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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - SEDE SAN IGNACIO --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Distribuciones de Probabilidad Variable Aleatoría Continúa, Distribución Normal

La distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana, es la distribución de probabilidad que con más frecuencia aparece en estadística y teoría de probabilidades. Esto se debe a dos razones fundamentalmente: Su función de densidad es simétrica y con forma de campana, lo que favorece su aplicación como modelo a gran número de variables estadísticas. Es, además, límite de otras distribuciones y aparece relacionada con multitud de resultados ligados a la teoría de las probabilidades gracias a sus propiedades matemáticas. Como sucede en todas las distribuciones continuas de probabilidad, un valor de probabilidad de una variable aleatoria continua sólo puede determinarse para un intervalo de valores. La altura de la función de densidad, o curva de probabilidad, de una variable con distribución normal está dada por:

0 Ð\Ñ =

" È#15 #

.Ñ ’ Ð\ “ #5# #

/

donde 1 : es la constante 3,1416

. : media de la distribución ________________________________________________________________________ Distribución Normal Dra. Ing. Teresa Brand Domínguez.

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5 : desviación estandar de la distribución Propiedad : El área encerrada bajo la curva normal R ÐBß 5 Ñ siempre es " Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. La importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal: Caracteres morfológicos de individuos Caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco Caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos Caracteres psicológicos como el cociente intelectual Errores cometidos al medir ciertas magnitudes Valores estadísticos muestrales como la media I La distribución probabilistica normal es una distribución continua, con las siguientes caracteristicas: 1.- Es acampanada, donde la media, mediana y moda son iguales 2.- es simétrica 3.- es asintótica, lo que significa que la curva se eproxima al eje x, pero nunca lo toca. 4.- queda descrita completamente por la media y la desviación estándar. 5.- existe una familia de distribuciones normales, cada vez que cambien la media o la desviación estándar, se origina una nueva distribución normal. OBS.- Se consideran tres áreas bajo la curva normal que se usan ampliamente - aproximadamente 68% del área bajo la curva normal está dentro de más una y menos una desviaciones estándares respecto de la media (. „ 15 ) - aproximadamente el 95% del área bajo la curva normal está dentro de más dos y menos dos desviaciones estándares respecto de la media (. „ 25 ) - prácticamente toda el área (99.7%) bajo la curva normal está dentro de tres desviaciones estándares respecto de la media (a uno y otro lado del centro), lo cual se indica por . „ 25 .

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.

--I---------I---------I---------I---------I---------I---------I------- x .-35

.-25

.-15

.

.+15

.+25

.+35

- Ä 68,26 % Ã ----------- Ä 95,44 % Ã --------------------------------- Ä 99,74 % Ã ----------------------

II.- la distribución normal estandar es un caso especial del tipo normal 1.- tiene una media 0.00 y una desviación estandar 1.00 2.- Como se dijo cualquier distribución normal puede convertirse a una tipo normal estándar mediante la siguiente fórmula: z=

B. 5

--I---------I---------I---------I---------I---------I---------I------- x .-35

.-25

.-15

.

.+15

.+25

.+35

se convierte en --I---------I---------I---------I---------I---------I---------I------- z -3 -2 -1 0 1 2 3 Ä 68,26 % Ã ----------- Ä 95,44 % Ã --------------------------------- Ä 99,74 % Ã ----------------------

Puesto que toda diferente combinación de . y 5 generaría una distribución normal de probabilidad diferente (aunque siempre simétrica y mesocúrtica), las tablas de probabilidad normales se basan en una distribución en particular: la distribución normal estandar. Ësta es la distribución de probabilidad con . = 0 y 5 = 1, R Ð!ß "Ñ. Todo valor \ procedente de una población con distribución normal puede convertirse en el equivalente valor normal estandar ^ mediante la fórmula. ^ œ

\. 5

Luego su función de densidad asociada será 0 Ð\Ñ =

" È#1

B#

/ #

donde 1 : es la constante 3,1416 . : media de la distribución

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*Asimetría: Índice que expresa el grado de asimetría de la distribución. La asimetría positiva indica que los valores más extremos se encuentran por encima de la media. La asimetría negativa indica que los valores más extremos se encuentran por debajo de la media. Los índices de asimetría próximos a cero indican simetría. Los resultados también recogen el error típico del índice de asimetría (es decir la desviación típica de la distribución muestral del índice de asimetría), el cual permite tipificar el valor del índice de asimetría e interpretando como una puntuación z con distribución aproximadamente N(0,1), índices tipificados mayores que 1,96 en valor absoluto permiten afirmar que existe asimetría ( positiva o negativa, dependiendo del signo del índice). Por ejemplo en el dibujo tenemos; • para la curva A ; la asimetría > 0 : Asimetría positiva • para la curva B; la asimetría = 0 :Simetría • para la curva C; la asimetría < 0 : Asimetría negativa Gráfico normal 1.- Gráfico Asimetría

Fuente: Análisis de datos;

*Curtosis: índice que expresa el grado en que una distribución acumula casos en sus colas en comparación con los casos acumulados en las colas de una distribución normal con la misma varianza. La curtosis positiva indica que en las colas de la distribución normal hay acumulados más casos que en las colas de una distribución normal (lo cual suele coincidir con distribuciones más puntiagudas que una distribución normal). Los índices de curtosis próximos a cero indican semejanza con la curva normal. Los resultados también recogen el error típico del índice de curtosis, el cual puede utilizarse para tipificar el valor del índice de curtosis y poder interpretarlo como una puntuación z distribuida aproximadamente N(0,1). Índices mayores que 1,96 en valor absoluto permiten afirmar que la distribución se aleja de la distribución normal. Por ejemplo en el dibujo tenemos: • para la curva A ; curtosis > 0 : distribución leptocúrtica • para la curva B; curtosis = 0 : distribución mesocúrtica ________________________________________________________________________ • para la curva C; curtosis < 0 : distribución platicúrtica Distribución Normal Dra. Ing. Teresa Brand Domínguez.

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Ejemplo.- (Ver Tabla1.-) la media de un grupo de ingresos mensuales con distribución norma,l para un gran conjunto de técnicos de nivel medio en la gran mineria en Chile, es equivalente a $1.000.000, la desviación estandar es $ 100.000. a)¿ Cuál es el valor de z para un ingreso de $1.100.000? y para uno de $900.000? b) ¿Cuál es la probabilidad que un técnico tomado al azar tenga un ingreso entre $1.000.000 y $1.100.000 ambos inclusive c) ¿Cuál es la probabilidad que tenga un sueldo entre $900.000 y $1.000.000 inclusive. d) ¿Cuál es la probabilidad que un técnico tomado al azar tenga un ingreso superior a $1.100.000 e) ¿Cual es la probabilidad que tenga un ingreso entre $950.000 y $1.100.000 a)

\ œ 1.100.000 ^ œ

^œ

\ œ 900.000

\. 5

"."!!.000".!!!.000 "!!.000

^ œ œ "Þ!!

^ œ

\. 5

*!!.000".!!!.000 "!!.000

œ  "Þ!!

El valor ^ de 1.00 indica que un ingreso mensual de $1.100.000 para un jefe de nivel intermedio, esta una desviación por encima de la media, mientras que un valor de ^ de -1.00 indica que un ingreso de $900.000 está una desviación estandar por debajo de la media. observe que ambos ingresos estan a la misma distancia de la media. b) ^ =1 entonces el área bajo la curva desde 0 hasta 1.0 , entonces T Ð^ =1Ñ) = 0.3413 ( ó el área bajo la curva entre $1.000.000 y $ 1.100.000 es 0.3413); es decir, el 34.13% de los ingresos mensuales están entre $1.000.000 y $1.100.000 o bien la prob de que tenga un sueldo entre $1.000.000 y $1.100.000 es del 34,13%

c) Si ^ œ -1 entonces el área bajo la curva desde -1.0 hasta 0 es 0.3413( ó el área bajo la curva entre $900.000 y $ 1.000.000 es 0.3413) y además ^ œ 1 entonces el área bajo la curva desde 0 hasta 1.0 , entonces T Ð^ œ "Ñ œ 0.3413 ( ó el área bajo la curva entre $1.000.000 y $ 1.100.000; luego el 68,26% de los ingresos mensuales están entre $900.000 y $1.100.000. d) La probabilidad esta dada por 0.5000 - 0.3413 = 0.1587 la probabilidad de que tenga un sueldo mayor que $1.100.000 es del 15,87%

e) \ = 950.000 ________________________________________________________________________ Distribución Normal Dra. Ing. Teresa Brand Domínguez.

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z=

B. 5

".!!!.000 ^ œ 950.000 œ - "# ; T Ð^ œ "# Ñ = 0.1915 "!!.000 Luego la probabilidad que tenga un sueldo entre $950.000 y 1.100.000 es de T Ð^ œ "Ñ - T Ð^ œ "# Ñ = 0.3413 - 0.1915 = 0.2498, es decir del 24,98%

3.- estandarizando una distribución normal, se puede apreciar la distancia desde la media en unidades de la desviación estándar Tabla 1.- Area bajo la curva normal estándar ^ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1

0.00 0.0000 0.0398 0.0793 0.1179 0.1554 0.1915 0.2257 0.2580 0.2881 0.3159 0.3413 0.3643 0.3849 0.4032 0.4192 0.4332 0.4452 0.4554 0.4641 0.4713 0.4772 0.4821

0.01 0.0040 0.0438 0.0832 0.1217 0.1591 0.1950 0.2291 0.2612 0.2910 0.3186 0.3438 0.3665 0.3869 0.4049 0.4207 0.4345 0.4463 0.4564 0.4649 0.4719 0.4778 0.4826

0.02 0.0080 0.0478 0.0871 0.1255 0.1628 0.1985 0.2324 0.2642 0.2939 0.3212 0.3461 0.3686 0.3888 0.4066 0.4222 0.4357 0.4474 0.4573 0.4656 0.4726 0.4783 0.4830

0.03 0.0120 0.0517 0.0910 0.1293 0.1664 0.2019 0.2357 0.2673 0.2967 0.3238 0.3485 0.3708 0.3907 0.4082 0.4236 0.4370 0.4484 0.4582 0.4664 0.4732 0.4788 0.4834

0.04 0.0160 0.0557 0.0948 0.1331 0.1700 0.2054 0.2389 0.2704 0.2995 0.3264 0.3508 0.3729 0.3925 0.4099 0.4251 0.4382 0.4495 0.4591 0.4671 0.4738 0.4793 0.4838

0.05 0.0199 0.0596 0.0987 0.1368 0.1736 0.2088 0.2422 0.2734 0.3023 0.3289 0.3531 0.3749 0.3944 0.4115 0.4265 0.4394 0.4505 0.4599 0.4678 0.4744 0.4798 0.4842

0.06 0.0239 0.0636 0.1026 0.1406 0.1772 0.2123 0.2454 0.2764 0.3051 0.3315 0.3554 0.3770 0.3962 0.4131 0.4279 0.4406 0.4515 0.4608 0.4686 0.4750 0.4803 0.4846

0.07 0.0279 0.0675 0.1064 0.1443 0.1808 0.2157 0.2486 0.2794 0.3078 0.3340 0.3577 0.3790 0.3980 0.4147 0.4292 0.4418 0.4525 0.4616 0.4693 0.4756 0.4808 0.4850

0.08 0.0319 0.0714 0.1103 0.1480 0.1844 0.2190 0.2518 0.2823 0.3106 0.3365 0.3599 0.3810 0.3997 0.4162 0.4306 0.4429 0.4535 0.4525 0.4699 0.4761 0.4812 0.4854

0.09 0.0359 0.0753 0.1141 0.1517 0.1879 0.2224 0.2549 0.2852 0.3133 0.3389 0.3621 0.3830 0.4014 0.4177 0.4319 0.4441 0.4545 0.4633 0.4706 0.4767 0.4817 0.4857

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.5 4.0

0.4861 0.4893 0.4918 0.4938 0.4953 0.4965 0.4974 0.4981 0.4987 0.4997 0.4999

0.4864 0.4896 0.4920 0.4940 0.4955 0.4966 0.4975 0.4982

0.4868 0.4898 0.4922 0.4941 0.4956 0.4967 0.4976 0.4983

0.4871 0.4901 0.4925 0.4943 0.4957 0.4968 0.4977 0.4983

0.4875 0.4904 0.4927 0.4945 0.4959 0.4969 0.4977 0.4984

0.4878 0.4906 0.4929 0.4946 0.4960 0.4970 0.4978 0.4984

0.4881 0.4909 0.4931 0.4948 0.4961 0.4971 0.4979 0.4985

0.4884 0.4911 0.4932 0.4949 0.4962 0.4972 0.4979 0.4985

0.4887 0.4913 0.4934 0.4951 0.4963 0.4973 0.4980 0.4985

0.4890 0.4916 0.4936 0.4952 0.4964 0.4974 0.4981 0.4986

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OBS.- Estos conceptos pueden expresarse de manera algo distinta: el área bajo la curva normal dentro de más y menos una desviación estándar respecto de la media, es 0.6826. El área dentro de dos desviaciones estandares respecto de la media es 0.9544, el área dentro de tres desviaciones estándares respecto de la media vale 0.9974 y el área total bajo la curva normal es 1.0000

3.- estandarizando una distribución normal, se puede apreciar la distancia desde la media en unidades de la desviación estándar

III.- La distribución normal puede utilizarse para aproximar una distribución binomial , bajo ciertas condiciones. 1.-

8.1 y 8.Ð"  1Ñ deben ser ambos por lo menos iguales a 5, 1 es la probabilidad de de un éxito n número de observaciones

2.- El factor de corrección por continuidad , de 0.5 sirve para ampliar en media unidad el valor continuo x, en ambas direcciones. Esta corrección compensa estimar una distribución discreta por medio de una distribución continua.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Una población normal tiene una media de 50.0 y desviación estandar de 4.0. a) Calcule la probabilidad de un valor entre 44.0 y 55.0 b) Evalue la probabilidad de uno mayor que 55.0 c) obtenga la probabilidad de uno mayor que 55.0 d) determine el valor de x abajo del cual ocurrirá el 95% de los valores. 2.- Una máquina expendedora de refrescos se ajusta para servir 250cc por vaso. la desviación estandar es 10 cc. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina sirva : a) entre 260 y 280cc de refresco? b) 280cc o más? c) entre 230 y 280cc? d) ¿Cuánto refresco sirve en el máximo 1% de las bebidas? 3.- La radio" W" con distinto formato de programación que la radio "EL Conquistador" , halla que el tiempo medio que una persona sintoniza de la estación, es de 15.0 min, con una desviación estándar de 3.5 min. ¿Cuál es la probabilidad de que un radioyente espscífico la sintonice: a) durante 20 min o más? b) durante 20 min o menos? ________________________________________________________________________ Distribución Normal Dra. Ing. Teresa Brand Domínguez.

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c) entre 10 y 12? d)¿Cuál es la probabilidad de que 70% de los de los radioyentes la sintonicen durante cuántos minutos o menos?. 4.- Suponga que un fabricante desea fijar una cantidad mínima de kilometros recorridos para su nueva llanta TB500. Las pruebas de duración revelaron que la media de kilometros recoridos es de 47900, con una desviación estandar de 2050 km., y con distribución normal. El fabricante desea fijar las millas recoridas de garantía de manera que no sea necesario reemplazar más del 4% de los neumáticos. ¿ Cuántos kilometros de garantía debe anunciar el fabricante?. R: 44.312 5.- Un análisis de las calificaciones finales obtenidas en una prueba de un curso de inglés, reveló que seguían, aproximadamente, una curva normal, con media de 75 y desviación estandar de 8. El profesor desea otorgar una calificación sobresaliente al 10% superior de las evaluaciones en la prueba ¿Cuál es el punto divisorio entre las calificaciones sobresalientes y buena. R: z= 1.28 ; x= 85.24 6.- Un estudio realizado por el Ministerio de Planificación, se refiere al ajuste social del quintil más pobre de la población, a una muestra de dicha población se le aplica una prueba referente al ajuste social. Las puntuaciones siguen una distribución normal, con media de 100 y desviación estándar de 20. Las asistentes sociales califican a cada poblador con respecto a el equipamiento hogareño. Tales puntuaciones tembién están distribuidas en forma normal, con media de 500 y desviación estándar de 100. Si un poblador obtiene 146 puntos en la prueba de ajuste social y su puntuación con respecto con respecto a la entrevista con la asistente es 335. ¿Dé que modo se compara su calificación en lo que se refiere a la prueba y a la entrevista con la sistente social? R: z=2.30, z=-1.65 , con respecto a prueba 0.0107 ¸ 1%(está en el 1% más elevado del grupo) y con respecto a la entrevista 0.0495 ¸ 5%(está en el 5% más bajo de la entrevista). 7.- Se estudian los valores de la razón precio-utilidades (PU) y los cambios de precio durante un periodo de tres años en el caso de acciones seleccionadas. Para las razones PU, .= 10.0 y 5 = 2.0. Para los cambios de precio, .= 50% y 5= 10 . Ambas distribuciones son normales. La empresa CAP tiene un PU = 11.2 y un aumento porcentual en precio de 75, en el periodo de tres años. a) Convierta la PU y el cambio porcentual a valores z b) muetre los dos valores z en una curva normal estándarizada. ________________________________________________________________________ Distribución Normal Dra. Ing. Teresa Brand Domínguez.

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c) Compare la razón PU y el citado cambio porcentual de la empresa, con los de otras acciones seleccionadas. 8.- Un ejecutivo de una gran empresa conduce su automovil desde su parcela en Chicureo a su oficina en el centro de la ciudad. Los tiempos de recorrido, en minutos se distribuyen en forma normal con media con media 35 y desviación estandar 8. a) ¿En que porcentaje de los dias necesitará 30 mín o menos para llegar a su trabajo?. b) ¿En que porcentaje de los dias requerirá 40 mín o más para llegar a su oficina?. c) ¿explique porque hay una probabilidad casi 0 de que necesite exactamente 40 mín para llegar a su trabajo?. d) Ya que el ejecutivo no comprendió la respuesta que se le dió en la parte c ¿Como estimaría usted el porcentaje de dias en que se necesita 40 mín para llegar al trabajo? e) Algunos días habrá accidentes o algún imprevisto, de manera que el recorrido tardará más de lo acostumbrado¿ Cuánto tiempo tardará necesitarán los viajes del 10% más prolongados? 9.- Un estudio reciente mostró que un 20% de los trabajadores cometen robos a su compañía cada año. Si una empresa emplea a 50 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) menos de 5 trabajadores roben? b) más de 5 empleados lo hagan? c) exactamente 5 trabajadores cometan robos? d) más de 5 pero menos de 15 empleados roben? 10.- La meta en los aeropuertos de los E.E.U.U.que manejan viajes internacionales, es que cada vuelo salga dentro de los siguientes 45 min después de su llegada a ese país. Se interpreta como que el 95% de los viajes áereos son inspeccionados en los citados 45 min, de modo que el 5% de los mismos toman más tiempo para su revisión. Suponga también que la distribución de los tiempos es normal. a) Si la desviación estándar del tiempo para la inspeccionar un vuelo internacional vale 5 min, ¿Cuál es el tiempo medio para revisarun viaje áereo? b) suponga que la desviación estandar es es ahora de 10 min, en vez de 5 minutos de la parte a¿ Cuál es el nuevo valor medio? c)Si una ejecutiva tiene 30 min después del aterrizaje para llegar a su autómovil, considerando la información de la parte b. ¡cuál es la probabilidad que ella salga a tiempo de la inspección?

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