• Author / Uploaded
• CarlosDeLaMata

Citation preview

SESIÓN 15

Estadística Aplicada para los Negocios

LOGRO

Al finalizar la sesión, el estudiante reconoce, analiza procesos aplicando las distribución de probabilidad normal para la toma de decisiones.

TEMAS  Distribución Normal.  Aplicaciones

Curva de distribución normal o Campana de Gauss

0.5

0

0.5

1

Distribución Normal La variable aleatoria X tiene una distribución normal con parámetros μ y σ2 (σ2 > 0). Se denota: X ~ N(μ,σ2) si su función de densidad es:

1 f (x) = e 2πσ Donde: μ: media

1 x -μ 2 ( ) 2 σ

, x ∈ IR

σ2: varianza

Ejemplo 1 :Donde hacer uso de la Distribución Normal  La presión ejercida por un brazo robot en manufactura  El peso del equipaje en un avión  El tiempo transcurrido en procesar una orden de compra

La distribución de probabilidad más usada para describir variables aleatorias continuas es la distribución normal.

Curva de distribución normal o Campana de Gauss • • • • 0.5

•

0.5

• • 0

1

•

•

Características: La variable X puede tomar cualquier valor:  ,  Es simétrica respecto a la media µ. Tiene un máximo en la media µ. Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella. En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión. El eje de abscisas es una asíntota de la curva. El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad. Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha. Para valores grandes negativos el área debajo de la curva es cero

Curva de distribución normal o Campana de Gauss Características: Los porcentajes de los valores que se encuentran en algunos intervalos comúnmente usados son: • P(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 % • P(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 % • P(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %

Estandarización de la normal Sea X ~ N(μ,σ2), si hacemos la transformación Z igual al cociente de la diferencia de x con la media poblacional dividido entre la desviación estándar entonces obtenemos:

x -μ z= σ

así: Z ~ N(0,1) Se dice que la variable Z ~ N(0,1) tiene distribución normal estándar con media 0 y varianza 1) Notación: μZ = 0 varianza: σZ2 = 1

Ejemplo 2: Sobre estandarización Si X~N(5,100), calcular P(X ≤ 6.2)

Solución:

P(z ≤- a.bc)

Uso de la Tabla Z

P(z ≤ a.bc)

Uso de la Tabla de la distribución Normal estándar El siguiente gráfico muestra la probabilidad (el área en amarillo) que se pide hallar cuando la variable ya está estandarizada

Ejemplo 3: De la tabla de la función de distribución acumulada de la normal estándar hallar la

P(z < 1.26) = 0.8962

Uso de la Tabla Normal El siguiente gráfico muestra la probabilidad que se pide hallar cuando la variable ya está estandarizada

Ejemplo 4 : De la tabla la función de distribución acumulada de la normal estándar hallar la

P(z ≥-2.07) = 1 - P(z ≤-2.07) = 1 - 0.0192 = 0.9808

Uso de la Tabla Normal El siguiente gráfico muestra la probabilidad que se pide hallar cuando la variable ya está estandarizada

Ejemplo 5: De la tabla la función de distribución acumulada de la normal estándar hallar la

P( 3.49 ≤z < 2.96) = P(z < 2.96) - P(z < -3.49) = 0.0985 - 0.0002 = 0.0983

2.- Aplicación de la Distribución Normal Ejemplo 6: Suponga que el tiempo que lleva a la superintendencia de contribuciones enviar reembolsos a los contribuyentes se distribuye normalmente con una media de 12 semanas y una varianza de 9. a. ¿Qué proporción de contribuyentes debe obtener un reembolso en a lo más 6 semanas b. ¿Qué proporción de contribuyentes debe obtener un reembolso por lo menos en 9 semanas? c. ¿Qué proporción de reembolsos se enviarán más de 15 semanas después de que la superintendencia de contribuciones reciba el reembolso de impuestos? d. ¿Cuánto tardará el que 90% de los contribuyentes obtengan sus reembolsos?

Ejemplo 6 a. ¿Qué proporción de contribuyentes debe obtener un reembolso en a lo más 6 semanas? Solución Sea X: tiempo que lleva a la superintendencia de contribuciones enviar reembolsos a los contribuyentes X ~ N(μ=12,σ2 =9) de donde σ =3 es la desviación estándar

La proporción de contribuyentes que debe obtener un reembolso en a lo más 6 semanas es de

Ejemplo 6 b. ¿Qué proporción de contribuyentes debe obtener un reembolso por lo menos en 9 semanas? Solución: Sea X: tiempo que lleva a la superintendencia de contribuciones enviar reembolsos a los contribuyentes X ~ N(μ=12,σ2 =9) ; σ =3

La proporción de contribuyentes que debe obtener un reembolso en por lo menos 9 semanas es de

Ejemplo 6 c. ¿Qué proporción de reembolsos se enviarán más de 15 semanas después de que la superintendencia de contribuciones reciba el reembolso de impuestos? Sea X: tiempo que lleva a la superintendencia de contribuciones enviar reembolsos a los contribuyentes. X ~ N(μ=12,σ2 =9) ; σ =3

La proporción de reembolsos que se enviarán más de 15 semanas después de que la superintendencia de contribuciones reciba el reembolso de impuestos es de

Ejemplo 6 d. ¿Cuánto tardará la superintendencia como máximo para que el que 90% de los contribuyentes obtengan sus reembolsos? Sea X: tiempo que lleva a la superintendencia de contribuciones enviar reembolsos a los contribuyentes X ~ N(μ=12,σ2 =9) ; σ =3

A

TRABAJO GRUPAL SE FORMARAN GRUPOS DE CUATRO ALUMNOS

ES FUNDAMENTAL QUE TODOS PARTICIPEN EN LAS DELIBERACIONES, EXPONIENDO SUS PUNTOS DEL VISTA. EVITANDO QUE ALGUIEN SE ADJUDIQUE UN PROTAGONISMO DESMEDIDO, O TOME UNILATERALMENTE DECISIONES QUE AFECTAN A TODOS.

Ejercicio 1 Suponga que el costo de producción de una calculadora tiene una distribución normal con una media de 150 soles y una varianza de 64 soles2. Si se elige una calculadora al azar, hallar: a) La probabilidad que su costo de producción sea por lo menos de 142 soles. b) La probabilidad que su costo de producción sea a lo más de 158 soles. c) La probabilidad que su costo de producción sea mayor a la media poblacional en 5 soles.

Ejercicio 2 Suponga que el costo de producción de una Laptop tiene una distribución normal con una media de 1800 soles y una varianza de 14400soles2. Si se elige una Laptop al azar, Calcular: a) La probabilidad que su costo de producción sea por lo menos de 1950 soles. b) La probabilidad que su costo de producción sea a lo más de 1570 soles. c) La probabilidad que su costo de producción sea menor a la media poblacional en 100 soles.

Ejercicio 3 Si el largo de una varilla se distribuye en forma normal con una media de 10 y una varianza de 2. Y una varilla se considera aceptable si tiene una longitud mayor de 11 pulgadas. ¿Calcular el porcentaje de varillas aceptables.?

CIERRE

¿QUÉ HEMOS APRENDIDO? 1. Para estandarizar la variable x se tiene que hallar el valor de la variable Z mediante una transformación 2.La probabilidad de una variable aleatoria continua se halla ubicando el valor z en la tabla de la distribución normal estandarizada 3. La tabla z tiene que ser manipulada en ida y venida ya que así como hemos aprendido a hallar la probabilidad de un valor z ,también debemos saber hallar el valor z que dio origen a esa probabilidad para la siguiente unidad.