• Author / Uploaded
• Azucena Martínez

• Categories
• Distribución normal
• Distribución de probabilidad
• Integral
• Probabilidad
• Física y matemáticas

Citation preview

DISTRIBUCION NORMAL Y ESTANDAR NORMAL

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Enlistar las características de una distribución de probabilidad normal. Definir y calcular valores z. Determinar la probabilidad que una observación esté entre dos puntos utilizando la distribución normal estándar. Determinar la probabilidad que una observación este arriba o debajo de un valor, utilizando la distribución normal estándar. Comparar dos o tres o mas observaciones que estén en distintas distribuciones probabilísticas. Utilizar la distribución normal para aproximar la distribución probabilística nominal. 2

INTRODUCCION

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Pierre Simon de Laplace (1749-1827)

Karl F. Gauss (1777-1855)

Sin duda la distribución continua de probabilidad más importante, por la frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones teóricas, es la distribución normal, gaussiana o de LaplaceGauss. Fue descubierta y publicada por primera vez en 1733 por De Moivre. A la misma llegaron, de forma independiente, Laplace (1812) y Gauss (1809), en relación con la teoría de los errores de observación astronómica y física .

INTRODUCCION • Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. • Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. • En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana". • En resumen, la importancia de la distribución normal se debe a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal. 5

INTRODUCCION • Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,... • Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono. • Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen. • Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,... • Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. • Valores estadísticos muestrales, por ejemplo : la media. • Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales, ... 6

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA NORMAL

CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCION PROBABILISTICA NORMAL 1. La curva normal tiene un perfil de campana (campaniforme), y presenta un solo pico en el centro exacto de la distribución. La media (aritmética), la mediana y la moda de la distribución son iguales y están en el punto central. De esta forma, la mistad del área bajo la curva se halla a un lado (o encima del valor central) de ese punto, y la otra mitad, al otro lado (o por debajo).

CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCION PROBABILISTICA NORMAL 2. La distribución probabilística normal es simétrica con respecto a su media. Si se corta la curva normal verticalmente por este valor central las dos mitades serán como imagines reflejadas en un espejo.

CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCION PROBABILISTICA NORMAL 3. La curva normal decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, los cual significa que la curva se acerca cada vez mas al eje x pero en realidad nunca llega a tocarlo. Esto es, las colas o extremidades se extienden indefinidamente en ambas direcciones. Sin embargo en el mundo real esto no resulta verdadero. Por ejemplo la duración de las pilas alcalinas no van a durar 300 años.

CURVA NORMAL

FAMILIA DE DISTRIBUCIONES NORMALES

FAMILIA DE DISTRIBUCIONES NORMALES (μs = y σs ≠ )

FAMILIA DE DISTRIBUCIONES NORMALES (μs ≠ y σs =) σ=5

σ=5

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

FAMILIA DE DISTRIBUCIONES NORMALES (μs ≠ y σs ≠) σ=5

σ =7

σ = 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

AREAS BAJO LA CURVA NORMAL

16

INTERPRETACIÓN PROBABILISTICA DE LA CURVA NORMAL

• Entre la media y una desviación típica tenemos siempre la misma probabilidad: aproximadamente el 68.27 %.

INTERPRETACIÓN PROBABILISTICA DE LA CURVA NORMAL

• Entre la media y dos desviaciones típicas tenemos siempre la misma probabilidad: aproximadamente el 95.45 %.

INTERPRETACIÓN PROBABILISTICA DE LA CURVA NORMAL

• Entre la media y dos desviaciones típicas tenemos siempre la misma probabilidad: aproximadamente el 99.73 % .

FUNCION DENSIDAD

FUNCIÓN DE DENSIDAD • Empleando cálculos bastante laboriosos, puede demostrarse que el modelo de la función de densidad que corresponde a tales distribuciones viene dado por la fórmula:

21

FUNCIÓN DE DENSIDAD La curva normal es una distribución teórica de los datos de una población. Es una curva con forma de campana, descripta por la siguiente ecuación:

Y =

N 2πσ

e

− ( x − μ ) / 2σ 2

2

22

FUNCIÓN DE DENSIDAD • • • • • • •

Y = Frecuencia de un valor dado de X        N = Frecuencia total de la distribución X = Cualquier dato de la distribución     μ: Media de la distribución π: Constante con un valor aprox. de 3,1416 σ : Desviación estándar de la distribución e: Constante con un valor aproximado 23

TIPIFICACIÓN Sí la variable X es N(µ, δ), entonces la variable tipificada de X es y sigue también una distribución normal pero de µ

X-µ = 0Z= y δ = 1, δ es decir N(0,1)

Por tanto su función de densidad es:

24

y su función de distribución es:

siendo la representación gráfica de esta función:

a la variable Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada. 25

AREAS BAJO LA CURVA NORMAL

DISTRIBUCION NORMAL Área debajo de la curva normal

27

DISTRIBUCION NORMAL Interpretación Ejemplo: Coeficiente Intelectual (IQ) de 10.000 individuos

28

DISTRIBUCION NORMAL Interpretación Ejemplo: Coeficiente Intelectual (IQ) de 10.000  individuos Para calcular el número de datos que hay en cada área, lo único que debemos hacer es multiplicar el porcentaje correspondiente por la cantidad total de datos. Así, existen: - 34,13% X 10.000 = 3.413 datos entre 100 y 116, - 13,59% X 10.000 = 1359 datos entre 116 y 132, - 2,15% x 10.000= 215 datos entre 132 y 148, Y - 0,13% x 10.000= 13 datos son mayores que 148. Para la otra mitad de la distribución existen 3.413 datos entre 84 y 100, 1.359 datos entre 68 y 84 y 215 datos entre 52 y 68; 13 datos se encuentran por debajo de 52.29

DISTRIBUCION NORMAL PUNTAJE ESTÁNDAR (PUNTAJES Z) Para un valor real de IQ = 132

¿Es alto, medio o bajo? ‐ Determinar el porcentaje de distribución que están por debajo de 132 (el rango percentil del dato 132). ‐ El IQ = 132 está dos desviaciones estándar arriba de la media. ‐ Para obtener el rango percentil de 132: debemos sumar: 47,72 + 50 = 97,72%. Esto indica que el 97,72% de los datos están por debajo del IQ 132. 30

DISTRIBUCION NORMAL Interpretación gráfica

31

TABLAS ESTADISTICAS DE LA NORMAL

¿COMO LEER LAS TABLAS ESTADISTICAS DE LA NORMAL?

*Margen izquierdo : Los enteros de z y su primer decimal. * Margen superior: segundo decimal * Cuerpo de la tabla: áreas correspondientes, acumuladas, desde 0 hasta 3.99

La tabla consta de:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

.0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359

0.5

.1915 ....

.0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0363 .0675 .0675 .0754 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .... .1179 .....

...... ......

.1554 ....

.....

...... ....

......

......

EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR Ejercicio 1.-¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre 0 y -2.03?

EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR Solución del Ejercicio 1: Cómo la curva es simétrica P (-2.03 < z < 0) = P (0 < z < 2.03)

? z -3

-2

-1

0

1

2

3

EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR

Solución del Ejercicio 1: Se busca en la tabla el área correspondiente a z = 2.03 0

1

2

1.8 1.9 2.0 2.1

3

4

0.47882

47. 88% z -3

-2

-1

0

1

2

3

EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR Ejercicio 2.-¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre -2.03 y +2.03?

EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR Solución del Ejercicio 2: La misma área hay entre 0 y -2.03 , por lo tanto P ( -2.03< z< 2.03) = 0.95764

? 95.76% 47.88%

47.88% z

-3

-2

-1

0

1

2

3

EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR Ejercicio 3: Hallar P( z >1.25 )

EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR Solución del Ejercicio 3: La probabilidad de z > 1.25 = 0.500 - 0.39435= 0.10565

10.56%

EJEMPLOS SOBRE EL USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR Ejercicio 4: Hallar P ( -0.34 < z