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MATERIALES DE TRABAJO MECÁNICA VECTORIAL

MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL

VISIÓN Ser una de las 10 mejores universidades privadas del Perú al año 2020, reconocidos por nuestra excelencia académica y vocación de servicio, líderes en formación integral, con perspectiva global; promoviendo la competitividad del país.

MISIÓN Somos una universidad privada innovadora y comprometida con el desarrollo del Perú, que se dedica a formar personas competentes, integras y emprendedoras, con visión internacional, para que se conviertan en ciudadanos responsables e impulsen el desarrollo de sus comunidades, impartiendo experiencias de aprendizaje vivificantes e inspiradores; y generando una alta valoración mutua entre todos los grupos de interés

Material publicado con fines de estudio Quinta edición Huancayo, 2014

Pag. 2

MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL PRESENTACIÓN

El material está diseñado para orientar al estudiante, el desarrollo de aplicaciones prácticas relacionadas al avance teórico de la asignatura de Mecánica Vectorial La competencia a desarrollar es: Aplica los principios y leyes de la Mecánica Vectorial – (Estática y Dinámica) en las diversas ramas de la Ingeniería.

En general, contiene un compendio de casos prácticos para ser desarrolladas de manera (secuencial), está estructurada por unidades y temas de acuerdo a la estructura del silabo. La elaboración de la presente guía es fruto de la experiencia y la necesidad de que los alumnos de ingeniería adquieran una sólida base para que puedan desarrollarse en cursos de especialidad. Este material ha sido enriquecido a partir de la revisión de diversos textos Universitarios y la experiencia de los docentes especialistas. Es recomendable que el estudiante antes de desarrollar los ejercicios y/o problemas lea la parte teórica para entender y luego aplicar en los casos presentados, trabaje con seriedad, piense en los términos de exactitud y precisión, así mismo recuerde que la ingeniería es el conjunto de conocimientos y técnicas científicas aplicadas a la creación, perfeccionamiento e implementación de estructuras para la resolución de problemas que afectan la actividad cotidiana de la sociedad. En este manual se consideraron problemas, ejercicios y resúmenes teóricos de los libros: ”Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática” de Beer Ferdinand; “Mecánica para Ingenieros. Estática” de Meriam J.L. Y Kraige L.G.; “Mecánica para Ingenieros. Estática” de Bedford A. Y Fowler W. así mismo “Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática - Dinámica” de Hibbeler R. C. y “Estática Problemas Resueltos” de Genner Villareal. Se agradecerá cualquier sugerencia que ayude a mejorar este texto. Angel Aquino F.

Pag. 3

MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL ÍNDICE Pág. PRESENTACIÓN

3

ÍNDICE

4

PRIMERA UNIDAD Tema Nº 1: INTRODUCCION

6

Práctica del Tema N° 1

12

Tema Nº 2: EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA

14

Práctica del Tema N° 2

16

Tema Nº 3: FUERZAS EN EL ESPACIO

18

Práctica del Tema N° 3

21

Tema Nº 4: CUERPOS RIGIDOS

24

Práctica del Tema N° 4

28

SEGUNDA UNIDAD Tema Nº 5: EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS EN 2D

30

Práctica del Tema N° 5

33

Tema Nº 6: EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS EN 3D

35

Práctica del Tema N° 6

37

Tema Nº 7: CENTROIDES Y CENTRO DE GRAVEDAD

39

Práctica del Tema N° 7

45

Tema Nº 8: FUERZAS DISTRIBUIDAS

47

Práctica del Tema N° 8

49

TERCERA UNIDAD Tema Nº 9: ARMADURAS

51

Práctica del Tema N° 9

55

Tema Nº 10: ARMAZONES

57

Práctica del Tema N° 10

58

Pag. 4

MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL

Tema Nº 11: FUERZAS EN VIGAS

60

Práctica del Tema N° 11

62

Tema Nº 12: MOMENTO DE INERCIA

64

Práctica del Tema N° 12

70

. CUARTA UNIDAD Tema Nº 13: CINEMATICA

72

Práctica del Tema N° 13

74

Tema Nº 14: MOVIMIENTO CURVILINEO DE PARTICULAS

76

Práctica del Tema N° 14

79

Tema Nº 15: CINETICA DE PARTICULAS

81

Práctica del Tema N° 15

82

Tema Nº 16: MÉTODOS DE ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

84

Práctica del Tema N° 16

87

ANEXOS

89

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

91

Pag. 5

MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL PRIMERA UNIDAD TEMA Nº 1: INTRODUCCION 1.1 CLASIFICACIÓN. DEFINICIONES, PRINCIPIOS, LEYES Y UNIDADES. MECANICA  Clasificación:  Mecánica clásica o Newtoniana  Mecánica del Solido Rígido Estática Dinámica  Mecánica del Solido Deformado. Resistencia de materiales Teoría de elasticidad  Mecánica de Fluidos Fluido compresible Fluido incompresible  Mecánica relativista Estática: Es el estudio del equilibrio de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. Dinámica: Equilibrio de los cuerpos en movimiento. Cinemática: Geometría del movimiento. Cinética: Intervención de fuerzas y movimientos Resistencia de Materiales: Toma en cuenta esfuerzo y deformación. Teoría de Elasticidad: Crecimiento en el tamaño del cuerpo debido a la presión que (hace) sobre él ejerce una fuerza. Si se deforma mucho ya no retorna a su tamaño original. Cuerpo Rígido: Es una cantidad determinada de materia cuya forma y tamaño no varían bajo la influencia de fuerza externas. Partícula: Es el modelo matemático de un cuerpo y se representa como un punto, no tiene dimensiones. Fuerza: Es la acción de un cuerpo sobre otro. La acción puede ser debida al contacto físico o entre cuerpos separados como la fuerza gravitacional, eléctrica o magnética. Las características de una fuerza son: Magnitud, Dirección, Sentido y Punto de Aplicación. Principio de Transmisibilidad: El efecto externo que una fuerza ejerce sobre un cuerpo rígido es el mismo en toda su línea de acción. Primera Ley de Newton: Una partícula permanecerá en reposo o continuara su movimiento en línea recta a velocidad constante si la fuerza resultante que actúa sobre ella es nula.

Pag. 6

MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL Tercera Ley de Newton: La fuerzas de acción y reacción de cuerpos en contacto tienen la misma magnitud y dirección. Los sentidos son opuestos.

Diagrama de Cuerpo Libre: Es la representación de la partícula o el cuerpo rígido donde se indican las fuerzas, distancias y se representa el cuerpo analizado de manera simplificada.

1.2 UNIDADES CONVERSION DE UNIDADES Algunas veces encontramos los datos dados en unidades distintas al sistema SI. En este caso debemos convertir las unidades al sistema SI usando los factores conocidos de conversión. La tabla siguiente muestra tales factores. Factores de Conversión Longitud 1 pulgada (in) = 2,54 centímetros (cm) 1 pie (ft) = 0,3048 metro (m) 1 milla (mi) = 5280 ft = 1,609 kilómetros (km) 1 m = 3,281 ft 1 km= 0,6214mi Masa 1 slug = 14,59 kilogramos (kg) 1 kg = 1000 gramos = 6,852 x 10-2 slug 1 unidad de masa atómica (amu) = 1,6605 x 10-27 kg (1 kg tiene un peso de 2,205 lb donde la aceleración de la gravedad es 32,174 ft/s 2) Tiempo 1 dia =24 h= 1,44 x 103 min = 8,64 x 104 s 1 año = 365,24 días = 3,156 x 107s 1 hora (h) =60min =3600s

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL

Velocidad 1 mi/h = 1,609 km/h = 1,467 ft/s 0,4470 m/s 1 km/h = 0,6214 mi/h = 0.2778 m/s 0,9113 ft/s Volumen 1 litro (L) = 10 m3 = 1000 cm3 = 0,353 1 ft3 1 ft3 = 0,02832 m3 = 7,481 U.S. galones (gal) 1 U.S. gal = 3,785 x 10 m3 = 0,1337 ft3 Fuerza 1 pound (lb) = 4,448 Newton (N) 1 N = 10 Dinas = 0,2248 lb Trabajo y Energía 1 joule (J) = 0,7376 ft.lb = 107 ergios 1 kilogramo-caloría (kcal) = 4186 J 1 Btu (60°F) = 1055 J 1 kilowatt-hora (kWh) = 3,600 x 106 J 1 electron volt (eV) = 1,602 x 10-19 J Angulo 1 radian (rad) = 57,30° 1° = 0,0 1745 rad Presión 1 pascal (Pa) 1 N/m2 = 1,450 x 104 lb/in2 1 lb/in2 = 6.895 x 10-5 Pa 1 atmósfera (atm)= 1,013 x 105 Pa= 1,013 bar = 14,70 lb/in2 = 760 torr Potencia 1 horsepower (hp) = 550 ft.lb/s = 745,7 W 1 watt (W) = 0,7376 ft.lb/s 1.3ESCALARES Y VECTORES La investigación de los fenómenos en ingeniería implica el tratamiento de cantidades de diversa naturaleza matemática: escalares y vectores. Una magnitud escalar (por ejemplo, la masa, el tiempo, la temperatura y la energía) queda definida solamente por su valor numérico (módulo), el cual expresa la relación entre esta magnitud respecto a la unidad de medida elegida. Los escalares son magnitudes físicas que se caracterizan de manera plena mediante un sólo número, acompañado de las unidades correspondientes; por ejemplo, podemos decir que la masa de un automóvil vale 1200 kg. Una magnitud vectorial (por ejemplo, la fuerza, la velocidad, la aceleración, el momento de una fuerza, la cantidad de movimiento y el impulso de una fuerza), además de su valor numérico está definida también por su dirección y sentido en el espacio. Las magnitudes vectoriales se caracterizan mediante el uso de un conjunto ordenado de números. 1.4 VECTOR Un vector se representa gráficamente con un segmento de recta orientada y se simboliza haciendo uso de letras del alfabeto sean estas mayúsculas o minúsculas,    con una flecha sobre la letra, como A , c , AB .

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL

Elementos de un vector:

| x | : Modulo, longitud, tamaño o norma de un vector Dirección: Se mide desde algún eje de referencia ( grados sobre la horizontal) Sentido: Esta dado por la punta de la flecha A: Punto de aplicación (origen del vector) B: Punto final (extremo del vector) Línea de acción: Recta sobre la cual se ubica el vector TIPOS: Vectores fijos: Aquellos que tienen su punto de aplicación definido. Ejemplo: Una fuerza que actúa sobre una partícula o sobre un cuerpo rígido.

Vectores Deslizantes: Llamados cursores. Aquellos que pueden tener cualquier ubicación en el espacio (se debe conocer su magnitud y dirección). Ejemplo: Las velocidades de los puntos de un sólido rígido que se mueve sin rotar. 1.5 ADICION y SUSTRACCION DE VECTORES Por definición los vectores se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Dos vectores aplicados en un mismo punto tienen un vector resultante aplicado y en ese mismo punto, y representado por la diagonal del paralelogramo construido sobre estos vectores como lados.

S  A B Ley de los cosenos: S 

A2  B2  2 AB cos 

A partir de la ley del paralelogramo se puede obtener otro método para determinar la suma de dos vectores. Este método denominado regla del triángulo, consiste en disponer un vector a continuación del otro, la resultante es aquel vector que une el origen con el extremo libre. Ley de los senos:

A B S   Sen Sen Sen

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL La resta de un vector se define como la adición de un vector con el opuesto del segundo.

D  A  B =  A  (B) Ley de los cosenos: S 

A2  B2  2 AB cos 

Si tenemos más de dos vectores procedemos a sumar inicialmente dos vectores, al resultado le sumamos el tercero y así sucesivamente.

1.6 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR Consideremos la multiplicación de un escalar c por un vector A . El producto es un nuevo vector c A . La magnitud del vector producto es c veces la magnitud del vector A . Si c > 0 el vector producto tiene la misma dirección y sentido de A . Por el contrario si c < 0 el vector producto es de sentido opuesto a A .

1.7COMPONENTES DE VECTORES Hemos verificado que dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula pueden sustituirse por una sola fuerza que produce el mismo efecto sobre la partícula. De la misma manera, una sola fuerza F que actúa sobre una partícula puede reemplazarse por dos o más fuerzas que produzcan juntas el mismo efecto sobre la partícula. A estas fuerzas se le llamas componentes de la fuerza original F, y al proceso de sustituirlas en lugar de F se le llama descomposición de la fuerza F en sus componentes.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL 1.8 COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR El vector A puede representarse como la suma de dos vectores que se encuentran sobre los ejes x y y respectivamente. Estos vectores reciben el nombre de componentes del vector A .

Ax y Ay se denominan componentes del vector A y se pueden calcular mediante la siguiente relación:

Ax  Acos Ay  Asen

A  Ax 2  Ay 2

  tan 1 (

Ay ) Ax

En este punto se introducirán dos vectores de magnitud unitaria dirigidos a lo largo de los ejes positivos x e y. A esos vectores se les llama vectores unitarios y se representan por i y j, respectivamente







A  Ax i  Ay j

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 1 Tema: Fuerzas en el plano Sección : …………………………..………………………... Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana

Apellidos Nombres Fecha Duración

: ……………………………..…………………………. : …………………………………..……………………. : …../..…/2014 : Indicar el tiempo

INSTRUCCIONES: Resuelva cada ejercicio en grupo de 5 integrantes considerando su diagrama y proceso. Evite borrones. El orden influirá en su calificación. 1. Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la armella roscada y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x.

1. Determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.

3. Descomponga F1 y F2 en sus componentes a lo largo de los ejes u y v, y determine las magnitudes de estas componentes.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL

4. Si la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 750 N y estar dirigida a lo largo del eje x positivo, determine la magnitud de F y su dirección .

5. Las tres fuerzas concurrentes que actúan sobre la armella producen una fuerza resultante FR = 0. Si F2 = 2/3 F1 y F1 debe estar a 90° de F 2 como se muestra en la figura, determine la magnitud requerida de F3, expresada en términos de F1 y del ángulo .

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL TEMA Nº 2: EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA

2.1 Equilibrio de una partícula en el plano “Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula se encuentra en equilibrio”. Suponga que el sistema de fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio es bidimensional (coplanar). Orientando un sistema coordenado de manera que las fuerzas queden en un plano x-y, podemos expresar la suma de las fuerzas externas como:

 F    Fx  iˆ    Fy  ˆj  0

Esta ecuación se satisface si y solo si:

 Fx  0  Fy  0

2.2 Cuerpo sometido a dos fuerzas: Si el cuerpo está en equilibrio, las 2 fuerzas deben ser de igual magnitud y dirección, los sentidos son opuestos.

2.3 Cuerpo sometido a tres fuerzas: Si el cuerpo está en equilibrio, las 3 fuerzas deben ser concurrentes o paralelas (caso particular).

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL Fuerzas concurrentes Fuerzas paralelas 2.4 Primera Ley de Newton o Ley de la Inercia La primera ley del movimiento rebate la idea aristotélica de que un cuerpo sólo puede mantenerse en movimiento si se le aplica una fuerza. Newton expone que: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él. Esta ley postula, por tanto, que un cuerpo no puede cambiar por sí solo su estado inicial, ya sea en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se aplique una fuerza o una serie de fuerzas cuyo resultante no sea nulo sobre él.

2.5 Diagrama del cuerpo libre Para determinar fuerzas desconocidas que actúan sobre cuerpos en equilibrio, se requiere efectuar dos pasos: 1) Dibujar un buen diagrama de cuerpo libre, donde se incluyan las fuerzas conocidas y las que se quieren determinar. 2) Establecer las ecuaciones de equilibrio, para obtener expresiones que relacionen las fuerzas conocidas con las desconocidas. Ejemplo: El trabajador de la construcción ejerce una fuerza de 20 libras en la cuerda para sostener la caja en equilibrio en la posición mostrada. ¿Cuál es el peso de la caja? (Tomado del libro Estática - Mecánica para Ingeniería de Bedford)

Solución ∑ ∑

(

) (

)

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 2 Tema: Equilibrio de una partícula en el plano Sección : …………………………..………………………... Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana

Apellidos Nombres Fecha Duración

: ……………………………..…………………………. : …………………………………..……………………. : …../..…/2014 : Indicar el tiempo

INSTRUCCIONES: Resuelva cada ejercicio en grupo de 5 integrantes considerando su diagrama y proceso. Evite borrones. El orden influirá en su calificación. 1. Dos cables están unidos a C y se cargan como se muestra. Determinar la tensión en el cable AC y en el cable BC.

2. Determinar las fuerzas que ejercen los apoyos sobre las tuberías en los contactos A, B y C. Supóngase lisas todas las superficies.

3. La viga tiene un peso de 700 lb. Determine el cable ABC más corto que puede usarse para levantarla, si la fuerza máxima que puede soportar el cable es de 1500 lb.

4. Si el bloque de 5 kg se suspende de la polea B y la flecha de la cuerda es d = 0.15 m, determine la fuerza en la cuerda ABC. No tome en cuenta el tamaño de la polea.

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5. Dos cuerpos A y B que pesan 800 N y 200 N, respectivamente, se mantienen en equilibrio sobre superficies perpendiculares mediante un cable flexible que los une y que forma un ángulo  con la horizontal, según se indica en la figura. Hallar las reacciones de las superficies sobre los cuerpos, la tensión del cable y el ángulo . Suponer ausencia de rozamiento en todas las superficies.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL TEMA Nº 3: FUERZAS Y EQUILIBRIO EN EL ESPACIO En ingeniería muchas aplicaciones requieren la descomposición de vectores en sus componentes en un sistema coordenado tridimensional. Aquí explicaremos cómo hacerlo y cómo operar con vectores en tres dimensiones.

3.1 Vector Unitario: Es un vector de magnitud 1. Tiene por finalidad indicar la dirección y sentido de un determinado vector. A dicho vector se le llama también versor.

uˆ A 

A A

A  Au . ˆA 3.2 Fuerzas en el Espacio: Representación Vectorial:

A  Ax iˆ  Ay ˆj  Az kˆ

Dirección: (Cosenos Directores)

Ax  A  Ay  Cos    Cos 2  Cos 2   Cos2  1 A A  Cos  z  A 

Cos 

Magnitud:

A  Ax2  Ay 2  Az 2

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Ejemplo En la Fig. El vector es: A = -2 i + 3 j - 4 k, y su módulo: 2 2

| A | (2)  (3)  (4)2  29

 2    111.80  29   3   y  arcCos    56,14  29   4   z  arcCos    137, 97  29 

 x  arcCos 

3.3 Vector de Posición: Se define como un vector fijo que localiza un punto en el espacio con respecto a otro punto.

r  ( xB  xA )iˆ  ( yB  yA ) ˆj  ( zB  z A )zˆ

3.4 Fuerza en términos de su magnitud y dos puntos sobre su línea de acción:

F | F |.uˆ AB

F | F | .

r AB | r AB |

3.5 Adicción de fuerzas concurrentes en el espacio: Cuando se presentan más de dos fuerzas en un sistema, es necesario encontrar la resultante de todas ellas; para lo cual sólo es necesario sumarlo vectorialmente y atendiendo los principios vectoriales.

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F R    F  iˆ    F  ˆj    F  kˆ x y z

R

R  Rx2  Ry 2  Rz 2 Cos x 

Rx ; R

Cos y 

Ry R

;

Cos z 

Rz R

3.6 Equilibrio de una partícula en el espacio: Las situaciones de equilibrio que hemos considerado hasta ahora implicaron sólo fuerzas coplanares. Cuando el sistema de fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio es tridimensional, podemos expresar la suma de las fuerzas externas como:

 F    F x  iˆ    F y  ˆj    F z  kˆ  0 Esta ecuación se cumple si sólo si

F x  0; F y  0; F z  0 Las sumas de las componentes x y y, z de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio deben ser iguales a cero.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 3 Tema: Fuerzas y Equilibrio en el espacio Sección : …………………………..………………………... Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana

Apellidos Nombres Fecha Duración

: ……………………………..…………………………. : …………………………………..……………………. : …../..…/2014 : Indicar el tiempo

INSTRUCCIONES: Resuelva cada ejercicio en grupo de 5 integrantes considerando su diagrama y proceso. Evite borrones. El orden influirá en su calificación. 1. Determina la resultante del sistema de fuerzas mostrado.

2. La torre se mantiene en su posición mediante tres cables. Si la fuerza de cada cable que actúa sobre la torre es como se muestra en la figura, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante. Considere x = 20 m, y = 15 m.

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3. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa en A.

4. Se utilizan tres cables para sostener un anillo de 900 lb. Determine la tensión que se necesita en cada cable para lograr la posición de equilibrio.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL

5. Cada uno de los tres bloques exteriores tiene una masa de 2 kg, y el bloque central E tiene una masa de 3 kg. Determine la flecha s necesaria para el equilibrio del sistema.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL TEMA Nº 4: CUERPOS RIGIDOS En temas anteriores se supuso que cada uno de los cuerpos considerados podía ser tratado como si fuera una sola partícula. Sin embargo, esto no siempre es posible y, en general, un cuerpo debe tratarse como la combinación de varias partículas. Tendrá que tomarse en consideraciones el tamaño del cuerpo y también el hecho de que las fuerzas actúan sobre distintas partículas y, por tanto, tienen distintas partículas y, por lo tanto, tienen distintos puntos de aplicación.

Un cuerpo rígido se puede definir como aquel que no se deforma, se supone que la mayoría de los cuerpos considerados en la mecánica elemental son rígidos. Mas sin embargo, las estructuras y maquinas reales nunca han tenido la posibilidad de considerarse lo absolutamente rígidas ya que se pueden deformar bajo la acción de las cargas que actúan sobre ellas. A pesar de esto, en lo general esas deformaciones son muy pequeñas y no pueden afectar las condiciones de equilibrio o de movimiento de la estructura que se toma en consideración. No obstante, tales deformaciones son importantes en lo que concierne a la resistencia en la falla de las estructuras y se consideran en el estudio de materiales. Dentro de lo que son los cuerpos rígidos se estudia el efecto de las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo rígido y ver como reemplazar un sistema de fuerzas dado por un sistema equivalente más simple. Este análisis se basa en la suposición fundamental de que el efecto de una fuerza dada sobre un cuerpo rígido permanece inalterado si dicha fuerza se mueve a lo largo de su línea de acción. Por tanto, las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden representarse por vectores deslizante. Dos conceptos fundamentales de que el efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido son el momento de una fuerza con respecto a un punto y el momento de una fuerza con respecto a un eje. Como la determinación de estas cantidades involucra el cálculo de productos escalares y vectoriales de dos vectores. Otro concepto relacionado a esto es el de un par, esto es, la combinación de dos fuerzas que tengan la misma magnitud, líneas de acción paralela y sentidos opuestos. Como se verá, cualquier sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo rígido puede ser reemplazado por un sistema equivalente que consta de una fuerza, que actúa en cierto punto, y un par. Este sistema básico recibe el nombre de sistema fuerza-par. En el caso de fuerzas concurrentes, coplanares o paralelas, el sistema equivalente fuerzas-par se puede reducir a una sola fuerza, denominada la resultante del sistema, o a un solo par llamado el par resultante del sistema

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL 4.1 Cuerpos Rígidos y Principio de Transmisibilidad El Principio de Transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F’ que tiene la misma magnitud, dirección y sentido, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de acción. Las dos fuerzas, F y F’, tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rígido y se dice que son equivalentes.

4.2 Momentos y sus características El momento de una fuerza respecto a un punto o respecto a un eje es una medida de la tendencia de la fuerza a hacer girar el cuerpo alrededor del punto o del eje. Ejemplo: El momento de F respecto de O es una medida de la tendencia de la fuerza a hacer girar el cuerpo alrededor del eje AA. La recta AA es perpendicular al plano que contiene a la fuerza F y al punto O.

Sentido del momento: Se indica mediante una flecha curva en torno al punto. Por definición: - Rotación antihoraria: momento positivo - Rotación horaria: momento negativo 4.3 Momento de una fuerza respecto a un punto: El vector r que va del punto respecto del cual hay que determinar el momento a un punto cualquiera de la recta soporte de la fuerza F se puede expresar así:

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL

La ecuación vectorial de cálculo del momento de una fuerza respecto a un punto:

̅

̅ ̅

(Expresión Vectorial) Es aplicable tanto al caso bidimensional como al tridimensional.

|̅ |

( (

)

)

(Magnitud)

Dirección: Perpendicular al plano formado por r y F en el punto 4.4 Teorema de Varignon: El momento que una fuerza ejerce sobre un punto es igual a la suma de los momentos de las componentes de la fuerza con respecto al mismo punto.

4.5 Momento de una fuerza con respecto a un eje: El momento de una fuerza respecto de un punto no tiene significado físico en mecánica por que los cuerpos giran en torno a ejes y no alrededor de puntos. El momento MOB de una fuerza respecto a un eje n se puede obtener:

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL

4.6 Pares Dos fuerzas de igual módulo, paralelas, no colineales y de sentidos opuestos forman un par. Así, la suma de las dos fuerzas es nula en cualquier dirección, por lo que un par tenderá solamente a hacer girar el cuerpo al que esté aplicado.

4.7 Momento de un Par El momento de un par es simplemente la suma de los momentos de las fuerzas respecto a un punto O:

MO  r1  F1  r2  F2 como F2  F1

MO  r1  F1  r2  (F1)  (r1  r2 )  F1  r A/ B  F1 r A/ B : Vector de posición que va del puntos B al punto A cualesquiera.

Los vectores momento de los pares son vectores libres, se pueden sumar o restar independientemente de su posición en el espacio.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 4 Tema: Cuerpos Rígidos –Momento respecto a un punto a un eje Sección : …………………………..………………………... Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana

Apellidos Nombres Fecha Duración

: ……………………………..…………………………. : …………………………………..……………………. : …../..…/2014 : Indicar el tiempo

INSTRUCCIONES: Resuelva cada ejercicio en grupo de 5 integrantes considerando su diagrama y proceso. Evite borrones. El orden influirá en su calificación. 1. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O. No tome en cuenta el grosor del elemento.

2. El ensamble de tubos está sometido a la fuerza de 80 N. Determine el momento de esta fuerza con respecto al punto B.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL 3. Determine el momento resultante producido por las dos fuerzas respecto al punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano.

4. Determine la magnitud del momento producido por la fuerza de F _ 200 N con respecto al eje que contiene las bisagras de la puerta (el eje x).

5. Se levanta el marco en forma de A a una posición perpendicular mediante la fuerza vertical de F = 80 lb. Determine el momento de esta fuerza con respecto al eje y cuando el marco está en la posición que se muestra.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL SEGUNDA UNIDAD TEMA Nº 5: EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS El estudio del equilibrio de un cuerpo rígido consiste básicamente en conocer todas las fuerzas, incluidos los pares que actúan sobre él para mantener ese estado. Por ahora se analizarán las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, es decir las fuerzas que otros cuerpos, unidos o en contacto con él, le ejercen.

Las condiciones necesarias para el equilibrio de un cuerpo rígido son:  ΣF = 0, Sumatoria de Fuerzas (No hay traslación)  ΣM= 0, Sumatoria de Momentos (No hay rotación) Estas ecuaciones se pueden expresar vectorialmente:

 F   F i   F j   F k  0i  0 j  0k  M   M i   M j   M k  0i  0 j  0k x

y

z

x

y

z

Equilibrio en dos dimensiones: Son problemas donde las fuerzas que intervienen están contenidas en un plano, los momentos son perpendiculares al plano donde están contenidas las fuerzas. Se pueden analizar escalarmente. En dos dimensiones (en el plano xy), de las ecuaciones generales quedarían:

F  0 x

F

y

0

M

z

0

Por ello solo hay tres ecuaciones escalares independientes para el equilibrio de un cuerpo rígido.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL

MODELADO DE LA ACCION DE LAS FUERZAS EN UN ANALISIS DE DOS DIMENSIONES Tipo de contacto y Origen Fuerza Acción sobre el cuerpo para ser aislado La fuerza ejercida por un cable flexible es 1. Cable Flexible, correa, cadena o siempre una tracción dirigida fuera del cuerda Peso de cable insignificante

cuerpo en la dirección del cable.

Peso de cable no despreciable

2. Las superficies lisas

Fuerza de contacto es de compresión normal a la superficie.

3. Las superficies rugosas

Las superficies rugosas son capaces de soportar una componente tangencial F (fuerza de fricción), así como una componente normal N de la fuerza de contacto resultante R.

4. Apoyo de rodillo

Los apoyos de rodillo, eje de balancín, sector o bola, transmiten una fuerza compresiva normal a la superficie portante.

5. Guía de deslizamiento libre

Collar o corredera con libertad para moverse a lo largo de guías lisas; puede resistir solamente la fuerza normal a la guía.

6. Conexión del pasador

Una conexión de pasador articulada, resiste una fuerza en cualquier dirección en el plano normal al eje del pasador que suele representarse por sus componentes Rx y Ry. Un pasador que no gire libremente podrá resistir también un par M.

Con giro libre

Sin giro libre

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL 7. Empotramiento o apoyo fijo. Soldadura

Un empotramiento o apoyo fijo puede resistir una fuerza axial F, una fuerza transversal V (fuerza cortante o de cizallamiento), y un par M (momento flector) para impedir la rotación.

8. Atracción gravitatoria

La resultante de la atracción gravitatoria sobre todos los elementos de un cuerpo de masa m es el peso W = mg y actúa hacia el centro de la tierra.

9. Acción resorte

La fuerza en el resorte es de tracción si primero se estira y será de compresión si se le comprime. Para un resorte elástico lineal la rigidez k es la fuerza necesaria para deformar el resorte una longitud media.

Diagrama de Solido Libre 1. Armadura Plana El peso de la armadura se desprecia frente a p

2. Viga en voladizo

3. Viga. Contacto liso en A

4. Sistema rígido de cuerpos interconectado considerado como un conjunto único

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 5 Tema: Equilibrio de Cuerpos Rígidos en 2D Sección : …………………………..………………………... Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana

Apellidos Nombres Fecha Duración

: ……………………………..…………………………. : …………………………………..……………………. : …../..…/2014 : Indicar el tiempo

INSTRUCCIONES: Resuelva cada ejercicio en grupo de 5 integrantes considerando su diagrama y proceso. Evite borrones. El orden influirá en su calificación. 1. Determine Las reacciones externas en los apoyos A y F para la estructura mostrada.

2. Una palanca AB está articulada en C y unida a un cable de control en A. Si la palanca se somete a una fuerza vertical de 60 lb en el punto B, determinar la tensión en el cable y la reacción en C.

3. Sin tomar en cuenta la fricción y el radio de la polea, determinar la tensión en el cable BCD y la reacción en el apoyo A cuando d = 4 in.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL

4. Determine el ángulo  para que la barra uniforme de longitud 2R se encuentre en equilibrio en la superficie semicilíndrica lisa.

5. La instalación que se muestra en la figura está conformada por un elemento horizontal ABC de 5,4 kN y un elemento vertical DBE, ambos soldados en B y se utiliza para levantar un cajón de 16,2 kN. Determine a) la tensión requerida en el cable ADCF si el valor máximo del par en E es el mínimo posible, mientras x varía desde 0,6 hasta 7 m, b) el valor máximo correspondiente del par.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL TEMA N° 6: EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS EN TRES DIMENSIONES Las condiciones para lograr el equilibrio de un cuerpo rígido sometido a un sistema tridimensional de fuerza requieren que la fuerza resultante y el momento de par resultante que actúan sobre el cuerpo sean iguales a cero. Ecuaciones vectoriales de equilibrio. Las dos condiciones para lograr el equilibrio de un cuerpo rígido pueden ser expresadas matemáticamente en forma vectorial como

F  0 M o  0 donde F es la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo y M o es la suma de los momentos de par y los momentos de todas las fuerzas con respecto a cualquier punto O localizado en o fuera del cuerpo. Ecuaciones escalares de equilibrio. Si todas las fuerzas externas y los momentos de par aplicados son expresados en forma vectorial cartesiana y sustituido en las ecuaciones anteriores, tenemos:

F  Fxiˆ  Fy ˆj  Fz kˆ  0 M o  M x iˆ  M y ˆj  M z kˆ  0 Como las componentes iˆ, ˆj y kˆ son independientes una de otra, las ecuaciones anteriores serán satisfechas siempre que:

Estas seis ecuaciones escalares de equilibrio pueden usarse para resolver cuando mucho seis incógnitas mostradas en el diagrama de cuerpo libre. Cuando las ecuaciones de equilibrio son suficientes para determinar las fuerzas incógnitas en los apoyos se dice que el cuerpo está determinado estáticamente (es isostático). Un cuerpo que tiene soportes redundantes, es decir que tiene más soportes de los necesarios para mantener el equilibrio se dice que es estáticamente indeterminado (es hiperestático), se requieren nuevas relaciones entre las fuerzas, además de las planteadas por el equilibrio, estos casos se estudian en los cursos de Resistencia de Materiales y Análisis Estructural.

 Para resolver problemas se dibuja el diagrama de cuerpo libre, este se debe obtener aislando el cuerpo de sus soportes y mostrando las cargas y las reacciones que los soportes pueden generar sobre el cuerpo.  Se aplican las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL MODELOS PARA LA ACCION DE LAS FUERZAS EN TRES DIMENSIONES Tipo de contacto y origen de las Acción sobre el cuerpo a aislar fuerzas 1. Miembro en contacto con superficie lisa o miembro con apoyo esférico

Fuerza normal a la superficie y dirigida hacia el miembro

2. Miembro en contacto con superficie rugosa

3. Apoyo de rodillos sobre ruedas con vínculo lateral

4. Rótula

Hay posibilidades de que sobre el miembro actúe una fuerza F tangente a la superficie (fuerza de rozamiento), además de una fuerza normal N.

Además de la fuerza normal N, puede existir una fuerza lateral P ejercida por la guía sobre la rueda

Una rótula que pivote libremente en torno al centro de la bola puede soportar una fuerza R de tres componentes.

5. Unión fija (empotramiento o soldadura)

Además de una fuerza de tres componentes, las uniones fijas pueden soportar un par de fuerzas de momento M representado por sus componentes.

6. Cojinete de empuje

Un cojinete de empuje puede soportar una fuerza axial Ry además de fuerzas radiales Rx y Rz. En ocasiones, los pares Mx, Mz deben suponerse nulos para lograr la isostaticidad.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 6 Tema: Equilibrio de Cuerpos Rígidos en 3D Sección : …………………………..………………………... Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana

Apellidos Nombres Fecha Duración

: ……………………………..…………………………. : …………………………………..……………………. : …../..…/2014 : Indicar el tiempo

INSTRUCCIONES: Resuelva cada ejercicio en grupo de 5 integrantes considerando su diagrama y proceso. Evite borrones. El orden influirá en su calificación. 1. Una hoja de madera de 4 x 8 ft que tiene un peso de 34 Lb ha sido colocada temporalmente entre tres apoyos tubulares: El costado inferior de la hoja se apoya sobre pequeños collarines en A y B y el costado superior se apoya en el tubo C. Sin tomar en cuenta la fricción entre todas las superficies en contacto, determine las reacciones en A, B y C.

2. Una palanca de 200 mm y una polea de 240 mm se sueldan al eje BE que a su vez se sostiene mediante cojinetes en C y D. SI se aplica una carga vertical de 720 N en A cuando la palanca está en posición horizontal, determine a) la tensión en la cuerda y b) las reacciones en C y D. Suponga que el cojinete en D no ejerce ninguna fuerza de empuje axial.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL 3. Si la carga tiene un peso de 200 lb, determine las componentes x, y, z de la reacción en la junta de rótula esférica A y la tensión en cada uno de los cables.

4. Determine las componentes de fuerza que actúan sobre la rótula esférica en A, la reacción en el rodillo B y la tensión en la cuerda CD necesarias para el equilibrio de la placa con forma de cuadrante circular.

5. Una fuerza vertical de 80 lb actúa sobre el cigüeñal. Determine la fuerza horizontal P de equilibrio que debe aplicarse a la manivela y las componentes x, y, z de reacción en la chumacera lisa A y en la chumacera de empuje B. Estos cojinetes están alineados correctamente y ejercen sólo fuerzas de reacción sobre la flecha.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL TEMA N° 7: CENTROIDES Y CENTRO DE GRAVEDAD

Hasta ahora se ha supuesto que la atracción ejercida por la Tierra sobre un cuerpo rígido podía representarse por una sola fuerza W. Esta fuerza, denominada fuerza de gravedad o peso del cuerpo, debía aplicarse en el centro de gravedad del cuerpo. De hecho, la Tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que constituyen al cuerpo. En este sentido, la acción de la Tierra sobre un cuerpo rígido debe representarse por un gran número de pequeñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo. Sin embargo, en este capítulo se aprenderá que la totalidad de dichas fuerzas pequeñas puede ser reemplazada por una sola fuerza equivalente W. También se aprenderá cómo determinar el centro de gravedad, esto es, el punto de aplicación de la resultante W, para cuerpos de varias formas.  El centro de gravedad toma en cuenta los materiales que componen el cuerpo y es el punto donde está aplicada la fuerza resultante equivalente que es el peso del cuerpo.  El centroide es un centro geométrico, toma en cuenta la forma más no los materiales que componen el cuerpo.  Si el cuerpo es homogéneo (γ = constante) el centro de gravedad coincide con el centroide. Centro de Gravedad: Peso (w): Fuerza ejercida por la tierra sobre los elementos del cuerpo rígido

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL

̅̅ ̅ Las siguientes ecuaciones se utilizan para calcular el centro de gravedad.

x

 xdW ;  dW

y

 ydW ;  dW

z

 zdW  dW

Si la aceleración de la gravedad es igual en todas las partículas del cuerpo: W = mg  dW = g.dm m= masa dm= masa de cualquier partícula del cuerpo. Las siguientes ecuaciones se utilizan para calcular el centro de masa.

x

 xdm ;  dm

y

 ydm ;  dm

z

 zdm  dm

y

 ydl ;  dl

z

 zdl  dl

Centro de Gravedad de Líneas: Alambre de sección constante.

x

 xdl ;  dl

Centro de Gravedad de Áreas:

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL

x

 xdA ;  dA

y

 ydA ;  dA

z

 zdA  dA

y

 ydV ;  dV

z

 zdV  dV

Centro de Gravedad de Volumen:

x

 xdV ;  dV

Cuerpos Compuestos: Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos conectados que son de forma más simple como por ejemplo, de forma rectangular, triangular, semicircular, etcétera. Un cuerpo tal puede a menudo seccionarse o dividirse en las partes que lo componen.

x A x ; A i

i

i

i

i

y A y A i

i

i

i

i

Determinación de Centroides por Integración El centroide de un área limitada por curvas analíticas (esto es, curvas definidas por ecuaciones algebraicas) por lo general se determina evaluando las integrales que aparecen a cntinuación:

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL



xA  xdA



yA  ydA

Si el elemento de área dA es un pequeño rectángulo de lados dx y dy, la evaluación de cada una de estas integrales requiere una integración doble con respecto a x y y. También es necesaria una integración doble si se usan coordenadas polares para las cuales dA es un elemento de lados dr y r d . Centroides de formas comunes de áreas y de líneas. Forma Área y x

Área triangular

h 3

bh 2

Un cuarto de área circular

4r 3

4r 3

 r2 4

Área semicircular

0

4r 3

 r2 2

4a 3

4b 3

 ab

4b 3 3h 5 3h 5

 ab

Un cuarto de área elíptica Área semielíptica

0

4

2 2ah 3 4 ah 3

Área semiparabólica

3a 8

Área parabólica

0

Enjuta parabólica

3a 4

3h 10

ah 3

Enjuta general

n 1 a n2

n 1 h 4n  2

ah n 1

Sector circular

2r sen 3

0

 r2

Un cuarto de arco circular

2r

2r





r 2

Arco semicircular

0

2r



r

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL

Arco de círculo

r sen



0

2r

EJEMPLO: Para el área plana mostrada en la figura, determine: a) los primeros momentos con respecto a los ejes x y, y y b) la ubicación de su centroide.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL Ubicación del centroide. Si se sustituyen los valores dados en la tabla, dentro de las ecuaciones que definen el centroide de un área compuesta se obtiene

Teorema de Pappus-Guldinus Los dos teoremas de Pappus y Guldinus, desarrollados en un principio por Pappus de Alejandría durante el siglo III d. c. y establecidos posteriormente por el matemático suizo Paul Guldin o Guldinus (1577-1643), se utilizan para calcular la superficie y volumen de cualquier objeto de revolución. Una superficie de revolución se crea girando una curva plana con respecto de un eje fijo que no intercepta el plano de la curva; mientras que un volumen de revolución se forma girando el área de un plano con respecto de un eje fijo que no intercepta el plano del área.

TEOREMA I. El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie.

A  2 yL

TEOREMA II. El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo.

V  2 yA

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 7 Tema: Centroides y Centro de gravedad Sección : …………………………..………………………... Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana

Apellidos Nombres Fecha Duración

: ……………………………..…………………………. : …………………………………..……………………. : …../..…/2014 : Indicar el tiempo

INSTRUCCIONES: Resuelva cada ejercicio en grupo de 5 integrantes considerando su diagrama y proceso. Evite borrones. El orden influirá en su calificación. 1. El muro de contención a gravedad está hecho de concreto. Determine la ubicación del centro de masa G para el muro.

2. Localice el centroide del área de sección transversal de la viga compuesta

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL 3. Para el elemento de máquina que se muestra en la figura, localice las coordenadas del centro de gravedad.

4. Localice el centroide al área sombreada.

5. Localice el centroide del alambre que se dobla en la forma que se muestra.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL TEMA N° 8: FUERZAS DISTRIBUIDAS El concepto del centroide de un área puede utilizarse para resolver otros problemas distintos a los relacionados con los pesos de placas planas. Por ejemplo, considérese una viga que soporta una carga distribuida; esta carga puede estar constituida por el peso de los materiales soportados directa o indirectamente por la viga o puede ser ocasionada por el viento o por una presión hidrostática.

La carga distribuida puede representarse al graficar la carga w soportada por unidad de longitud; esta carga está expresada en N/m o en lb/ft.

La magnitud de la fuerza ejercida sobre un elemento de viga de longitud dx es dW  wdx , y la carga total soportada por la viga es

W

0 wdx L

Se observa que el producto w dx es igual en magnitud al elemento de área dA mostrado en la figura. Por tanto, la carga W es igual en magnitud al área total A bajo la curva de carga:



W  dA  A Ahora se procede a determinar dónde debe aplicarse, sobre la viga, una sola carga concentrada W, de la misma magnitud W que la carga distribuida total, si se deben producir las mismas reacciones en los apoyos (figura 5.17b). Sin embargo, debe aclararse que esta carga concentrada W, la cual representa la resultante de la carga distribuida dada, es equivalente a esta última sólo cuando se considera el diagrama de cuerpo libre de toda la viga. El punto de aplicación P de la carga concentrada

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL equivalente W se obtiene expresando que el momento de W con respecto a un punto O es igual a la suma de los momentos de las cargas elementales dW con respecto a O:

xA 

0 xdA L

En este sentido, una carga distribuida que actúa sobre una viga puede reemplazarse por una carga concentrada, la magnitud de dicha carga es igual al área bajo la curva de carga y su línea de acción pasa a través del centroide de dicha área. Fuerzas Sobre Superficies Sumergidas El procedimiento usado en la sección anterior puede emplearse para determinar la resultante de las fuerzas de presión hidrostática ejercidas sobre una superficie rectangular sumergida en un líquido.

Considérese la placa rectangular mostrada en la figura, la cual tiene una longitud L y un ancho b, donde b se mide perpendicular al plano de la figura. Como se señaló, la carga ejercida sobre un elemento de la placa de longitud dx es w dx , donde w es la carga por unidad de longitud. Sin embargo, esta carga también puede expresarse como pdA  pb dx , donde p es la presión manométrica en el líquido y b es el ancho de la placa; por tanto, w  bp . Como la presión manométrica en un líquido es p   h , donde  es el peso específico del líquido y h es la distancia vertical a partir de la superficie libre, se concluye que: w  bp  b h lo cual demuestra que la carga por unidad de longitud w es proporcional a h y, por tanto, varía linealmente con x. Se observa que la resultante R de las fuerzas hidrostáticas ejercidas sobre un lado la placa es igual en magnitud al área trapezoidal bajo la curva de carga y su línea acción pasa a través del centroide C de dicha área. El punto P de la placa donde aplica R se conoce como el centro de presión. Los métodos presentados en esta sección pueden emplearse para determinar resultante de las fuerzas hidrostáticas ejercidas sobre las superficies de presas y compuertas rectangulares y álabes.

de de se la de

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 8 Tema: Fuerzas Distribuidas Sección : …………………………..………………………... Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana

Apellidos Nombres Fecha Duración

: ……………………………..…………………………. : …………………………………..……………………. : …../..…/2014 : Indicar el tiempo

INSTRUCCIONES: Resuelva cada ejercicio en grupo de 5 integrantes considerando su diagrama y proceso. Evite borrones. El orden influirá en su calificación. 1. La viga está sometida a la carga parabólica. Determine un sistema de fuerza y par equivalente en el punto A.

2. Calcular las reacciones de apoyo en A y B para la viga sometida a las dos cargas distribuidas linealmente.

3. La fuerza de sustentación a lo largo del ala de un avión de propulsión a chorro consta de una distribución uniforme a lo largo de AB, y una distribución semiparabólica a lo largo de BC con origen en B. Reemplace esta carga por una sola fuerza resultante y especifique su ubicación medida desde el punto A.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL

4. La puerta AB de la figura es de 15 pies de largo y 8 pies de ancho, articulado en B con una parada en A. La puerta es de 1 in de espesor de acero, sg = 7,85. Calcule el nivel del agua h para que la puerta comenzará a caer.

5. La sección transversal de un dique de concreto tiene la forma que se muestra en la figura. Para una sección del dique de 1 m de ancho, determine a) la resultante de las fuerzas de reacción ejercidas por el suelo sobre la base AB del dique, b) el punto de aplicación de la resultante de las fuerzas de reacción encontradas en el inciso a) y c) la resultante de las fuerzas de presión ejercidas por el agua sobre la cara BC del dique.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL TERCERA UNIDAD TEMA Nº 9: ARMADURAS

ARMADURA Las armaduras, son estructuras estacionarias totalmente restringidas, formadas exclusivamente por miembros esbeltos (barras), conectados en los extremos por medio de pasadores, pernos, remaches o soldadura, los cuales se denomina “nudos”, como el mostrado en la figura, de manera que forman una estructura rígida estable y pueden soportar esfuerzos superiores a los que individualmente no podrían soportar

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL Armaduras planas Son aquellas contenidas en un solo plano y con frecuencia se utilizan para soportar techos y puentes. Elementos componentes de una armadura Una armadura está compuesta de barras unidas en sus extremos por pasadores, pernos, remaches, etc. Los cuales se denominan “nudos”

Tipo de fuerza que soportan los elementos Las armaduras, están compuesto por barras los cuales solo soportan cargas axiales, es decir, tensión (tracción) o compresión, unido por medio de “nudos”

Estabilidad de una estructura La estructura básica para formar una armadura es el triángulo

Armadura estable

Armadura inestable

Para una estructura estable o isostático, se cumple: Para una estructura inestable, se cumple: Para estructuras estáticamente indeterminada o hiperestática: Siendo: b: número de barras n: número de nudos

b  2n  3 b < 2n  3 b > 2n  3

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL Armaduras típicas más usuales

Barras Con Fuerza Nula:  “Si en un nudo de una armadura están conectadas los extremos de 3 barras y 2 son colineales, entonces la fuerza en la tercera barra es cero siempre que no exista una fuerza exterior actuando en el nudo”.



“Si en un nudo de una armadura están conectados los extremos de 2 barras y estos no son colineales entonces las fuerzas en las 2 barras son nulas, siempre que no existan fuerzas exteriores actuando en el nudo”.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL METODO DE LOS NUDOS: a) Se calcula las reacciones en los apoyos. b) Se escoge un nudo donde no se conozcan como máximo 2 incógnitas. Se plantean 2 ecuaciones de equilibrio: ΣFX = 0; ΣFY = 0. c) Se escoge el nudo siguiente cumpliendo las condiciones del paso anterior así sucesivamente hasta determinar las fuerzas en todas las barras. Observaciones:  A veces no es necesario calcular las reacciones.  El nudo escogido puede tener 1 sola incógnita, lo que no debe tener es 3 incógnitas o mas pues el equilibrio del nudo en el plano solo nos permite plantear hasta 2 ecuaciones de equilibrio independientes.

METODO DE LAS SECCIONES: Este método es útil cuando se quiere calcular las fuerzas en algunas barras.  Se calcula reacciones en los apoyos.  Se secciona la armadura en dos partes (en algunos casos puede ser mas de dos) totalmente separadas, debe seccionarse las barras cuya fuerza se quiere calcular.  Se representa el sentido de las fuerzas internas en las barras seccionadas. Se realiza un D.C.L. en una de las partes de la armadura seccionada, en dicha parte deben representarse las fuerzas internas de las barras seccionadas, las fuerzas exteriores y las reacciones en los apoyos si los hubiera.  En dicho D.C.L. se plantean ecuaciones de equilibrio (ΣF=0, ΣM=0) determinando así las fuerzas pedidas.  Si se seccionaran solo tres barras y no fueran concurrentes podrían calcularse las fuerzas en las tres barras.  Si se seccionara más de tres barras no podrían calcularse las fuerzas en todas las barras quizás se podrían calcular algunas o quizás ninguna, esto dependerá de que la sección asumida sea conveniente para nuestros cálculos, no hay una regla definida para seccionar una armadura; de allí que la dificultad en el método consiste en describir cual es la sección o corte adecuado.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 9 Tema: Análisis Estructural - Armaduras Sección : …………………………..………………………... Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana

Apellidos Nombres Fecha Duración

: ……………………………..…………………………. : …………………………………..……………………. : …../..…/2014 : Indicar el tiempo

INSTRUCCIONES: Resuelva cada ejercicio en grupo de 5 integrantes considerando su diagrama y proceso. Evite borrones. El orden influirá en su calificación. 1. Determine la fuerza en cada elemento de la armadura y establezca si los elementos están en tensión o en compresión. Considere P1 = P2 = 4 kN.

2. La armadura, que se ha utilizado para soportar un balcón, está sometida a la carga mostrada. Aproxime cada nodo como un pasador y determine la fuerza en cada elemento. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión. Considere P1 = 600 lb, P2 = 400 lb.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL 3. Determine la fuerza en cada elemento de la armadura y establezca si los elementos están en tensión o en compresión. Considere P1 = 600 lb, P2 = 400 lb.

4. Determine la fuerza en los elementos EF, CF y BC de la armadura. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión.

5. Determine la fuerza en los elementos KJ, KC y BC de la armadura Howe, y establezca si los elementos están en tensión o en compresión.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL TEMA Nº 10: ARMAZONES Los armazones y las máquinas son estructuras que contienen elementos sometidos a la acción de varias fuerzas. Los armazones están diseñados para soportar cargas y son estructuras estacionarias totalmente restringidas, Las máquinas están diseñadas para transmitir y modificar fuerzas; éstas pueden o no ser estacionarias y siempre tendrán partes móviles.

FUERZAS EN MARCOS:  A los marcos también se les denomina: Armazones, Bastidores y Entramados  Los marcos son unos conjuntos de barras unidas por pasadores, estas conexiones generan una reacción cuya dirección no se conoce y por ello se descompone en una fuerza horizontal y una fuerza vertical en cada conexión. Además los marcos no sólo en sus pasadores se presenta la fuerza sino también en cualquier punto de la barra, generándose en la barra las siguientes reacciones internas: fuerza axial, fuerza cortante y momento flexionante.  Si la barra de un marco solo está sometida a fuerzas en sus conexiones extremas se comporta como barra de una armadura, es decir la barra estaría sometida solo a fuerza axial (como reacción interna).  En general si es posible primero se calculan las reacciones en los apoyos para determinar las fuerzas internas que mantiene unidas las diferentes barras que forman un marco, deben separarse las barras y hacer un diagrama de cuerpo libre para cada barra.  Finalmente se plantean para cada barra las ecuaciones de equilibrio correspondientes: (ΣF=O; ΣM=O).

D.C.L.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 10 Tema: Análisis Estructural – Armazones y Máquinas Sección : …………………………..………………………... Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana

Apellidos Nombres Fecha Duración

: ……………………………..…………………………. : …………………………………..……………………. : …../..…/2014 : Indicar el tiempo

INSTRUCCIONES: Resuelva cada ejercicio en grupo de 5 integrantes considerando su diagrama y proceso. Evite borrones. El orden influirá en su calificación. 1. El bastidor de la figura soporta el cilindro de 60 kg. Determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en A y la fuerza en C.

2. Determinar la reacción F en el rodillo para la trama cargado como se muestra.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL 3. Para el armazón y la carga mostrada en la figura, determine las componentes de las fuerzas que actúan sobre el elemento CDE en C y D.

. 4. El bastidor soporta la carga 500 kg de la manera mostrada. Despreciar los pesos de los miembros frente a las fuerzas inducidas por la carga y calcular las componentes horizontal y vertical de todas las fuerzas que actúan sobre cada uno de los miembros.

5. Determine la fuerza de apriete ejercida sobre el tubo liso en B si se aplica una fuerza de 20 lb a los mangos de las pinzas. Las pinzas están articuladas en A.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL TEMA Nº 11: FUERZAS EN VIGAS

VIGAS: Las vigas son elementos de una estructura cuyo fin es soportar cargas a lo largo de su eje longitudinal. En general soportan cargas de techos. Tipos de Vigas: 

Vigas estáticamente determinadas.



Vigas estáticamente indeterminadas.



Vigas con rotula.

Tipos de Cargas:

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL 3.2.- Fuerzas Internas (V, N, M):

V → Fuerza Cortante

N→ Fuerza Normal o Axial

M→ Momento Flector

V → Fuerza Cortante: Es generada por las fuerzas perpendiculares al eje longitudinal del elemento. N → Fuerza Normal o Axial: Generada por las fuerzas paralelas al eje longitudinal del elemento. M→ Momento Flector: Es generado por las fuerzas perpendiculares al eje longitudinal del elemento y los momentos. Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector: Las fuerzas y los momentos internos como la fuerza cortante y el momento flector tiene direcciones positivas de acuerdo al grafico.

Cortando una viga en una posición arbitraria x, la fuerza axial N, la fuerza cortante V y el momento flector M se pueden determinar en función de x. Dependiendo de la carga y de los soportes de la viga, puede ser necesario dibujar varios diagrama de cuerpo libre a fin de determinar las distribuciones para toda la viga. Las graficas de V y M como funciones de x son los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. La carga distribuida, la fuerza cortante y el momento flector en una parte de una viga sometida exclusivamente a una carga distribuida satisface las relaciones:

Para segmentos de una viga que están descargados o sometidos a una carga distribuida, estas ecuaciones se pueden integrar para determinar V y M en función de x. Para obtener los diagramas completos de fuerza cortante y de momento flector, deben tomarse en cuenta también las fuerzas concentradas y los pares.

Pág. 61

MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 11 Tema: Fuerzas en Vigas Sección : …………………………..………………………... Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana

Apellidos Nombres Fecha Duración

: ……………………………..…………………………. : …………………………………..……………………. : …../..…/2014 : Indicar el tiempo

INSTRUCCIONES: Resuelva cada ejercicio en grupo de 5 integrantes considerando su diagrama y proceso. Evite borrones. El orden influirá en su calificación. 1. Para la carga mostrada realice el diagrama de la fuerza cortante y diagrama del momento flector.

2. Para la carga mostrada realice el diagrama de la fuerza cortante y diagrama del momento flector.

3. Para la carga mostrada realice el diagrama de la fuerza cortante y diagrama del momento flector.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL

. 4. Para la carga mostrada realice el diagrama de la fuerza cortante y diagrama del momento flector.

5. Para la carga mostrada realice el diagrama de la fuerza cortante y diagrama del momento flector.

Pág. 63

MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL TEMA Nº 12: MOMENTO DE INERCIA Momentos de Inercia de un área En ingeniería estructural, el segundo momento de área, también denominado segundo momento de inercia o MOMENTO DE INERCIA DE ÁREA, es una propiedad geométrica de la sección transversal de elementos estructurales. Físicamente el segundo momento de inercia está relacionado con las tensiones y deformaciones máximas que aparecen por flexión en un elemento estructural y, por tanto, junto con las propiedades del material determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión. El segundo momento de área es una magnitud cuyas dimensiones son longitud a la cuarta potencia (que no debe ser confundida con el concepto físico relacionado de inercia rotacional cuyas unidades son masa por longitud al cuadrado). Para evitar confusiones, algunos ingenieros denominan "momento de inercia de masa" al momento con unidades de masa descrito en este artículo.

Los momentos de inercia de un área son integrales de forma similar a la de las usadas para determinar el centroide de un área. Sea un área A en el plano x-y. Definimos cuatro momentos de inercia.

Momentos de Inercia por Integracion Los momentos de inercia de un área plana con respecto a los ejes x y y, respectivamente, están definidas por las integrales:

 y dA   x dA

Ix 

2

Iy

2

donde x y y son las coordenadas del elemento diferencial de área dA. Momento Polar de Inercia

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL Se denomina momento polar de inercia de la sección, la característica geométrica, determinada por la integral

IP 



r 2 dA

siendo r la distancia del área dA al punto O (polo - eje z), respecto al cual se calcula el momento polar de inercia

Teorema: el momento polar de inercia, respecto a un punto arbitrario, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes ortogonales que pasan por dicho punto. En efecto, del teorema de Pitágoras: x2 + y2 = r2

El momento polar de inercia es de gran importancia en los problemas relacionados con la torsión de barras cilíndricas y en los problemas relacionados con la rotación de placas. Producto de inercia: El producto de inercia de un área se define como la suma de los productos de las áreas elementales y sus coordenadas (es decir, sus distancias a los dos ejes de coordenadas) realizada sobre toda el área de la sección o figura.

I xy 

 xydA

El producto de inercia puede ser positivo, negativo o, como caso particular, igual a cero. Si los ejes ortogonales x e y, o uno de ellos, son ejes de simetría de la figura, entonces el producto de inercia, respecto a estos ejes, es igual a cero

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Teorema de los ejes paralelos (STEINER): El teorema de los ejes paralelos proporciona la relación entre el momento de inercia con respecto al eje centroidal y el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo.

Para deducir el teorema, consideramos un área con forma arbitraria con centroide C. También, consideramos dos conjuntos de ejes coordenados: los ejes x c y yc con origen en el centroide y un conjunto de ejes paralelos x y y con origen en cualquier punto O. Las distancias entre los dos conjuntos de ejes paralelos se denotan dx y dy. Además identificamos un elemento de área dA con coordenadas x y y con respecto a los ejes centroidales Con base en la definición de momento de inercia, podemos escribir la siguiente ecuación para el momento de inercia Ix con respecto al eje x:









I x  ( y  d1 )2 dA  y 2 dA  2d1 ydA  d12 dA La primera integral en el lado derecho es el momento de inercia I xc con respecto al eje xc , la segunda integral es el momento estático del área con respecto al eje xc (esta integral es igual a cero debido a que el eje xc pasa por el centroide). La tercera integral es la propia área A. Por tanto, la ecuación anterior se reduce a:

I x  I xc  Ad12 I y  I yc  Ad22 Teorema de los ejes paralelos para el producto de inercia: el producto de inercia, respecto aun sistema de ejes ortogonales paralelos a los ejes centroidales, es igual al producto de inerciarespecto a los ejes centroidales más el producto del área de la figura por las coordenadas de su centroide, respecto a los nuevos ejes

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Teorema de los ejes paralelos para el momento polar:

̅ La demostración queda para el lector Radio de giro En ocasiones en mecánica se encuentra una distancia conocida como radio de giro. El radio de giro de un área plana se define como la raíz cuadrada del momento de inercia del área dividida entre la propia área; por tanto,

kx 

Ix ; A

ky 

Iy A

;

kz 

Iz A

Si bien el radio de giro de un área no tiene un significado físico obvio, lo podemos considerar como la distancia (desde el eje de referencia a la que toda el área podría concentrarse y aún tener el mismo momento de inercia que el área original. Momentos de Inercia de áreas compuestas: El momento de inercia de un cuerpo compuesto con respecto a un eje dado es igual a la suma de los momentos de inercia de las partes que lo constituyen con respecto a ese mismo eje. También se debe recordar que el momento de inercia de una parte componente será negativo sólo si dicha parte es removida (como en el caso de un agujero).

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL Propiedades de las figuras planas

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 12 Tema: Momento de Inercia Sección : …………………………..………………………... Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana

Apellidos Nombres Fecha Duración

: ……………………………..…………………………. : …………………………………..……………………. : …../..…/2014 : Indicar el tiempo

INSTRUCCIONES: Resuelva cada ejercicio en grupo de 5 integrantes considerando su diagrama y proceso. Evite borrones. El orden influirá en su calificación. 1. Para el área mostrada en la figura, determine los momentos de inercia Ix e I y con respecto a los ejes centroidales paralelo y perpendicular al lado AB, respectivamente.

2. Para el área sombreada determine el momento de inercia con respecto al eje x y al eje y, además el radio de giro para cada eje.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL 3. Como se muestra en la figura, dos placas de acero de 20 mm se sueldan a una sección S laminada. Para la sección combinada, determine los momentos de inercia y los radios de giro con respecto a los ejes centroidales x y y.

. 4. Como se muestra en la figura, dos canales se sueldan a una sección W laminada. Para la sección combinada, determine los momentos de inercia y los radios de giro con respecto a los ejes centroidales x y y.

5. Como se muestra en la figura, dos ángulos de L4 x 4 x ½ in se sueldan a una placa de acero. Determine los momentos de inercia y los radios de giro con respecto a los ejes centroidales paralelo y perpendicular a la placa, respectivamente.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL CUARTA UNIDAD TEMA Nº 13: DINAMICA

Comenzaremos nuestro estudio de la dinámica analizando la cinemática de una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea o en línea recta. Recuerde que una partícula tiene masa pero tamaño y forma insignificante. Por tanto, debemos limitar la aplicación a aquellos objetos cuyas dimensiones no son de consecuencia en el análisis del movimiento. En la mayoría de los problemas el interés se centra en cuerpos de tamaño finito, como cohetes, proyectiles o vehículos. Tales objetos se pueden considerar como partículas, siempre que el movimiento del cuerpo esté caracterizado por el movimiento de su centro de masa y que cualquier rotación del cuerpo sea ignorada. La dinámica incluye el estudio de la cinemática y la cinética. 1. Cinemática de una partícula: La cual corresponde al estudio de la geometría del movimiento. Se utiliza para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo, sin hacer referencia a la causa del movimiento. 2. Determinación del movimiento de una partícula: El movimiento de una partícula es conocido si se sabe la posición de la partícula para todo valor del tiempo t. En la práctica, sin embargo, un movimiento rara vez se define por medio de una relación entre x y t. Con mayor frecuencia, las condiciones del movimiento se especificarán por el tipo de aceleración que posee la partícula. En general, la aceleración de la partícula puede expresar como una función de una o más variables x, v y t. Se consideran tres clases comunes de movimiento:  a=f(x); La aceleración es una función dada de t.

∫ ()

∫ 

Si a = f(x). La aceleración se da en función de x.

( ) 

∫ ( )

Si a = f (v). La aceleración es una unción dada de v.

( )

( ) ( )

( ) Pág. 72

MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL 3. Movimiento rectilíneo uniforme: El movimiento rectilíneo uniforme es un tipo de movimiento en línea recta que a menudo se encuentra en las aplicaciones prácticas. En este movimiento, la aceleración a de una partícula es cero para todo calor de t. En consecuencia, la velocidad v es constante.

∫

∫

4. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es otro tipo común de movimiento. En éste, la aceleración a de la partícula es constante.  Velocidad en función del tiempo.

v

v

dv 

o

0 ac dt t

v  vo  act

Aceleración constante

Posición en función del tiempo.



s ds  0 (vo  act )dt s

t

o

1 s  so  vot  act 2 2

Aceleración constante

Velocidad en función de la posición.



v vdv  s ac ds v

s

o

o

v2  vo2  2ac (s  so ) Aceleración constante

5. Movimiento de varias partículas: Cuando varias partículas se mueven de manera independiente a lo largo de una misma línea, es posible escribir ecuaciones de movimiento independientes para cada partícula.  Movimiento relativo de dos partículas.

Si las coordenadas de posición xA y xB se miden desde el mismo origen, la diferencia xB – xA define la coordenada de posición relativa de B con respecto A y se denota por medio de xB/A. Se escribe: Derivando con respecto al tiempo se tiene.

 Movimiento relativo dependiente. En muchos casos prácticos, dos puntos no pueden moverse independientemente, sino que el movimiento de uno depende, en cierto modo, del movimiento del otro. Una dependencia o ligadura corriente consiste en que los puntos estén unidos por una cuerda de longitud fija.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 13 Tema: Cinemática de una Partícula Sección : …………………………..………………………... Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana

Apellidos Nombres Fecha Duración

: ……………………………..…………………………. : …………………………………..……………………. : …../..…/2014 : Indicar el tiempo

INSTRUCCIONES: Resuelva cada ejercicio en grupo de 5 integrantes considerando su diagrama y proceso. Evite borrones. El orden influirá en su calificación. 1. El coche se mueve en línea recta de tal manera que por un corto tiempo, su velocidad es definida por v = (3t2 + 2t) ft/s, en donde t esta en segundos. Determinar su posición y aceleración cuando t=3s y t=0, s=0.

2. Cuando un tren se desplaza a lo largo de una vía recta a los 2 m/s, comienza a acelerar a= (60v-4) m/s2 en donde v esta en m/s. Determine su velocidad y la posición 3 s después de la aceleración.

3. Una bola se libera del reposo a una altura de 40 pies al mismo tiempo que una segunda bola B se lanza hacia arriba5 pies de la tierra. Si las bolas pasan unos a otros en una altura de 20 m, determinar la velocidad a la que la bola de B era lanzado hacia arriba.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL 4. Si el cuerpo A se mueve a la izquierda con una velocidad de 4 m/s, determinar el movimiento del cuerpo B.

5. En la figura el bloque B se mueve hacia la derecha con una velocidad de 3 m/s, la cual disminuye a razón de 0.3 m/s2 y el bloque C esta fijo. Determine la velocidad y la aceleración del bloque A, la velocidad de A relativa a B y la aceleración de A relativa a B.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL TEMA Nº 14: MOVIMIENTO CURVILINEO DE PARTICULAS

1. Movimiento Curvilíneo de partículas Movimiento curvilíneo se produce cuando la partícula se mueve a lo largo de una trayectoria curva. Dado que este camino es a menudo descrito en tres dimensiones, el análisis vectorial será utilizado para formular la posición de la partícula, la velocidad y la aceleración. Posición.- La posición de una partícula, medida desde un punto fijo O, será designada mediante el vector de posición r = r(t)

Desplazamiento.- El desplazamiento r representa el cambio en la posición de la partícula y es determinado por resta vectorial, es decir, r  r ' r .

Velocidad.- La velocidad instantánea es la derivada de la posición respecto al tiempo, mientras que la rapidez se puede obtener diferenciando la función trayectoria s con respecto al tiempo.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL Aceleración.- la aceleración promedio es la razón entre el cambio de velocidad respecto al tiempo, mientras que la aceleración instantánea es la derivada del vector de posición respecto al tiempo.

2. Componentes rectangulares: Hay ocasiones en que el movimiento de una partícula se describe mejor a lo largo de una trayectoria que esté representada usando un marco de referencia fijo x, y, z.

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3. Movimiento de un proyectil El movimiento en vuelo libre de un proyectil a menudo es estudiado en términos de sus componentes rectangulares, ya que la aceleración del proyectil siempre actúa en la dirección vertical. Para ilustrar el análisis cinemático, consideramos un proyectil lanzado en el punto (xo, yo), como se muestra en la figura. La trayectoria está definida en el plano x-y de manera tal que la velocidad inicial es vo con componentes (vo)x y (vo)y. Cuando la resistencia del aire es despreciada, la única fuerza que actúa sobre el proyectil es su peso, el cual causa que el proyectil tenga una aceleración constante hacia debajo de aproximadamente ac = g = 9,81 m/s2 o g = 32,2 pies/s2.

Movimiento horizontal.- El movimiento horizontal se considera constante  (  ) v  vo  act;

vx  (vo ) x

 (  ) x  xo  vot  21 act 2 ;

x  xo  (vo ) x t

 (  ) v2  vo2  2ac (s  so );

vx  (vo ) x

Movimiento vertical.- El movimiento vertical se considera variado

( ) v  vo  act;

vy  (vo ) y  gt

( ) y  yo  vot  21 act 2 ;

y  yo  (vo ) y t  21 gt 2

( ) v2  vo2  2ac ( y  yo );

vx  (vo )2x  2g ( y  yo )

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 14 Tema: Movimiento Curvilíneo de Particulas Sección : …………………………..………………………... Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana

Apellidos Nombres Fecha Duración

: ……………………………..…………………………. : …………………………………..……………………. : …../..…/2014 : Indicar el tiempo

INSTRUCCIONES: Resuelva cada ejercicio en grupo de 5 integrantes considerando su diagrama y proceso. Evite borrones. El orden influirá en su calificación. 1. La máquina de picar está diseñado para extraer las virutas de madera a 25 ft/s. Si el tubo se orienta a 30 ° respecto a la horizontal, determinar qué tan alto, h, la viruta llega si la pila esta a una distancia de la maquina a 20 pies desde el tubo.

2. La chica siempre tira los juguetes en un ángulo de 30 ° desde el punto A como se muestra. Determinar el tiempo entre la tira de manera que tanto los juguetes caiga en los bordes de la piscina B y C en el mismo instante. ¿Con qué velocidad se debe lanzar cada juguete?

3. El móvil se desplaza a 10 m / s cuando se deja el terraplén en A. Determine el tiempo de vuelo de A a B y el alcance R de la trayectoria.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL

4. La pelota es lanzada desde la torre con una velocidad de 20 m/s como se muestra. Determinar la coordenadas x e ya donde la pelota golpea la pendiente. También, determinar la velocidad a la que la pelota toque el suelo.

5. La pelota de golf es golpeado con una velocidad de 80 m / s como se muestra. Determine la distancia “d” a donde llega a la tierra.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL TEMA Nº 15: CINETICA DE PARTICULAS La primera y la tercera ley de Newton del movimiento se emplearon de manera amplia en estática para estudiar cuerpos en reposo y las fuerzas que actúan sobre ellos. Estas dos leyes también se utilizan en dinámica; en realidad, son suficientes para el estudio del movimiento de cuerpos que no tienen aceleración. Sin embargo, cuando los cuerpos están acelerados, esto es, cuando cambia la magnitud o la dirección de su velocidad, es necesario recurrir a la segunda ley de movimiento de Newton para relacionar el movimiento del cuerpo con las fuerzas que actúan sobre él. 1. Segunda ley de Newton. La segunda ley de Newton se puede enunciar de la manera siguiente: “Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en la dirección de esta fuerza resultante”.

;

;

∑

2. Cantidad de movimiento lineal de una partícula. Si se reemplaza la aceleración a por la derivada dv/dt en la ecuación.

∑

∑

(

);

3. Ecuaciones de movimiento. Considérese una partícula de masa m sobre la que actúan varias fuerzas. Se tiene que la segunda ley de Newton puede expresarse mediante la ecuación: F  ma Que relaciona las fuerzas que actúan sobre la partícula y el vector ma. Componentes rectangulares.- Al descomponer cada fuerza F y la aceleración a en componentes rectangulares, se escribe: ∑( ) ( ) De lo que se deduce:

∑

∑

∑

4. Componentes tangencial y normal Al descomponer las fuerzas y la aceleración de la partícula en componentes a lo largo de la tangente a la trayectoria (en la dirección de movimiento) y la normal (hacia el interior de la trayectoria)

∑ ∑

∑ ∑ Pág. 81

MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 15 Tema: Cinética de Partículas Sección : …………………………..………………………... Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana

Apellidos Nombres Fecha Duración

: ……………………………..…………………………. : …………………………………..……………………. : …../..…/2014 : Indicar el tiempo

INSTRUCCIONES: Resuelva cada ejercicio en grupo de 5 integrantes considerando su diagrama y proceso. Evite borrones. El orden influirá en su calificación. 1. Los dos bloques que se muestran empiezan a moverse a partir del reposo. El plano horizontal y la polea no presentan fricción y se supone que la masa de la polea puede ignorarse. Determine la aceleración de cada bloque y la tensión de cada cuerda.

2. Los dos bloques mostrados en la figura se encuentran en reposo al principio. Si se ignoran las masas de las poleas y el efecto de fricción en éstas y entre los bloques y el plano inclinado, determine a) la aceleración de cada bloque, b) la tensión en el cable.

3. Un tren ligero consta de dos carros y viaja a 55 mi/h cuando se aplican los frenos en ambos carros. Si el carro A pesa 55,000 lb y el carro B 44,000 lb, y la fuerza de frenado es de 7000 lb en cada carro, determine a) la distancia recorrida por el tren antes de detenerse, b) la fuerza presente en el acoplamiento entre los carros mientras el tren disminuye su velocidad.

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4. El sistema de tres bloques de 10 kg se sostiene en un plano vertical y está inicialmente en reposo. Ignorando las masas de las poleas y el efecto de la fricción sobre éstas, determine a) el cambio en posición del bloque A después de 0.5 s, b) la tensión en el cable.

5. Un resorte AB de constante k se une a un soporte A y a un collarín de masa m. La longitud normal del resorte es l. Si se suelta el collarín desde el reposo en x - x0 y se ignora la fricción entre el collarín y la varilla horizontal, determine la magnitud de la velocidad del collarín cuando pasa por el punto C.

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL TEMA Nº 16: MÉTODOS DE ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

1. Trabajo de una fuerza: En mecánica, una fuerza F efectúa trabajo sobre una partícula sólo cuando ésta experimenta un desplazamiento en la dirección de la fuerza. Por ejemplo, considere la fuerza F que actúa sobre la partícula en la fig. Si la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria s desde la posición r hasta una nueva posición r’, el desplazamiento es entonces dr = r’ – r. La magnitud de dr es representada por ds, que es un segmento diferencial a lo largo de la trayectoria.

Si el ángulo entre las colas de dr y F es θ, entonces el trabajo dU que es realizado por F es una cantidad escalar definida mediante dU = F ds cos θ Por definición del producto punto, esta ecuación también puede ser escrita como dU = F.dr Trabajo de una fuerza variable. Si la partícula experimenta un desplazamiento finito a lo largo de su trayectoria desde r1 hasta r2 o de s1 a s2, el trabajo es determinado por integración. SI F se expresa como una función de posición, F – F(s), tenemos

Si la componente de trabajo de la fuerza Fcosθ, es graficada contra s, en esta ecuación la integral puede ser interpretada como el área bajo la curva desde la posición s 1 hasta la posición s2, la que representa el trabajo total:

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Trabajo de una fuerza constante que se mueve a lo largo de una línea recta.- Si la fuerza Fc tiene magnitud constante y actúa bajo un ángulo constante θ desde su trayectoria en línea recta, entonces la componente de Fc en la dirección del desplazamiento es Fc.Cos θ. El trabajo realizado por Fc, cuando la partícula es desplazada de s1 a s2 es determinado con la ecuación mostrada, en cuyo caso

o bien

Aquí el trabajo de Fc representa el área del rectángulo como se indica en la figura

2. Principio de trabajo y energía: Considere una partícula P en la figura mostrada, que en el instante considerado está localizada sobre la trayectoria como medida desde un sistema coordenado inercial.

Si la partícula tiene masa m y está sometida a un sistema de fuerzas externas representadas por la resultante FR = ΣF, entonces la ecuación de movimiento para la partícula en la dirección tangencial es ΣFt = mat. Al aplicar la ecuación cinemática at = v dv/ds e integrando ambos lados, suponiendo inicialmente que la partícula tiene una posición s = s1 y rapidez v = v1, y luego en s = s2, v = v2, obtenemos

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A partir de las ecuaciones el trabajo es definido mediante la ecuación:

Esta ecuación representa el principio del trabajo y la energía para la partícula. El término situado a la izquierda es la suma del trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre la partícula cuando ésta se mueve del punto 1 al punto 2. Los dos términos del lado derecho, definen la energía cinética final e inicial de la partícula, respectivamente. Estos términos son siempre escalares positivos. 3. Potencia y Eficiencia El término "poder" proporciona una base útil para eligiendo el tipo de motor o de la máquina que se requiere para hacer una cierta cantidad de trabajo en un momento dado. Por ejemplo, dos bombas pueden cada uno ser capaz de vaciar un depósito si se le da suficiente tiempo, sin embargo, la bomba que tiene la potencia más grande podrá completar el trabajo antes. La potencia generada por una máquina o un motor que realiza una cantidad de trabajo dU dentro del intervalo de tiempo dt es por lo tanto:

Si el trabajo dU es expresado por dU = F.dr, entonces también es posible escribir:

O bien

Por consiguiente, la potencia es un escalar, en donde la formulación v representa la velocidad del punto sobre el que actúa la fuerza F. Eficiencia: La eficiencia mecánica de una máquina se define como la razón de la salida de potencia útil producida por la máquina a la entrada de potencia suministrada a la máquina. Por consiguiente.

e

potencia de salida potencia de entrada

Si la energía aplicada a la máquina ocurre durante el mismo intervalo de tiempo en que es retirada, entonces la eficiencia puede ser expresada también en términos de la razón de salida de energía a entrada de energía; es decir,

e

energía de salida energía de entrada

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MATERIAL DE TRABAJO – MECÁNICA VECTORIAL PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 16 Tema: Energía y Cantidad de Movimiento Sección : …………………………..………………………... Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana

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INSTRUCCIONES: Resuelva cada ejercicio en grupo de 5 integrantes considerando su diagrama y proceso. Evite borrones. El orden influirá en su calificación. 1. La caja de 20 kg está sometida a una fuerza que tiene dirección constante y magnitud F = 100 N, donde s es medida en metros. Cuando s = 15 m, la caja se está moviendo hacia la derecha con rapidez de 8 m/s. Determine su rapidez cuando s = 25 m. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y el suelo es u k = 0,25.

2. Determine qué altura h puede alcanzar el carro de 200 kg sobre el plano inclinado curvo D si se lanza desde B con rapidez suficiente justo para alcanzar la parte superior del lazo C sin abandonar la vía. El radio de curvatura en C es ρc = 25 m

3. La bola de 0,5 kg de tamaño insignificante es disparada hacia arriba por la vía vertical circular usando el émbolo de resorte. El émbolo mantiene comprimido al resorte 0,08 m cuando s = 0. Determine qué tan lejos s debe ser jalado hacia atrás el émbolo y liberado de manera que la bola empiece a dejar la vía cuando θ = 135°.

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4. Un automóvil con masa de 2 Mg viaja hacia arriba por una pendiente de 7° con rapidez constante v = 100 km/h. Si la fricción mecánica y la resistencia del aire son despreciadas determine la potencia desarrollada por el motor si el automóvil tiene una eficiencia e = 0,65.

5. El elevador de 500 kg parte del reposo y viaja hacia arriba con aceleración constante a c = 2 m/s2. Determine la salida de potencia del motor M cuanto t = 3 s. Desprecie la masa de poleas y cable.

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ANEXOS

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Primera

Edición. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, S.A. Estados Unidos.  Riley W.F. Y Sturges L.D. (1995). Ingeniería Mecánica. Estática. Primera edición. Editorial Reverté, S.A. España.  Villareal Castro Genner, (2011), Estática, Problemas Resueltos. Primera edición. Lima-Perú.

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