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• Jerson Estela Saldaña

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5. ESTÁTICA 5.1 INTRODUCCIÓN La estática es la parte de la mecánica que estudia

el equilibrio de los

cuerpos. En ella se establecen las Condiciones que deben cumplir las fuerzas y los momentos de fuerzas (causas del movimiento) para garantizar el equilibrio. 5.2 MOMENTO DE FUERZA O TORQUE En general el movimiento de un cuerpo puede ser de traslación y/o rotación. La traslación se debe a que la fuerza resultante es diferente de cero, excepto el caso en que la fuerza resultante es cero y el cuerpo se mueve con velocidad constante pero, ¿Cuáles son las causas de las rotaciones? La respuesta es, los momentos de fuerzas. El momento de fuerza, M, es una magnitud vectorial

que describe

la

tendencia de un cuerpo a rotar. Consideremos la varilla de peso despreciable que se muestra en la figura 5.1 y que puede rotar alrededor del pivote ubicado en el punto fijo O. Al aplicar la fuerza F en el punto P, La varilla rotará en el sentido anti horario. F

F F Sen 

O

r

Fig.5.1

 P



r

F Cos  O

b Fig.5.2

P Línea de acción de F

El vector momento de fuerza se define mediante el producto vectorial siguiente: M=rxF

(5.1)

Aquí, r es el vector de posición, respecto al punto O, del punto de aplicación (P) de la fuerza F. El módulo del vector momento de fuerza, por definición del producto vectorial es: M= F r Sen 

(5.2)

Dónde: F, es el módulo de fuerza aplicada, r, el módulo del vector de posición , r, del punto de aplicación de F y , el ángulo que forman las direcciones de los vectores r y F EL MÓDULO DEL MOMENTO DE FUERZA también lo podemos expresar así: M=Fb

(5.3)

Donde b se denomina brazo de palanca de la fuerza F. Note qué:

b = r Sen 

Luego, el brazo de palanca es la distancia perpendicular desde el punto de rotación, O, hasta la línea de acción de la fuerza, ver Fig.5.2. LA DIRECCIÓN Y SENTIDO DEL VECTOR MOMENTO. Según el álgebra vectorial: -

La dirección es perpendicular al plano de rotación (que definen los vectores

r y F). Así, si los Vectores r y F están en el plano XY, entonces M estará sobre el eje Z. -

Si la rotación es anti horaria y el plano de rotación es XY, el sentido de M es

+Z. y si es horaria, el sentido es -Z.

En la Fig. 5.3 se muestra la orientación del vector momento de fuerza, de acuerdo a la convención establecida. Z

Z Y

F

Y



r

M

r

F X

O



X

O M

a) Rotación anti horaria o positiva

b) Rotación horaria o negativa

Fig. 5.3. Dirección y sentido del vector M para la rotación de la varilla en el plano XY

En el S.I. el momento de fuerza se expresa en unidades de fuerza por longitud: N.m. 5.3 MOMENTO RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES Un caso simple de un cuerpo que tiende a rotar bajo la acción de dos o más fuerzas se presenta cuando las fuerzas son coplanares y el plano de rotación coincide con el plano que definen las fuerzas. En este caso, los momentos individuales tienen la misma dirección pero sus sentidos pueden o no ser iguales. El momento resultante lo determinamos así: MR = M i

(5.4)

En la ec. (5.4), la sumatoria es algebraica y el signo de cada momento es según la convención ya expuesta. Consideremos, por ejemplo, la varilla que se muestra en la Fig. 5.4.

F2

F1

2

1

r1 r2

O

F3

3

r3

Fig. 5.4

El momento resultante, haciendo uso de la ecuación (5.4) es: MR = + M 1 – M 2 + M 3 Note qué, es necesario conocer los módulos de los momentos individuales para saber si la rotación resultante es horaria o anti horaria. 5.4 CONDICIONES DE EQUILIBRIO Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio se deben cumplir las siguientes condiciones: 1° “La resultante de todas las fuerzas que sobre él actúan debe ser cero”, esto es:  Fi = 0

(5.5)

En general, si la fuerza resultante es cero, el cuerpo no se trasladará (estará en reposo), a menos que lo haga con velocidad constante, es decir, con M.R.U. 2° “El momento resultante del sistema de fuerzas que sobre el cuerpo actúa debe ser cero”, así: Mi = 0

(5.6)

En general, si el momento resultante es cero el cuerpo no rotará, excepto el caso particular en que el momento resultante es cero y el cuerpo rota con velocidad angular constante, es decir, con un M.C.U., como el caso de la Luna en su movimiento alrededor de la Tierra.

En el caso particular que sobre un cuerpo actúan tres fuerzas, entonces con ellas se puede construir un triángulo de fuerzas, en concordancia con la ec. (5.5), como se ilustra en la Fig.5.5 F2 F3

F3

 F2



F1

 F1

Fig. 5.5

Luego, si se conocen los ángulos interiores en el triángulo de fuerza aplicando la ley de senos, obtenemos: F F1 F  2  3 . senα senβ senγ

(5.7)

5.5 COMPOSICIÓN DE FUERZAS PARALELAS Consideremos un sistema de fuerzas paralelas a un vector unitario u. Luego, Fi = Fi u, donde Fi es positivo o negativo, dependiendo de si el sentido de Fi es el mismo que el de u u opuesto al de u. La suma vectorial es R = ∑Fi = ∑Fi u = (∑Fi) u

(5.8)

Y por tanto también paralelo a u. La magnitud de la resultante es entonces R = ∑Fi El torque resultante o suma vectorial de los torques es M = ∑ri x Fi = ∑ri x Fi u = (∑ri Fi) x u

(5.9)

La cual es perpendicular a u y por tanto también perpendicular a R. Por éste motivo, colocando R en la posición apropiada rc, es posible igualar su torque al torque resultante M, esto es, rc x R = τ. Introduciendo las expresiones de R y M, podemos escribir

rC x (∑Fi) u = (∑ri Fi) x u (∑Fi) rC x u = (∑ri Fi) x u De donde, rc 

 ri Fi  r1F1  r2F2  ... .. F1  F2  ........  Fi

(5.10)

El punto definido por rc se denomina el centro de las fuerzas paralelas. Llegamos a la conclusión de que un sistema de fuerzas paralelas puede reducirse a una sola fuerza, paralela a todas las fuerzas, dada por la ec. (5.8), y actuando en el punto dado por la ec. (5.10). La ecuación vectorial (5.10) puede separarse en sus componentes. xc 

 x i Fi  x1F1  x 2F2  ..... F1  F2  ........  Fi

yc 

 yi Fi   Fi

zc 

 zi Fi  z1F1  z 2F2  ..... F1  F2  ........  Fi

y1F1  y 2 F2  ..... F1  F2  ........

Donde, xc, yc, zc, son las coordenadas del punto definido por rc. 5.6 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASA Cada partícula sobre la cuál actúa el campo gravitacional está sometida a la acción de una fuerza P = mg llamada peso. La dirección de ésta fuerza, si se prolonga, pasa por el centro de la Tierra. Aunque los pesos se intersecan en el centro de la Tierra, pueden considerase paralelos cuando corresponden a partículas que constituyen un cuerpo de dimensiones relativamente pequeñas. Por tanto el peso resultante de un cuerpo

está dado por P = ∑mi g, extendiéndose la suma a todas las partículas que constituyen el cuerpo, y está aplicado en un punto dado por rc 

 ri mig  mi g

(5.11)

El punto definido por la ec. (5.11) se denomina centro de gravedad. Si en la expresión anterior se simplifica la aceleración de la gravedad, obtenemos rCM 

 ri mi  mi

(5.12)

El punto definido por la ec. (5.12) se denomina centro de masa. Las coordenadas del centro de masa son x CM 

 x imi ;  mi

yCM 

 yi m i ;  mi

z CM 

 z i mi  mi

(5.13)

Note qué, de acuerdo a la definición, el centro de gravedad puede o no estar ubicado dentro del cuerpo (compare los centros de gravedad de un disco y de un anillo). Si consideramos que las fuerzas debido a la atracción gravitacional no son paralelas y las dimensiones del cuerpo son grandes, el centro de gravedad y el centro de masa difieren ligeramente. Consideremos un cuerpo compuesto de un gran número de partículas, muy compacto, podemos suponer que tiene una estructura continua. Si ρ es su densidad en cada punto, podemos dividir el volumen en elementos de volumen dV , y la masa en cada uno de éstos será dm = ρ dV. Luego, cuando reemplazamos las sumas por integrales en las ecs. (5.13), las coordenadas del centro de masa son x CM 

  x dV ;   dV

y CM 

  y dV ;   dV

z CM 

  z dV   dV

(5.14)

Si el cuerpo es homogéneo, ρ es constante y puede simplificarse en las ecs, (5.14)

x CM 

 x dV ;  dV

y CM 



y dV

 dV

;

z CM 

 z dV  dV

(5.15)

En éste caso el centro de masa está determinado exclusivamente por la geometría del cuerpo. Cuando el cuerpo homogéneo tiene alguna simetría, el centro de masa coincide con el centro de simetría. Ejemplo 5.1 En la figura, el boque de peso P se mantiene en equilibrio cuando se aplica una fuerza F = 500 N en el punto B del sistema de cables. Determinar los valores de las tensiones de los cables y el peso P. D A

20° B

10°

C F P

Solución: Del D.C.L. del punto B: TBA

F

10° F

TBC

TBA 10° TBC

Aplicando ley de Senos:

TBA F  ; Sen90 Sen10

TBC F  Sen80 Sen10

Reemplazando valores y resolviendo: TBA = 2879 N; Del D.C.L. del punto C:

TBC = TCB = 2835 N

TCD

TCD P

TCB

20°

20° TCB

P Aplicando ley de Senos:

TCB P  ; Sen20 Sen70

TCD P  Sen90 Sen20

Reemplazando valores y resolviendo: P = 7789 N; TCD = 8289 N

Ejemplo 5.2 En la figura se muestra la barra AB, de masa m = 4 Kg y longitud L = 2 m, la cual se encuentra en equilibrio apoyada en el borde de un soporte a 0,5 m de su extremo A y mediante un cable unido a su extremo B. Del extremo A pende un cuerpo de masa m1 = 6 Kg. Determinar la tensión del cable y la fuerza B

de rozamiento en el apoyo. 30°

C

30°

A

B Fcon m1

Solución:

Del D.C.L. de la barra: A TA = m1g

30°

c.g. C

30°

TB mg

TB Cos30°

B TB Sen30°

N f C

mg Cos30° mg Sen30°

A m1g Sen30°

30°

m1g Cos30°

Aplicando la 1° condición de equilibrio en las direcciones de la barra y normal a la barra: f – (m1+ m) g Sen30° - TB Cos30° = 0

(a)

Aplicando la 2° condición de equilibrio, respecto al punto C: (m1- m) g Cos30° (0,5) - TB Sen30° (1,5) = 0

(b)

Resolviendo (b): TB = 11,3 N Reemplazando el valor de la tensión en (a): f = 58,8 N

Ejemplo 5.3 En la figura, la barra homogénea AB de peso P = 300 N y Longitud L, se apoya sobre dos superficies lisas. La barra se mantiene en equilibrio en la posición que se muestra por la acción de un resorte unido a su extremo B. La constante elástica del resorte es K = 500 N/m. Determinar el alargamiento del muelle.

Solución: Del D.C.L. de la barra.

De la primera condición de equilibrio: F i = 0

30°

NA + F + NB + P = 0 En la dirección Horizontal: F Cos60° - NB Cos30° = 0

(a)

En la dirección vertical: NA + F Sen60°+ NB Sen30°- P = 0

(b)

Aplicando la segunda condición de equilibrio, respecto al punto B: τ i = 0 P (L/2) Cos30° - NA (L) Cos30° = 0 NA = P/2

(c)

Resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas (a), (b), y (c), obtenemos: F = (P/2) Sen60°= 130 N Luego, x = F/K = 130/500 = 0,26 m

Ejemplo 5.4 Una barra homogénea de peso P y longitud L está en equilibrio en una cavidad semiesférica lisa de radio R tal como se muestra en la figura adjunta. Si en la posición que se muestra la barra está en equilibrio, determinar el ángulo α, si L = 3R.

B C

O

α

R

A

Solución: Del D.C.L. de la barra y de la geometría del sistema:

B α c.g.

NA

C

P

NC

90+α

NA

NC

α

2α

A P

B O R

α α

A

R

C

α

Aplicando Ley de senos:

NA P P   Sen Sen(90   ) Cos NC NC P   Cos Sen(90 - 2 ) Cos 2

(a) (b)

De la 2° condición de equilibrio, tomando torques respecto al punto A: NC 2Rcosα – P (L/2) Cosα = 0; L = 3R NC 2Rcosα – P (3R/2) Cosα = 0

(c)

Resolviendo el sistema de ecuaciones (a), (b) y (c), obtenemos: NC = 3P/4; Cos2α = (3/4) Cosα 8 Cos2α - 3Cosα - 4 = 0; α = 23,2° Ejemplo 5.5. En la figura, una persona de peso Q = 720 N sube sobre un tablón homogéneo de peso P = 284 N. Si el coeficiente de rozamiento en A y C es μ = 0,25, determinar la distancia máxima, s, a la que puede subir la persona a lo largo del tablón sin que éste se deslice. El peso del tablón se aplica en el centro de gravedad G del tablón.

Solución: Del D.C.L. del tablón y de la geometría del sistema, asumiendo que la máxima distancia que la persona asciende es s = AD: Fcon C= RC

Q

B C

D

G

Fcon A= RA A

α

P

α

Aplicando la 2° condición de equilibrio respecto al punto A: N C AC - Q s Cosα - P AG Cos  0 s

NC P AC AG Q Cos Q

(a)

De la ley de senos, aplicada al triángulo de fuerzas formado por los vectores P+Q y RA + RC, ver figura,

Note que: Tanα = (1,8/2,4)= 0,75 Luego, α = 36,87° Tanθ = 0,25, θ= 14,03° RC PQ   R C  405,66 N Sen 14,03 Sen 143,13 RC

NC 

1  2

 N C  393,55 N

Reemplazando éstos valores en (a), obtenemos: s = 1,34 m

Ejemplo 5.6 Sobre una barra de 40 cm de longitud, se aplica el sistema de fuerzas que se muestra en la figura. Hallar la resultante de las fuerzas que actúan en la barra y su punto de aplicación. F1 = 200 N

Y

8 cm

F3 = 300 N

12 cm

C

O

X F2 = 100 N

La resultante es R = ∑Fi R = 200 N – 100 N + 300 N = 400 N

Respecto al origen, el punto de aplicación de la resultante lo encontramos haciendo uso de la ec. (5.10)

xc 

 x i Fi  x1F1  x 2F2  ..... F1  F2  ........  Fi

xc 

(8 cm) (200 N)  (20 cm) (-100 N)  (40 cm) (300 N)   29 cm 400 N

El punto considerado como origen puede ser cualquiera. Para demostrarlo, tomemos el punto P como origen. Entonces

xc 

(-12 cm) (200 N)  (0 cm) (-100 N)  ( 20 cm) (300 N)   9 cm 400 N

Este punto es exactamente el mismo que el anterior, ya que OC = 20 cm.

5.7 PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Los bloques de la figura están en movimiento inminente, si entre los bloques y la superficie horizontal e inclinada no hay fricción; encuentre el coeficiente de fricción estática entre los bloques m1 y m2. Si m3 = 2m1 y θ = 37º

2.

Una esfera de 10√3 kg permanece en la posición que indica la gráfica. Determinar la fuerza que ejerce la superficie lisa, inclinada, sobre la esfera.

3.

Un niño hace volar una cometa de 25g de masa y que soporta una fuerza debido al empuje del aire. Si el niño sostiene a la cometa con una fuerza de 1N, hallar la magnitud de fuerza del aire sobre está

4.

Calcular la tensión en la cuerda A, del sistema en equilibrio mostrado en la figura, si m=160 kg y M= 70 kg. El peso de la barra es despreciable.

5.

El bloque de 30 kg, sube con rapidez constante por acción de la fuerza variable F, desde la posición mostrada. Si la máxima tensión que soporta la cuerda es 250N y h = 1,6m. Determinar la máxima altura (en m) que, respecto de A, se puede elevar la polea que sostiene el bloque.

6.

Mediante la fuerza, F, se empuja lentamente la cuña A, de masa despreciable, y el bloque B de 800 Kg se mueve horizontalmente. Si el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies en contacto es 0,5, la componente horizontal de la fuerza de reacción del bloque sobre la cuña es: F 37º

800 Kg

A B

7.

Se utiliza una cuña de masa despreciable para elevar lentamente un armario de 240 kg de masa como se muestra en la figura. El coeficiente de rozamiento entre todas las superficies es 0,5. Determinar el valor de la componente vertical de la fuerza de reacción del armario sobre la cuña y la fuerza mínima horizontal F que hay que aplicar para introducir la cuña.

Armario

37º F

8.

Determine la tensión en la cuerda que sostiene a la esfera homogénea de 600N de peso, la cual se encuentra en equilibrio. El ángulo entre el plano inclinado liso y la vertical es 74º. g

74°

=0

9.

Una esfera de 800 N de peso reposa sobre dos planos ortogonales como se indica en la figura. Determinar las reacciones en cada uno de los planos sobre la esfera.

10. Dos cilindros de masas mB = 2mA y radios RA y RB se encuentran en equilibrio sobre dos planos inclinados lisos como se muestra en la figura. Encontrar el ángulo β que forma con la horizontal la recta que pasa por los centros de los cilindros. Considere θ=37º, φ=53º. B A β θ

φ

11. El sistema mostrado se encuentra en equilibrio. Si las esferas A y B son homogéneas de 8 kg y 30 Kg. respectivamente, determine el módulo de la fuerza de reacción que ejerce la esfera B al plano inclinado.

12. El sistema mostrado se encuentra en equilibrio, sabiendo que el semicilindro “A” se encuentra a punto de resbalar, calcule el coeficiente de rozamiento (s) entre el semicilindro “A” y el piso horizontal. A y B poseen igual masa.

13. En la figura se muestra un bloque de 4 kg que se encuentra en equilibrio. Determine cuánto está deformado el resorte y cuánto es la tensión en la cuerda (1). Cada una de las poleas móviles tiene una masa de 1 Kg. Considere K = 20 N/cm y desprecie todo efecto de fricción.

K (1 )

4K g

14. Halle la deformación del muelle (K = 40 N/m) de tal forma que los cilindros lisos estén en reposo, la masa de cada cilindro es 0,5 Kg.

127°

K

15. La esfera A, de 160 N de peso, y el bloque B se encuentran en equilibrio en la posición mostrada. Si se retira lentamente la esfera. ¿Qué distancia vertical ascenderá el bloque B? La constante elástica del resorte es K=2000N/m.

B

B

A

30º

16. La barra mostrada de peso despreciable está en equilibrio. Calcular el peso de las cargas P, si la longitud natural del resorte es I 0 = 15 cm, y su constante de elasticidad es k = 4N/cm. k P

A

10cm

30° B

a

a

a P

17. Una placa cuadrada de peso despreciable tiene 10 m en cada lado, sobre ella actúan 4 fuerzas como se puede ver en el diagrama, halle el momento de fuerza en el instante mostrado, alrededor de la articulación:

6N 4N

5N

37º

8N

18. Sobre un cuerpo actúan el siguiente sistema de fuerzas: F1 = 80 i N, F2 = (30j + 40k) N y F3 = (- 60i + 20j –30k) N. Determinar a) la fuerza resultante del sistema y b) el torque resultante del sistema de fuerzas con respecto al origen, cuando se aplica en el punto (4, 3, 5) m. 19. Un dinamómetro se ha instalado en el cable que sujeta la barra uniforme de 60 N de peso. Halle la lectura de este dinamómetro. 30° Dinamómetro 80 N

60°

20. En la figura se muestra una placa rectangular homogénea, unida a una cuerda vertical. Si la placa permanece en reposo, determinar el ángulo θ. (AB = 0,6 m; BC = 0,8; BN = 0,1 m). B

N

A

C θ D

21. Considerando que el coeficiente de rozamiento estático entre las cuñas es 4/3, determine hasta qué ángulo θ debe inclinarse la cuña más grande de tal manera que la pequeña no resbale. F 45º

45º θ .

22. En la figura se muestra una placa de peso despreciable semicircular sobre un plano horizontal. Si sobre ella actúan las fuerzas F 1 y F2, tal como se muestra, determinar el momento resultante sobre ella respecto de la articulación. El radio de la placa es R = 50cm. F1 = 20 N

30º

.

120º F2 = 30 N

23. Un cilindro de 13cm de radio es jalado por una cuerda según el gráfico. Si el peso del cilindro es 90 N, ¿Con qué fuerza mínima se debe tirar de la cuerda para que el cilindro ascienda por el escalón de 8 cm de altura.

24. Si el sistema mostrado en la figura consta de dos barras, AB y CD de 40N y 30N de peso respectivamente. Se sabe que la tensión en la cuerda "2" es el triple que la tensión en la cuerda "3". Hallar la tensión en la cuerda "1". “2” A

“1”

B “3”

C

D

25. Una barra no uniforme está en posición horizontal suspendida por cables de peso despreciable; si L= 50 cm. Hallar la posición del centro de gravedad de la barra medida desde el extremo “A”.

37°

53°

L A

B

26. Una barra homogénea AB de longitud L y peso W se apoya sobre el punto A de una pared lisa inclinada un ángulo φ y sobre el punto B de un suelo rugoso. En equilibrio la barra forma un ángulo β con el suelo. Determinar la fuerza, f, de rozamiento en el punto de contacto con el suelo y el coeficiente de rozamiento en B. Considere: W = 5 N, φ = 60º y β= 30º. A f B

β

φ

27. La barra homogénea, mostrada en la figura, está sujeta a una cuerda de masa despreciable (en las barras homogéneas el peso es directamente proporcional a la longitud). El ángulo, , que determina la posición de equilibrio, es:

º 2L

3L 

28. La barra de la figura tiene masa M y se encuentra apoyada sobre una pared vertical y el piso. En su extremo inferior está conectada a un muelle de constante elástica k que lo sujeta a la pared. Si cuando la barra se encuentra en equilibrio, el muelle presenta una elongación x, hallar la expresión correcta para obtener el valor del ángulo, θ, que forma la barra con la horizontal en la posición de equilibrio.

θ

29. Los módulos de las fuerzas indicadas en la figura son todos iguales a 1N y el lado del cubo mide 1 m. El momento resultante respecto al punto P (3,4,2) m, es:

30. Una placa rectangular uniforme de 400 N está suspendida por medio de tres alambres verticales, como se muestra en la figura. Las tensiones en los alambres (en N), son respectivamente:

31. Determinar la tensión de cada cuerda de la figura siendo P = 1 0000 N. El cuadrado ABCD, colocado horizontalmente, tiene lado 1 m y las cuerdas miden 1 m de longitud cada una.

32. Dos bloques de igual peso W = 50 N, pueden deslizarse sobre una plataforma horizontal, el coeficiente de rozamiento entre los bloques y la plataforma es s = 0,5. Una cuerda de longitud l = 20 m está suspendida entre los bloques la cual lleva un peso Q = 60 N en su punto medio. ¿Hasta qué distancia podrán separarse los bloques para que el sistema permanezca aún en equilibrio?

33. El sistema mostrado consta de una barra uniforme AB de 400 N de peso y 4 m de longitud, cuyo extremo libre lleva soldado una esferita metálica B de 600 N de peso. En la figura M0 es el punto medio de la barra. El sistema se encuentra en equilibrio por acción del resorte cuya longitud natural es de 0,8 m. Asumiendo que el resorte permanece siempre en posición vertical, determinar la constante elástica k del resorte en 10 3 N/m.

34. Una lámina cuadrada homogénea pesa 20√7 N, está articulada en “O” y se apoya en una pared vertical lisa. Halle la reacción en la articulación.  = 15º.

 O

35. El coche mostrado se desplaza con velocidad constante de tal modo que el resorte no altera su deformación. El viento le ejerce fuerza en dirección perpendicular al techo AB mientras que dicho techo ejerce a la esfera (de 6 kg) una fuerza horizontal de 40N; determine el módulo de la fuerza elástica. B

A

53º

V

36. Se tienen dos bloques de 100 N de peso cada uno, unidos por una cuerda flexible y apoyada sobre dos planos horizontales, tal como se muestra en la figura. Hallar la magnitud y dirección de la fuerza mínima “P” que inicie el movimiento de este sistema. Suponga que e = 0,3 en ambos planos. P  B

10 

3 A