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Departamento de Matemática y Métodos Cuantitativos

ESTADÍSTICA I Guía de trabajos prácticos

Departamento de Matemática y Métodos Cuantitativos Programa analítico: Estadística I Unidad I: DEFINICIONES Y CONCEPTOS FUNDAMENTALES Definiciones básicas. Población. Muestra. Estadística descriptiva o deductiva. Estadística inductiva o inferencial. Etapas de la tarea estadística: formulación del problema de investigación, fuentes de datos, tipo de datos, (cualitativos, cuantitativos discretos y continuos). Diseño del cuestionario. Recolección de los datos. Presentación de los datos: cuadros y gráficos, interpretación. Aplicaciones. Unidad II: ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE DATOS INDIVIDUALES Variables discretas y continuas. Tratamiento descriptivo de un conjunto de datos individuales. Medidas que resumen información. Medidas de posición o tendencia central: media aritmética, mediana y modo. Cálculo y significado. Media geométrica y armónica. Concepto de dispersión. Medidas de variabilidad y concentración: desvío medio, varianza, desvío estándar. Propiedades fundamentales de la media aritmética y de la varianza. Coeficiente de variación. Unidad III: DISTRIBUCIÓN O SERIES DE FRECUENCIAS Resumen de una muestra grande en una distribución o serie de frecuencias. Cálculo de las medidas de posición y dispersión. Histograma y polígono de frecuencias absolutas. Frecuencias acumuladas, ojiva. Definición general de fractil, cálculo e interpretación. Simetría y curtosis. Unidad IV: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Definición clásica de probabilidad. Repetición del fenómeno aleatorio. Ley empírica del azar (Ley de los grandes números) y definición experimental de probabilidad, definición frecuencial. Definición axiomática. Definición subjetiva. Sucesos mutuamente excluyentes. Sucesos independientes. Probabilidad condicional. Probabilidad total. Teorema de Bayes. Aplicaciones. Unidad V: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Distribución de una variable aleatoria discreta. Función de probabilidad. Función de distribución de probabilidad. Esperanza matemática (valor esperado). Varianza. Propiedades. Su relación con las medidas definidas anteriormente. Coeficiente de variación. Proceso de Bernoulli. Distribución binomial: función de probabilidad y de distribución. Aplicaciones. Uso de tablas. Distribución de Pascal. Relación entre la distribución binomial y la de Pascal. Distribución hipergeométrica. Distribución de Poisson. Aplicaciones. Uso de tablas. Aproximaciones. Unidad VI: VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Función de densidad de probabilidad, su relación con el histograma. Función de distribución de probabilidad, su relación con el polígono de frecuencias acumuladas Definición del valor esperado y de la varianza de una variable continua a partir de la función de densidad. Propiedades de la media y de la varianza. Ejemplos sencillos. Distribución normal, definición. Parámetros. Propiedades. Variables que se distribuyen normalmente. Variable normal estandarizada. Uso de tablas. Ejemplos Aproximación normal a las distribuciones Binomial y de Poisson. Ejercicios de aplicación. Situaciones combinadas. Otras distribuciones continuas. Unidad VII: SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS Suma de variables aleatorias normales independientes. Cálculo de la media y de la varianza. Aplicaciones. Teorema central del límite. Aplicaciones. Unidad VIII: NÚMEROS ÍNDICES Números índices, propósito, construcción. Tipos de índices: de cantidad, de valor, de precios. Índice de precios al consumidor. Índices compuestos. Índices de Laspeyres y de Paasche.. Unidad IX: SERIES DE TIEMPO Series de tiempo. Componentes de una serie de tiempo. Análisis de las componentes. Técnicas de suavizamiento. El promedio móvil. Los índices estacionales: el método de la razón para el promedio móvil. Desestacionalización de una serie. Pronóstico: predicción usando la ecuación de tendencia. Los índices estacionales en el pronóstico.

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Trabajo Práctico 1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 1) Para las siguientes situaciones identifique la o las variables estudiadas, indicando tipo de variable, valores posibles (dominio), unidades, individuo, si se trata de una muestra o de la población y el tamaño. a) Un profesor de Matemática contabiliza la cantidad de alumnos que aprobaron la materia por curso, en cada uno de los 7 cursos que dictó en el último cuatrimestre. Los cursos poseen a lo sumo 50 alumnos. b) Se miden los consumos mensuales efectuados con tarjeta de crédito por 100 personas. c) Una compañía farmacéutica comercializa un antibiótico en frascos de 50 comprimidos. Como parte del control de calidad, periódicamente se abren 10 frascos y se controla la concentración del antibiótico en cada comprimido y la cantidad de comprimidos que superan la concentración máxima permitida. d) En cierta localidad del GBA que carece de agua potable se determinó la presencia de bacterias coliformes en 15 muestras de 100 ml de agua extraída de pozos para uso doméstico. e) En una encuesta política se indaga a 500 individuos sobre el candidato al que votarían en las próximas elecciones. Además se registra el género y el nivel socioeconómico de los encuestados. f) Una empresa decide lanzar al mercado una nueva gaseosa diet, pero previamente decide determinar el nivel de aceptación del nuevo producto. Con tal fin, un grupo de 50 panelistas efectúan una degustación del nuevo producto y luego completan la siguiente encuesta: 1- Otorgue un puntaje de 0 a 10 al sabor de la gaseosa que probó 2- ¿Con qué frecuencia compraría la gaseosa en caso de que se lance al mercado? No la compraría nunca La compraría ocasionalmente La compraría frecuentemente Respuestas: a) Cantidad de alumnos que aprobaron la materia en cada curso. Cuantitativa Discreta. [Alumnos]. Individuo=Curso (n=N=7) b) Consumos mensuales de tarjeta de crédito por persona. Cuantitativa Continua. $/persona. Individuo=Persona Muestra. (n=100) c) 1. Concentración de Antibiótico en cada comprimido. Cuantitativa Continua. Mg de antibiótico/comprimido. Individuo=comprimido. Muestra (n=10*cantidad de comprimidos por frasco). 2. Cantidad de comprimidos que superan la concentración máxima. Cuantitativa Discreta. [Cantidad de comprimidos]. Muestra (n=10*cantidad de comprimidos por frasco) d) Concentración de materia coliforme. Cuantitativa Continua. Mg materia/100 ml. Individuo=Muestra de 100 ml. Muestra. (n=15). e) 1. Candidato que va a votar. Cualitativa Nominal. Individuo=Encuestado. Muestra (n=500). 2. Género. Cualitativa Nominal. Individuo=Encuestado. Muestra (n=500). 3. Nivel Socioeconómico. Cualitativa Ordinal. Individuo=Encuestado. Muestra (n=500). f) 1. Nivel de agrado con el sabor. Cuantitativa Discreta. Individuo=panelista. Muestra (n=50). 2. Intención de compra. Cualitativa Ordinal. Individuo=panelista. Muestra (n=50).

2) Se ha relevado la edad de un grupo de 15 lectores de una revista infantil. 8-9-7-8-9-10-12-11-8-9-7-6-8-9-9 Calcular la media, mediana, moda y dispersión de la variable. Respuestas:

Me=9 años; Mo=9 años;

Media=8.66 años S=1.54 años

3) La Consultora RH de recursos humanos se halla analizando el número de despidos que efectuó la empresa SAX srl en los últimos doce meses y recopiló los siguientes datos 18-15-14-23-20-18-17-18-16-20-18-15 a) Calcular el promedio de despidos, el desvío y la mediana. b) Analizar si los datos son homogéneos. Respuestas:

a) Me = 18 despidos; media =17.67 despidos; S =2.53 despidos

b) Si.

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4) En 30 comercios del mismo ramo, se averiguó el total de unidades vendidas del producto P durante la última semana, obteniéndoselas siguientes cantidades: 6 5 9

6 5 8

4 7 8

5 4 7

9 9 6

7 8 6

6 8 6

8 5 7

3 6 5

4 9 3

a) Definir la población y el tamaño de la muestra. b) Definir la variable en estudio, el tipo y campo de variación o dominio. c) Ordenar los datos mediante una tabla de frecuencias. d) Elegir la quinta fila de la tabla y analizar el significado de cada una de las frecuencias y expresarlo en lenguaje coloquial. e) Representar gráficamente los datos Respuestas:

a) Todos los comercios; n = 30 b) Total de unidades vendidas. Variable cuantitativa, discreta. e) Gráfica de bastones.

5) Esta tabla muestra el salario anual promedio que recibe cada puesto de trabajo en una empresa y cuántas personas reciben el mismo de acuerdo a su categoría. Calcule el promedio. ¿Es representativo? ¿Lo reemplazaría por otro estadístico? ¿Cuál? Justifique sus respuestas. Nro. de personas 1 1 2 1 3 4 1 12 Respuestas:

Puesto Propietario/ presidente Vice Presidente Ceo Asesor legal y contable Directores Gerentes Supervisores Obreros

Salario (en $) 225.000 75000 50000 28500 25000 18500 15000 10000

$28500; No (CV 151%); Me= $15000, Mo= $10000

6) Se efectuó una encuesta en una localidad y se registró la cantidad de aparatos de TV por hogar. Para ello se eligieron 200 hogares al azar. En base a los resultados obtenidos complete el informe. Cantidad de televisores 0 1 2 3 4

Cant.de hogares 8 37 90 49 16

La variable en estudio es …………………………………………………….. y es de tipo …………………………..…. porque ………………..………………… Estos datos consisten en una ………………….. (muestra/población) porque .…………………………………………………. El promedio vale ……… y significa ………………………………… …………………………………. El coeficiente de variación vale ……… y significa …………………………………. …………………………………. Se observa que el ……% de los hogares tiene TV, y de los que poseen algún aparato, el ……% tiene 3 o más. Respuesta:

La variable en estudio es cantidad de aparatos de tv por hogar y es de tipo cuantitativa discreta porque no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Estos datos consisten en una muestra (muestra/población) porque no incluye a todos los hogares de la población El promedio vale 2.14 televisores y significa que por hogar hay en promedio 2,14 televisores El coeficiente de variación vale 44% y significa que el promedio no es representativo del conjunto de datos (el desvío estándar es el 44% de la media). Se observa que el 96 % de los hogares tiene TV, y de los que poseen algún aparato, el 33,85 % tiene 3 o más.

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7) a) Dibuje dos histogramas que posean la misma forma y centro, pero que el primero posea mayor desvío estándar que el segundo. b) En una Universidad se tienen 2 cursos A y B. En ambos se efectuó un examen a fin de evaluar el nivel de conocimiento previo de los alumnos en determinada materia. Según los histogramas disponibles, usted diría… 1234545 40 35 30 25 20 15 10 5 0

en el curso A hay mayor cantidad de alumnos con menos conocimiento el puntaje más común es menor en el curso B la frecuencia relativa de los puntajes más altos es mayor en el curso A en la curso A los alumnos están en promedio más preparados ninguna de las anteriores

A

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

B

c) Para las siguientes distribuciones de frecuencias: 1- Sin efectuar cálculos, ordénelas en orden creciente según su media, mediana, modo y desvío estándar. Clasifíquelas según su asimetría. 2- Repita el ejercicio anterior, pero calculando los estadísticos.

Respuestas: b) 1) Si; 2) No; 3) No; 4) No c) 1) según su media E-ABC-D-F, mediana E-ABC-D-F, modo E-AB-F-D y desvío estándar FA-B-DE-C. Según su asimetría s/s/s/-/+/s.

8) Se midieron los tiempos de espera, en minutos, de algunos clientes en el Banco Río, sucursal Pompeya (donde hay tres cajas pero todos los clientes forman una sola fila) y en el Banco Galicia (donde los clientes esperan en filas individuales en tres cajas):

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Banco Río Banco Galicia

6.5 4.2

6.6 5.4

6.7 5.8

6.8 6.2

7.1 6.7

7.3 7.7

7.4 7.7

7.7 8.5

7.7 9.3

7.7 10.0

Calcule los estadísticos de tendencia central y de dispersión y compare. ¿De cuál Banco preferiría ser cliente en función a esta información? Respuestas:

Promedio Varianza Desvío CV Mediana Mo

Banco Río

Banco Galicia

7.15 minutos

7.15 minutos

0.2272222 minutos² 0.47667832 minutos 6.666829% 7.2 minutos 7.7 minutos

3.318333 minutos ² 1.821629 minutos 25.47733% 7.2 minutos 7.7 minutos

9) Los siguientes valores se refiere al peso de 30 saquitos de té en grs. 1,50 1,35 0,91 1,09 1,25 1,17 1,03 0,99 1,20 1,11 1,35 1,10 1,05 1,00 1,30 0,98 1,28 1,02 1,19 1,15 1,14 1,08 0,99 0,92 0,95 1,20 1,07 0,93 1,07 1,19 a) Identificar y definir la variable en estudio b) Ordenar los datos y construir la tabla de frecuencias (amplitud 0,10) c) Representar gráficamente las frecuencias absolutas y las frecuencias acumuladas relativas. Determinar gráficamente el modo. d) ¿Qué tipo de asimetría tiene esta distribución? Justifique. e) ¿Es homogénea la variable en estudio? Justifique. Respuestas:

a) peso en grs, cuantitativa continua c) histograma y ojiva d) asimetría positiva

10) En una boletería del subte se ha registrado la cantidad de viajes adquiridos por los últimos 8 clientes obteniéndose: 5 - 1 - 10 - 5 - 3 - 1 - 5 - 2 a) Calcular modo, mediana y promedio. b) Calcular variancia, desvío estándar y coeficiente de variación. c) ¿Qué porcentaje de los clientes adquirió: 1) como mínimo 3 viajes? 2) más de 5 viajes? 3) como máximo 2 viajes? 4) menos de 2 viajes? Respuestas:

a) Modo =5 viajes Mediana = 4 viajes Promedio = 4 viajes b) Variancia = 8,86 viajes² Desv. St.= 2,976 viajes CV=0.744 c.1) 62,5% c.2) 12,5% c.3) 37,5% c.4) 25%

11) Los siguientes datos corresponden a la cantidad de menores de edad que integran el grupo familiar en una muestra de 40 familias: Menores Familias

0 1

1 4

2 9

3 8

4 7

5 6

6 4

8 1

a) Calcular modo y mediana. b) Calcular el promedio de menores por familia. ¿Es representativo? ¿Por qué? c) ¿En qué porcentaje de las familias hay: 1) 3 menores de edad?

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2) entre 1 y 4 menores de edad? 3) a lo sumo 2 menores de edad? 4) al menos 5 menores de edad? Respuestas:

a) Modo = 2 menores Mediana = 3 menores b) Promedio = 3,4 menores (No es representativo porque CV = 0,5151) c.1) 20% c.2) 70% c.3) 35% c.4) 27,5%

12) En la siguiente tabla se muestra la distribución del peso en gramos de una partida de 200 paquetes de pastillas: Peso en gramos Cantidad de paquetes 30 – 32 28 32 – 34 36 34 – 36 43 36 – 38 51 38 – 40 27 40 – 42 11 42 – 44 4 a) Calcular modo y mediana. b) Determinar si los datos anteriores son homogéneos. c) ¿Cuál es el peso no superado por el 20% de los paquetes? d) ¿Cuál es el peso sólo superado por el 10% de los paquetes? e) ¿Qué porcentaje de los paquetes pesa: 1) hasta 40 gramos? 2) por lo menos 34 gramos? 3) como máximo 38,15 gramos? 4) como mínimo 33,50 gramos? f) Si se cree que el peso de los paquetes de las pastillas es de 2 grs. más, determine el nuevo promedio y desvío del peso de las pastillas. Utilizar propiedades. Respuestas:

a) Modo = 36,50 grs Mediana = 35,674 grs c) 32,6667 gramos d) 39,6296 gramos

b) Si. C. V. = 8,45% e.1) 92,5% e.2) 68%

e.3) 80%

e.4) 72,5%

13) A Leopoldo le piden que calcule la tasa global de fecundidad promedio en ciudad de Buenos Aires - provincia de Buenos Aires. Basándose en la siguiente información obtuvo un valor de 2,15 hijos por mujer. ¿Está de acuerdo con dicho valor? Justifique su respuesta. Tasa global de fecundidad (hijos por mujer) Ciudad de Buenos Aires 2.776.138 1.8 Buenos Aires 13.827.203 2.5 Fuente: INDEC, Censo Nacional de Población, Hogares y Viviendas 2001 Provincia

Respuestas:

Total de habitantes

2.38 hijos por mujer (Promedio Ponderado)

14) Se desea evaluar cuánto tiempo tarda un atleta en realizar una prueba en los juegos olímpicos. Se sabe por olimpíadas anteriores que la duración de la misma prueba para un grupo de 50 individuos fue la siguiente: X (minutos) 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35

Atletas 8 21 10 7 4

a) ¿Los datos son homogéneos? Justificarla respuesta. Indicar el tipo de asimetría.

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b) ¿Cuánto tiempo tarda el competidor más rápido del 15% de los competidores más lentos? c) Sabemos que hay 10 medallas para ser entregadas a los competidores más veloces, indicar cuál será el tiempo máximo que deberá tardar un competidor parta recibir una de ellas. Respuestas: a) Media = 20.3 minutos Desvío = 5.8169 minutos CV = 28.65%

b) 27.5 minutos

c) 15.48 minutos

15) Una empresa dedicada al transporte de mercadería fue consultada acerca de los kilómetros recorridos por sus camiones y proporcionó la siguiente información: kilómetros recorridos 600 - 800 800 - 1000 1000 - 1200 1200 - 1400 1400 - 1600 1600 - 1800

cantidad de camiones 6 8 5 3 2 1

a) Determinar el promedio y desvío de kilómetros recorridos. ¿Podría concluirse que la media aritmética es representativa? b) ¿Cuál es el porcentaje de camiones que recorren más de 1200 km? c) ¿Cuál es la cantidad de kilómetros recorridos superado por el 10 % de los camiones? Interpretar. d) ¿Cuántos camiones recorren a lo sumo 1080 km? e) ¿Cuál es la cantidad de kilómetros no superado por el 40 % de los camiones? f) Suponiendo que en realidad los camiones recorren 100 km. más, determinar el nuevo promedio y desvío. Respuestas:

a) 1020 km ; 277,13 km. . No d) 16 camiones

b) 24% e) 900 km.

c) 1450 km. f) 1120 km. ; 277,13 km.

16) Una entidad bancaria decide aumentar el monto mínimo de sus imposiciones a plazo fijo. La siguiente tabla expone los montos de depósitos correspondientes al mes anterior. Monto de las inversiones en $ Cantidad de inversores

2000-4000

4000-6000

6000-8000

8000-10000

10000-12000

7

11

13

7

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La política de la entidad financiera es actualizar el monto mínimo mensualmente, en función de las operaciones registradas en el mes anterior, llevándolo al monto que desprecie el 25% de los plazos fijos menores del mes anterior. Por otra parte, existe la posibilidad de pagar un punto adicional a aquellos cinco clientes que hayan efectuado las operaciones de mayor importe. Determine: a) El nuevo monto mínimo. b) El valor del certificado a partir del cual se podría pagar un punto adicional de interés en caso de que la operación sea renovada a su vencimiento. c) La homogeneidad de la distribución. d) El valor del certificado a partir del cual se encuentran el 50% de los montos invertidos. e) El monto invertido con mayor habitualidad. f) El monto invertido que es superado por el 36% de los inversores. g) La asimetría de la distribución. Respuestas:

a) $ 4636.36 d) $ 6461.54 g) Prácticamente simétrica

b) $ 9714.29 e) $6500

c) Distribución heterogénea f) $ 7366.15

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Algunos ejemplos Ejemplo 1 Los siguientes datos corresponden a la distribución de frecuencias del peso de caramelos (en gramos): Peso de los caramelos 2,35-3,45 3,45-4,55 Cantidad de caramelos 5 14

4,55-5,65 25

5,65-6,75 10

6,75-7,85 6

a) Definir la variable b) Construir la tabla de frecuencias c) Calcular el peso medio y la variancia d) Calcular el modo y la mediana e) Grafique las frecuencias absolutas simples y las frecuencias acumuladas f) Veamos las diversas formas de preguntar acerca del cálculo de un fractil:  ¿Cuál es el peso superado por el 70% de los caramelos?  ¿Cuál es el peso no superado por el 30% de los caramelos?  ¿Cuál es el peso máximo del 30% de los caramelos?  ¿Cuál es el peso mínimo del 70% de los caramelos? Resolución a) La variable es: Peso de los caramelos; se trata de una variable cuantitativa continua b) Marca de Frecuencias Frecuencias Frecuencias Intervalos Clase absolutas relativas acumuladas 2,35-3,45 2,9 5 0,083 5 3,45-4,55 4 14 0,233 19 4,55-5,65 5,1 25 0,416 44 5,65-6,75 6,2 10 0,166 54 6,75-7,85 7,3 6 0,100 60 Totales 60 1 c)

x = (2,9*5 + 4*14 + 5,1*25 + 6,2*10 + 7,3*6)/60 = 5,0633 gramos

(2,9²*5 + 4²*14 + 5,1²*25 + 6,2²*10 + 7,3²*6) - 60(5,0633)² s ² =  = 1.3936 gramos ² 59 d) M

M

e

o

 4 ,55 

 4 ,55 

11  1 . 1  5 ,015 gramos . 11  15  19 2  1,1  5 ,034 gramos 44  19

60

e)

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f)

g)

P 0 . 3  3 . 45 

F (4.7)  19 

60  0 . 3  5  1 . 1  4 . 47 gramos 14

4.7  4.55 * 25  22.41  22caramelos 1.1

Porcentaje de caramelos: 22/60*100=36.67%

Ejemplo 2 En una prueba de aptitudes realizada a los postulantes para un puesto en una importante empresa se observaron los siguientes puntajes, donde 1 representa aquellos que han obtenido un excelente desempeño y 4 un muy mal desempeño: Xi fi Fi fri Fri 1 10 10 0.1 0.10 2 20 30 0.2 0.30 3 30 60 0.3 0.60 4 40 100 0.4 1.00 a) Indicar las medidas de tendencia central y la varianza b) Graficar la distribución de los datos. En este caso los cálculos son más fáciles, debido a que la información no está presentada por intervalos como en el ejemplo anterior. Me = 3

Mo = 4

x = 3 s² = 1.01

Obsérvese que el modo se puede calcular directamente a partir del gráfico:

fi

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0

1

2

3

4

5

X

Recuerde que en el eje de las y queda representada la frecuencia simple, que en este caso es: cantidad de postulantes y en el eje de las x, la variable en estudio, que en este caso es: puntaje obtenido.

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Ejercicios Adicionales 1) El jefe de personal de una fábrica está analizando el cumplimiento del horario por parte de la dotación de operarios, y a tal efecto, registró la cantidad de llegadas tarde de cada operario durante el mes pasado y obtuvo los siguientes datos: 4 2 0 1

6 3 1 2

1 2 0 1

0 1 4 0

4 3 0 1

1 8 3 1

3 0 1 0

2 1 1 3

1 2 2 6

1 4 3 1

a) Indicar cual es la variable en estudio y clasificarla. b) Ordenar los datos anteriores en una distribución de frecuencias. c) Durante el mes pasado, cuántos operarios llegaron tarde: c.1) exactamente 6 veces? c.2) como máximo 5 veces? c.3) como mínimo 2 veces? d) Durante el mes pasado, ¿qué porcentaje de los operarios llegó tarde: d.1) exactamente 4 veces? d.2) menos de 2 veces? d.3) más de 7 veces? e) ¿Cuál es la cantidad de llegadas tarde más frecuente? f) Representar las frecuencias absolutas simples con un gráfico de bastones Respuestas: c1) 2 operarios c2) 37 operarios c3) 19 operarios e) Mo= 1 llegada tarde

d1) 10% d2) 52.5% d3) 2.5%

2) Se llevó a cabo un estudio de mercado con el fin de describir el nivel de consumo mensual en unidades, de los compradores de cierto producto de venta masiva. Para ello se realizó una encuesta a un grupo de individuos elegidos al azar y los datos reunidos se organizaron en la siguiente tabla: X f

0–3 23

3–6 25

6–9 26

9 - 12 38

12 – 15 42

a) Indique cuál es la variable en estudio “X” y que simboliza “f” b) En forma gráfica o bien analíticamente, determine el tipo de asimetría de la distribución ¿Qué le indica esta característica con respecto a la variable estudiada? c) Calcule el percentil 80 e interprete el resultado en función del caso estudiado. d) La distribución es homogénea? Justifique e) Qué cantidad de individuos compra a lo sumo 7 unidades. Respuestas: b) Asimetría negativa (promedio= 8.4935 < Mo=12.258) d) Es heterogénea. CV=0.5

c) 12.8 unidades e) 57 individuos.

3) El Gobierno de la Ciudad está considerando reemplazar las autobombas por otras de tecnología más moderna si comprueba que los gastos anuales promedio de mantenimiento de las unidades son excesivos. Una muestra de comprobantes por gastos anuales de mantenimiento de distintos cuarteles, arrojó los siguientes resultados: Gastos (en $) Cantidad de Comprobantes

30000 - 40000 8

40000 - 50000 5

50000 - 60000 2

60000 - 70000 1

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a) Calcular el gasto en mantenimiento promedio anual y representar gráficamente la distribución de frecuencias. b) ¿Qué tipo de asimetría observa? Verifique analíticamente. c.1) ¿Variará el valor modal de la distribución si se agrega un comprobante de $ 53000? Justifique. c.2) ¿Variará el valor mediano si se agregan 7 comprobantes de más de $ 60000 ? Respuestas: a) $42200 c1) No se modifica.

b) Asimetría positiva ( $42200 > Mo= $37272.72). c2) si se modificaría.

4) La siguiente serie representa los saldos en cuenta corriente: SALDOS EN CUENTA CORRIENTE 50-100 100-150 150-200 200-250 250-300 300-350 350-400

CANTIDAD DE CUENTAS 10 12 21 25 22 20 12

a) ¿Cuál es el saldo promedio en cuenta corriente. b) ¿Cuál es el saldo máximo de las 54 cuentas de menores saldos c) Si el saldo promedio en caja de ahorro es de $ 275 con una dispersión de 15 $ ¿cuál de los saldos de los dos tipos de cuenta es más homogéneo? d) ¿Cuál es el saldo más común en cuenta corriente? e) ¿Cuál es el saldo mínimo de las 75 cuentas de mayores saldos? Respuestas: a) $234,4 b) $222 c) CVCC= 0.37 CV(CA)=0.054 . Distribución de caja de ahorros más homogénea d) $228.57 e) $208 5) Para la siguiente distribución de una variable discreta, en la que se han perdido las frecuencias absolutas del primer y último valor se afirma que: Media aritmética =125 Xi: fi:

Modo =125

Mediana =125

105 110 115 120 125 130 135 140 145  35

40

50

100

50

40

35 

a) ¿Son admisibles los valores de los estadísticos de posición, teniendo en cuenta la distribución de frecuencias? b) En caso afirmativo, ¿como debería completarse la distribución, sabiendo que el total de observaciones es igual a 400? Respuestas:

a) Si b) 25

6) Se cuenta con la distribución porcentual del monto mensual facturado por cliente en un comercio minorista de esta ciudad:

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Monto de la factura (en $)

% de clientes

Menos de 100 100 – 200 200 – 300 300 – 400 400 – 500 500 – 600 600 – 1000 1000 y más

17.2 11.7 12.7 14.5 15.9 11.9 12.7 3.4

a) Definir la variable en estudio y clasificarla.. b) ¿Qué porcentaje de clientes compraron por $400 o más? c) ¿Qué porcentaje de clientes compraron por menos de $300? d) ¿Qué porcentaje de clientes compraron al menos $300 pero no más de $500? Respuestas: a) Monto mensual facturado por cliente. Cuantitativa Continua b) 43.9% c) 41.6% d) 30.4% 7) En un estudio realizado en un supermercado se registró el ingreso diario de clientes en un período. Los datos fueron ordenados en la siguiente tabla:

N° de clientes

N° de días

50- 55

4

55- 60

6

60- 65

18

65- 70

13

70-75

8

75- 80

6

80- 85

5

a) ¿En cuántos días se registró un ingreso de, como máximo, 75 clientes? b) ¿En qué porcentaje de días se registró un ingreso superior a 65 clientes? c) Calcular el número promedio de personas que ingresaron en el supermercado y su desvío típico d) Calcular la cantidad de clientes ingresados diariamente en el 50% de los días e) Calcular la cantidad de clientes ingresados diariamente con más habitualidad f) ¿Cuál es el valor de la variable superado por el 20% de los casos? g) Determinar el tipo de asimetría de la distribución h) Si se cree que la cantidad de clientes puede ser un 10 % superior, utilizando las propiedades correspondientes, determine el nuevo promedio y desvío. Respuestas:

a) 49 días d) 65.77clientes b) 53.33% e) 63.53 c) 66.92clientes; 8.0828clientes

g) asimetría positiva h) 73.61cl.; 8.89cl. f) 74.375clientes

8) Se desea estudiar la cantidad de productos vendidos de la marca XX para analizar la conveniencia o no del lanzamiento de una campaña publicitaria. Para ello se observaron las góndolas de varios supermercados donde se exhibía el producto, durante el lapso de una semana entre las dos y las tres de la tarde. Los resultados se exponen en la siguiente tabla:

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Productos 0 1 2 3 4 5

Personas 20 40 50 100 180 150

a) Definir claramente la variable en estudio y clasificarla. b) ¿Cuál es la venta más frecuentemente observada? c) Se considera conveniente el lanzamiento de la publicidad si los individuos que compran tres o menos productos de la marca XX representan menos del 40% del total de compradores, ¿aconsejaría el lanzamiento de la campaña? Respuestas:

a) Cantidad de productos vendidos de la marca XX. Variable aleatoria discreta b) 4 unidades c) Si

9) Una entidad financiera pone a disposición de sus clientes dos nuevos planes de inversión. La gerencia desea saber si se nota alguna preferencia por uno u otro tipo de inversión. Ante ello uno de los empleados encargado del estudio sugiere el cálculo de la media aritmética, la mediana, el modo y el rango. Los montos obtenidos durante 8 días de se encuentran en la siguiente tabla y están expresados en miles de $. Plan A Plan B

84 85

83 51

50 50

17 50

15 15

85 49

16 48

50 52

a) ¿Detecta el estudio alguna preferencia? Analizar la información que le brindan las medidas obtenidas. b) ¿Considera necesario el cálculo de alguna medida adicional? Justificar su respuesta.

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Trabajo Práctico 2 PROBABILIDADES 1) Sea el experimento que consiste en tirar un dado equilibrado y ver qué número sale en la cara superior. a) Esquematizar el espacio muestral b) Calcular la probabilidad de: I) obtener un cuatro. II) obtener un número par. III) obtener un múltiplo de 3. Respuestas:

a) { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }

b) 0,166 ; 0,5 ; 0,33

2) En una empresa trabajan 80 personas. 30 son mujeres y 45 personas residen en zona Norte. Además hay 13 personas que son mujeres y residen en la zona Norte. Calcular la probabilidad de que si se selecciona una persona al azar: a) sea mujer o viva en la zona Norte b) si vive en la zona Norte que sea varón. Respuestas:

a) 0,775

b) 0,71

3) Para promocionar una nueva vacuna contra la hepatitis B, un laboratorio realiza una encuesta entre 40 mujeres de más de 40 años y 50 hombres de la misma edad, que se habían vacunado con la vacuna de laboratorio. Encontraron que entre los hombres vacunados el 2% había contraído la enfermedad, mientras que entre las mujeres vacunadas solo 16 habían contraído la enfermedad. Se elige una persona al azar que está vacunada, cuál es la probabilidad: a) De que se trate de un hombre enfermo. b) Que sea mujer o esté enferma. c) Si está enferma, que sea mujer. d) Demostrar si los sucesos son estadísticamente independientes. e) Si se toman dos personas al azar, cuál es la probabilidad de que sean del mismo sexo. Respuestas:

a) 0,0111

b) 0,455

c) 0,941

d) No

e) 0,5006

4) En una zona rural el 3 % de los habitantes contrae una enfermedad, que se detecta con un análisis el cual da positivo en el 90% de las personas enfermas y en el 8% de las sanas. Si se le practica el análisis a una persona, cuál es la probabilidad de que: a) esté enfermo y el análisis sea positivo b) esté sano o el análisis le haya dado negativo c) resulte positivo cuando está enferma realmente d) que esté enferma o que el resultado sea negativo Respuestas:

a) 0,027

b) 0,973

c) 0,9

d) 0,9224

5) El 70 % de las amas de casa de una ciudad realizan sus compras en supermercados y el 15% en almacenes. Hay un 3 % que compra en supermercados y almacenes. a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un ama de casa que compre sólo en supermercados? b) Al elegir un ama de casa que compra en supermercados, ¿cuál es la probabilidad de que compre también en almacenes?

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c) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un ama de casa que no compre en ninguno de los dos lugares? Respuestas:

a) 0,67

b) 0,043

c) 0,18

6) Dados dos sucesos aleatorios incompatibles A y B determinar la P (B) sabiendo que la P ( A) = 0,52 y que la probabilidad de que no se presente ninguno de los dos es 0,17. Justificar claramente la respuesta. Respuestas: 0.31. 7) Dados dos sucesos aleatorios compatibles A y B determinar la P (No A) sabiendo que la P (No B/ NoA) = 0,48 y que la probabilidad de que se presente alguno de los dos es 0,75. Justificar claramente la respuesta. Respuestas: 0.5208 8) Sabiendo que C, D y E son sucesos exhaustivos y que la probabilidad de C es el triple que la de D y esta a su vez en el doble de la probabilidad de E. Calcular la probabilidad de cada uno de los sucesos. Respuestas: 2/3; 2/9; 1/9 9) Sabiendo que los sucesos A y B son independientes y que: P(A)=h, P (A U B)=0,6 y que la P(B)=0.2. Se pide calcular el valor de h. Respuesta: 0.5 10) A un grupo de 300 personas que padecían una enfermedad viral que todavía no tenía un tratamiento específico, se le suministraron tres tipos de vacunas y se analizó la inmunización a dicho virus: Vacuna I 30 60 90

Inmunizó No inmunizó Totales

Vacuna II 70 70 140

Vacuna III 50 20 70

Totales 150 150 300

a) ¿Qué porcentaje de los individuos no fueron inmunizados con la vacuna II? b) De los individuos no inmunizados ¿Qué porcentaje fue vacunado con la II? c) ¿Cuál de las tres vacunas fue más efectiva? d) Si se seleccionan tres individuos vacunados al azar ¿cuál es la probabilidad de que dos de ellos inmunicen y el restante no? Respuestas:

a) 23.33%

b) 46.67%

c) La vacuna III

d) 0.3763

11) El 60% de los individuos que concurren a una universidad estudia carreras correspondientes a la facultad de ciencias económicas. De estos el 70% trabaja en áreas relacionadas con la administración. Además, se sabe que el 75% de los individuos estudia ciencias económicas o se desempeña en el área de la administración. Si se selecciona un individuo al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que no estudie una carrera de la facultad de económicas y trabaje en el área de administración? b) De los individuos que trabajan en el área de administración, ¿qué porcentaje decidió estudiar una carrera de la facultad de ciencias económicas? Respuestas:

a) 0.15

b) 73,68%

12) De una bolsa que contiene caramelos frutales de distintos sabores, un niño retira dos caramelos. Sabiendo que en la bolsa había 9 caramelos de naranja, 12 de ananá y 4 de frambuesa, calcular la probabilidad de que los caramelos extraídos: a) Sean uno de ananá y el otro de frambuesa.

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b) Sean los dos del mismo sabor. c) Al menos uno de los dos tenga sabor a naranja. Respuestas:

a) 0,16

b) 0,36

c) 0,60

13) Tomando como base los datos del ejercicio dos, suponga que se tiene otra bolsa a la que llamaremos B2, con 10 caramelos de naranja, 8 de ananá y 6 de frambuesa. El niño sacará ahora 1 caramelo de la primera bolsa y sin mirarlo lo pasará a la segunda y luego extraerá un caramelo de B2 y lo pasará a la primera bolsa: a) ¿Cuál es la probabilidad de que luego de las dos extracciones las bolsas no haya modificado su contenido? b) Si se sabe que la caja no ha modificado su contenido, ¿Cuál es la probabilidad de que haya pasado un caramelo de sabor ananá de la primera a la segunda bolsa? Respuestas:

a) 0.376

b) 0.4596

14) Si ahora el niño cuenta con dos bolsas una con 6 alfajores de chocolate blanco y 8 de chocolate negro y la otra con 7 alfajores de frutas y 5 de chocolate negro. Por una confusión las bolsas, que se encuentran cerradas, no han quedado identificadas. El niño elije una bolsa al azar y extrae de ella un alfajor para merendar, a) ¿cuál es la probabilidad de que el alfajor extraído sea de chocolate negro? b) Si el alfajor extraído resultó ser de chocolate negro, ¿cuál es la probabilidad de que la bolsa seleccionada contenga también alfajores de chocolate blanco? Respuestas:

a) 0.494

b) 0.5784

15) Los siguientes datos pertenecen a una muestra de 80 familias de cierta población, estos muestran la escolaridad de los padres y la de sus hijos.

Padres

Fue a la Universidad No fue a la Universidad.

Fue a la Universidad 18 22

Hijos No fue a la Universidad. 7 33

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo vaya a la universidad, si el padre asistió? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo vaya a la universidad si su padre no lo hizo? c) ¿Es estadísticamente independiente la asistencia del hijo a la universidad del hecho de que el padre fuera o no universitario? Explique la respuesta empleando argumentos probabilísticos. d) Si se seleccionan 3 padres al azar, ¿cuál es la probabilidad de que hayan sido universitarios? Respuestas:

a) 0.72

b) 0.4

c) No

d) 0.028

16) Se conoce por estudios recientes que la probabilidad de aprobar Estadística I en UADE es de 0.7. Si se seleccionan al azar 4, cuál es la probabilidad de que 2 de ellos aprueben Estadística I y los restantes no Respuestas: 0.2646 17) A y B se baten a duelo. En cada disparo, la probabilidad de acierto para A es 0,2 y para B 0,3. Dispara primero A y si no acierta, se arroja una moneda; si sale cara dispara de nuevo A, de lo contrario dispara B. Si después de esto viven aún A y B, tiene B un último disparo. Calcular las probabilidades de que gane A, gane B y ambos salgan ilesos. Respuestas: 0,28; 0,3; 0,42. 18) Un fabricante de videograbadoras (RCV) compra un cierto microchip, a tres proveedores. Un 30 % de los microcircuitos se compran a Electronic S:A ,un 20 % a Crown y el resto a Componentes CC. El fabricante tiene historiales extensos de los tres proveedores y sabe que el 3 % de los microchip de Electronic son defectuosos en tanto que los de Crown tienen un 5 % de defectuosos y un 4 % de los de Componentes CC son defectuosos. Cuando

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los microcircuitos llegan al fabricante los coloca en un depósito, y no son inspeccionados o identificados de algún modo por el proveedor. Calcular la probabilidad de que: a) haya sido fabricado por Crown y sea defectuoso. b) sea defectuoso c) siendo defectuoso, corresponda a la partida enviada por Componentes CC. d) si se extraen dos microcircuitos al azar, ambos sean del mismo proveedor. Respuestas:

a) 0.01

b) 0.039

c) 0.5125

d) 0.38

19) En una universidad el 20% de los profesores son titulares y el resto son adjuntos. El 70% de los titulares tiene dedicación exclusiva, mientras que solamente el 15% de los adjuntos la tiene. Calcular: a) ¿Qué porcentaje de los profesores no tiene dedicación exclusiva? b) Si se elige un profesor al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea titular o tenga dedicación exclusiva? c) ¿Qué porcentaje de los profesores sin dedicación exclusiva son adjuntos? Respuestas:

a) 74%

b) 0,32

c) 91,89%

20) Supongamos que una empresa manufacturera recibe embarques de partes de 2 proveedores distintos. Actualmente el 65 % de las partes que compra la empresa provienen del proveedor que llamaremos A y el resto del proveedor B. La calidad de las partes varía según su origen. Los niveles históricos de la calidad de los proveedores indican que la probabilidad de que una parte sea considerada mala dado que proviene del proveedor A es del 2 %, mientras que si proviene del proveedor B es del 5 %. a) Determine la probabilidad de que la parte sea buena y provenga de A. b) Calcule la probabilidad de que una parte sea mala. c) Si la parte es considerada mala ¿cuál es la probabilidad de que provenga del proveedor B? Respuestas:

a) 0.637

b) 0.0305

c) 0.5737

21) El personal del Bco. Argentino atiende distintos tipos de consultas, de las cuales una parte corresponde a autorizaciones de giros en descubierto. Se observa que sólo 30% de los clientes aceptan las condiciones del banco: el 35 % a la tasa normal y el resto a una tasa mayor. La mitad de los clientes que no aceptan indica que la tasa ofrecida es mayor a la normal. a) Calcular la probabilidad de que si se recibe una consulta, ésta corresponda a operaciones en descubierto a tasa mayor. b) Si la última consulta sobre descubierto se ofreció a tasa mayor, ¿cual es la probabilidad de que el cliente la acepte? Respuestas:

a) 0,545

b) 0,358

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Algunos ejemplos Ejemplo 1 Sea el experimento que consiste en tirar un dado equilibrado y ver que número sale en la cara superior. a) Esquematice el espacio muestral b) Calcular la probabilidad de: i) obtener un cuatro. ii) obtener un número par. iii) obtener un múltiplo de 3. Resolución En primer lugar conviene identificar el espacio muestral (S), que en éste caso está determinado por todos los resultados posibles que se pueden obtener al arrojar un dado. Puede salir cualquier número del 1 al 6: S = {1,2,3,4,5,6} y la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los resultados (suponiendo que el dado no está cargado) es 1/6 que es el resultado de dividir el número de resultados favorables (1) sobre el número de resultados posibles (6). Entonces: i) la probabilidad de obtener un cuatro es por lo tanto 1/6 ii) la probabilidad de obtener un número par será el número de resultados favorables (los números pares en el dado son: 2,4 y 6), dividido el número de resultados posibles (6). Resulta: 3/6. iii) los múltiplos de 3 en un dado son dos: 3 y 6, entonces la probabilidad pedida en este ítem es 2/6.

Ejemplo 2 Los siguientes datos pertenecen a 50 comercios de la zona sur de Buenos Aires divididos en 3 categorías y clasificados según tengan o no deudas impositivas: IMPUESTOS Al día En mora

CATEGORIAS A B C 7 6 12 9 8 8

Si se elige un comercio al azar ¿cuál es la probabilidad de que: a) esté en mora? b) pertenezca a la categoría A o B? c) pertenezca a la categoría C o esté en mora? d) Suponga que ahora se eligen 3 comercios al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que todos estén al día con los impuestos? a) P(Mora) 

25  0.5 50

b) En este caso los eventos son mutuamente excluyentes porque si el comercio pertenece a la categoría A no puede pertenecer simultáneamente a la B. P( A  B)  P( A)  P(B) 

16 14 30    0.6 50 50 50

c) En este caso los eventos no son excluyentes, porque un individuo puede pertenecer a la categoría c y estar en mora simultáneamente.

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P(C  Mora)  P(C )  P(Mora)  P(C  Mora) 

20 25 8 37     0.74 50 50 50 50

d) En este caso las probabilidades que debemos calcular están condicionadas entre sí debido a que, una vez que seleccionamos un comercio queda fuera de nuestras posibles observaciones (sin reposición)

P( AlDía1  AlDía2  AlDía3 )  P( AlDía1 ) * P( AlDía2 / AlDía1 ) * P( AlDía3 / AlDía1  AlDía2 ) =

25 24 23 * *  0.1173 50 49 48

Ejemplo 3 Para los siguientes datos: P(A/B)=0.2; P(No A U B) = P(A U No B) = 0.7. Se pide: a) Indicar si A y B son o no sucesos estadísticamente independientes. Justificar la respuesta. b) Calcular la P(A U B). c) Calcular la P (No B / A) Respuestas:

a) No son independientes

b) 0.675

c) 0.8

Si sabemos que: P(A/B)=0.2; P (No A U B) = P(A U No B) = 0.7 Podemos inferir que P (No A/B)=0.8; P(A y No B) = P (No A y B) = 0.3 Por otra parte si: P (No A/B) = P ( No A y B) / P (B) 0.8 = 0.3 / P (B) Y despejando obtenemos: P (B) = 0.375 Si ubicamos esta información en un diagrama de Venn tendremos:

Ejemplo 4 Se poseen dos cajas cerradas cada una de las cuales contienen diferentes monedas. En la caja 1 se tienen 10 monedas de 10 centavos y 5 de 50 centavos y en la caja 2 se tienen 15 monedas de 10 centavos y 12 de 25 centavos. Por una confusión las cajas se mezclaron y se desea identificarlas, para lo cual se toma al azar una moneda: a) ¿Cuál es la probabilidad de que dicha moneda sea de 10 centavos? b) Si la moneda seleccionada es de 10 centavos, ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca a la caja 1?

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C1

C2

10(10c) 5(50 c)

15(10c) 12(50c)

a) En este punto debemos utilizar el teorema de la probabilidad total, entonces: P (10c) = P ((C1 y 10c) o (C2 y 10c)) = P (C1). P (10c/C1) + P (C2). P (10c/C2)= = 0.5 . 10/15 + 0.5 . 15/27 = 0.6111 b) Esta pregunta debemos resolverla utilizando el teorema de Bayes.

P(C1/10c)=

P(C1 y 10c) / P(10c)

=

P (C1). P (10c/C1)

=

= P (C1). P (10c/C1) + P (C2). P (10c/2) =

0.5 .

10/15

10/15

+ 0.5

= 0.5455 0.5 .

.

15/27

Lo que podemos apreciar claramente es cuál es el efecto que produce la información adicional sobre nuestras probabilidades a priori, es decir, en un inicio, cuando las cajas no se encontraban identificadas la probabilidad de seleccionar cada una de ellas era de 0.5. Una vez extraída una moneda, que en este caso resulta ser de 10 centavos, intuimos que es más favorable la ocurrencia de este hecho en la caja 1 que en la caja 2, debido a que la caja 1 es la que cuenta con mayor proporción de monedas de dicho valor. Es por ello que la información adicional (haber sacado una moneda de 10 centavos) aumenta nuestra probabilidad a priori a favor de la caja n°1, habiendo pasado de 0.5 a 0.5455 y por ende disminuye la probabilidad de la caja n°2 de 0.5 a 0.4545. Las últimas probabilidades obtenidas, es lo que se denomina probabilidades a posteriori.

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Ejercicio Integrador: Introducción: En la Argentina, al igual que en los países más desarrollados, las enfermedades no transmisibles (enf. cardiovasculares, cáncer y lesiones) (ENT) ya han conquistado el primer lugar como causantes de dolencias y de muerte. Producen en forma casi silenciosa el 50% de todas las muertes y se ha proyectado que para el 2020, las ENT explicarán el 75% de todas las muertes en el mundo. A pesar de este escenario poco alentador, las ENT son prevenibles y se cuenta con evidencia consistente sobre la efectividad de intervenciones tanto de promoción, prevención y tratamiento, que justifican llevar a cabo acciones de política pública. Para poder realizar estas intervenciones se necesita disponer de información relevante relacionada con las principales causas de las ENT. Los principales determinantes de las ENT son los llamados Factores de Riesgo, como el tabaco, el alcohol, la inactividad física, la presión arterial elevada, el colesterol elevado, la diabetes y la alimentación no saludable. Es por ello que el Ministerio de Salud de la Nación realizó la primera Encuesta de Factores de Riesgo, que presenta la situación de los principales determinantes del riesgo de enfermedades no transmisibles. Aspectos metodológicos: La encuesta fue domiciliaria. Los resultados que se presentan corresponden la ciudad de Buenos Aires, en donde se encuestaron un total de 2000 habitantes de 18 años y más. Para ello se efectuó un muestreo probabilístico de viviendas y de cada una se seleccionó al azar un individuo, que completó el cuestionario. Resultados: Encuesta Nacional de Factores de Riesgo. Ciudad Autónoma de Buenos Aires Tabla 1: Consumo de tabaco según sexo Consumo de tabaco Total Sexo Total Nunca encuestados Fumador Ex-fumador fumador Varón 34,0 23,5 42,5 100 45,2% Mujer 30,1 21,9 48,0 100 54,8% 100,0% Tabla 2: Consumo de tabaco según edad Consumo de tabaco Total Edad Total Nunca encuestados Fumador Ex-fumador fumador 18 a 25 37,3% 5,9% 56,8% 100% 14,9% 25 a 35 34,3% 18,5% 47,2% 100% 20,9% 35 a 50 34,0% 23,9% 42,1% 100% 23,4% 50 a 65 23,6% 36,6% 39,8% 100% 22,0% 65 a 85 8,1% 30,7% 61,2% 100% 18,8% 100,0% Tabla 3: Consumo de tabaco según ingreso Consumo de tabaco Total Ingreso Total Nunca encuestados Fumador Ex-fumador fumador 0 a 600 $ 26,9% 20,3% 52,8% 100% 16,1% 600 a 1500 $ 34,4% 21,9% 43,8% 100% 41,2% 1500 y más 28,5% 25,6% 46,0% 100% 42,7% 100,0% Tabla 4: Consumo de tabaco según nivel de instrucción Consumo de tabaco Total Instrucción Total Nunca encuestados Fumador Ex-fumador fumador

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Hasta primario incompleto Hasta secundario incompleto Secundario completo y más

21,8%

30,4%

47,8%

100%

4,0%

35,3%

23,3%

41,4%

100%

27,7%

31,1%

22,2%

46,8%

100%

68,3% 100,0%

Tabla 5. No fumadores expuestos al humo ambiental de tabaco Lugar de exposición al humo Hogar 41,0% Trabajo 50,4% Lugar de estudio 15,0% Otros lugares 23,0% Evaluación: Debe contestar los siguientes ítems, siguiendo las siguientes pautas:  Estadísticos: Exprese el resultado con sus unidades (en caso de que posea)  Porcentajes o probabilidades: Exprese el resultado utilizando la notación adecuada. Por ej: P(AyB) donde A y B se adaptarán a cada enunciado 1-

Identifique para la Encuesta Nacional de Factores de Riesgo los siguientes ítems: población, muestra, individuo, al menos 5 variables estudiadas y su clasificación 2- Determine si la edad de los fumadores es homogénea, fundamentando su respuesta. 3- Interprete el valor 47.8% de la Tabla 4. 4- Construya la tabla de doble entrada (en porcentajes) para consumo de tabaco x ingresos. Identifique en dicha tabla dos sucesos compatibles y dos incompatibles, justificando su elección. 5- En base a la Tabla 4 determine el porcentaje de individuos fumadores. 6- En base a la tabla 2 calcule la Gr% de 65 para el total de encuestados e interprete el resultado. 7- Calcule la edad promedio de los encuestados y su desvío estándar. Interprete ambos resultados. 8- Si se eligen al azar dos habitantes de la Ciudad de Buenos Aires mayores de 18 años, ¿cuál es la probabilidad de que solo uno tenga secundario completo o más? 9- ¿Es independiente el consumo de tabaco de la edad del individuo? Justifique exponiendo datos de la encuesta. 10- ¿Qué porcentaje de los individuos no fumadores están expuestos a humo ambiental de tabaco en el hogar o en otros lugares que no sean el trabajo o el lugar de estudio? ¿Y qué porcentaje no está expuesto en el lugar de estudio? Indique qué grafico utilizaría para presentar los resultados de la Tabla 5. 11- Calcule el percentil 80 de los ingresos para el total de los encuestados e interprete el resultado. ¿Qué gráfico utilizaría para representar los ingresos? 12- Comente los resultados de la encuesta en la ciudad de Buenos Aires (media carilla). ¿Sobre qué grupos enfocaría una eventual campaña contra el tabaquismo?

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Trabajo Práctico 3 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Variables aleatorias discretas 1) El número de errores por hora que comete un administrativo en cierto trabajo es una variable aleatoria que tiene la siguiente distribución Cantidad de errores: 0 1 2 3 P (r) 0,4 0,3 0,2 0,1 a) Calcule el número medio de errores b) Determine la probabilidad de que se cometa como mínimo un error. Respuestas:

a) E ( r ) = 1error

b) 0,6

2) Un experimento consiste en tirar dos dados y anotar las sumas de las caras superiores: a) Construir la distribución de probabilidad de la variable “suma de las caras de los dos dados” b) calcular la probabilidad de que la suma sea: I) 4 II) seis o doce III) superior a 5 IV) a lo sumo 4 V) más de 3 Respuestas: b) 0,083; 0,16; 0,722; 0,16; 0,916 3) José Muñoz vende automóviles en la agencia Ford Norte. Generalmente negocia el mayor número de autos los días sábados. Ha establecido la siguiente distribución de probabilidad para los autos que vende para un sábado en particular Número de autos vendidos P (r)

0 0,1

1 0,2

2 0,3

3 0,3

4 0,1

a) En un sábado cualquiera ¿cuántos espera vender? b) ¿Cuál es la variabilidad absoluta y la relativa de la distribución? ¿Qué significa esta última? c) Si por un sistema de incentivos se propone una rebaja del 8 % para el próximo sábado, que se piensa redundará en un aumento de la misma magnitud, ¿cuántos autos espera vender y con que desvío? ¿La variabilidad relativa se ve afectada? Justifique. Respuestas:

a) 2,1

b) 1,136 CV = 0.54

c) 2,268 1,2266 La variabilidad relativa no varía

4) La demanda de un producto, por parte de Industrias Martín, varía mucho de mes a mes. La demanda en miles de unidades y su distribución de probabilidad basadas en los datos de los dos últimos años es la siguiente: Demanda de unidades : P (x) :

300 0,2

400 0,3

500 0,35

600 0,15

a) Si la empresa basa sus pedidos en el valor esperado de la demanda mensual, cuál debe ser la cantidad pedida por Martín para este producto. b) Suponga que cada unidad demandada genera ingresos de $ 70 y que cada unidad pedida cuesta $50. ¿Cuánto debe ganar o perder la empresa en un mes si coloca un pedido basado en su respuesta anterior y la demanda real es de 300 unidades.

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Respuestas:

a) 445 unidades

b) Perdería $ 1250.

5) Una empresa tiene dos empleados, A y B, que faltan aleatoriamente el 10 y 8% de la veces, respectivamente. Se sabe que: si concurre A se procesan 50 facturas por día, si concurre sólo B se procesan 25 facturas por día, si concurren ambos sólo el empleado A se encarga del procesamiento de facturas. a) Construir la distribución de probabilidad de la variable aleatoria: “cantidad de facturas procesadas por día b) ¿Cuál es el promedio de facturación diario? Considera que la variable presenta una baja fluctuación. Justifique estadísticamente su respuesta. c) ¿Cuál será la facturación promedio y el desvío estándar si se considera un mes de trabajo (tome 30 días)? Respuestas: a) P (0)=0,008; P (25)=0,092; P (50)=0,9; b) 47,3 facturas, Si; c) 1419facturas; 251facturas 6) Se van a extraer dos bolillas de una caja que contiene 3 bolillas numeradas (del 3 al 5). Construir la distribución de probabilidad de la variable: “suma de los números de las dos bolillas” y calcular la media y la varianza, considerando las extracciones con y sin reposición. Respuestas: Con reposición: P (6)=P (10)=1/9; P (7)=P (9)=2/9; P (8)=1/3. Promedio: 8; Varianza: 1,3333 Sin reposición: P (7)=P (8)=P (9)=1/3; Promedio: 8; Varianza: 0,6667 7) Se desea hacer una encuesta de mercado para estudiar cuál será la repercusión de un producto que será lanzado en los próximos días. Se conoce por estudios anteriores que el porcentaje de aceptación sobre productos similares es del 60%. Si se toma una muestra de 20 personas: a) ¿Cuál es la probabilidad que exactamente diez personas compren el producto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 12 personas compren el producto? c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 9 personas no lo adquieran? d) ¿Cuántas personas se espera que no compren el producto?

Respuestas:

a) 0,11714

b) 0.58411

c) 0,24466

d) 8

8) Se sabe por experiencias anteriores, que el 30% de los alumnos universitarios, trabaja más de 4 horas por día. Si seleccionamos al azar 10 alumnos universitarios, ¿Cuál es la probabilidad de hallar: a) 4 alumnos que trabajan más dé 4 horas. b) Más de 2 alumnos que trabajen más de 4 horas. c) A lo sumo 8 alumnos en iguales condiciones. Respuestas:

a) 0.2001

b) 0.6172

c) 0.9999

9) En un bingo del conurbano resulta ganador del premio mayor un promedio de un jugador cada 2,5 horas. En un lapso de 6 horas ¿cuál es la probabilidad de que el premio mayor salga 3 veces por lo menos? Respuestas: 0,43029 10) Por una esquina de la Capital Federal transitan en promedio 15 autos por minuto. Se desea calcular la probabilidad de que a) En u minuto pasen exactamente 11 autos b) En un minuto pasen más de 12 autos. c) Durante 30 segundos pasen 7 automóviles. d) ¿Cuál es el lapso tal para que la probabilidad de que no pase ningún auto valga 0.2? Respuestas:

a) 0,06629

b) 0.73239

c) 0.14648 d) 0,1066 minutos = 6 segundos

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11) En un proceso de control de calidad se efectúa una revisión periódica examinando la cantidad de piezas necesarias hasta encontrar la segunda defectuosa. Si el proceso trabaja con un 20% de defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de revisar: a) exactamente 12?; b) 8 ó menos?; c) 12 ó más? Respuestas:

a) 0,0472

b) 0,4967

c) 0,3221

12) En una central telefónica se reciben en promedio 5 llamadas por minuto. a) Definir la variable aleatoria, identificar su distribución y parámetros. b) ¿Cuál es la probabilidad de que en 2 minutos se reciban más de 8 llamadas? c) ¿Cuántas llamadas en promedio se reciben en 4 horas? Respuestas:

b) 0.66718

c) 1200 llamadas.

13) Entre los numerosos postulantes que se presentaron para cubrir un puesto administrativo en una importante empresa se preseleccionaron catorce, de los cuales solamente cinco pueden acreditar experiencia previa en tareas similares, y el director de Recursos Humanos de la empresa decidió elegir por sorteo los siete postulantes preseleccionados que entrevistará en primer término. Calcular la probabilidad de que en el grupo así elegido, haya: a) Exactamente 3 postulantes con experiencia previa. b) A lo sumo 2 postulantes con experiencia previa. c) Como mínimo 4 postulantes con experiencia previa. d) ¿Cuántos postulantes sin experiencia previa se esperaría encontrar en un grupo de tres postulantes? Respuestas:

a) 0,36713 b) 0,50 c) 0,13287 d) 1,93 postulantes sin experiencia previa (aprox. 2)

14) En la sección Contaduría de la empresa “A”, donde trabajan 8 empleados casados y 12 empleados solteros, el jefe elige al azar un equipo de empleados para hacer horas extras el próximo sábado. a) Para las siguientes preguntas definir la variable de estudio, identificar la distribución y sus parámetros. b) Si dicho equipo estuviera integrado por 4 empleados, ¿cuál sería la probabilidad de que más de la mitad de los mismos fueran casados? c) Si dicho equipo estuviera integrado por 9 empleados, ¿cuál sería la probabilidad de que menos de la tercera parte de los mismos fueran solteros? Respuestas:

b) 0,15315

c) 0,00322

15) Para realizar el control de recepción de una pieza el comprador decide tomar una muestra de 5 unidades de la caja recibida y si encuentra mas de 1 de segunda calidad rechazar la misma. Se cree que el proveedor ha incorporado en cada caja que entrega 2 unidades de segunda calidad sobre un total de 16 unidades. ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador acepte la caja? Respuesta: 0.91667 16) Un profesor tiene dos cursos de la materia Estadística II que denominaremos A y B. Se sabe por los registros que posee el docente de los primeros parciales, que el grupo A contó con un 5% de alumnos con nota de 7 o más y el grupo B con un 8%. El docente decide realizar un control sobre el rendimiento de sus alumnos en los cursos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el décimo sexto alumno entrevistado sea el primero que posee nota de 7 o más sabiendo que es del curso A? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el vigésimo encuestado sea el primer con nota de 7 o más dentro del curso B? Respuestas:

a) 0.02316

b) 0.0164

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17) Suponga que la probabilidad de que un vendedor ambulante logre realizar alguna venta con la modalidad puerta a puerta, es de 0,15. Si una mañana ofrece su producto en 18 casas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que logre realizar por lo menos una venta? b) ¿Cuál es la probabilidad de que logre entre 4 y 8 ventas? c) ¿Qué tipo de asimetría tiene la distribución de la variable “número de ventas” para este problema? Respuestas: a) 0.94635

b) 0.27925

c) Asimetría Positiva.

18) El número de personas que ingresan a la unidad de cuidados intensivos de un hospital en cualquier día, posee una distribución de probabilidad de Poisson, con una media igual a 5 personas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de personas que ingresan a la unidad de cuidados intensivos en un día particular sea igual a 2? b) ¿Y a lo sumo 2? c) ¿Cuántas personas se espera que entren durante 15 días? Repuestas:

a) 0,08422

b) 0,12465

c) 75 personas

19) Al comenzar las clases, en un curso de 80 alumnos en el que hay 24 recursantes, el profesor selecciona al azar 10 alumnos para contestar un cuestionario a fin de evaluar los conocimientos previos que tienen acerca de la materia. Calcular la probabilidad de que en el grupo de alumnos seleccionados haya: a) Entre 2 y 5 recursantes. b) Por lo menos 8 alumnos que cursan por primera vez la materia. c) Algún recursante. Respuestas:

a) 0,833

b) 0,3701

c) 0,9718

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Ejercicios Adicionales 1) Se ha comprobado que el 6 % de los originales presentados para su copia están incompletos o tienen algún tipo de error. Se toma una muestra al azar de l5 originales presentados para su copia, calcule la probabilidad de que: a) por lo menos dos tengan algún tipo de error o estén incompletos b) tengan a lo sumo 1 error c) ¿Cuántos errores espera tener? Respuestas: a) 0.2263

b) 0.7738

c) 0.9

2) La distribución del beneficio diario de una empresa se presenta en la siguiente tabla: X ( pesos) 1500 2000 2500 3000

P ( x) 0.2 0.3 0.4 0.1

a) ¿Cuál es el beneficio esperado diario? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera la empresa gane entre 2000 y 2500$? c) ¿Cuál es el desvío estándar del beneficio? ¿Considera que la variable es homogénea? Respuestas:

a) $2200

b) 0.7

c) $458.26. No

3) En épocas de recesión la probabilidad de que un afiliado titular independiente de una empresa de medicina prepaga pida la baja es del 0,38. Si del listado de afiliados titulares independientes con que contaba una de estas empresas antes del comienzo del último período de recesión, toman al azar 12 , cuál es la probabilidad que: a) Al menos la tercera parte sigan afiliados. b) Si el listado incluye 64000 afiliados titulares ¿cuántos esperarían mantener después del período de recesión? Respuestas:

a) 0.9896

b) 39680

5) En cierta estación de servicio cargan combustible a un promedio de 14 vehículos por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que entre las 11 las 11:20 hs carguen combustible al menos a 5 vehículos? Respuesta: 0.5054 6) El promedio mensual de demandas por siniestros de autos que recibe una aseguradora es de 2.4 En un período de 2 meses a) ¿cuál es el número esperado de demandas que recibirá la compañía? b) ¿cuál es la probabilidad de que reciba a lo sumo tres demandas? c) ¿cuál es la probabilidad de que reciba una o cuatro demandas? Respuestas:

a) 4.8

b) 0.29423

c) 0.22153

7) La variable “x” corresponde al número de llantas defectuosas en un lote de cuatro llantas moldeadas al mismo tiempo. La distribución de probabilidades de “x” es la siguiente: Llantas defectuosas. P (x)

0 0.7

1 0.2

2 0.05

3 0.03

4 0.02

a) Encuentre el valor esperado de “x”. ¿Qué significa este número? b) Encuentre la variancia y su desvío.

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c) Suponga que cada llanta defectuosa representa una pérdida de $15. Encuentre el valor esperado de la pérdida por llanta defectuosa. d) Encuentre su variancia o su desvío. Respuestas:

a) 0.47 llantas defectuosas c) $ 7.05 d) σ ² = 173.25 $²; σ = $ 13.16 b) σ ² = 0.77 (llantas defectuosas) ²; σ = 0.88 llantas defectuosas

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Algunos ejemplos Ejemplo 1 En un proceso de manufactura textil en el que se trabaja con dos tipos de maquinarias se sabe que, la máquina A posee un promedio de 2 defectos por cada 10 metros de tela y la máquina B un promedio de 0.3 defectos por cada metro. La producción está integrada por un 60% de piezas de la máquina A. a) Si se selecciona una pieza al azar:¿Cuál es la probabilidad de que en 10 metros se encuentre 1 falla? b) Si en 20 metros de tela se encontraron 3 fallas ¿Cuál es la probabilidad de que dicha pieza provenga de la máquina B? Resolución Tasa de fallas MA: 2 defectos/10metros Tasa de fallas MB: 0.3 defectos/metro

P (MA)=0.6 P (MB)=0.4

a) Se ha seleccionado una pieza de 10 metros de longitud (continuo) en el cuál se ha encontrado 1 falla ( llamaremos a esta situación Suceso), el problema que tenemos es que, al tener nuestra producción compuesta por rollos producidos por dos máquinas distintas, al seleccionar una pieza, desconocemos cuál es su procedencia ( Máquina A o Máquina B), es por ese motivo que para la resolución de este punto debemos utilizar el teorema de la probabilidad total: P (Suceso) = P( (MA y Suceso) o P (MB y Suceso))= =P (MA). P (Suceso/MA) + P (MB) . P (Suceso/MB)= =

0.6 .

0.27067

+

0.4 .

0.14936

=0.22215

Donde, las probabilidades de los sucesos se obtienen de aplicar la probabilidad puntual de poisson de 1 falla, en un continuo de 10, teniendo en cuenta las características correspondientes a cada una de las máquinas ( tasa de fallas). Esto es: P (Suceso/MA)=Ppo( 1 / 2) = 0.27067 P (Suceso/MB)=Ppo ( 1/ 3) = 0.14936

b) En este caso el suceso es que en 20 metros de tela se han encontrado 3 fallas. Por supuesto que sigue sin conocerse la procedencia de la pieza seleccionada, máquina A o B. Con lo cuál al igual que en el punto anterior tendremos: P (Suceso) = P( (MA y Suceso) o P (MB y Suceso))= =P (MA). P (Suceso/MA) + P (MB) . P (Suceso/MB)= =

0.6 .

0.19537

+

0.4 .

0.08924

=0.15292

Donde, las probabilidades de los sucesos se obtienen de aplicar la probabilidad puntual de poisson de 3 falla, en un continuo de 20, teniendo en cuenta las características correspondientes a cada una de las máquinas ( tasa de fallas). Esto es: P (Suceso/MA)=Ppo( 3 / 4) = 0.19537 P (Suceso/MB)=Ppo ( 3/ 6) = 0.08924 Finalmente, habiendo ocurrido este suceso, nos interesa saber cuál es la probabilidad de que la pieza provenga de la máquina B, es decir estamos en presencia del Teorema de Bayes.

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P (MB/Suceso)=

P(MB y Suceso) / P(Suceso)

=

=

P (MB). P (Suceso/MB) = P (MA). P (Suceso/MA) + P (MB). P (Suceso/MB)

=

0.4 .

0.08924 = 0.2334

0.6 .

0.19537

+

0.4 .

0.08924

En este ejercicio se percibe claramente cuál es el efecto de la información adicional sobre las probabilidades a priori. Como podemos observar en 20 metros para la máquina A se esperan 4 fallas y para la B 6 fallas, con lo cuál , al haber encontrado 3 fallas estamos más cercanos a que la pieza provenga de la máquina A que de la B. Es por ello que la información resulta desfavorable para está última, disminuyendo de manera drástica la probabilidad a priori que era 0.5 pasando a valer a posteriori del suceso 0.2334.

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Trabajo Práctico 4 DISTRIBUCIÓN NORMAL 1) Sabiendo que la recaudación diaria de cierto comercio minorista se distribuye normalmente con un monto promedio de $830 y un desvío estándar de $125: a) ¿Cuál es la probabilidad de que mañana se recaude menos de $885? b) ¿Cuál es la probabilidad de que mañana se recaude más de $600? c) ¿En qué porcentaje de los días se recauda entre $700 y $800? d) ¿En qué porcentaje de los días se recauda entre $900 y $1500? e) ¿Cuál es el monto no superado en el 20% de los días? f) ¿Cuál es el monto sólo superado en el 30% de los días? Respuestas:

a) 0,67003 d) 28,774%

b) 0,96712 e) $724,75

c) 25,60% f) $895,50

2) Los pesos de los paquetes de harina se distribuyen normalmente con una media de 950 gramos y un desvío estándar de 47 gramos: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete elegido al azar pese menos de 800 gramos? b) ¿Cuál es el peso superado por el 10% de los paquetes? c) Si de una muestra de 5 paquetes alguno pesa menos de 900 gramos se le aplica una multa al productor de harina. ¿Cuál sería la probabilidad de dicho evento? Respuestas:

a) 0.00071

b) 1010gramos

c) 0.5296

3) Las estaturas de un grupo de individuos de entre 18 y 20 años se distribuyen normalmente con una media de 1,68 metros. Se sabe que el 95% mide menos de 1,78 metros. a) Calcular el desvío estándar. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo elegido al azar mida más de 1,8 metros? c) ¿Cuál es la estatura máxima del 10% de los individuos más bajos? Respuestas:

a) 0.061

b) 0.02442

c) 1,6 metros.

4) El tiempo que tarda un operario en realizar una tarea, tiene distribución normal con promedio de 20 minutos y desvío de 4 minutos. El departamento técnico informa que el tiempo máximo tolerado para dicha tarea es de 25 minutos, para evitar retrasos en todo el proceso; todo operario que exceda de ese tiempo debe hacer un curso de capacitación a) ¿Qué porcentaje de operarios debería concurrir al curso? b) El departamento de administración informa que por razones de presupuesto no se puede enviar al curso a más del 5% del total de operarios de la empresa. ¿Qué empleados deberán tomar el curso? Respuestas:

a) 0.10565

b) 26 min 35 seg

5) En una empresa automotriz se ha determinado que el consumo de combustible promedio es de 18.5 litros para 150 km. en camino de tierra, con un desvío de 1.8 litros. El consumo de combustible se encuentra normalmente distribuido. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un vehículo tenga un consumo entre 15.15 y 22.42 litros en los 150 km? b) ¿Cuál es el consumo no superado por el 95% de los vehículos? c) Si se sabe que el consumo de combustible fue mayor a los 17.5 litros, ¿ cual es la probabilidad de que haya superado a la media? d) Si se sabe que el consumo de combustible fue inferior a los 19 litros ¿Cuál es la probabilidad de que de más de 18.3 litros?

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Respuestas:

a) 0.95393 b) 21.45 litros

c) 0.702 d) 0.2525

6) Una máquina dosificadora de café llena bolsas que deben contener en promedio 250grs con un desvío estándar de 20grs.cuando trabaja en condiciones normales. Suponga que los pesos de las bolsas de café tienen distribución Normal. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bolsa al azar esta pese menos de 244,36 grs. o más de 255.64 grs.? b) ¿Cuál es el peso superado por el 5% de las bolsas Respuestas:

a) 0.7795

b) 282,9 grs.

7) El contenido de bolsas de cemento tiene distribución normal y se sabe que el 10% de las bolsas tiene un peso mínimo de 65kgs, mientras que el 10 % de las bolsas tiene un peso máximo de 55 kgs. a) Determine el peso promedio y el desvío estándar b) ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa pese más de 65 kgs? c) ¿Qué porcentaje de las bolsas pesan más que la mediana? Respuestas:

a) promedio 60, desvío estándar 3.9

b) 0,10

c) 0,50

8) En un hospital de una gran ciudad se registra el peso de todos los bebes nacidos en él. La distribución de los pesos

 = 2.9 kilogramos y

es aproximadamente normal, con un valor de

un



= 0.45 kilogramos. Se desea conocer:

a) El porcentaje de bebes que pesan menos de 2,1 kgs. b) El porcentaje de bebes que pesan entre 1,8 y 4 kgs. c) ¿A partir de que peso se encuentra el 5% de los bebes de mayor peso? d) Si para el próximo año se se proyectan un total de 15000 nacimientos, ¿cuántos bebés se espera que pesen menos de 3,5 kgs? Respuestas:

a) 3.75%

b) 98.53%

c) 3.64

d) 13624 bebés

9) Las ventas mensuales de un producto tienen distribución normal. Se sabe que el 15% de los meses se venden menos de 1.500 unidades, mientras que el 7% de los meses las ventas superan las 1800 unidades. a) Definir la variable aleatoria e identificar sus parámetros. b) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas mensuales sean de 1600 unidades? c) ¿Cuál es la venta garantizada el 90% de los meses? Respuestas:

a) 1624 y 119 unidades

b) 0

c) 1471 unidades

10) Se ha comprobado que el tiempo que requiere un alumno para completar un examen tipo Multiple Choice se distribuye normalmente con promedio 43 minutos y desvío estándar igual a 16 minutos: a) ¿Qué porcentaje de los alumnos que tardan como mínimo media hora para completar dicho examen, lo terminan en menos de una hora? b) Si el examen se toma a un grupo de 6 alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que a lo sumo la tercera parte del grupo necesite más de 50 minutos para completarlo? c) Sabiendo que el tiempo requerido para completar otro examen del mismo tipo, al que denominaremos “Examen B”, también tiene distribución normal con promedio igual a 37 minutos y que solamente el 10% de los alumnos logra terminarlo en menos de 25 minutos, ¿qué porcentaje de los alumnos tarda más de media hora para completar el “Examen B”? Respuestas:

a) 81,81%

b) 0,69

c) 77%

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11) Por lo general, las notas finales están distribuidas de manera aproximadamente normal con media igual a 72 y desviación estándar de 12.5. Un profesor afirma que el 8% superior de un grupo recibirá como nota MB (muy bien); el siguiente 20% B (bien); el siguiente 42% recibirá M (mediano); el siguiente 18% S (suficiente); y el 12% inferior recibirá I ( insuficiente). ¿Qué nota debe excederse para obtener: a) MB? b) M? c) Aprobar el curso (se necesita al menos S)? Respuestas:

a) 89.56 puntos b) 65.45 puntos c) 57.3 puntos

12) Se sabe por estudios realizados a través de los años que el 40% de los alumnos que ingresan a primer año obtiene en un 7 o más la totalidad de las materias que cursa durante un cuatrimestre. Si se sabe que han ingresado a primer año 3000 alumnos, se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 1200 alumnos obtengan un siete o más todas las materias? b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 1750 alumnos obtengan menos de un siete en todas las materias? c) si se sabe que el 0,1% de los alumnos sufre daltonismo, ¿cuál es la probabilidad de encontrar 2 o menos que sufran dicha daltonismo? Respuestas:

a) 0.49202 b) 0.03005 c) 0,42319

13) En cierta estación de servicio cargan combustible a un promedio de 14 vehículos por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en 4 horas hs carguen combustible al menos a 80 vehículos? Respuestas: 0.00084 14) El 20% de los alumnos de cierta universidad obtiene un siete o más en Estadística I. Un profesor tiene 5 cursos de 20 alumnos cada uno. ¿Cuál es la probabilidad de que en más de 3 cursos, obtengan siete o más menos de 5 alumnos? Respuesta: 0.3907 15) El 1% de los cuadernos fabricados por cierta empresa tienen fallas. Si se venden en cajas de 50 unidades y un distribuidor compró 20 ¿cuál es la probabilidad de que en más de 1 caja se encuentre algún cuaderno fallado? Respuesta: 0.9993 16) Se sabe que las alturas de los jóvenes aspirantes a integrar el equipo de atletismo de la Universidad, es una variable que se distribuye normalmente, con una media de l70 cm. y un desvío de 5 cm. Después del control médico son excluidos los aspirantes que tienen una altura inferior a 164,6 cm. Para la próxima selección se presentaron 122 jóvenes. Calcular la probabilidad de que más de 20 de ellos sean excluidos. Respuesta: 0.18673 17) Una fábrica de artículos de cristal entrega las copas en cajas de 6 unidades y en base a la experiencia se sabe que la probabilidad de que se rompa una pieza durante el traslado a los clientes es del 1%. Si toda vez que un cliente recibe alguna pieza rota realiza un reclamo y se van a entregar 10 cajas, calcular la probabilidad de que se reciban menos de 2 reclamos si los pedidos pertenecen a 10 clientes distintos. Respuestas: 0.88732

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Algunos ejemplos Ejemplo 1 El peso de las bolsas de granos de café que recibe una empaquetadora es una variable aleatoria distribuida normalmente, para el distribuidor A con una media de 1000 gramos y un desvío de 15 gramos, y para el distribuidor B una media de 1005 gramos y un desvío 5 gramos. Se sabe que en depósito hay un 45% de bolsas del distribuidor B. a) Si se selecciona una bolsa al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que pese menos de 990 gramos? b) Si la bolsa seleccionada pesa más de 990 gramos, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al distribuidor A? Resolución x: peso de las bolsas de café. Posee distribución normal

μ  1000 gramos

μ  1005 gramos

σ  15 gramos

σ  5 gramos

P( A)  0.55

P( B)  0.45

A

B

A

B

a) Al seleccionar una bolsa, el hecho de que pese menos de 990 gramos, lo que a partir de aquí llamaremos suceso, no nos informa acerca de la procedencia de la misma, es por ese motivo que para la resolución de este punto debemos utilizar el teorema de la probabilidad total: P (Suceso) = P ( (A y Suceso) o P (B y Suceso))= =P (A). P (Suceso/A) + P (B) . P (Suceso/B)= = 0.55 . 0.25143 + 0.45 . 0. 00135 =0.138894 Donde, las probabilidades de los sucesos se obtienen de aplicar la probabilidad acumulada a la izquierda de 990, teniendo en cuenta las características correspondientes a cada una de las máquinas ( media y desvío). Esto es: P (Suceso/MA)=F(990)=F(Z=-0.67)=0.25143 P (Suceso/MB)= F(990)=F(Z= -3 )=0.00135

b) En este caso el suceso es que la bolsa seleccionada pesa más de 990 gramos (a diferencia del punto anterior debemos tomar las probabilidades acumuladas por la derecha del dicho valor) y nos interesa saber cuál es la probabilidad de que la bolsa provenga del distribuidor A, es decir estamos en presencia del Teorema de Bayes. P (A/Suceso)=

P(A y Suceso) / P(Suceso) =

=

P (A). P (Suceso/A) = P (B). P (Suceso/B) + P (A). P (Suceso/A)

=

0.55 .

0.74857 = 0.47812

0.45 .

0.99865

+

0.45 .

0.74857

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Ejercicios Adicionales 1) El consumo telefónico mensual de un comercio se distribuye normalmente con media $1650 y desvío $155 a) En qué porcentaje de los meses supera los $2050 o es inferior a los $1320 b) cuál es el consumo superado en el 90 % de los meses c) si un mes el consumo estuvo por encima del promedio, cuál es la probabilidad de que haya sido inferior a $1850 Respuestas:

a) 0.02153

b) 1451.29

c) 0.80294

2) Funcionarios del gobierno de la Ciudad de Bs. As. informaron que el 16% de las viviendas de cierto barrio de la ciudad son precarias, cuestión que tendrán en cuenta para un nuevo plan de erradicación y urbanización. Si establecen que promoverán obras en el dicho barrio si en una muestra al azar de 100 viviendas encuentran más de 20 precarias, ¿cuál es la probabilidad de que efectivamente realicen obras de urbanización en dicho barrio? Respuestas: 0.10935 3) La creciente recesión económica lleva a las empresas a modificar, entre otras cosas, sus condiciones de pago. En cierta industria se determinó que en el último año las cobranzas se realizaron a los 120 días fecha factura en promedio, con un desvío típico de 20 días (sin considerar los incobrables y clientes en gestión judicial) y que la variable “días de cobranza” se distribuye normalmente. a) Si no varían las condiciones económicas ni comerciales para el año próximo ¿cree que es muy probable que en la industria estudiada lleguen a cobrar a más de 150 días ff ? b) ¿En cuántos días como máximo se espera cobrar el 85 % de las operaciones? c) Si la última cobranza se efectivizó en un plazo inferior al promedio de días, ¿cuál es la probabilidad de que la empresa haya cobrado después de los 100 días ff? Respuestas:

a) 0.06681

b) 140.72

c) 0.68268

4) En una empresa láctea se produce diariamente manteca y yogur. La producción diaria de manteca requiere un promedio de 7300 lts. de leche con un desvío de 125 lts., mientras que la producción diaria de yogur requiere un promedio de 12500 lts de leche con un desvío de 244 lts. a) ¿Cuál es la probabilidad de que mañana la fábrica utilice más de 7500 lts de leche para la producción de manteca? b) En el 10% de los días de menor producción de yogur ¿qué cantidad de leche requieren para su producción? c) En una muestra de 8 días tomados al azar ¿cuál es la probabilidad de que en más de la mitad hayan utilizado menos de 7000 lts de leche para la fabricación de manteca? Respuestas:

a) 0.0548

b) 12187.192

c)0

5) Periódicamente se suspende el servicio de una central telefónica para darle mantenimiento, instalar nuevos equipos, etc. El tiempo que permanece inactiva la central telefónica está distribuido normalmente con media igual a 1.5 horas y desviación estándar de 0.4 horas. ¿Qué probabilidad existe de que la central permanezca inactiva a) más de 3 horas? b) entre 1 y 2 horas? Respuestas:

a) 0.00009

b) 0.7887

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Sugerencias Podes consultar en Internet la siguiente página con programas interactivos para reforzar el tema.

*Normal Approximation to the Binomial Distribution Muestra el cálculo de la probabilidad binomial a partir de una normal. Da como resultados el valor exacto y el arrojado por la aproximación. Se solicita n, p y los valores de r para los cuales se desea calcular la probabilidad *Probabilidades en la distribución normal: http://psych.colorado.edu/~mcclella/java/normal/handleNormal.html Muestra para distintos valores de Z el área bajo la curva con solo mover el Mouse. También se puede trabajar directamente con los valores de una normal general

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TRABAJO PRÁCTICO 5 SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Nota: Para los ejercicios que siguen a continuación asuma que las variables involucradas en los mismos son estadísticamente independientes entre sí. 1) Los pesos de los paquetes de harina se distribuyen normalmente con una media de 950 gramos y un desvío estándar de 47 gramos. Para ser distribuidos dichos paquetes se colocan en lotes de 20 paquetes en un packaging de plástico cuyo peso no se tiene en cuenta. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un packaging elegido al azar pese más de 19640 gramos? b) ¿Cuál es el peso total no superado por el 10% de los envoltorios? c) Si ahora se piensa que los paquetes de harina sufrirán menos roturas si se los coloca en una caja de cartón corrugado cuyo peso puede ser considerado constante e igual a 200 gramos ¿cuál es el peso total que no será superado con probabilidad del 10 %? Respuestas: a) 0.0012

b) 18730.62grs.

c) 18930.62grs.

2) La venta diaria de golosinas en un kiosco es una variable aleatoria de la cual se desconoce su distribución y se sabe que su media es de 130 unidades y su desvío de 40 unidades. Determine: a) ¿Cuál es la probabilidad de que la venta anual (365 días) sea inferior a las 45000 unidades? b) ¿Cuál es la venta no superada el 5% de los bimestres (60días)? Respuestas:

a) 0.00066

b) 7290 unidades

3) En una empresa que cuenta con una dotación de 30 obreros se sabe que el promedio salarial mensual es de $ 700 con un desvío estándar de $60. Si dentro de ese grupo de empleados se puede considerar que las retribuciones se distribuyen normalmente, a) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado gane más de $ 750? b) Determinar el valor del salario superado por el 30 % de los empleados. c) ¿Cuál es la probabilidad de que el importe total que la empresa abone en un mes en concepto de salarios a sus obreros sea superior a $ 21.500? d) ¿Qué concepto estadístico utilizo para contestar la pregunta c)? Respuestas:

a) 0.20327

b) 731.44$

c) 0.0643

4) En una empresa se ha asignado al departamento de costos una hora y 55 minutos diarias para la utilización del Sistema de Procesamiento de datos. Cada tarea que debe procesar el departamento requiere un tiempo de proceso distribuido normalmente con una media de 3 minutos. Se sabe que sólo el 1% de las tareas tarda más de 4,2 minutos para ser procesadas. Si en un día determinado el departamento de costos debe procesar 40 tareas, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo asignado sea suficiente? Respuesta: 0.06301 5) El consumo mensual de gaseosas en un local de comidas rápidas es una variable distribuida normalmente con una media de 750 litros y un desvío de 25 litros y se calcula que el ingreso por cada litro de gaseosa es de $5. a) Determinar el ingreso mensual promedio del rubro gaseosas y el desvío estándar b) ¿Cuál es el ingreso mínimo en el 10% de los meses? Respuestas:

a)  = 3750 $  = 125 $

b) 3910.2 $

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6) En relación al ejercicio anterior, suponga que ahora desea determinar cuál debería ser el ingreso por litro. Para ello se estipula que, la probabilidad de que el ingreso mensual del rubro gaseosas sea inferior a los $5500 valga un 10%. Respuestas:

a) Debería ser 7.66 $/litro

7) Si se supone que el tiempo requerido para terminar de resolver un examen final tiene una distribución aproximadamente normal, con una media de 80 minutos y un desvío estándar de 12 minutos, determinar: a) ¿Cuánto tiempo debe durar un examen si se pretende que el 90% de las personas lo terminen? b) Se sabe que en promedio se demora 18 minutos con un desvío de 3 minutos en ordenar a los alumnos y un tiempo promedio de 15 minutos con un desvío de 1,5 minutos en repartir los temas. Suponiendo que ambas variables se distribuyen de manera aproximadamente normal, ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total de una mesa examinadora desde que los profesores entran al aula, hasta que el alumno entrega la hoja sea superior a 140 minutos? Respuestas:

a) 95min.23seg.

b) 0.0154

8) En una empresa de mudanzas afirman, en base a su experiencia, que los servicios prestados en Capital demandan un tiempo variable distribuido normalmente con una media de 5 horas y un desvío estándar de 50 minutos, mientras que el promedio de canastos que alquilan por mudanza es 10 con un desvío de 2 (también posee una distribución normal). Cobran por el transporte 23$/hora, 10$ por cada peón y 3 $ por cada canasto alquilado. ¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso por los servicios del próximo sábado superen los $ 500 si efectúan tres mudanzas en Capital y en cada una deben disponer de 2 peones? Respuesta: 0.44433 9) El costo de un producto que se procesa en forma automática está formado por el costo de los materiales del envase y el costo del contenido, tomándose como unidad el envase de presentación. Debido a ciertas fluctuaciones, dichos costos son variables aleatorias independientes que pueden considerarse normalmente distribuidas: - el costo de materiales (x) con media 180$/m2 y desvío estándar de 2$/m2. - el costo del contenido (y) con media 20$/gramo, y desvío estándar de 1,5 $/gramo. Por otra parte se sabe que: El envase posee 0.07 m2/unidad y que el contenido del mismo es 5 gramos/unidad a) ¿Cuál es la probabilidad de que el costo del producto de una unidad terminada supere los $ 122? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el costo de un pack de 25 unidades supere los 2950$? Respuesta:

a) 0.11

b) 0.0002

10) El peso de las vacas sigue una distribución normal con media de 800kg y desvío de 140kg. El peso de los toros sigue una distribución normal con media de 1200kg y desvío de 210kg. Se envían periódicamente embarques en camiones que tienen una carga máxima de 15 tn. Si se sobrepasa dicho peso, el transporte rompe la suspensión. Por razones de espacio se suelen enviar 10 vacas y 5 toros por embarque. a) ¿Cuál es la probabilidad de romper la suspensión en un envío cualquiera? b) En los próximos envíos decide agregar 3 tambores de leche cuyo peso individual es constante e igual a 300 kg. ¿Cuál es la probabilidad de romper la suspensión ahora? c) Si el precio de las vacas es 40$/kg y el de los toros es 25$/kg, ¿Cuál es la probabilidad de vender todo el embarque por más de medio millón de pesos? Respuestas:

a) 0.06057

b) 0.44038

c) 0.07927

11) En un programa de cocina de un canal de cable, la sección comidas dulces tiene un tiempo máximo de duración de 17 minutos, fijado por la producción del programa. La conductora de dicha sección prepara habitualmente unos platos y divide a su sección en tres etapas cuyos tiempos de duración se distribuyen de manera normal, según se detalla abajo.

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Etapa Presentación del plato Preparación del plato Lectura de la receta y cierre

Media 2 min 13 min 1 min

Desvío 24 seg 2,6 min 12 seg

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la conductora no pueda terminar a tiempo su sección? b) Si el costo del minuto en el aire es de $300, ¿Cuál es la probabilidad de que esa sección tenga un costo superior a $5000? c) La producción levantará la sección si en una muestra al azar de 10 programas sucede que en más de la mitad no puede terminarse la sección. ¿Cuál es la probabilidad de que el programa sea levantado? Respuestas:

a) 0.35197

b) 0.40129

c) 0.0948

12) La lluvia caída mensualmente en una región tiene distribución normal con media de 30 milímetros y desvío de 10 milímetros. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la lluvia anual supere los 370 milímetros? b) ¿Cuál es la lluvia superada el 15% de los años? Respuestas:

a) 0.38591

b) 396 milímetros

13) La cantidad diaria de pantalones con defectos que salen de un taller de confección es una variable aleatoria con distribución asimétrica, con un promedio de 5 pantalones y un desvío estándar de 2 pantalones. Considerando un periodo de 50 días laborales, determinar: a) La probabilidad de que se produzcan a lo sumo 240 pantalones con defectos en ese lapso. b) ¿Cuál será la cantidad máxima de pantalones con defectos que se fabrican en ese periodo con probabilidad de 0,4? c) ¿Qué herramienta estadística utiliza para resolver este problema? Enunciar la misma. Respuestas:

a) 0 .2 3 8 8 5

b ) 2 4 6 .4 2

14) El Gerente de producción de una yerbatera considera que el peso de los paquetes es una variable aleatoria que se distribuye normalmente. Sabe también que la probabilidad de que un paquete pese menos de 450 gr es de 0,30, mientras que la probabilidad de que un paquete pese menos de 600 gr es de 0,85. Calcular: a) ¿cuál es la probabilidad de que un paquete de yerba elegido al azar pese más de 650 gr? b) Los paquetes de yerba se venden en cajas que contienen 20 unidades. El peso de las cajas que contienen los paquetes puede considerarse constante y es de 400 gr. Deben exportarse en contenedores que se sabe que soportan una carga de 525 Kg ¿Cuál es la probabilidad de que en un solo contenedor pueda enviarse un pedido de 50 cajas? Respuestas:

a) 0,05938

b) 0,93574

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Algunos ejemplos Ejemplo 1 Las bolsas de cal y de cemento tiene un peso normalmente distribuido con media: 25Kg y 50 Kg y desvío de 2,5 Kg y 4 kg. respectivamente. Para su distribución se cargan en un camión que puede transportar a lo sumo 10200 kg. Si se cargan 100 bolsas de cemento y 200 de cal, calcule la probabilidad de superar el peso que puede transportar el camión. Resolución Llamaremos : x: peso de las bolsas de cal y: peso de las bolsas de cemento Para responder la consigna debemos armar una nueva variable a la que denominaremos w. w = Carga total que transporta el camión (Kilogramos) Como la variable x y la variable y ambas tienen distribución normal, la variable w que resulta de una suma de las anteriores, también tiene distribución normal. w  x1  x2  ..... x200  y1  y 2  ..... y100

 w  x1  x2  ..... x200  y1  y 2  ..... y100 w  200  25  100  50  1000Kgs.  w2  200  2,5 2  100  4 2  2850Kgs 2   53,385Kgs. P (w  10200 )  ?

Z

10200  10000  3.75 53,385

P(Z  3.75)  1  P(z  3.75)  0.00009

Si el costo de la bolsa de cal es de 7,5$/kg y la de cemento 15$/kg y usted necesita comprar 10 bolsas de cal y 5 de cemento, determine el promedio del costo total y su desvío estándar. R: Costo total ( $)

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R : a  x1  a  x2  ........ a  x10  b  y1  b  y2  ....... b  y5

R : a  x1  a  x2  ........ a  x10  b  y1  b  y2  ....... b  y5

R : 7,5  25  7,5  25  ........ 7,5  25  15  50  15  50  ....... 15  50 R : 7,5  25  10  15  50  5  $5625

 R2 : 7,52  2,52  10  152  42  5  $221515.625  R  $146.68

Ejemplo 2 Se esta estudiando la posibilidad de efectuar traslados de equipaje a través de encomiendas, por parte del servicio de ferrocarriles que circulan hacia varios puntos turísticos del país, con el objetivo de optimizar los espacios para el transporte de sus pasajeros. El peso del equipaje es una variable muy asimétrica con un valor promedio de 15 kilos y un desvío de 8 kilos, la carga máxima que pueden enviar por encomienda es de 2000 kilos. Se desea saber cuál es el número máximo de cajas a transportar mediante este medio, para que la probabilidad de que se supere el límite tolerado sea a lo sumo del 1%. Respuesta: Aproximadamente 119 valijas Resolución Llamaremos: x: peso del equipaje El equipaje será enviado por un ferrocarril que puede tolerar un peso máximo de 2000 kilos con una probabilidad del 1%, con lo cuál deberemos construir una variable que nos de información acerca del peso del equipaje total: W: peso total del equipaje (con n valijas) que transporta el ferrocarril

w  x  x  x  x  .......... ..  x . 1 2 3 4 n

μw  μx1  μx2  μx3  μx4  ....... μxn  nμ  n.15

 2 w   2 x1   2 x2   2 x3   2 x4  ............   2 xn  n  2  n 82   n8 Si sabemos entonces que

P(w  2000)  0.01 2000  n.15 n8

 2.326

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Para poder despejar entonces nuestra incógnita, que es la cantidad de valijas, debemos elevar ambos términos de la ecuación al cuadrado.

(2000  n.15)2  2.3262 2 n.8

y despejando obtenemos:

4000000  60346.26n  225n2  0 Finalmente resolviendo obtenemos el resultado que buscábamos que es 119.

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Trabajo Práctico 6 NÚMEROS ÍNDICES 1) Una empresa reportó $17.446 (millones) en préstamos comerciales en el año 2000, $19.989 en el año 2002, $21.468 en el año 2004, $21.685 en el año 2005, $15.922 en el año 2007 y $18.375 en el año 2009. Utilizar 2000 como año base y desarrollar un índice simple para el cambio en el monto de préstamos comerciales para los años 2002, 2004, 2005, 2007 y 2009. Interpretar dichos índices en términos del problema. Respuestas:

114,6

123,1

124,3

91,3 105,3

2) Se presentan a continuación las ventas netas de una empresa entre el 2001 y 2009. a) Utilizar las ventas medias de los tres primeros años para determinar una base y luego determinar el índice de 2004 y 2009 b) ¿En qué porcentaje variaron las ventas desde el período base hasta el 2009?

Respuestas:

a) 113,7 90,4

b) Cayeron 9,6%

3) A continuación se detallan los precios de diferentes productos de una verdulería para agosto de 2005 y agosto de 2006. Además se incluyen las cantidades compradas. Utilizar agosto de 2005 como base. a) Determinar los índices de precios simples b) Determinar el índice de precios agregado simple para los dos años c) Determinar el índice de precios de Laspeyres d) Determinar el índice de precios de Paasche

Producto Lechuga Papas Tomates Morrones Respuestas:

a) 108,03 109,12

Agosto de 2005 Precio Cantidad $ 2,49 6 $ 3,29 4 $ 1,59 2 $ 1,79 3 112,58 127,93

Agosto de 2006 Precio Cantidad $ 2,69 6 $ 3,59 5 $ 1,79 3 $ 2,29 4 b) 113,1

c) 111,7

d) 112,2

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4) Los precios y la cantidad de varios artículos producidos por una empresa se presentan a continuación. Utilizar el año 2000 como base a) Determinar los índices de precios simples b) Determinar el índice de precios agregado simple para los dos años c) Determinar el índice de precios de Laspeyres d) Determinar el índice de precios de Paasche

2000 Cantidad 17.000 125.000 40.000 62.000

Precio Arandela $0,07 Chaveta $0,04 Perno para estufa $0,15 Tuerca Hexagonal$0,08 Respuestas:

a) 142,9

75

100

125

b) 111,8

2005 Precio $0,10 $0,03 $0,15 $0,10

Cantidad 20.000 130.000 42.000 65.000

c) 102,92

d) 103,325

5) La empresa Electronics Systems compra repuestos para máquinas robóticas utilizadas en su proceso de manufactura. A continuación se detalla información del precio de las partes de repuesto y la cantidad comprada:

Parte RC-33 SM-14 WC-50

$0,50 $1,20 $0,85

Precio 2000 $0,60 $0,90 $1,00

2006

Cantidad 2000 320 110 230

2006 340 130 250

a) Calcular un índice de precios simple para cada uno de los tres artículos, utilizando 2000 como periodo base. Interpretar. b) Calcular el índice de precios de Laspeyres para 2006 con 2000 como periodo base. Respuestas:

a) 120

75

117,65

b) 106,87

6) A continuación se listan las principales naciones productoras de acero, en millones de toneladas durante 2004.

Nación China Comunidad Europea Japón Estados Unidos Rusia

Cantidad (millones de toneladas) 197 144 103 78 52

a) Expresar la cantidad producida por China, la Comunidad Europea, Japón y Rusia como índice, utilizando a Estados Unidos como base b) ¿Qué porcentaje produce China más que Estados Unidos? Respuestas: a) China 252,6 Comunidad Europea 184,6 Japón 132,1 b) China produce 152,6% más acero que Estados Unidos

Estados Unidos 100

Rusia 66,7

7) Si un empleado cobró $ 6000 en el sueldo correspondiente al mes de mayo de 2013 ¿Cuánto dinero debería ganar en el sueldo correspondiente a diciembre de 2013 para no perder su poder adquisitivo si usa el índice de precios al consumidor para medirlo?

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Índice de precios al consumidor Junio 2013 – diciembre 2013 Junio 2013 0.8 Julio 2013 0.9 Agosto 2013 0.8 Septiembre 2013 0.8 Octubre 2013 0.9 Noviembre 2013 0.9 Diciembre 2013 1.4 Fuente INDEC Respuesta: $6400.95 8) Un determinado producto en un puesto de venta minorista el 1/1/2014 cuesta $12. Si el 1/6/2013 en ese mismo puesto tenía un costo de $ 7 a) ¿Cuál tendría que haber sido el precio el 1/6/2013 para que solo haya aumentado lo indicado por el índice de precios al consumidor?. b) ¿Cuál debería ser el precio actual si tomamos como base el precio del 1/6/2013? Respuestas:

a) $ 11,25

b) $ 7,47

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Trabajo Práctico 7 SERIES DE TIEMPO 1) Una compañía global basada en ciencia para el cuidado de la salud y pionera en biotecnología vende sus productos terapéuticos En la siguiente tabla aparecen las ventas netas de 1997 a 2004. Las ventas netas se dan en millones de dólares Año Ventas Netas

1997 6714

1998 7991

1999 9075

2000 9775

2001 9762

2002 10180

2003 8334

2004 8272

Ajuste una ecuación de tendencia lineal ¿Cuáles son las ventas estimadas para 2005? Respuestas:

yˆ  7909,86  189,56 t . El estimado para 2005 es de 9615,89

2) Las cantidades de vidrio de desecho producido por una empresa especializada en cristalería de laboratorio y tubos de cristal se muestran a continuación Año 2002 2003 2004 2005 2006 Desecho (Toneladas) 2 4 3 5 6

Ajuste una ecuación de tendencia lineal y estimar la cantidad de desecho para 2008. Respuestas:

yˆ  1,30  0,90 t . El estimado para 2008 es de 7,6 toneladas

3) Determinar un promedio móvil de tres años para las ventas de una empresa dedicada al diseño de piezas originales para diferentes tipos de máquinas.

Año Número producido(Miles) 2000 2 2001 6 2002 4 2003 5 2004 3 2004 10

Respuestas:

Año 2000 2001 2002 2003 2004 2004

Total móvil de tres años 12 15 12 18

Promedio móvil de tres años 4 5 4 6

4) Un importante parque de diversiones tiene la siguiente cantidad de visitantes cada trimestre de 1999 a 2003:

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1999 2000 2001 2002 2003

Número de Visitantes I II III IV 155 231 270 105 182 255 315 294 160 250 280 297 210 310 365 335 225 325 384 386

a) Construir el promedio móvil centrado de cuatro trimestres para estos datos y determinar los porcentajes del promedio móvil para los trimestres. b) Determinar los índices estacionales para desestacionalizar la serie de tiempo original. Respuestas:

b) I: 74,720 II: 103,978 III: 123,761 IV: 97,540

5) Calcular un promedio móvil ponderado en cuatro trimestres para el número de suscriptores de determinada revista técnica durante los nueve trimestres que abarcan los datos. Éstos se reportan en miles. Aplicar ponderaciones de 0,10,2-0,3-0,4 respectivamente, a los trimestres, es decir describir la tendencia en el número de suscriptores 31-Mar-04 30-Jun-04 30-Sep-04 30-Dic-04 31-Mar-05 30-Jun-05 30-Sep-05 31-Dic-05 31-Mar-06

28766 30057 31336 33240 34610 35102 35308 35203 34386

Respuestas: Los promedios móviles ponderados son: 31584,8 33088,9

34205,4 34899,8 35155,0 34887,1

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Trabajo Práctico 8 REVISION DE CONCEPTOS

Primera Parte: Ejercicios Integradores 1)

La universidad se encuentra analizando la posibilidad de otorgar beneficios a los alumnos que cumplan determinadas características. Aquellos alumnos que posean calificaciones superiores a los 8 puntos y no hayan faltado a clases durante el cuatrimestre (120 días) recibirán una beca total para la conclusión de sus estudios. Los alumnos que presentan calificaciones entre 7 y 8 y no presenten inasistencias durante el cuatrimestre, se les otorgará una beca parcial. Finalmente aquellos alumnos que no cumplan con alguna de las condiciones mencionadas no recibirán beneficios. Se sabe que las calificaciones de los alumnos poseen distribución normal con una media de 6,5 puntos y que el 2% del alumnado supera los 9 puntos. Por otra parte se sabe que los alumnos faltan aleatoriamente 1 vez cada 60 días. Si se asume que los dos eventos analizados son independientes: a) ¿Qué porcentaje de los alumnos recibirá la beca total? b) Si se evalúan los analíticos de 100 alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que más de 5 alumnos reciban la beca total? c) Si se postularon a fin de año 300 alumnos para obtener alguna beca, ¿cuál es la probabilidad de que más de 287 alumnos no logren obtener ninguna de las becas? Repuestas: a) 0.0148; b) Exacto: 0.00383; aproximación: 0.00418; c) exacto: 0.3704; aproximación: 0.35653

2) A un supermercado arriban en promedio 8 personas por minuto. Se ha estimado que el 60% de las familias que concurren al local lo hacen en automóvil propio. Por otra parte se supo de los individuos que abonan en la caja poseían una edad promedio de 27 años con un desvío estándar de 2 años (variable que puede considerarse normalmente distribuida) y que el 45% de los mismos abonaron con tarjeta de crédito. El gerente del local tiene como objetivo optimizar el tiempo de permanencia en caja de los clientes a fin de evitar reclamos de parte de los mismos y para ello decidió diseñar un plan de entrenamiento a tal fin. El supermercado cuenta con 45 cajeras de las cuales 23 de ellas tienen más de 6 años de antigüedad, el gerente decidió seleccionar a 7 de ellas para incorporarlas a un plan de entrenamiento teniendo en cuenta los años de antigüedad. a) Determinar la probabilidad de que más de la mitad de las seleccionadas posea 6 años o menos de antigüedad b) Si se observa el arribo de personas durante 3 minutos ¿cuál es la probabilidad de ingresen al supermercado menos de 20 personas? c) Si se selecciona una muestra de 10 familias ¿cuál es la probabilidad de que de que seis o más hayan llegado en automóvil propio al supermercado? d) De los individuos que abonan en la caja con más de 28 años de edad, ¿qué porcentaje tiene menos de 29 años? e) ¿cuál es la probabilidad de necesitar encuestar 15 personas que pagan en la caja para conseguir que 8 de ellas no paguen con tarjeta de crédito? f) Si durante 30 segundos no entró nadie ¿cuál es la probabilidad de que en los próximos 2 minutos entren 17 personas? Respuestas: a) 0.47387 (exacto) b) 0.18026 (exacto); 0,17879 ( aproximación) c) 0.63310 d) 0.4856 e) 0.10738 f) 0.09338 3) La estatura de los niños de un jardín de infantes tiene un promedio de 1 metro. Se sabe que el 5% de los niños supera 1,10 metros. a.

Calcular la probabilidad de que un niño elegido al azar mida menos de 1.05 m

b.

De los niños que miden más de 90 cm que porcentaje mide:

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1. 2.

Más de 1,10 m Menos de 1 m

c.

¿Cuál es la estatura mínima del 80% de los niños?

d.

Si se seleccionan 10 niños al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 3 de ellos posean una estatura superior a 1,05 m?

e.

Si en una salita hay 30 niños y se van a seleccionar al azar a 5 de ellos para un acto. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de la mitad mida menos de 1 m?

f.

Los 5 niños seleccionados saltarán con una soga y se estipula que cada uno de ellos necesitará un 50% más de soga de lo que mide. ¿Cuál es la cantidad total de soga no superada con el 90% de probabilidad?

g.

¿cuál es la probabilidad de necesitar seleccionar 15 niños para encontrar 7 que midan menos de 95 cm?

h.

Si se supone por estudios médicos que la estatura de los niños de jardín se incrementa en un 10% al pasar a la primaria, indicar el promedio y desvío en la estatura de los niños de primaria.

i.

La tasa de arribos de los niños con sus madres a la escuela es de 5 niños por minuto. Si se observan 20 minutos ¿cuál es la probabilidad de que menos de 97 niños lleguen a la escuela?

j.

En una de las salas, la maestra recolecto información de los padres y discriminándolos por sexos obtuvo un promedio de 25 años para las mamás y 27 para los papás, con desvío estándares de 3 y 4 años respectivamente. ¿cuál de los dos grupos es más homogéneo en lo que respecta a las edades? ¿Alguno de ellos posee un promedio representativo? De no ser así, indique que medida de tendencia central adicional requeriría para completar su información.

k.

La docente de la sala cree que la estatura estaría vinculada con el género de los niños, para evidenciarlo supo que el 30% de los varones media más de 1,1 metros .El 80% de las nenas media menos de 1,1 metros. Además contaba con el dato de que el 45% de sus alumnos eran nenas. Concluya.

l.

La cuota que pagaban los padres del jardín en el ciclo lectivo 2010 era de $514, en el 2011 de $570 y la escuela informó que la cuota para el 2012 será de $634. Estudie la evolución de las cuotas tomando como base el año 2010.

Respuestas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

0.79457 1) 0.0526 ; 2) 0,4736 0.9488cm 0.64744 0.5 7.76mts 0.00694 1.1 y 0.06688 mts. 0.36317 Cvm= 12% ; Cvp=14% Las sospechas son fundadas 110,89; 123,35

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Segunda Parte: Ejercicios Adicionales 1) Resolver el problema planteado para el caso BIOTECH ARGENTINA S.A (material disponible en Webcampus) La empresa BIOTECH ARGENTINA S.A. es una sociedad anónima constituida bajo las normas legales argentinas y su accionariado está representado en un 100% por accionistas extranjeros. El 90% pertenece a su matriz estadounidense denominada BIOTECH Inc ltd y el otro 10% se encuentra en manos de otra de las empresas del grupo denominada BIOTRADE Inc ltd. El grupo BIOTECH es líder mundial en la comercialización de prótesis ortopédicas. Su fábrica esta localizada en Houston-Texas y desde allí se abastece a todas sus filiales o representantes en el mundo. En la Argentina, BIOTECH S.A. cuenta con 25 personas distribuidas de la siguiente manera:      

1 presidente 3 directores 10 agentes comerciales 6 empleados en depósito 3 empleados en administración y finanzas 2 empleados en recursos humanos

El cierre del ejercicio opera el 31 de diciembre de cada año. Usted como especialista en estadística deberá informar, con base en las consignas abajo indicadas, al asesor impositivo para que dictamine si la firma ha cumplimentado las normas relativas en materia de precios de transferencia en el impuesto a las ganancias y en caso contrario, cuantificar el ajuste. Para ello, el departamento de comercio exterior le ha confeccionado una planilla donde relevó toda la información de compras del ejercicio (archivo Excel disponible en Webcampus). Cada fila representa un producto distinto. La columna de FOB unitario representa el valor al cual compra la empresa Argentina. Asimismo, se encuentran tabulados los precios unitarios de sus seis competidores locales. Las columnas numeradas de la 1 a la 6 representan los valores a los que compra la competencia. Consignas 1.

2. 3. 4.

Determinar la información relacionada con los precios de la competencia con la cual se requiere contar según lo establecido en la Resolución 1122/2001 AFIP-artículo 12-capítulo G (archivo pdf disponible en Webcampus); calcular en consecuencia los valores necesarios, considerando las columnas 1 a 6 del archivo Excel. A partir de lo calculado en el ítem 1 y lo establecido en la norma, determinar aquellos productos cuyos precios se considerarán pactados entre partes independientes. Señalar los productos cuyos precios no se considerarán pactados entre partes independientes y determinar los correspondientes precios según lo establecido en la norma. Redactar las respuestas de los puntos 2 y 3 como informe para el asesor impositivo.

2) Una encuesta de la publicación News/UCLA realizada con 867 directivos de empresas de entretenimientos en Hollywood estudió cómo se considera a sí misma la industria de entretenimientos en términos de la cantidad de violencia en la televisión y de la calidad en general de los programas de TV. Los resultados indicaron que 624 directivos pensaron que había aumentado la cantidad de programas violentos en los últimos 10 años, 390 opinaron que la calidad de la programación había disminuido durante los mismos 10 años, y 234 ejecutivos respondieron que había aumentado la cantidad de programas violentos y también que la calidad de la programación había disminuido. Determinar la probabilidad de que: a) Un ejecutivo haya hecho al menos uno de los dos comentarios siguientes: “ la cantidad de los programas violentos ha aumentado”, o “ la calidad de la programación ha disminuido”. b) Un ejecutivo no esté de acuerdo con cualquiera de los dos comentarios

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c) Si ahora se seleccionan dos ejecutivos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos haya opinado que la violencia en los programas no ha aumentado? d) Sabiendo que un ejecutivo cree que la calidad de los programas ha disminuido, ¿cuál es la probabilidad de que también considere que la violencia ha aumentado? Respuestas: a) 0.8996 b) 0.73 c) 0.4822 d) 0.6 3) En un comercio de ropa hay dos vendedoras Natalia y Gisele. De las clientas atendidas por Natalia el 70% efectúa una compra; de las atendidas por Gisele, el 60% compra. Cuando el cliente llega al local selecciona una de la dos vendedoras, pero dada de la belleza de ambas, las preferencias se encuentran equilibradas. Natalia concurre al local el 90% de los días y Gisele lo hace 95%. Si no vienen ninguna de la dos el local permanece cerrado por lo cuál no se realizan ventas ese día. a) De las clientas que ingresan al local, ¿cuál es la probabilidad de que se retiren sin efectuar una compra? b) Si una clienta compró, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido atendida por Natalia? c) Si una clienta no compró, ¿cuál es la probabilidad de que ese día haya faltado Gisele? d) ¿Cuál es la probabilidad de que si una clienta se dirige al local, el mismo se encuentre cerrado? Respuestas: a) 0.3525; b) 0.5135; c) 0.052; d)0.005 4) Una ciudad de 1 millón de habitantes se considera dividida en dos zonas: La 1, con 700000 y la 2 con 300000. Ante el peligro de una epidemia, se decide vacunar al 80% de la población; en la zona 1 se utiliza una vacuna con un 92% de efectividad y en la zona 2, una que tiene un 84% de efectividad; si la vacuna no inmuniza a la persona, hay una probabilidad 0,12 de contraer la enfermedad, lo mismo que si la persona no es vacunada. a) Cuántas personas enfermarán si sobreviene la epidemia? b) si una persona se enferma, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido vacunada en la zona 2? Respuestas: a) 33984; b) 0,136. 5) Una empresa desea lanzar una campaña publicitaria con el fin de promocionar uno de sus nuevos productos. Para ello ha pedido un presupuesto a dos agencias de publicidad que poseen costos diferenciales. Luego de obtener la información de los costos, el personal de finanzas ha realizado una proyección de los beneficios que se obtendrían con cada una de las empresas en diferentes escenarios: Empresa A Empresa B

Éxito 100.000 80.000

Fracaso -30.000 -18000

Según una investigación de mercado se estima que la probabilidad de éxito del producto se encontraría alrededor de 0,65. Si la empresa basará su decisión en el beneficio esperado: a) ¿Qué empresa convendría contratar? Respuesta: Conviene contratar a la empresa A con la que se obtiene un beneficio esperado de $54.500. 6) La cantidad de individuos que ingresan a un supermercado durante las horas no pico es de importancia para la organización de las cajas de atención. En un supermercado se relevó información y se registraron 10, 40, 60, 100 personas en varios días de estudio durante el mismo horario. La empresa que realizo el estudio proporcionó la siguiente tabla de valores e indico que el promedio de personas que ingresaron fue de 44 personas y que la probabilidad de que ingresen 60 o menos personas es de 0,8:

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R 10 40 60 100

P(r) A 0,2 B C

a) Calcular los valores de a, b y c. b) Calcular variabilidad relativa de la variable analizada. Respuestas:

a) a=0,4; b=0,2; c=0,2

b) 76,87%

7) El 65% de los usuarios de microcomputadores de la empresa X, utiliza el Windows. En la empresa H dicho porcentaje es del 85%: a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 empleados de la empresa X se encuentren más de 7 que no utilicen dicho sistema? b) Si se selecciona una muestra de 15 emplea, ¿cuál es la probabilidad de que 12 o menos utilicen el Windows? Realice el cálculo asumiendo en primer lugar que los 15 empleados son seleccionados de la misma empresa y en segundo lugar sin saber de que empresa pueden estar siendo seleccionados. Respuestas:

a) 0.0047

b) 0.66702 ; 0,7639

8) Un agricultor produce semillas las cuáles tienen una probabilidad de no germinar del 5%. Si las vende en cajas que contienen 200 semillas cada una y garantiza un 97% germinación ¿cuál es la probabilidad de encontrar en un lote de 50 cajas más de 39 cajas en las que no se cumpla la garantía ofrecida por el agricultor? Respuesta: 0.96051 (Resultado exacto). Por aproximación: 0,72907 9) En una empresa editorial el costo de impresión por libro se distribuye normalmente con un desvío típico de $4. Sabiendo que sólo el 3% de los libros tienen un costo inferior a $20, calcular la probabilidad de que a) un libro tomado al azar tenga un costo superior a $ 27,7. b) una edición de 1000 ejemplares tengan un costo superior a $ 27.700. c) el costo promedio de una muestra de 1000 ejemplares sea superior a $ 27.7 Respuestas:

a) 0.48405

b) 0.07780

c) 0.07780

10) Un alumno que vive en la zona sur del Gran Buenos Aires debe cubrir tres etapas de viaje para llegar a la Facultad donde estudia: la primera desde que sale de su casa hasta tomar el tren; la segunda desde que sube al tren hasta que el mismo arriba a Constitución; y la tercera desde que baja del tren hasta llegar a la Facultad. Este alumno sabe por experiencia que la primera etapa le insume en promedio 25 minutos con un desvío estándar de 1.5 minutos, la segunda le insume en promedio 30 minutos con un desvío estándar de 2 minutos, y la tercera le insume en promedio 15 minutos con un desvío estándar de 0.9 minutos. Suponiendo que dichos tiempos se distribuyen normalmente: a) Si un día este alumno sale de su casa una hora antes del horario de entrada a la Facultad, ¿cuál es la probabilidad de que llegue tarde? b) Si mañana tiene una clase muy importante y quiere tener una probabilidad igual a 0,95 de llegar a horario a la Facultad, ¿con cuántos minutos de anticipación debería salir de su casa? Respuestas:

a) 0,99992

b) Aproximadamente 75 minutos

11) Se presenta a continuación la cotización de cereales y oleaginosas en puerto el Bahía Blanca

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10/12/2007 360.00 $/ton

Trigo Soja Girasol

10/01/2006 340.00 $/ton

590.00 $/ton 585.00 $/ton

10/01/2007 357.00 $/ton

03/01/2007 335.00 $/ton

535.00 $/ton

595.00 $/ton

547.50 $/ton

475.00 $/ton

570.00 $/ton

470.00 $/ton

Fuente: Bolsa de Cereales y Productos de Bahía Blanca Se pide calcular el índice simple de precios para el trigo, soja y girasol, para el 10 de Enero de 2007 respecto a: a) la semana anterior b) el mes anterior c)el año anterior Respuestas: i) 106,567

ii) 99,1666

iii) 105

12) Los datos referentes a la producción de pelo mohair en Kg en la Patagonia, se detallan a continuación: a) Expresar la cantidad producida del año 1996 tomando 1995 como base para cada provincia. b) Utilice un índice agregado de cantidades para resumir la información anterior en un solo indicador. Compare este índice con los tres anteriores. c) Para el año 1995, en qué proporción la producción de Rió Negro supera a la de Chubut. Tabla 17. Producción de pelo (mohair) en kg. en Patagonia (1) Provincia

1995

Chubut Neuquén Río Negro

1996

85.071

78.332

124.531

112.223

137.000

134.533

Fuente: http://www.inta.gov.ar/bariloche/ssd/pelo/t17.htm Respuestas: a) 92,1

90,1

98,2

b) 93,8

c) 61%

13) Considere una economía en la que sólo se consumen dos bienes, carne y leche. Suponga que se dispone de la siguiente información sobre consumos y precios de ambos bienes y que esa información se utiliza para calcular los índices de precios del consumo Laspeyres y Paasche:

Año 2006 Año 2007

CARNE Precio Consumo ($) (Kg) 2 180 5 130

Precio ($) 3 2

LECHE Consumo (Lts) 90 110

El año base es 2006. Indique cuál de las siguientes opciones corresponde a los índices de precios Laspeyres (IPL) y Paasche (IPP): a) IPL=171,4 b) IPL=130,1 c) IPL=147,5 d) IPL=171,4 e) IPL=158,9

IPP=147,5 IPP=158,9 IPP=171,4 IPP=130,1 IPP=130,1

Respuestas: a 14) El propietario de una empresa metalúrgica desea estudiar el ausentismo entre sus empleados. Para ello durante los últimos tres años registró el siguiente número de ausencias entre sus empleados, en días por trimestre

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2004 2005 2006

Trimestre II III 10 7 12 9 16 12

I 4 5 6

IV 3 4 4

a) Determinar un índice estacional habitual para cada uno de los cuatro trimestres. b) Utilizar los índices estacionales que se calcularon para determinar las ausencias desestacionalizadas. c) Determinar la ecuación de tendencia lineal con base en los datos trimestrales para los tres años d) Proyectar las ausencias ajustados por temporada para 2007 Respuestas:

a) Los índices para cada uno de los trimestres son: 0,6911 1,6682 1,1704 c) yˆ  5,1658  0,37805 t Los siguientes son los estimados de ventas:

Estimado 10080 10458 10837 11215

0,4768

Indice Ajustado Estacional 0,6911 6966 1,6682 17446 1,1704 12684 0,4768 5343

15) El departamento de producción de una marca exclusiva de zapatos para mujeres desarrolló la siguiente ecuación de la tendencia, en millones de pares, con base en cinco años de datos trimestrales

yˆ  3,30  1,75 t En la siguiente tabla aparecen los factores estacionales para cada trimestre Trimestre I 110

Índice

II 120

III 80

IV 90

Determinar la proyección ajustada por temporada para cada uno de los cuatro trimestres de los seis años. Respuestas:

t 21 22 23 24

Pares estimados (millones) 40,05 51,8 43,55 45,3

Indice estacional 110 120 80 90

Predicción trimestral 44,055 50,16 34,84 40,77

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