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• Adrian Guerra Espinosa

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MÉTODO DE RIGIDEZ EN ARMADURAS (Resumen de operaciones matriciales)

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO {𝑞} = [𝑘 ′ ]{𝑑} 𝑞𝑁 1 −1 𝑑𝑁 {𝑞 } = [ ]{ } −1 1 𝑑𝐹 𝐹 q = vector de cargas en los extremos del elemento. k’ = matriz de rigidez del elemento. d = vector de desplazamiento de los nudos.

MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN DE DESPLAZAMIENTO {𝑑} = [𝑇]{𝐷} T = matriz de transformación. D = vector de desplazamientos globales.

{

𝜆𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 =

𝑥𝐹 −𝑥𝑁 𝐿

𝜆𝑥 𝑑𝑁 }=[ 𝑑𝐹 0

𝜆𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 =

𝜆𝑦 0

0 𝜆𝑥

𝐷𝑁𝑥 0 𝐷𝑁𝑦 𝜆𝑦 ] 𝐷𝐹𝑥 { 𝐷𝐹𝑦 }

𝑦𝐹 −𝑦𝑁 𝐿

𝐿 = √(𝑥𝐹 − 𝑥𝑁 )2 + (𝑦𝐹 − 𝑦𝑁 )2

λx, λy = cosenos directores. xN, xF = x1, x2 yN, yF = y1, y2

MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN DE FUERZAS {𝑄} = [𝑇]𝑇 {𝑞} 𝑄𝑁𝑥 𝜆𝑥 0 𝑄𝑁𝑦 𝜆𝑦 0 𝑞𝑁 = { } 𝑄𝐹𝑥 0 𝜆𝑥 𝑞𝐹 0 𝜆𝑦 ] { 𝑄𝐹𝑦 } [

Q = vector que identifica las fuerzas aplicadas y reacciones.

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DEL ELEMENTO {𝑑} = [𝑇]{𝐷} 𝑒𝑛 } {𝑞} = [𝑘 ′ ]{𝑑}

{𝑞} = [𝑘 ′ ][𝑇]{𝐷} 𝑒𝑛 } {𝑄} = [𝑇]𝑇 {𝑞}

{𝑞} = [𝑘 ′ ][𝑇]{𝐷}

{𝑄} = [𝑇]𝑇 [𝑘 ′ ][𝑇]{𝐷}

𝐷𝑁𝑥 𝐷𝑁𝑦 {𝑄} = [𝑇]𝑇 [𝑘 ′ ][𝑇] 𝐷𝐹𝑥 { 𝐷𝐹𝑦 }

{𝑄} = [𝐾]{𝐷} Donde [𝐾]{𝐷} es la matriz de rigidez global de la armadura y {𝐾} = [𝑇]𝑇 [𝑘 ′ ][𝑇]

𝜆𝑥 0 𝜆𝑦 0 𝐴𝐸 1 −1 𝜆𝑥 𝜆𝑦 0 0 [𝐾] = [ ][ ] 0 𝜆𝑥 𝐿 −1 1 0 0 𝜆𝑥 𝜆𝑦 [0 𝜆𝑦 ] 𝜆2𝑥

𝜆𝑥 𝜆𝑦

−𝜆2𝑥

−𝜆𝑥 𝜆𝑦

𝐴𝐸 𝜆𝑥 𝜆𝑦 𝜆2𝑦 −𝜆𝑥 𝜆𝑦 −𝜆2𝑦 [𝐾] = 𝐿 −𝜆2𝑥 −𝜆𝑥 𝜆𝑦 𝜆2𝑥 𝜆𝑥 𝜆𝑦 2 2 [−𝜆𝑥 𝜆𝑦 −𝜆𝑦 𝜆𝑥 𝜆𝑦 𝜆𝑦 ] Nx

𝜆2𝑥 [K]

=

𝐴𝐸 𝐿

𝜆𝑥 𝜆𝑦 −𝜆2𝑥 −𝜆𝑥 𝜆𝑦

Ny

Fx

Fy

𝜆𝑥 𝜆𝑦 𝜆2𝑦 −𝜆𝑥 𝜆𝑦 −𝜆2𝑦

−𝜆2𝑥

−𝜆𝑥 𝜆𝑦 −𝜆2𝑦 𝜆𝑥 𝜆𝑦 𝜆2𝑦

−𝜆𝑥 𝜆𝑦 𝜆2𝑥 𝜆𝑥 𝜆𝑦

Nx Ny Fx Fy

𝐷𝑁𝑥 𝐷𝑁𝑦 {𝐷} = 𝐷𝐹𝑥 { 𝐷𝐹𝑦 }

𝑄𝑁𝑥 𝑄𝑁𝑦 {𝑄} = 𝑄𝐹𝑥 { 𝑄𝐹𝑦 }

Es conveniente utilizar los subíndices N y F y asociar estos a la numeración de los extremos de los nudos, tal como se muestra a continuación.

2N-1

[K] =

2N 2F-1 2F

2N-1

2N

2F-1

2F

K2N-1, 2N-1 K2N , 2N-1 K2F-1, 2N-1 K2F , 2N-1

K2N-1, 2N K2N , 2N K2F-1, 2N K2F , 2N

K2N-1, 2F-1 K2N , 2F-1 K2F-1, 2F-1 K2F , 2F-1

K2N-1, 2F K2N , 2F K2F-1, 2F K2F , 2F

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE LA ARMADURA La matriz de rigidez global de la armadura se obtiene al sumar las posiciones con subíndices iguales de las matrices globales de cada elemento y los desplazamientos y cargas globales se identifican con los subíndices N y F, para obtener la numeración que se muestra a continuación

{𝐷} =

𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 ⋮

𝐷𝐷𝑂𝐹−1 { 𝐷𝐷𝑂𝐹 }

{𝑄} =

𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄4 ⋮

𝑄𝐷𝑂𝐹−1 { 𝑄𝐷𝑂𝐹 }

EFECTOS DE TEMPERATURA 𝜆𝑥 𝜆𝑦 {𝑄𝑜 } = 𝐴𝐸𝛼∆𝑇 −𝜆𝑥 −𝜆 { 𝑦} Si la temperatura aumenta ΔT lleva signo positivo, contrario se le coloca signo negativo.

EFECTOS POR ERRORES DE FABRICACIÓN 𝜆𝑥 𝜆 𝐴𝐸∆𝐿 𝑦 {𝑄𝑜 } = −𝜆𝑥 𝐿 {−𝜆𝑦 } Si el error de fabricación es por alargamiento, ΔL lleva signo positivo, contrario se le coloca signo negativo. Los efectos de temperatura y por errores de fabricación se le suman a la matriz de rigidez global, resultando

{𝑄} = [𝐾]{𝐷} + {(𝑄)𝑜 }

CÁLCULOS DE LOS GRADOS DE LIBERTAD Y REACCIONES DE LA ARMADURA {𝑄} = [𝐾]{𝐷} + {(𝑄)𝑜 } {

𝑄𝑘 𝑘 } = [ 11 𝑘21 𝑄𝑢

(𝑄𝑘 )𝑜 𝑘12 𝐷𝑢 ]{ } + { } 𝑘22 𝐷𝑘 (𝑄𝑢 )𝑜

Los desplazamientos {𝐷𝑢 } desconocidos se determinan de la siguiente manera

{𝑄𝑘 } = [𝐾11 ]{𝐷𝑢 } + [𝐾12 ]{𝐷𝑘 } + {(𝑄𝑘 )0 }

Luego las reacciones se calculan a partir de

{𝑄𝑢 } = [𝐾21 ]{𝐷𝑢 } + [𝐾22 ]{𝐷𝑘 } + {(𝑄𝑢 )0 }

Si el vector {𝐷𝑘 } = 0, las expresiones anteriores resultan en

{𝑄𝑘 } = [𝐾11 ]{𝐷𝑢 }

→

{𝐷𝑢 } = [𝐾11 ]−1 {𝑄𝑘 }

{𝑄𝑢 } = [𝐾21 ]{𝐷𝑢 }

También se le agregan los efectos de temperatura y error de fabricación, si existen.

FUERZA EN CADA ELEMENTO {𝑑} = [𝑇]{𝐷} } 𝑒𝑛 {𝑞} = [𝑘 ′ ]{𝑑}

{𝑞} = [𝑘 ′ ][𝑇]{𝐷}

𝑞𝑁 𝐴𝐸 1 −1 𝜆𝑥 {𝑞 } = 𝐿 [ ][ −1 1 𝐹 0

𝜆𝑦 0

0 𝜆𝑥

𝐷𝑁𝑥 0 𝐷𝑁𝑦 𝜆𝑦 ] 𝐷𝐹𝑥 { 𝐷𝐹𝑦 }

𝑞𝑁 = −𝑞𝐹

Como qF se tomó en tensión en la deducción de las fórmulas, se tomará esta expresión para calcular la fuerza en cada elemento. Si el resultado es positivo indica que el elemento esta en tensión.

[𝑞𝐹 ] =

𝐴𝐸 [−𝜆𝑥 𝐿

−𝜆𝑦

𝜆𝑥

𝐷𝑁𝑥 𝐷𝑁𝑦 𝜆𝑦 ] 𝐷𝐹𝑥 { 𝐷𝐹𝑦 }

Agregando los efectos de temperatura y/o errores de fabricación se obtiene

𝑞𝐹 =

𝐴𝐸 [−𝜆𝑥 𝐿

−𝜆𝑦

𝜆𝑥

𝐷𝑁𝑥 𝐷𝑁𝑦 𝜆𝑦 ] + (𝑞𝐹 )0 𝐷𝐹𝑥 { 𝐷𝐹𝑦 }

(qF)o = efectos de temperatura o error de fabricación en el elemento en cuestión, los cuales son iguales a (𝑞𝐹 )0 = −𝐴𝐸𝛼∆𝑇 (𝑞𝐹 )0 = −

𝐴𝐸∆𝐿 𝐿