual a 90°

ángulo cuya medida es

e) Ángulo Nulo o Perígono: Es aquel medida se considera igual a 0°.

ángulo cuya

A O

4.2.

B m∠AOB = 0°

d) Ángulos adyacentes complementarios: Se dice que dos ángulos son adyacentes complementarios, cuando tienen el mismo vértice y cuyos lados tienen el mismo vértice y cuyos lados no comunes forman un ángulo recto.

SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS

a) Ángulos adyacentes: Se dice que dos ángulos son adyacentes cuando tienen el mismo vértice y un lado común tal que los lados se encuentren a otro y otro lado del lado común. A

O

α lado común B θ

e) Ángulos adyacentes suplementarios: Se dice que dos ángulos son adyacentes suplementarios, cuando tienen el mismo vértice y cuyos lados tienen el mismo vértice y cuyos lados no comunes forman un ángulo recto.

C

b) Ángulos consecutivos: Se denominan así dos o más ángulos que son adyacentes con sus inmediato. f) Ángulos entre Rectas Paralelas Sean las rectas m y n rectas paralelas cortadas por una recta secante , luego tenemos: 1 m

4 5

n

c) Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos determinados al trazar dos rectas secantes.

2

8

3 6 7

1.1. Ángulos Alternos

ˆ≅5 ˆ 3 Ángulos Alternos  ˆ ≅6 ˆ Interiores 4

de

ˆ≅7 ˆ 1 Ángulos Alternos  ˆ  ˆ2 ≅ 8 Externos

la

diferencia

entre

el

complemento

del

complemento de α y el suplemento del suplemento de β. Calcular el complemento de la diferencia entre αyβ

1.2. Ángulos Correspondientes ˆ≅5 ˆ 1  ˆ  ˆ2 ≅ 6 Ángulos correspondientes  ˆ≅8 ˆ 4 ˆ ˆ 3 ≅ 7

a) 45°

b) 60°

d) 80°

e) 90º

4. Si:

c) 75°

C : Complemento; S: suplemento

Reducir: R = SCSCSC .... SCx

1.3. Ángulos Conjugados o Colaterales

“n” veces

Ángulos Conjugados Interiores: a) 90°n + x b) 90° (n+x)

ˆ + m5 ˆ = 180° m4  ˆ + m5 ˆ = 180° m3

d) 90° 5.

1.4. Ángulos Conjugados Externos:

c) n° + 90x

e) 180º

La mitad del complemento de la tercera parte del suplemento de un ángulo es a la tercera parte del suplemento de la mitad del complemento del mismo

ˆ + m8 ˆ = 180° m1  ˆ + m7 ˆ = 180° m2

ángulo como 11 es a 26. El complemento del ángulo es: [Cepunt – 11 – I]

OBSERVACIÓN: a) C(C(C(C(C… C( α))))) n veces

= α = C(α)

, si n es par , si n es impar

a) 314°

b) 315°

d) 317°

e) 318°

c) 316°

6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que m∠AOB – m∠COD = 24°. La medida b) S(S(S(S(S… S( α)))))

= α = S(α)

, si n es par , si n es impar

del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOD y BOC es: [CEPUNT – 09 – I]

n veces

Práctica de clase 1. Si a un ángulo se le resta su complemento, resulta igual a la cuarta parte de sus suplemento. Hallar la medida del ángulo. a) 135°

b) 70°

d) 60°

e) 90°

c) 80°

a) 12°

b) 13°

d) 15°

e) 16°

c) 14°

7. Considerando que el ∠AOB mide 150°, se trazan los rayos OX y OY , de manera que el ángulo XOY mide 80°. Entonces la medida del ángulo formado por la bisectrices de los ángulos AOY y XOB es: [UNT – 10 – II]

2. La diferencia de dos ángulos es 38° y el suplemento del mayor es igual al doble del complemento del menor. Hallar la suma de las medidas de dichos ángulos.

a) 32°

b) 33°

d) 36°

e) 40°

c) 35°

8. Se tienen los ángulos consecutivos, AOB, BOC y COD de modo que:

a) 118°

b) 112°

d) 114°

e) 128

c) 122°

m∠AOB + m∠BOC = 180 m∠BOC + m∠COD = 90 Calcular la medida del ángulo que forman las

3. Si los α/β del suplemento del complemento de los β/α de la diferencia entre el suplemento del suplemento de α y complemento del complemento de β es igual a los β/α del suplemento del complemento de los α/β

bisectrices de los ángulos AOB y COD a) 90

b) 105

d) 100

e) 135

c) 120

9. Las

medidas

de

dos

ángulos

adyacentes

se

14. En el gráfico L1 // L2. Calcular θ

diferencian en aº. Calcule la medida del ángulo que forman el lado común a dichos ángulos con la bisectriz del ángulo que forman las bisectrices de estos ángulos. a) 0,4 aº

b) 0,25 aº

d) aº

e) 0,5 aº

c) 0,33 aº

10. Los ángulos consecutivos EOD, DOC, COB y BOA, si

a) 160º

b) 162º

d) 164º

e) 165º

c) 163º

m∠EOA = 90º y las medidas de los ángulos AOB, BOC, COD y DOE están en progresión geométrica de

15. Según el grafico, a + b = 225º. Calcule x + y

razón 2. Calcule el complemento del ángulo determinado por las bisectrices de los ángulos BOC y DOE. a) 24º

b) 56º

d) 26º

e) 36º

c) 37º

11. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD de modo que: (m∠AOB)(m∠BOD) + (m∠AOC) (m∠COD) = (m∠AOD)(m∠BOC) y (m∠AOB)(m∠COD) = k Calcule la m∠BOC a)

2k

d) 3 k

b) 2 k e)

c)

a) 120º

b) 135º

d) 160º

e) 180º

c) 140º

16. Según la figura, calcule x:

3k

k

12. Del gráfico, hallar el mayor valor entero par de “y”

a) 80º

b) 82º

d) 85º

e) 88º

c) 84º

13. Si el ángulo AOB = a°, ha sido dividido en partes iguales por “n” rayos interiores. Halle la medida de x. A X

a) 65º

b) 70º

d) 80º

e) 85º

c) 75º

17. En la figura mostrada, si: L1 / / L2 ; BN = BM y AN = AQ. Calcule el suplemento del complemento de la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos NMS y NQS

0

B

a) a(n − 1) n +1

b) a(n-1)

d) n + 1

e) a(n – 2)

c)

a n +1

a) 108º

b) 110,5º

d) 115º

e) 120º

c) 112,5º

18.

del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos

En la siguiente figura las rectas no paralelas: L 1 y

XOB y BOY

L2 forman un ángulo que mide 3α. Hallar el mayor valor de “α”

a) 15º

b) 30º

d) 60º

e) 10º

c) 45º

2. Se tienen los ángulos contiguos AOB y BOC. Se traza OD

bisectriz

del

ángulo

AOB.

Si

m AOC + m BOC = 160º . Calcule la m COD

3.

a) 15

b) 22º 30

d) 26º15

e) 45

19. Calcular

c) 18º15

a) 60º

b) 40º

d) 100º

e) 120º

Dados los ángulos consecutivos < AOB y < BOC, si < AOB = 50°, la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos < AOC y < BOC, es:

a) 5° d) 20° 4.

x 1 + x 2 + ...... + x 9

c) 80º

b) 10° e) 15°

[UNT – 02] c) 25°

[UNT 08 – II] En la figura adjunta

a ) 430

b) 340

d) 520

e) 360

c) 450 se tiene PQ es perpendicular a MS . El valor de x es:

20. En la figura: Calcular

 +  +  +  +  +  = 300 .

x1 + x 2 + ................ + x10

a) 60º d) 37º

b) 50º e) 20º

c) 30º

5. Si a la medida de un ángulo se le resta su complemento es igual a la cuarta parte de su suplemento. Calcule dicha medida a) 80º

b) 45º

d) 15º

e) 75

c) 60º

6. Un ángulo mide 280º , se quiere dividir en cuatro partes, de tal manera que a la primera medida le a) 660

b) 570

d) 750

e) 840

c) 480

corresponde 40º más que a la segunda , a ésta 2/3 de lo que le corresponde a la tercera y esta 50º menos que a la cuarta. ¿Cuánto mide la parte mayor?

TAREA DOMICILIARIA →

→

1. Se trazan las bisectrices OX y OY de los ángulos AOB y BOC que forman un par lineal. Calcule la medida

a) 103º

b) 105º

d) 109º

e) 113º

c) 107º

7. La suma del suplemento y el complemento de la medida de un mismo ángulo, es igual a “n” veces el suplemento de la medida de dio ángulo. Calcular su

12.

Según la figura 2α − β > 38º , L1 // L2, . Calcule el

mínimo valor entero de x

medida. 90º ( n + 1)

a)

b)

n −1 90º ( 2n − 3 )

c)

d)

n−2

e)

45º ( 2n − 1) n−3 60º ( n + 2 ) n −1

90ºn n +1

8. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD

a) 112º

b)119º

d) 132º

e) 138º

13.

tal que m AOD = 90º y m AOC + m BOD = 125º . Hallar a) 20º

b) 25º

d) 30º

e) 40º

9.

Si los puntos A, O y B están en una recta →

OQ es

la m BOC

c) 129º

bisectriz

del

ángulo

AOM

y

m QON / m QOB = 5 / 7 . Hallar la medida del ángulo

c) 35º

NOB

La suma de las medidas de dos ángulos es 80º y el complemento del primero es el doble del segundo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos. a) 70º

b) 10º

d) 50º

e) 40º

c) 60º

a) 18º

b) 25º

d) 48º

e) 60º

14.

c) 45º

En la figura. Calcular la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOB y COD

10.

Sean los ángulos consecutivos AOB, y BOC , tal que m BOC = m AOB + 36º . Se trazan las →

→

→

bisectrices OX,OY y OZ de los ángulos AOB, BOC y XOY, respectivamente. Calcular m BOZ a) 7º

b) 11º

d) 13º

e) 18º

c) 9º

 



11. Dado los rayos consecutivos AO , OB , OC ,

a) 85º

b) 90º

d) 100º

e) 105º

15.

c) 95º

Si m // n. Calcular x + y. Siendo α + θ + β = 135º

    OD , OE y OF Calcular la m BOC sabiendo que la m AOD , m BOE y m COF son iguales y que la m AOF = 118º. Además la mitad de la medida del

ángulo formado por OE y la bisectriz del m COD es 18º a) 18º

b) 20º

d) 24º

e) 25º

c) 23º

a) 100º

b) 108º

d) 98º

e) 114º

c) 97º

16.

Si m // n y el ángulo EQP es agudo. Calcular el menor valor entero de xº

a) 50º

b) 48º

d) 44º

e) 43º

17.

c) 46º

De la figura, calcular “x”. Si α + β = 200º y ↔

↔

↔

↔

19. Si L1 / / L 2 . Calcular el máximo valor de “x”

20.

a) 42º

b) 43º

d) 46º

e) 47º

Sabiendo que:

c) 44º

 +  = 51º. Hallar “xº”

↔

L1 / / L 2 / /L3

a) 10º

b) 18º

d) 40º

e) 50º

18.

↔

c) 20º

↔

De la figura m/ / n . Calcular el valor de xº

a) 30º

b) 40º

d) 36º

e) 18º

c) 45º

a) 60

b) 50

d) 37

e) 45

c) 30

ÁNGULOS EN EL TRIÁNGULO

1.5. Ángulo entre la bisectriz y altura Tenemos BH: altura y BD bisectriz interior, luego:

1.1.Ángulo formado por dos bisectrices interiores

1.2. Ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior.

1.3. Ángulo formado por dos bisectrices exteriores

14. Propiedad del cuadrilátero Cóncavo. En todo cuadrilátero cóncavo se cumple lo siguiente:

1.6. Si AD y CD son bisectrices de los