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UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL “LISANDRO ALVARADO” DECANATO DE INGENIERIA CIVIL

Ingeniería Estructural II UNIDAD I

BARQUISIMETO Ing. Msc. Hermenegildo Rodríguez

UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL “LISANDRO ALVARADO” DECANATO DE INGENIERIA CIVIL

METODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ EN PORTICOS

Hermenegildo Rodriguez

INDICE • • • • • •

Introducción. Sistemas de coordenadas. Matrices de Rigidez elementales. Transformación de coordenadas. Montaje de la matriz de rigidez global. Introducción de cargas y condiciones de contorno.

Introducción • El método de la rigidez mediante el análisis matricial, es un método de análisis de desplazamiento, toma como incógnita a las redundantes cinemáticas. • El método de los desplazamientos o método de la rigidez puede aplicarse para analizar estructuras tanto determinadas como indeterminadas. • La aplicación del método de la rigidez requiere subdividir estructura en una serie de elementos finitos e identificar sus puntos extremos como nodos.

Introducción M P

• Vamos a definir sistemas de coordenadas y criterios de signos que nos permitan: • Trabajar con barras genéricas. • Definir los grados de libertad (GDL) comunes a todas las barras y GDL básicos que se puedan transformar en los reales fácilmente. • Vamos a definir criterios de conexión entre barras para montar la matriz global. • Definiremos criterios para aplicar las cargas y las condiciones de contorno.

Introducción DEFINICIONES Y CONCEPTOS GENERALES SISTEMA DE COORDENADAS GLOBAL(O DE LA ESTRUCTURA: Usaremos los ejes X, Y especificara el sentido e cada una de las componentes externas y desplazamientos en los nodos. SISTEMAS DE COORDENADA LOCAL (O DE MIEMBRO): Se usará en cada miembro en especificar el sentido de sus desplazamientos y cargas internas. En este sistemas se identificaran los ejes X’, Y’, con el origen en el nodo “cercano” y el eje X’ señalando hacia el extremo “alejado”.

Introducción DEFINICIONES Y CONCEPTOS GENERALES GRADOS DE LIBERTAD: Los grados de libertad no restringidos de una estructura representan las incógnitas principales en el método de la rigidez por lo tanto deben ser identificados. En las aplicaciones, cada grado de libertad debe especificarse en la estructura usando un numero de código, mostrado en el nudo o nodo y referido a su dirección coordenada global positiva por medio de una flecha. IDENTIFICACION DE MIEMBROS Y NODOS: especificaremos cada miembro por un número encerrado en un cuadro y usaremos un numero en un circulo para identificar los nodos. COORDENADAS: como las cargas y desplazamientos son cantidades vectoriales, es necesario establecer un sistema coordenado para especificar su sentido correcto de dirección.

Sistemas de Coordenadas Sistema de Referencia y

x

Sistema cartesiano fijo que permite la definición geométrica de la estructura. Posición de los nudos y barras que los conectan.

Sistemas de Coordenadas Grados de libertad de un Pórtico.

Sistemas de Coordenadas Sistema global de coordenadas

Sistema cartesiano en cada nudo (generalmente paralelo al de referencia) en el que expresaremos las fuerzas aplicadas en los nudos y los desplazamientos. El número de componentes de los vectores asociados dependen del tipo de estructura que se considere, articulada o de nudos rígidos, plana o espacial.

Sistemas de Coordenadas Sistema Local de Coordenadas

Sistema cartesiano asociado al elemento que nos permite definir de forma única la relación fuerza-movimiento, independientemente de su posición.

SISTEMAS DE COORDENADAS; DISCRETIZACIÓN

Es un sistema cartesiano que permite la definición geométrica de la estructura (coordenadas de los nudos, longitudes de los elementos, etc). 2 5 2

1 3

3

4

2

3

6

11

1

10

9

Y

4

8 1

7

X

12

Grados de Libertad: 12 No restringidos: 7 Restringidos: 5

UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL “LISANDRO ALVARADO” DECANATO DE INGENIERIA CIVIL

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE PORTICO

Hermenegildo Rodriguez

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN ELEMENTO DE PORTICO y’

1

ui , H i

vj,Vj

vi , Vi

2

y

5

6 i

i , M i

A, E, I, L 3 x

j

 j, M j

GDL = 6 A = Area de la sección Transversal I = Inercia de la sección. 4 x’ E = Modulo de Elasticidad u j, H j L = Longitud de la Barra ui , vi ,  i  Desplazamiento Horizontal, Vertical y Rotación Respectivamente H i , Vi , M i  Fuerza Horizontal, Vertical y Momento Respectivamente.

Para obtener la matriz de rigidez correspondiente a fuerza o momento se aplican desplazamientos unitarios en la misma dirección y localización de las redundantes. Kij: es la acción correspondiente a “i” y producida por un desplazamiento unitario correspondiente a “j”.

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN ELEMENTO DE PORTICO Columna 1

AE L K 21  0 K11 

K 31  0 K 41  

AE L

K 51  0 K 61  0

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN ELEMENTO DE PORTICO Columna 2

K12  0 K 22  K 32  K 42

12 EI L3 6 EI

L2 0

K 52   K 62 

12 EI

L3 6 EI L2

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN ELEMENTO DE PORTICO Columna 3

K13  0 K 23  1

K 33 K 43

6 EI

L2 4 EI  L 0

K 53   K 63

6 EI

L2 2 EI  L

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN ELEMENTO DE PORTICO Columna 4

K14  

AE L

K 24  0 K 34  0 AE L 0

K 44  K 54

K 64  0

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN ELEMENTO DE PORTICO Columna 5

K15  0 12 EI

K 25  

L3 6 EI

K 35  

L2

K 45  0 K 55 

12 EI

K 65  

L3 6 EI L2

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN ELEMENTO DE PORTICO Columna 6

K16  0 K 26  K 36 1

K 46

6 EI

L2 2 EI  L 0

K 56   K 66

6 EI

L2 4 EI  L

MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL DE UN ELEMENTO DE PORTICO En Resumen:

Desplazamientos: ui

vi

θi

uj

vj

θj

Fuerzas: Hi

Vi

Mi

Hj

Vj

Mj

3

4

5

6

y’ y

Identificación: 1

2

5

2

AE  AE   0 0 0 0   A, E, I, L L 1 4 x’ j i  L 12EI 6EI 12EI 6EI    0 0  3 3 x  L3 L2 L L2  6EI 4EI 6EI 2EI    0 0  2 q  K ´ d  L L  L2 K'ij   AE L AE  0 0 0 0    L L q  Vector de fuerzas locales  12EI 6EI 12EI 6EI  K ´  Matriz de rigidez local  2  0  0  3  2 3 L L L L   d   Vector de desplazami ento local EI EI EI EI 6 2 6 4  0   2 0 2  L L  L L 6

MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL DE UN ELEMENTO DE PORTICO En Resumen: y’

vj,Vj

vi , Vi

2

y

5

6

1

ui , H i

i

i , M i

A, E, I, L 3 x

j

 j, M j

4

u j, H j

AE  AE  0 0 0 0    L L  12EI 6EI 12EI 6EI   0  0  3 3 2  L L L L2  6EI 4EI 6EI 2EI   0  2  0 2 L L  L L x’ K ij   AE AE  0 0 0 0   L  L  12EI 6EI 12EI 6EI  0  2   0  3  2 L L L3 L   6EI 2EI 6EI 4EI   0 0   L L  L2 L2

Solo puede aplicarse para modelar estructuras formadas por miembros horizontales sometidos a flexión, corte y axial. Para que este elemento de pórtico sea de aplicación más amplia, es decir de uso general, debemos rotar ele elemento un ángulos arbitrario “α” a fin de que sea capaz de representar miembros horizontales y verticales o inclinados.

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN ELEMENTO DE PORTICO x’

5

Cos α = C Sen α = S GDL = 6 A = Area de la sección Transversal I = Inercia de la sección. E = Modulo de Elasticidad L = Longitud de la Barra

6 4

y y’

2 α

3

x

1

Para obtener la matriz de rigidez correspondiente a fuerza o momento se aplican desplazamientos unitarios en la misma dirección y localización de las redundantes, otra es la obtención mediante operaciones matriciales conocida la matriz de transformación de desplazamiento y de fuerza. Kij: es la acción correspondiente a “i” y producida por un desplazamiento unitario correspondiente a “j”.

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE PORTICO MATRIZ DE TRANSFORMACION DE DESPLAZAMIENTO Al rotar el elemento, debemos transformar las fuerzas y desplazamientos del sistema de coordenadas Local a Global. v' j

vj

5

u' j

uj

6

4

'j

j y

v'i

2

 'i

α

3

u'i

Desplazamiento en el sistema de coordenadas Local.

vi

1

i

ui x

Desplazamiento en el sistema de coordenadas Global.

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE PORTICO MATRIZ DE TRANSFORMACION DE DESPLAZAMIENTO A fin de realizar la transformación de una coordenada al otro, vamos a plantear condiciones de compatibilidad de desplazamientos y equilibrio de fuerzas. Compatibilidad entre los desplazamiento en el sistema de coordenadas Local (x’, y’) y el sistema de coordenadas Global (x, y). Nodo i

Nodo j

ui'  ui  Cos   vi  Sen 

u 'j  u j  Cos   v j  Sen 

vi'  ui  Sen   vi  Cos 

v 'j  u j  Sen   v j  Cos 

 i'   i

 'j   j

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE PORTICO Representado las ecuaciones de transformación de desplazamientos en notación matricial y realizando el cambio S = Senα, C = Cosα

 u i'   '  vi   '   i u '   j  v 'j     'j 

C   S   0   0   0   0 

S

0

0

0

C

0

0

0

0

1

0

0

0

0

C

S

0

0 S

C

0

0

0

0

0  0  0  0  0  1 

u i    v i     i  u   j v j     j   



d   T D

d   Matriz de desplazami ento local T   Matriz de transforma ción de desplazami ento D  Vector de desplazami ento global

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE PORTICO MATRIZ DE TRANSFORMACION DE FUERZAS Al rotar el elemento, debemos transformar las fuerzas y desplazamientos del sistema de coordenadas Local a Global. V'j

5 Vj

H'j

Hj

6

4

M 'j

Mj V 'i

y

2

Vi

M 'i

α

3

H 'i

1 Hi

Mi

x

Fuerzas en el sistema de coordenadas Global

Fuerzas en el sistema de coordenadas Local

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE PORTICO MATRIZ DE TRANSFORMACION DE FUERZAS Compatibilidad entre las fuerzas en el sistema de coordenadas Local (x’, y’) y el sistema de coordenadas Global (x, y). Nodo i

Nodo j

H i  H i'  Cos   Vi'  Sen 

H j  H 'j  Cos   V j'  Sen 

Vi  H i'  Sen   Vi'  Cos 

V j  H 'j  Sen   V j'  Cos 

M i  M i'

M j  M 'j

Representado las ecuaciones de transformación de fuerzas en notación matricial y realizando el cambio S = Senα, C = Cosα

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE PORTICO MATRIZ DE TRANSFORMACION DE FUERZAS Expresado en forma matricial queda

Hi    Vi    M i  H    j V j    M j   

C  S  0  0  0  0 

S

0

0

0

C

0

0

0

0

1

0

0

0

0 C

0

0

S

C

0

0

0

0

S

0  0  0  0  0  1 

 H i'   '  Vi  M '   i H '   j V j'     M 'j 

Q  Matriz de fuerzas globales T T  Matriz de transformacion de q  Vector de fuerza local



Q  T T q

fuerzas

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN ELEMENTO DE PORTICO Combinando las ecuaciones de transformación de desplazamiento y de fuerzas determinaremos la matriz de rigidez para un miembro que relaciona componentes globales de fuerzas del miembro con sus desplazamientos globales.

q  K ' d  donde d   T  D Q  T T  q 2.  q  K ' T  D donde 3.  Q  T T  K ' T  D 4.  Q  K  D de la ecuación 3 y 4 se deduce que  K   T T K 'T 

1. 

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN ELEMENTO DE PORTICO Realizando la sustitución de las respectivas Matrices para obtener la Matriz de Rigidez Global.

C   S  0 K     0  0   0

S 0 C 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0   AE  L 0 0  0   0 0 0  0   C S 0   AE L  S C 0   0  0 0 1  0  0 0



AE L

0

0

12EI

6EI

L3 6EI L2

L2 4EI L

0

0

0

AE L



12EI L3 6EI L2



6EI

L2 2EI L

0

0 0

 0  12EI 6EI    3 L L2  6EI 2EI   2 L   L 0 0   12EI 6EI    L3 L2  6EI 4EI   2 L  L 0

C  S  S C 0 0  0 0 0 0   0 0

0 0 0 0 1 0 0 C 0 S 0 0

0  0 0 0   S 0 C 0  0 1 0 0

Resolviendo el producto de las Matrices obtenemos la Matriz de Rigidez Global.

 AE 2 12EI 2  AE 12EI 6EI c  3 s   3 cs  2 s  L L  L L   L   AE12EIcs AEs2 12EI c2 6EI c   L L3  L L3 L2  6EI 6EI 4EI  c  2 s 2  L L L K   AE 12EI 6EI  AE 12EI 2 2 s  c  3 s   3 cs L L2  L L   L   AE 12EI AE 2 12EI 2 6EI   L  3 cs  L s  3 c  2 c L  L L   6EI 6EI 2EI  c  2 s  L L L2

AE 2 12EI 2  AE 12EI 6EI  c  3 s   3 cs  2 s L L L   L L  AE 2 12EI 2 6EI   AE 12EI c   3 cs  s  3 c L L L2   L L   6EI 6EI 2EI  s c  L  L2 L2 6EI  AE 2 12EI 2  AE 12EI c  3 s s   3 cs L L L2   L L  6EI  AE 2 12EI 2  AE 12EI s  3 c  2 c   3 cs L L L  L L   6EI 6EI 4EI  s  2 c L  L2 L

θj

6

vj

5

uj

4

θi

3

vi

2

ui

1

Identificación:

Desplazamientos:

Mj

Mj

Vj

Vj

Hj

Hj

Mi

Mi

Vi

Vi

Hi

Hi

Fuerzas:

Fuerzas:

θj

6

vj

5

uj

4

θi

3

vi

2

ui

1

Desplazamientos:

Identificación:

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN ELEMENTO DE PORTICO



MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN ELEMENTO DE PORTICO En Resumen:

5 6

y y’

2 α

3

1

x

x’

 AE 2 12EI 2  AE 12EI 6EI c  3 s   3 cs  2 s  L L L L L   4    AE12EIcs AEs2 12EI c2 6EI c   L L3  L L3 L2  EI EI EI 6 6 4  c  2 s 2  L L L K   AE 12EI 6EI  AE 12EI 2 2 s  c  3 s   3 cs L L2  L L   L   AE 12EI AE 2 12EI 2 6EI    3 cs  s  3 c  2 c L L L  L L   6EI 6EI 2EI   2 s c  L L L2

AE 2 12EI 2  AE 12EI 6EI  c  3 s   3 cs  2 s L L  L  L L  AE 2 12EI 2 6EI   AE 12EI c   3 cs  s  3 c L L L2   L L   6EI 6EI 2EI  s c  L  L2 L2 AE 2 12EI 2  AE 12EI 6EI  c  3 s s   3 cs L L L2   L L  AE 2 12EI 2 6EI   AE 12EI s  3 c  2 c   3 cs L L L  L L   6EI 6EI 4EI   s c L  L2 L2



Q  K  D Q  Vector de fuerzas globales K   Matriz de rigidez global D  Vector de desplazami ento global

CARACTERÍSTICAS DE LA MATRIZ RIGIDEZ •

Un elemento kij, representa, la fuerza que aparece en la coordenada i cuando se comunica un movimiento unidad en la coordenada j, manteniendo nulos todos los demás.

•

La columna j (k1j,k2j,...knj), se genera, analizando las fuerzas que van apareciendo en todas las coordenadas (1,2,...n) al comunicar un movimiento unidad en la coordenada j, manteniendo nulos todos los demás.

•

La fila i (ki1,ki2,...kin), se genera, analizando las fuerzas que aparecen en la coordenada i, al comunicar un movimiento unidad, sucesivamente, a las n coordenadas, manteniendo en cada caso nulos todos los demás.

•

Los elementos de la diagonal principal no pueden ser negativos pues representan las fuerzas que aparecen en una coordenada al dar justamente movimiento unidad en ella misma.

•

La matriz de rigidez es simétrica debido al principio de reciprocidad (kij=kji).

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN ELEMENTO DE PORTICO Planteamiento del sistema general de ecuaciones. Qc   Kcc Kci   Di      Qi Kic Kii      Dc  Ecuación 1: Cálculo de desplazamientos.

Qc  Kcc Di  Kci Dc Qc  Kci Dc  Kcc Di Di  Kcc1Qc  Kci  Dc Ecuación 2: Cálculo de reacciones.

Qi  Kic  Di  Kii  Dc Qi  Kic  Kcc1Qc  Kci  Dc  Kii  Dc

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN ELEMENTO DE PORTICO CARGA INTERMEDIAS EN UN MIEMBRO. Si un miembro soporta una carga lateral entre sus nodos, es conveniente para su análisis matricial que los efectos de esta carga se conviertan en una carga equivalente en los nodos. w Momento de empotramiento.

100 N/m

1

4m

2

II

150 N

1m

4m

wL2 8

A

B

L

3

350 N

150 N·m

1

M AB 

= 2

1m

3

0 N·m 0 N·m

150 N

150 N

100 N/m

100 N/m 200 N·m 50 N·m 200 N·m 50 N·m

250 N

250 N

100 N 100 N