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DISTRIBUCION NORMAL
c
c 
 cc INTRODUCCIÓN: c  c
 c c cc  c c
 cc  c  
 c
c c c c

c c cc
c  c 
 c c cc c c   GUASSIANAcc c  c c  c   c  c  c  c 

c  c 


c c 
c   c  cc

c c

c c
c
c
ccccc cc




c 

c  c c 



c c 
c 
 
c c 
c c  
c c 
c

c  
c  
c c c 
c c 
 c 
c  
c
c 
 c  c 

c c  
c 
c    c  c c  c
 c c

c
cc!c
c c c"#cc$
c%&''() &(*+,cc -

c . c /#c 

c %&((()&0**,c  
c  

c  c 
 
c c 
 c c  c c c  1c c #c  c c c c 

!c  c 
2c 

c c "campana de Gauss"cc c   c c c  c 
 c  c 
 c c 
c
c
c

ccc

c c c
 c c
cµccɷcc.
c  c
c c cc c
 ccc
c c c

ccccccccccccccccccccccå
  Donde:








  






  
 ccccccc$c. 1c

ɷ=  c  µ=  X=   3 cc c cc
ccc ccc


c% c&,c

c Figura 1. Gráfica de una distribución normal y significado del área bajo la curva c

" c cc c c cX  c c  c
 cc µcc!c€cc c 
c

cXc4cN (µ , ɷ)c c

c cc ccc
c c5 c&c 5c

c c
cc c c  c
 c c cc

ccc

c c  c cc ccc cc  c c  cc
 c
 c c  c   ccaracterísticas:ccc ®c c c2c
c c
c
c

ccc

cc ®c c c
 c c c c cc   cc-
c
c   c
cc)c Ücc6Üc c ®c

®c ®c

®c

c
 cc5 cc
 c
c c c c
c
c  cc&c 5 c c
c 
cc

ccµcc72c 
cc c
cc  c8 c c 
 cc c*9:cc
 c c
c
c c ccc c*9:cc
 c c 
c
c c cc c c!cc ccc c 
cc 8cc c c c  cc

c cc%ɷ,cc. 
c
c cɷc c c c c cc c c 5 c c 
c c  c 
c c
c 
 c  
c 
8c c 
c  
 c  c c c c  c   c c 9;*cc 5c 

c 8 c c ;*:c c 
  cc
 c c
c

cc c
c%µ -1.96ɷ ; µ + 1.96ɷ,c ccc c 
c c c c c 

c c c
c 
cµc c %ɷc Figura 2,cc c c c c 
c c c c c 

c  c c  c 
 c c µc c c  c   !cc
c 
c c c#
!
 cc-
c
cc c c cc c 
cc 
cc c cc. 
c
c c c
ccɷc c c  c
c 
cc

cc ccc c c c c cc<c
c =
cc c
c c 
c 
c c c 
 c c
c 
c 
c  c 
c 
c c c   c

Figura 2. $jemplos de distribuciones normales con diferentes parámetros.

c

ccccccccccccccc

ccccccccccccccccccccccccccccccccccc

%,c cc>  c
 c
c cccccccccc%,ccccc>  c
 c
c c c > c cc  ccccccccccccccccccccccccccccccccc  c c c

c

c

.

c c cc c2 
c
c
c8 c c2c  c
 c 
c c c c  
 c
c c
c
2c c
c
c
 cc

ccc

c!cc >cc
 c  c c c  !c c cdistribución normal estándarc c
 
cc c   ccc9cc!c&cc" c c8 c cc

c c c c
cc c$c. 1 5 c
c

c cccc   c cRc c c c  ccN (µ , ɷ)c c  c
c
c cZc
c cdistribución normal estándarc c c cc c c  
c

m

  

ccccccccccccc$c.2

Donde: X= $l valor de cualquier observación o medición en particular µ= $s la media de la distribución ɷ= $s la deviación estándar de la distribución <c
cc?c8 c c c
ccc c
c cc@cc ccc c  cc c cc<c!c c c !c  c
 
 c
 c    c
c 
c ?c c c   c 
 c 
c c c c 9c c c  c  cc&cc OBS. La probabilidad de que ocurra un evento se encuentra con tablas y el valor de Z calculado. $jm 1:

5 c  c 
 c



c  c c c  c  c 
c c
c


c c c c 
 c  c c  c
8c
 c 
c cc c09cAcc c c cc&9cAccB-

c c  c c c
 cc  c c
c c c!cc c
c


cc&99cACc >

c 
c Rc c c  c  c  c  c 
c c
c 
c c  c 
 c  c

 c c   c N(80,10)cc 7c

c   c   c c c c 
 c  c 

c

 !c c c cAPÉNDIC$ D %57">D7D."c"-D ">"c"cE7c 5 E.DE7cFc"c"c5.E E$D"c&Gcc 5>D.DE c >
  c "c c 7  c "c #c -c (G9,c c   c c 
 c  c 
c  cc.

c c
c c c
c

c
 c2 c 
c c c 2c c $c. 1cc
c c  m

c

   c 

-c
c  !c#c cc" c c
 c c c c  c c      Â


    Â
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.

c cc
 c
c c c c  cc&c c c c Oc Â
 !    Â
 !c

5 c 2 c 
 c  c c  c
c c c  c  c AP$NDIC$ D _57">D7D."c "-D ">"c "c E7c 5 E.DE7c Fc "c "c 5.E E$D"c &Gc c 5>D.DE c >
  c "c c 7  c "c #c -c (G9,c 


c c cÂ
 !  "#$$!cc -
c
c
c c 
 c  cc c c
c c 
cc c
 cc c
c
cc&99c Acc cc&H9;((G499GG0c cc
8cc cGI:c >c

c

c

c
c c
 cc c c
cc c


c cc'9cc &99cAc  %      Â

%      
  Â ! 
 !c  

>c cFigura 1c

c4)Gcc4Gc

c c c

 ! 
 !  Â
 !  Â
 !c

-
c c 
c
c c c cÂ
 !  "#$$!ccc-c c  c
 c c 
c

c c 
 cc  c  c  c c
c


c c
c c c Â
 c c 
 c 
c c c  cc 7c 
c #
c
c c c

cc c  c
 c cc c Â
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 !    Â
 !    "#$$!  "!!c

/ c c 
 c  c c  c c 
c  c  c !c c c 
c c'9cc&99cAc cc9;((G)99GG049;*++c cc
8cc c;*:c LA R$GLA $MPÍRICA >c c   c c  c
 
 c 
c 
c 
8c c 
 c c
c ®c %$cJc7,c
c
8c c'0c:cc  c
 
 c ®c %$cJcG7,c
c
8c c;*:cc  cc
 
 c ®c %$cJcI7,c
c c
 c  c
 
 cc

c

Figura 2. Distribución de las observaciones c
cc c cc
  cc

c  cc c c ccc cc2
cc
c LA APROXIMACIÓN D$ LA DISTRIBUCIÓN NORMAL A LA BINOMIAL "  c c   c 
 c  c 
 c 

c  c #c 
c  c    c  c  c  ! cc
8c  
 c  c -
c  
c
c   c 
c 
 
c c   
 c 
  c 
c c 4c 9*c c  
c
 cc=
cc   c c

c

4Gccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc4*cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc4&9c

c

"cc cc c c
c c cc

c c ccc c c
  c
8c
 cc c  c
 c
cc
c
  c cc c 


c c  cc c  c
 c

cKc4ccc$c. 3ccccLc4cI &c$c. 4c

cc

c

Donde: 4c2
cc c ccc c !c c8
c 

ccc cccccccccccccc4c-
 cc8
c%;*:,c cccccccccccccc4c
 cc
c%*:,c 7c
c

c
c c c cc 
cc 
c c  !c c
8cc  c c c c c c cc 
c c  c

 ' &  c

c

FACTOR D$ CORR$CCIÓN D$ CONTINUIDAD

5 c 
c c 
c c 
 c  c  c  c c c c c c c 
c c 8 c 
cc c  c c c c c c  c
 c .
c c c

c 1)c Para la probabilidad de que por lo menos X ocurran, use el área por encima de (X ʹ 0,5). 2)c Para la de que más de X sucedan, utilice el área por arriba de (X + 0,5). 3)c Para la de que X o menos ocurran, aplique el área por debajo de (X + 0,5). 4)c Para la de que menos de X sucedan, emplee el área situada por debajo de (X ʹ 0,5). $ $MPLO: 7 
c c c
c c !c&9c cc c 
c  c c
 cc
c *'c(c c0c c >
c  c

È%*cMcR
c0,cc c c c
cc
cc  !
c c
  
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c
 cc

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"  "c

Obs: /c N c c 2  c  c c 
c  c 
c c Zc c    c  c  c c  c  
c %APÉNDIC$ D 57">D7D."c "-D ">"c "c E7c 5 E.DE7c Fc "c "c 5.E E$D"c &Gcc 5>D.DE c>
  c"cc7  c"c#c-c(G9,c  )"    "  Â

c

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7c #  
c  
c c  c c c   cc c 
 c #  
c

c  c c 
 c  c c 9'&GIc  c  c
 
c  c
c 


c
c  c 
c
c  c   c c
cc c cc c 
cc c
 c c

$ $RCICIOS $ $RCICIOS R$SU$LTOS Nota: el símbolo Ɍ(Z) se interpreta como buscar en tablas (APÉNDIC$ D) el área a la izquierda del valor de Z que se está manejando. &cc>c c  c
 c c c cc
c c c c c ,cc c! cc!c4c&+Ic P(Z < 1.43) = Ɍ( 1.43 ) = 0.9236 ,cc c#cc!c4c)90;c P(Z > -0.89) = 1 - Ɍ( -0.89) = 1- 0.1867 = 0.8133 ,cc!c4c)G&'cc!c4c)9'*c P( -2.16 30) = 1 - Ɍ[(30 ʹ 24)/3.8 ] = 1 - Ɍ[1.58 ] = 1 ʹ 0.9428 = 0.0572 ,c 7c c
ccc  c;99ccc c  c
cc

c cc  c0+*ccB c
 cc  c c cc c
Cc c P(X > 15) = 1 - Ɍ[(15 ʹ 24)/3.8 ] = 1 - Ɍ[-2.37 ] = 1 ʹ 0.0089 = 0.9911 ,c 7c  cc

c cc  c0I*ccc cc c cc c
cc0*9cc;99ccB  c c c 
 cc cc cCc

c

c P(X > 25) = 1 - Ɍ[(25 ʹ 24)/3.8 ] = 1 - Ɍ[0.26 ] = 1 ʹ 0.6038 = 0.3962

,c 5 c c
 c c 
c 
c c c c   c 

c  c &*:c c
c   c  c 
c c 1 - Ɍ( Z ) = 0.15 Ɍ( Z )= 0.85 Z = 1.04 x = Zʍ + ʅ = (1.04)(3.8) + 24 = 27.94 ,c 5 c c
 cc c
cc
c   c c  c
c c
cTc#
c c Del inciso a) p = 0.0578 P(Y = 2) = 3C2(0.0572)2(0.9428) = 0.00925 (ccc

cc
c
cc

c =
c c&9c=
c
c c c cc 
c =
c 5 c c  !c  c 

c
c 

 c  c  c 
c  c 
c c c7c c   
cc !c 
cI:cc
c

 c c cBc c cc

c cc c
!Cc7 
c c c cc c

c  c c  c
 c c ʅ = 10 y ʍ = 2 P3 Área = 0.03 Ɍ( Z ) = 0.03 Z = -1.88 x = Zʍ + ʅ = (-1.88)(2) + 10 = 6.24 0c c 
=c c c

c  
c c  
c 

c c U&*;9c 
c #
c 
c c  c ccU&*9c7c
c  
c c  c
8cc
c
 cc

cc c
c c8
c c ʅ = 15.90 y ʍ = 1.5 ,c B c 
 c c
c  
 c c  
cc U&I(*c c U&'GGc  c 
c #
Cc c P(13.75 < X < 16.22) = Ɍ[16.22 ʹ 15.90)/1.5 ] - Ɍ[(13.75 ʹ 15.90)/1.5 ] = Ɍ[0.21 ] - Ɍ[- 1.43] = 0.5845 ʹ 0.0759 = 0.5086 ,c Bc c*:c c 
cc
c  
c
c#
cc
c 
c c
cc cCc

c

c P95 Área = 0.95 Ɍ( Z ) = 0.95 Z = 1.645 x = Zʍ + ʅ = (1.645)(1.5) + 15.90 = 18.37 ;cc  cc ccc
c

cc c c  c
 c
c c c c &9999c R

c 
c 
c  
c c c  c  c c &99c R

c 
c 
c  
c  c 
 c c  c c
c *9c R

c 
c 
c 
c c
c c ,c B3 c 

c c  
c 

 c 8c &9&*9c R

c 
c 
c  
cc  cc ccCc c ʅ = 15.90 y ʍ = 1.5 unidades = 50 e= + 25 P(X > 10150) = P(X > 10175) = 1 ʹ Ɍ[ (10175 ʹ 10000)/100] = 1 - Ɍ[1.75] = 1 ʹ 0.9599 = 0.0401 ,c 7c  c 
 c cc

c
c

 cc  cc cc c ;099c c &9G99c R

c 
c 
c  
c  c B c 

c c ! c c c c Cc c Proporción de descarte = 1 ʹ P(9800 < X < 10200)

P(9800 < X < 10200) = P(9775 < X < 10225)

= Ɍ[ (10225 ʹ 10000)/100] - Ɍ[ (9775 ʹ 10000)/100]

= Ɍ[2.25] - Ɍ[-2.25] = 0.9878 ʹ 0.0122 = 0.9756

Proporción de descarte = 1 ʹ 0.9756 = 0.0244

&9c 
c .Dc c '99c   c c c  c c   c 
8c c 
c 
 c
c ccc&&*cc c c cc&Gc7c c  c c c.Dcc

c

 c 
c ;*c B 
c c  
c    c c #!
c
c  c  c c 
c

c
 c 
 Cc c P(X < 95) = Ɍ[(95 ʹ 115)/12]= Ɍ[-1.67] = 0.0478 Número de estudiantes rechazados = 600*0.0478 = 28.68 o 29 &&c<c
 c
 cc ccc09c c c cc&+9 c

:
 @


4

+



a)c Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p(75 ч x ч 90) z

c z

O 
  "$c4c9('&&c ) )

(      "*%4c9I*;+c ) )

c %(*cMc8cMc;9,c4c9('&&cHc9I*;+c4c0.4017 b)c Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor. p(x ч 75)c

(      "*% c9I*;+c ) ) %8cMc(*,c4c0.3594

z

c)c Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0 p(55 ч x ч 70)

c

z

c z c

c

(  
  "$c4c9GI0;c ) )  
  "$#499I0(c ) )

%**cMc8cMc(9,c4c9GI0;cHc99I'(4c0.2022c c c c &Gc
c

cc
c c ccc  c
  cc 
cc>
VcNc / c 7 c c c   c 
 c c c c U(9999c c c  c ccUG9999c5 c=c cc c
 cc 
c B.  c c c
 cc c c
c cc  c c c cc  c 
ccccccccccccccccccccccccccccc c ccccccccccccccc4

Ö ,

-$,
,   "
 !, !,

  
  
c 
c cc  c  c  c cc c cccc
ccccccccccccccccccccccccccccc c cccccccccccccccc4

cccccccccccccccc4

Ö ,

-$,
,   "
 !, !,

ã ,

-$,  ,    "!
 !, !,

     
  
  c


c cc  c c c cc  c 
ccccccccccccccccccccccccccccc ccccccccccccccc4

c

ã ,

-$,  ,   "!
 !, !,

  
 
 !c c c c &Ic5c  c   c c 5 
c <
c 
c c 
 c c  c c G*9999c # c c c  c 
c c  c c c  c 
c  c c G+Ic  
c 5 c 
c c  c  c 
c c c c :
  @
 

4


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 c c

c F
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c  c 
c


c  c c I0Ic  
c 7 
c  c c

  c c
c 
c c  c c c  c c c F
Rc c c   cc
 c
 cc c c c cc(*c 
c c c c c c
c "#$c   % c  c & % c c  c  c  c ' & c ()c  c  c cc c c
ccccccccccccccccccccccccccccc c cccccccccccccccccccc4

¿ -*"* Ö"¿   "
 $" $"

  
*c+c*,c c 
c "#$c  % c c& % c  c  cccc c cccc
ccccccccccccccccccccccccccccc c 4

4

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 $" ("

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* c+c* , c c


c "#$c  % c c& % c  c  ccc-c c cccc-
ccccccccccccccccccccccccccccc c ' -*"*
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  $" (" ¿ -*"* Ö"¿ 4 $"  ("  "


4

   
  
-!c+c-!,c c c &+c c c

  cc  
 cc cccN#
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 c
c cccU&G99cc c c ccUGG*c :
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 c c  c c


c  c8  cB>c cc  c
c  cc
Cc c c c c c c c    
   





-,! 4 cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc* (

"%  !!  .  ,! *$"!  .  ,! .  ,! / *$"! cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc+c*!*c

c c c

c

c &*c5c G99+c c G99*c  c 

c 
c   c c   c c c  c c c 5 
c<
cccUG990Gc7 
c c c  cc
c

c   c

cc
c c  cc
 c
 cc c c c c  ccU+*99c5 c;*:cc
c   cc   c cc
cc B3 cCc cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc*-

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ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc+c!-c c &'c5 ccc c
c  c
c c cccc c c c c  #
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 c c c  c  c  c c 0G9c  c 5 c c  c 


c 
c c
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c  c c  c  c  c  c c  #
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c  c c   c 
 c 
c c GIXc c  c c *Xc .  c  c 2
c c  c  c  c c
c  c c  c  !c8 ccG&XccG(Xc c

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