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Estudio de las matematicas a traves de sistemas II

PABLO GONZALEZ1

20 de octubre de 2009

1 Esp.

en Educaci´ on Matem´ atica

´Indice general 1. MEDIDAS Y SISTEMAS DE MEDIDA 1.1. Medidas e Instrumentos de Medidas . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Introducci´on Al Sistema Internacional De Unidades 1.1.2. Medidas De Longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Medidas De Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Medidas De Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.1.5. Medidas De Superficie (Areas) . . . . . . . . . . . .

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2. DEFINICIONES Y CONSTRUCCIONES 2.1. Punto, Recta, Plano Y Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Relaciones entre puntos,rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Algunas figuras geom´etricas b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.4. Angulos, tri´angulos y pol´ıgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Definiciones Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ´ 2.4.2. Angulos rectos, Perpendicularidad, Angulos congruentes 2.4.3. Tri´angulos Isosceles y Equilateros . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Lineas notables de un triangulo . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5. Cuadril´ateros y Pol´ıgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3. REGIONES POLIGONALES Y SUS AREAS 3.1. Regiones poligonales . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Postulados de a´reas . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Area de tri´angulos y cuadrilateros . . . . . . . 3.4. Area de pol´ıgonos regulares . . . . . . . . . . . ´ 4. FIGURAS GEOMETRICAS DEL 4.1. Poliedros . . . . . . . . . . . . . ´ 4.2. Area de prismas y pir´amides . . 4.3. Volumen de prismas y pir´amides

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3 3 3 5 6 7 7

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9 9 10 13 17 17 21 23 23 25

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28 28 28 29 31

ESPACIO 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5. Tri´ angulos y Congruencias 41 5.1. El concepto de congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2. Los postulados de congruencia para tri´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2

Cap´ıtulo 1 MEDIDAS Y SISTEMAS DE MEDIDA 1.1.

Medidas e Instrumentos de Medidas

Se acostumbra medir longitudes o distancias en unidades como cent´ımetros, metros o kil´ometros; y medir el tiempo en unidades como segundos, minutos, horas, d´ıas y a˜ nos. Cuando se usa una regla graduada o una cinta m´etrica se supone que sus resultados est´an de acuerdo con otros instrumentos parecidos para medir longitudes. Sin embargo, cuando se usa un reloj para medir el tiempo, se puede uno preguntar si dicho instrumento funciona correctamente. Los cient´ıficos y muchas otras personas necesitan normalizar su sistema de medidas para que los datos suministrado por una persona pueden ser interpretados por otra. En verdad, las medidas de uso com´ un metros y cent´ımetros, horas y minutos, kilogramos y gramos tienen su estado legal basado en los patrones de medidas de los f´ısicos. La Asamblea Nacional de Francia pidi´o a la Academia de Ciencias de ese pa´ıs, la creaci´on de un sistema de medici´on que lo puedan usar ´ todos los pa´ıses; resultando de esto el SISTEMA METRICO DECIMAL. El sistema cient´ıfico de medidas se identifica por las letras iniciales de tres de sus unidades: el metro, el kilogramo y el segundo. Este sistema se llama sistema mks. El metro (m) y el kilogramo (kg) provienen del sistema m´etrico y son, respectivamente, las unidades fundamentales de longitud y de masa. La unidad llamada segundo (seg) procede del sistema de medidas usadas en la antigua Babilonia hace m´as de 4000 a˜ nos. En 1948 la CONFERENCIA GENERAL DE PESAS Y MEDIDAS ´ deleg´o al COMITE INTERNACIONAL DE PESAS Y MEDIDAS la revisi´on de las unidades de medici´on con el fin de lograr un sistema de medidas m´as sencillo. En el a˜ no 1960 se crea el SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) basado en fen´omenos naturales que casi no ofrecen variaci´on alguna que impida uniformizar internacionalmente las unidades de medidas.

1.1.1.

Introducci´ on Al Sistema Internacional De Unidades

EL SISTEMA INTERNACIONAL SI Las unidades del SI son la referencia internacional de las indicaciones de los instrumentos de medida y a las que est´an referidas a trav´es de una cadena ininterrumpida de calibraciones o comparaciones. Esto permite alcanzar la equivalencia de las medidas realizadas por instrumen3

tos similares, utilizados y calibrados en lugares apartados y por ende asegurar, sin la necesidad de ensayos y mediciones duplicadas, el cumplimiento de las caracter´ısticas de los objetos que circulan en el comercio internacional y su intercambiabilidad. El Sistema Internacional de Unidades consta de siete unidades b´asicas (este es el nombre dado en la norma, aunque a veces tambi´en se las denomina inapropiadamente u ¨nidades fundamentales”). Son las unidades utilizadas para expresar las magnitudes f´ısicas definidas como b´asicas, a partir de las cuales se definen las dem´as La siguiete tabla nos muestra esas siete unidades fundamentales Magnitud Longitud Tiempo Masa Intens. corriente Elect. Temp. Cantidad de sustancia Intensidad luminosa

Simb.dimens. L T M I N J

Unidad metro Segundo Kilogramo Amperio Kelvin mol candela

Simb. Unid. m s Kg A K mol cd

observ. funci´on velocidad de la luz funci´on del tiempo a´tomico masa del cilindro patr´on funci´on fuerza magnet. temp. punto triple del agua

La unidad del SI esta agrupada en Unidades de Base, Unidades Suplementarias y Unidades Derivadas. UNIDADES DE BASE MAGNITUD FISICA Longitud Masa Tiempo

UNIDAD Metro Kilogramo Segundo

SIMBOLO m Kg s

UNIDADES SUPLEMENTARIAS MAGNITUD FISICA ´ Angulo plano ´ Angulo Solido

UNIDAD Radi´an Esteror´adian

SIMBOLO rad sr

UNIDADES DERIVADAS MAGNITUD FISICA ´ Area Volumen Densidad Velocidad Fuerza peso Presi´on

UNIDAD Metro cuadrado Metro c´ ubico kilogramo por metro c´ ubico metro por segundo Newton Pascal

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SIMBOLO m2 m3 kg/m3 m/seg N Pa

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1.1.2.

Medidas De Longitud

La u ´nidad de longitud es el metro(m).un metro es la longitud de trayecto recorrido en el vac´ıo por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo. Cada unidad de longitud es 10 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 10 veces menor que la unidad inmediata superior En la siguiente tabla mostraremos los multiplos y submultiplos del metro,sus simbolos y su equivalente en metros

Multiplos

¨ Unidad de base Submultiplos

UNIDAD

SIMBOLO

EQUIVALENCIA(m)

ex´ametro pet´ametro ter´ametro gigametro megametro kil´ometro hect´ometro decametro metro decimetro cent´ımetro milimetro micr´ometro nan´ometro pic´ometro femt´ometro att´ometro

Em Pm Tm Gm Mm Km Hm Dm m dm cm mm µm nm pm fm am

1.000.000.000.000.000.000 m 1.000.000.000.000.000 m 1.000.000.000.000m 1.000.000.000m 1.000.000m 1.000m 100m 10m 1m 0.1m 0.01m 0.001m 0.000001m 0.000000001m 0.000000000001m 0.000000000000001m 0.000000000000000001m

EN POTENCIA DE 10 1018 1015 1012 m 109 m 106 m 103 m 102 m 102 m 100 m 10−1 m 10−2 m 10−3 m 10−6 m 109 10−12 10−15 10−18

´ DE UNA UNIDAD A OTRA REDUCCION 1. Para reducir una unidad a otra menor se multiplica por la unidad seguida de tantos ceros como lugares halla de la unidad mayor a la menor. Ejemplo1.Reducir 241 Km a m veamos cuantos lugares hay del Km al m asi: Km Hm Dm m vemos que hay tres lugares hacia la derecha por lo tanto multiplicamos la unidad mayor por 1.000 241Km*1.000=241.000 metros Ejemplo2. Reducir24.6Dm a mm Veamos cuantos lugares hay del Dm al mm asi: Dm m dm cm mm vemos que hay cuatro lugares hacia la derecha por lo tanto multiplicamos la unidad mayor por 10.000 24.6Dm*10.000=246000mm corremos la coma cuatro lugares hacia la derecha 2. Para reducir una unidad a otra mayor se divide por la unidad seguida de tantos ceros 5

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como lugares halla de la unidad menor a la mayor. Ejemplo3.Reducir 135cm a Dm veamos cuantos lugares hay del cm al Dm asi: Dm m dm cm vemos que hay tres lugares hacia la izquierda por lo tanto dividimos la unidad menor por 1.000 135cm/1.000=0.135Dm Ejemplo 4. Reducir 45.6 m a Mm veamos los lugares Mm Km Hm Dm m Hay cuatro lugares hacia la izquierda entonces dividimos por 10.000 45.6m/10.000= 0.00456 Corremos la coma cinco lugares hacia la izquierda

1.1.3.

Medidas De Masa

La masa es una magnitud f´ısica que mide la cantidad de materia contenida en un cuerpo La u ´nidad de masa es el Kilogramo (Kg).El kilogramo es igual a la masa del prototipo internacional del Kilogramo, Es la u ´nica unidad b´asica con un prefijo multiplicativo, lo que induce a error, pues se puede interpretar que la unidad b´asica es el gramo. Es tambi´en la u ´nica unidad que se sigue definiendo en t´erminos de un objeto patr´on, por las dificultades que presenta definirlo mediante un experimento, de modo semejante a como se hace en las dem´as, aunque se han propuesto varios m´etodos. En la siguiente tabla mostraremos los multiplos y submultiplos del Kilogramo,sus simbolos y su equivalente en kilogramo

Multiplos

Unidad de base Submultiplos

UNIDAD

SIMBOLO

EQUIVALENCIA(Kg)

exagramo petagramo teragramo gigagramo megagramo kilogramo hectogramo decagramo gramo decigramo centigramo miligramo microgramo nanogramo picogramo femtogramo attogramo

Eg Pg Tg Gg Mg Kg Hg Dg g dg cg mg µKg ng pg fg ag

1.000.000.000.000.000 Kg 1.000.000.000.000 Kg 1.000.000.000Kg 1.000.000Kg 1.000Kg 1Kg 0.1Kg 0.01Kg 0.001Kg 0.0001Kg 0.00001Kg 0.000001Kg 0.000000001Kg 0.000000000001Kg 0.000000000000001Kg 0.000000000000000001Kg 0.000000000000000000001Kg

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EN POTENCIA DE 10 1015 Kg 1012 Kg 109 KgKg 106 KgKg 103 Kg 100 Kg 10−1 Kg 10−2 Kg 10−3 Kg 10−4 Kg 10−5 Kg 10−6 Kg 10−9 Kg 10−12 Kg 10−15 Kg 10−18 10−21Kg

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´ DE UNA UNIDAD A OTRA REDUCCION Se hace lo mismo que para reducir unidades de longitud, teniendo en cuenta el siguiente orden Eg - Pg - Tg - Gg - Mg - Kg - Hg - Dg - g - dg - cg - mg - µ - ng - pg - fg -ag

1.1.4.

Medidas De Tiempo

La Unidad de Tiempo es el Segundo(s).el segundo es la duraci´on de 9/192 631 770 periodos de la radiaci´on correspondiente a la transici´on entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del ´atomo de cesio 133. En la siguiente tabla mostraremos algunas equivalencias no establecidas por el SI

Multiplos

UNIDAD 1 a˜ no 1 dia 1 hora 1 min

SIMBOLO a d h min

EQUIVALENCIA(Kg) 365 dias Kg 24 horas 60 min

EQUIVALENCIA EN s 10 31 536 000 s 86 400 s 3 600 s 60 seg

´ DE UNA UNIDAD A OTRA REDUCCION Para reducir una unidad mayor a otra menor, se multiplica por su equivalencia,Si es de una unidad menor a una mayor se divide por su equivalencia Ejemplo. Reducir 3 horas a minutos Como es de una unidad mayor a una menor se multiplica Como 1 hora tiene 60 minutos entonces multiplica por 60 3Horas=3*60 min=180 seg

1.1.5.

´ Medidas De Superficie (Areas)

La Unidad de superficie es el metro cuadrado(m2 ). En la siguiente tabla Mostraremos los M´ ultiplos y Subm´ ultiplos del metro cuadrado, sus s´ımbolos y equivalencias en m2 . 7

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Multiplos

¨ Unidad de base Submultiplos

EQUIVALENCIA(m2 )

UNIDAD

SIMBOLO

ex´ametro cuadrado pet´ametro cuadrado ter´ametro cuadrado gigametro cuadrado megametro cuadrado kil´ometro cuadrado hect´ometro cuadrado decametro cuadrado metro cuadrado decimetro cuadrado cent´ımetro cuadrado milimetro cuadrado micr´ometro cuadrado nan´ometro cuadrado pic´ometro cuadrado femt´ometro cuadrado att´ometro cuadrado

Em2

EN POTENCIA DE 10 1036 m2

Pm2

1030 m2

Tm2

1024 m2

Gm2

1018 m2

Mm2

1000000000000m2

1012 m2

Km2

1000000m2

106 m2

Hm2

10000m2

104 m2

Dmm2

100m2

102 m2

mm2

1m2

100 m2

dm2

0.01m2

10−2 m2

cm2

0.0001m2

10−4 m2

mm2

0.000001m2

10−8 m2

µm2

0.000000000001m2

10−12 m2

nm2

10−18 m2

pm2

10−24 m2

fm2

10−30 m2

am2

10−36 m2

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Cap´ıtulo 2 DEFINICIONES Y CONSTRUCCIONES 2.1.

Punto, Recta, Plano Y Espacio

Los conceptos de punto, recta,plano y espacio son importantes en el estudio de la geometria,estos son terminos no definidos y nombraremos algunos objetos que lo sugieren. Un Punto como la huella que deja un lapiz sobre una hoja, cuanto mas fina sea la punta del lapiz mas nos aproximamos a la idea de punto, un punto es una idea o abstracci´on, no puede definirse con terminos mas sencillos, es un termino no definido. PUNTO:ubicaci´on, sin longitud, anchura ni altura Una recta como la linea mas delgada que se puede dibujar,una recta es una idea o abstracci´on,no puede definirse con terminos mas sencillos, es un termino no definido. RECTA: Longitud ilimitada, derecha, sin grosor ni extremos

Figura 1 recta Un plano como parte de un objeto fisico , el corte mas delgado posible,es una idea o abstracci´on,no puede definirse con terminos mas sencillos, es un termino no definido. PLANO:Ilimitado, continuo en todas las direcciones, llano sin grosor

Figura 2 plano El espacio cuando tenemos un globo, hay puntos sobre, dentro y fuera del globo, el espacio es el conjunto de puntos que queda al destruir el globo ESPACIO:Ilimitado, sin longitud, anchura ni altura Definici´ on 2.1 El espacio es el conjunto de todos los puntos 9

2.2.

Relaciones entre puntos,rectas y planos

Para representar puntos,se colocan peque˜ nas marcas en el papel,dandole nombre con letras may´ usculas al lado de cada punto

Figura 3 puntos A, B y C Una recta la podemos considerar como un conjunto de puntos. Al dar nombre a un par de ellos ( A Y B), a la recta la podemos llamar en funci´on de esos dos puntos recta AB y la designamos como podemos nombrar una recta con una letra minuscula ` y la podemos llamar recta `

Figura 4 recta AB Un plano tambien puede considerarse como un conjunto de puntos. Se designa con una letra mayuscula (E) o dando nombre a tres de sus puntos (A,B y C) que no esten en la misma recta y lo llamamos Plano ABC o plano E

Figura 5 plano ABC o plano E Esos tres puntos (A,B y C) que no estan en la misma recta determinan el plano Definici´ on 2.2 Un punto B esta entre los puntos A y C, si 1. A,B y C son puntos distintos de una misma recta 2. AB + BC=AC 10

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Figura 6 B esta entre A y C Definici´ on 2.3 Puntos colineales son puntos que estan en la misma recta

Figura 7 A,B,C colineales D,C no colineales Definici´ on 2.4 Puntos coplanares son puntos que estan en el mismo plano En la Figura 7 los puntos A,B,C y D son coplanares Definici´ on 2.5 Las rectas intersecantes son rectas que tienen un punto com´ un

Figura 8 Las rectas l y m se intersecan en el punto P Definici´ on 2.6 Las rectas paralelas son rectas que estan en el mismo plano y no se intersecan

Figura 9 Las rectas l y m son paralelas Definici´ on 2.7 Rectas concurrentes son tres o mas rectas coplanares que tienen un punto com´ un

Figura 10 Las rectas de la figura 10 son concurrentes

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EJERCICIOS I 1 P,Q y R son tres puntos de una recta. Si PQ=12, PR=7 y QR=5, ¿ que punto est´a entre los otros dos? ¿que postulado o definici´on sirve de fundamento a la respuesta? 2 G,H y K son tres puntos de una recta. Las coordenadas de G y H son 4 y -3, respectivamente. Si H est´a entre G y K, y GK=13, ¿cual es la coordenada de K ? 3 Los ejercicios a,b y c se refieren a la figura de la derecha a) N´ombrese conjuntos de tres puntos colineales b) N´ombrese conjuntos de tres puntos no colineales c) N´ombrese cuatro puntos entre los cuales no haya tres que sean colineales

Figura 2.1: ejercicios a,b y c

4 Los ejercicios a,b,c y d se refieren a la figura de la derecha a) Enum´erense tres pares de rectas intersecantes b) Enum´erense tres rectas concurrentes c) Enum´erense todos los pares de rectas paralelas d) Dib´ ujense cuatro rectas concurrentes

Figura 2.2: ejercicios a,b,c y d

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II 1 Es importante observar que tres puntos pueden ser colineales aunque las rectas no esten marcadas. a) Menci´onense grupo de tres puntos colineales de la figura de la derecha b) Aunque no se haya dibujado, hay una recta que pasa por cada par de puntos . Citense dos de estas rectas en la figura de la derecha

2.3.

Figura 2.3: ejercicios a y b

Algunas figuras geom´ etricas b´ asicas

Como las rectas, los planos y los espacios se consideran conjuntos de puntos, de esa misma manera vamos a definir las figuras geom´etricas Una figura plana es una figura con todos los puntos en un plano, pero no todos en una recta. Una figura espacial no tiene todos sus puntos en un solo plano. Definici´ on 2.8 Para dos puntos cualesquieras A y B, el segmento AB es el conjunto de los puntos A y B, y de todos los puntos que estan entre A y B. Los puntos A y B se llaman los extremos de AB El simbolo AB lo utilizamos para representar el segmento AB, hay una gran diferencia entre los conceptos AB y AB, AB es una figura geom´etrica, es decir, un conjunto de puntos, mientras que AB es un n´ umero que da la medida de la distancia entre los extremos. Definici´ on 2.9 El n´ umero AB es la longitud del segmento AB

Figura 11 segmento AB −→ Definici´ on 2.10 sean A y B dos puntos de una recta `. Elrayo AB es el conjunto de puntos que es la reuni´on de 1. El segmento AB 2. El conjunto de todos los puntos C para los cuales B est´a entre A y C 13

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−→ El punto A se llama extremo del rayo AB

Figura 12 −→ rayo AB −→ −→ Si A est´a entre B y C en `, entonces los dos rayos AB y AC tendran sentidos opuestos

−→ −−→ Definici´ on 2.11 Si A est´a entre B y C, entoncs (AB) y (BC) se llaman rayos opuestos

Figura 13 −→ −→ rayo AB y rayo AC son opuestos ´ Definici´ on 2.12 Un Angulo es la uni´on de dos rayos no colineales que tienen el mismo extremo −→ −−→ Si BA y BC son dos rayos con el extremo com´ un B, El extremo com´ un se llama vertice del −→ −−→ a´ngulo ABC , Los rayos BA Y BC se llaman lados del ´angulo. El a´ngulo ABC lo escribimos como ∠ABC El interior de ∠ ABC es la intersecci´on de los puntos del lado A de la recta BC con los del lado C de la recta AB.

Figura 14 ∠ ABC Definici´ on 2.13 Un tri´angulo es la uni´on de tres segmentos determinados por tres puntos (A,B, y C) no colineales. Los puntos A, B y C se llaman v´ertices AB, BC y AC se llaman lados del tri´angulo.El tri´angulo ABC lo escribimos como 4 ABC

Figura 15 4ABC

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Definici´ on 2.14 Un cuadril´atero es la uni´on de cuatro segmentos determinados por cuatro puntos (A,B,C y D) entre los cuales no hay tres colineales. Los segmentos se intersecan solo en sus extremos. Los puntos A,B,C y D se llaman v´ertices AB, BC y CD y AD se llaman lados del cuadril´atero.El cuadrilatero ABCD lo escribimos como ABCD

Figura 16 ABCD Definici´ on 2.15 Un trapecio es un cuadril´atero con exactamente dos lados paralelos

Figura 17 ABCD es un trapecio AB y DC son las bases Definici´ on 2.16 Un paralelogramo es un cuadril´atero con ambos pares de lados opuestos paralelos

Figura 18 ABCD es un paralelogramo AB k DC y AD k BC Definici´ on 2.17 La circunferencia es el conjunto de todos los puntos (P) de un plano que est´an a la misma distancia de un punto fijo (O) llamado centro. OP se llama radio, si A y B est´an en la circunferencia y el punto O pertenece a AB entonces AB se llama diametro .

Figura 19 ◦(O, r)

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EJERCICIOS 1 Dib´ uje y d´e el nombre de la figura en cada uno de los ejercicios siguientes a) ∠BAC

b) ∠XYZ

c) 4DEF

d) ∠A

−→ e) BA

f) CD

2 ¿Es AB el mismo segmento que BA? ¿Por que? −→ −→ 3 ¿ Es AB el mismo rayo que BA? ¿Por que? 4 M´arquense tres puntos A,B, y C no colineales. tr´acense ∠ABC, ∠BAC, y ∠ACB.¿la figura resultante consiste en tres rectas o en tres segmentos ? ¿Es un triangulo ? ¿Por qu´e? 5 a) Nombre por lo menos ocho tri´angulos en esta figura b) Nombre por lo menos ocho cuadrilateros c) Nombre por lo menos diez segmentos d) Nombre por lo menos tres paralelogramos Figura 2.4: ´ 6 En cierto pais, tres pueblos Arana, Bochica y c´alamar est´an en linea recta, aunque no nece´ sariamente en ese orden.La distancia de Arana a Bochica es 8 Km, y la distancia de Bochica a C´alamar es 14 Km. a) ¿ Ser´a posible decir que pueblo est´a entre los otros dos? ¿ Que pueblo no est´a ente los otros dos? ´ b) Utilizar un dibujo para determinar la distancia de Arana a C´alamar. ¿ Habr´a mas de una posibilidad? ´ c) Si sabemos, adem´as que la distancia de Arana a c´alamar es 6 Km. ¿ Que pueblo estar´a entonces entre los otros dos? ´ ´ d ) Si la distancia entre Arana y Bochica fuera k Km, la distancia entre Arana y C´alamar m Km, y la distancia entre B´ochica y C´alamar es k+m Km. ¿ Que pueblo estar´ıa entre los otros dos? 7 Si A,B y C son tres puntos de una circunferencia. ¿puede decirse que punto est´a entre los otros dos?

Figura 2.5: 16

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a) Si A,B y C son tres puntos distintos y AB+BC =AC. ¿cual es la relaci´on entre los tres puntos? b) Si A,B y C son tres puntos distintos.¿podr´a ser cierto que AB+BC >AC ? Si no puede ser cierto . explicar por qu´e. Si es cierto ¿cual es la relaci´on entre A,B y C?

←→ ←→ 9 Si A,B, C y D son puntos distintos tales que AC contiene a B y BD contiene a C ¿ cuales de los siguientes enunciados tienen que ser ciertos ? ←→ ←→ d ) AC y BD se intersecan en B y C solamente ←→ ←→ e) AD y BC no se intersecan. −→ −−→ f ) AC es opuesto a DB

a) B est´a entre A y C ←→ b) BC contiene a A ←→ ←→ c) AC = BD

2.4.

´ Angulos, tri´ angulos y pol´ıgonos

2.4.1.

Definiciones Fundamentales

Recordemos la definici´on dada en la secci´on anterior ´ Definici´ on 2.12 Un Angulo es la uni´on de dos rayos no coineales que tienen el mismo extremo −→ −−→ −→ −−→ Si BA y BC son dos rayos con el extremo com´ un B, Los rayos BA Y BC se llaman lados del a´ngulo.El extremo com´ un se llama vertice del a´ngulo ABC o CBA , es indiferente que lado se nombre primero, es mas , no importa que punto se nombra en cada uno de los dos lados. El a´ngulo ABC lo escribimos como ∠ABC El interior de ∠ ABC es la intersecci´on de los puntos del lado A de la recta BC con los del lado C de la recta AB.

Figura 20 ∠ ABC Los lados de un ´angulo son rayos y no segmentos,la figura siguiente a la izquierda no es un a´ngulo aunque si determina un a´ngulo.

Figura 21 La Fig. de la izquierda no es un ´angulo, pero si lo determina

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Definici´ on 2.18 Si A,B,C son tres puntos cualesquiera no alineados, entonces la uni´on de los segmentos AB, AC y BC se llama tri´angulo, y se indica con 4ABC. Los puntos A,B y C se llaman v´ertices, y los segmentos AB, AC y BC se llaman lados. Todo tri´angulo 4ABC determina tres a´ngulos :∠BAC, ∠ABC y ∠ACB. A estos los llamamos los ´angulos del 4ABC. Si est´a claro a que triangulos nos referimos, podemos designarlos por ∠A, ∠B y ∠C

Figura 22 4ABC Definici´ on 2.19 Sea ∠BAC un ´angulo en el plano E.Un punto P est´a en el interior del ∠BAC,si 10 1. P y B est´an del mismo lado de la recta AC 2. P y C est´an del mismo lado de la recta AB. El exterior del ∠BAC es el conjunto de todos los puntos de E que no est´an en el a´ngulo y tampoco est´an en su interior

Figura 23 El punto P est´a en el interior de ∠BAC Definici´ on 2.20 Un punto P est´a en el interior de un tri´angulo, si est´a en el interior de cada uno de los a´ngulos del tri´angulo. Un punto P est´a en el exterior de un tri´angulo, si est´a en el plano del tri´angulo, pero no est´a en el tri´angulo ni en su interior

Figura 24 El punto P est´a en el interior de 4ABC

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Postulado 2.1 El postulado de la medida de a´ngulos A cada a´ngulo ∠BAC le corresponde un n´ umero real entre 0 y 180 Definici´ on 2.21 El n´ umero dado por el postulado de la medida de ´angulos se llama la medida del ∠BAC, y se escribe m∠BAC

Figura 25 m∠BAC=r Postulado 2.2 El postulado de la adici´on de a´ngulos Si D est´a en el interior del ∠BAC, entonces m∠BAC= m∠BAD + m∠DAC

Figura 26 m∠BAC= m∠BAD + m∠DAC r◦ +s◦ =(r+s)◦ −→ −−→ −→ Definici´ on 2.22 Si AB y AD son rayos opuestos, y AC es otro rayo cualquiera, entonces ∠BAC y ∠CAD forman un par lineal

Figura 27 ∠BAC y ∠CAD forman un par lineal Definici´ on 2.23 Si la suma de las medidas de dos ´agulos es 180, decimos que los ´angulos son suplementarios, y que cada uno es el suplemento del otro

Figura 28 r+s=180 Los dos a´ngulos son suplementarios 19

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EJERCICIOS 1. Si m ∠A =65 y m ∠B =115, entonces ∠A y ∠B son 2. Si en la figura, m ∠QPS = 43 y m ∠QPM =35. ¿cu´al es m C¿Qu´e postulado justifica la conclusi´on ?

Figura 2.6: 3. Se d´a la figura, con Y, P, W alineado y ∠XPY = ∠ZPY. a) Nombrar dos pares lineales b) Nombrar tres conjuntos de a´ngulos suplementarios

Figura 2.7: 4. Determinar la medida del suplemento del a´ngulo cuya medida es: a) 85

c) 135

e) 90-n

g) n+h

b) 50

d) n

f ) 30

h) 180-n

←→ 5. Se d´a que K est´a entre A y F y D no es un punto de AF a) ∠AKD y ∠FKD forman b) m∠AKD + m∠FKD = 6. En la figura plana a) m ∠CAB + m ∠DAC = m ∠ b) m ∠EAD + m ∠DAC = m ∠ c) m ∠EAD + m ∠DAB = m ∠ d ) m ∠EAC + m ∠DAC = m ∠

Figura 2.8: 20

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←−→ ←→ 7. Se d´a la figura, con M N y P Q, que se intersecan en A. ¿En que postulados o definiciones se fundamenta cada uno de los siguientes enunciados ? a) ∠PAM y ∠QAM forman un par lineal. b) ∠PAM y ∠QAM forman son suplementarios c) m ∠PAM + m ∠QAM =180 d ) m ∠QAM + m ∠QAn =180 Figura 2.9:

2.4.2.

´ ´ Angulos rectos, Perpendicularidad, Angulos congruentes

Definici´ on 2.24 Si los ´angulos de un par lineal tienen la misma medida, entonces cada uno de ellos se llama ´angulo recto

Figura 29 r+r=180 Los dos a´ngulos son rectos Definici´ on 2.25 Un a´ngulo recto es un ´angulo cuya medida es 90

Figura 30 m∠BAC=90 el ∠BAC es recto −→ −→ Definici´ on 2.26 Si AB y AC forman un a´ngulo recto, entonces se llaman perpendiculares, −→ −→ y escribimos AB ⊥ AC Para rectas y segmentos empleamos la misma notaci´on,asi: Si el ∠BAC es un ´angulo recto, escribimos −→ ←→ ←→ AB ⊥ AC, AB ⊥ AC, AB ⊥ AC

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Definici´ on 2.27 Si la suma de las medidas de dos a´nguloa, es 90, entonces los a´ngulos se llaman complementarios y cada uno de ellos se llama el complemento del otro. Un a´ngulo con medida menor que 90 se llama agudo. Un ´angulo con medida mayor que 90 se llama obtuso.

Figura 31 m∠BAD90 el ∠BAD es ´agudo el∠CAD es obtuso Definici´ on 2.28 Dos a´ngulos son congruentes si tienen la misma medida, Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud Asi,