Estadistica 2

Teoría de la probabilidad 195 EJERCICIOS 1. si P(A) = 5/8, P(B) = 3 / 4 y P{A/ B) = 2 /3 , calcu larp ( a /B 1 ). Rp.

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Teoría de la probabilidad

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EJERCICIOS 1. si P(A) = 5/8, P(B) = 3 / 4 y P{A/ B) = 2 /3 , calcu larp ( a /B 1 ). Rp. 1/?.

2. Si P(B) = 3/15, P ( B /A ) = 1 / 5 , y P(A n B) = l / \ 5 , calcular P ( A c ^ B l ). Rp. 4/15.

"3. En una muestra de 120 loretanos se encontró que el 60% sufre alguna enfermedad, el 30% tienen al menos 30 años, y el 20% son menores de 30 años y sanos Si uno de tales loretanos es escogido al azar, ¿cuál es la probabilidad a) de que sufra alguna enfermedad y tenga al menos 30 años?. b) de que sufra alguna enfermedad si tiene al menos 30 años?. Rp.a) 12/120. b) U/36.

». De 200 clientes de crédito de una tienda comercial, 100 tienen créditos menores que $200, 15 tienen créditos de al menos $500, y 110 tienen créditos menores de 4 años. Además 30 clientes tienen créditos de al menos 4 años y de 200 a menos de $500, y 10 clientes tienen créditos de al menos $500 y menos de 4 años. a) Si se elige un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga crédito menos de 4 años si tiene saldo de crédito de menos de $200?. bi Si se eligen dos clientes al azar y resultan de al menos de 4 años de crédito, ¿cuál es la probabilidad de que uno tenga saldo de crédito de $500 o más?. 5

Rp. a) 45/100, b) C, C,

/ />90

/ C2 .

5. En una encuesta de opinión se encontró que el 25% de los electores votarían por el candidato E. De los que no votarían por E el 20% son mujeres y el resto son hombres. Además la probabilidad de que un elector elegido al azar sea hombre es 0.70. Si se elige un elector al azar y resulta ser mujer, ¿cuál es la probabilidad de que no vote por E? Rp. 0 .15/0.30 6

. Un comerciante recibe para su venta 80 objetos, 2/5 del proveedor A y el resto del proveedor B. El 12.5% de objetos de cada proveedor son defectuosos. Si se hace una inspección de cuatro objetos escogidos al azar a la vez y si resultan a) ser de B, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno sea defectuoso?. b) tres defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que dos de los defectuosos provengan de A?. r p. a) i - ( c f - ¡ c f >, b> c \ c * c f / c f c f = c 24 c f / c f

7. En horas de trabajo, una cervecería utiliza dos máquinas embotelladoras MI y M2, pero no operan simultáneamente. La probabilidad de que la primera

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máquina se descom ponga es 0.2. Si la primera máquina se descompone se enciende la segunda, la cual tiene probabilidad de descomponerse de 0.3. ¿Qué probabilidad hay de que el sistem a embotellador no esté funcionando en las horas de trabajo?. Rp. M¡: falla máquina f:l,2, / ,(M i^ M 2)= P(Mi)P(M 2/ Mi)=0.2x0.3=0.06 8

. En un lote de 50 artículos, hay 10 de tipo A y 40 de tipo B, se extraen del lote 5 artículos al azar uno por uno si reposición, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de estos sea de tipo A?. Rp. P(al menos uno de tipo A )=l-P(ninguno de tipo A)=0.69

9. Sólo una de las 10 llaves que lleva una persona abre la cerradura de su puerta. El prueba las llaves una por una escogiendo al azar cada vez una de las llaves no probadas. Calcular la probabilidad de que la llave que abre la cerradura sea escogida en el quinto intento. Rp. 0 .1

10. En una urna hay tres balotas numeradas de 1 a 3. Las balotas se sacan al azar una a una y sin reemplazo. Si la balota numerada con r se saca en la r-ésima extracción se considera un éxito. H allar la probabilidad de obtener un éxito. Rp. 1/2.

11. Se prueba un lote de 48 focos uno por uno (sin reposición). Si el lote contiene dos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que el último defectuoso se detecte en la tercera prueba? Rp. P(DiB 2 D3)+ P(BiD2D,)=0.0018

12. La urna 1 contiene dos bolas rojas y dos bolas azules, mientras que la urna 2 contiene una bola roja y tres azules. Una bola es seleccionada aleatoriamente de la urna 1 y colocada en la urna 2. Luego una bola es seleccionada al azar de la urna 2 y colocada en la urna 1. Si ahora una bola es seleccionada al azar de la urna 1, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea roja?. Rp. 9/20. 13. Una urna contiene 5 fichas rojas y algunas fichas blancas. Se extrae al azar una ficha de la urna y se reem plaza por una del otro tipo. Luego se saca de la urna una segunda ficha. Determ inar el número de fichas blancas en la urna si se sabe que la probabilidad de que la segunda ficha sea roja es 0.5. Rp. 5

14. Para decidir si se acepta o no un lote de 12 objetos en donde existen 3 defectuosos, se toman dos objetos al azar y a la vez. Si los dos son defectuosos, se rechaza el lote; si los dos son buenos se acepta el lote-, y si sólo uno es bueno se toman otros dos objetos al azar y a la vez de los 10 que quedan. Esta vez, si alguno es bueno se acepta el lote, de otro modo se rechaza. Calcular la probabilidad de aceptar el lote. Rp. 36/66 + (27/66)(44/45).

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15. S i/> 0 4 )= l/3 y P(A ^ B) = 11/21, calcular P(B) a) si los eventos A y B son excluyentes. b) si los eventos A y B son independientes. 16. Sea el espacio muestral: Q. = {w ,, w2,

Rp. a) 4/21 .

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t>) 2/7.

, wA}, donde,

P ( { iv ,}) = 1/4, Pl {w2 }) = 1/4, P({w ,}) = l/4 , P({w4 }) = 1/4 Sean los eventos: A = {wt , w 2 }, B = {w¡ ,W j}, C = {w,, vr4 }. ¿Son los eventos A, B, y C independientes?. Rp. no, pues no se verifica, P(ABC)=P(A)P(B)P(C).

17. Pruebe que: a) Si el evento B es independiente del evento A, entonces, A es independiente de B. b) A y B son eventos independientes si y sólo si. P (A r \B )= P(A)P(B) c) Si A y B son eventos independientes, entonces, P t B / A ) = P ( B ¡ A 1 . 18. Un negocio es tal que su probabilidad de éxito es p. El negocio se realiza dos veces de manera independiente. ¿Qué valor de p hace máxima la probabilidad a) de obtener éxito una sola vez? b) de obtener éxito al menos una vez? Rp. a) Prob=2/?(l—/>). Prob. es máxima si p=l/2. b) 2p\ I-/))+/>'. es máximo, si p=\

19. Pruebe que todo evento de probabilidad cero o uno es independiente de cualquier otro evento. Rp. Si PiA)=0. de Ar,BBUP(B)=P(A)P{B), ya que m cf i ) < m c )=í).

20. Suponga que una compañía utiliza un procedimiento de prueba que es confiable en 98%. -Es decir identifica correctamente a un objeto como defectuosos o no defectuoso con una probabilidad de 0.98-. En un esfuerzo por reducir la probabilidad de error a cada objeto se somete a dos pruebas independientes a) ¿Cuál es la probabilidad de que un objeto no defectuosos no pase ambas pruebas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se detecte a un objeto defectuoso, es decir de que no pase por lo menos una de las dos pruebas? Rp a) 0.02x0.02, b) 0.98x0.02+0.02x0.98+0.98x0.98

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21. Una urna contiene 10 objetos numerados de 1 a 10. Un juego consiste en sacar tales objetos y term ina cuando sale el numerado con uno. ¿Cuál es la probabilidad de que el juego termine si se sacan al azar 5 objetos a) a la vez?. b) uno a uno sin reposición?. c) uno a uno con reposición?. Rp. a) 0.5. b )0 .i, c )9 4/1 0 \ 22. Se ha determinado que el porcentaje de televidentes que ven B y C son respectivamente 0.4, 0.5, y 0.3. Cada televidente independientemente uno del otro. Si se elige al azar a uno de ¿qué probabilidad hay de que vea a) dos de los tres programas?. b) al menos uno de los tres programas?. 23.

los programas A, ve los programas tales televidentes,

Rp.

a) 0.29. b> 0.79

En una oficina hay dos com putadoras A y B que trabajan de manera independiente. Si en un momento cualquiera la probabilidad de que la máquina B esté en mal estado es 1/4 y la probabilidad de que sólo la máquina A esté en mal estado es 3/10, ¿cuál es la probabilidad de que sólo la máquina B esté en malas condiciones?. Rp. 3/20.

24. En los circuitos de la figuras que siguen, la probabilidad de que cada llave se cierre (pase corriente) es p, 0 < p < 1. Si todas las llaves se cierran o abren en forma independiente, calcular la probabilidad de que la corriente pase de E a S en a ) , y b). i h

T a) E -

—S Hh

—S

b) E — | 1

Rp. a)

-IIp(l + p - p 2) ,

b) 2 p

3

- p 5.

25. Un experim ento se realiza tantas veces en form a independiente hasta obtener el primer éxito. Suponga que en cada intento la probabilidad de que se tenga éxito, es de 0.95 si se siguen correctam ente las instrucciones; y es de 0.20 si no se siguen correctam ente las instrucciones. Calcular la probabilidad de alcanzar el éxito en tres intentos a lo más a) si se siguen correctam ente las instrucciones cada vez, b) si no se siguen correctamente las instrucciones cada vez. Rp. a) 0.999875. b) 0.488.

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32. Ante una pregunta de opción múltiple de 5 alternativas donde sólo una es la respuesta correcta, un examinado, puede saher la respuesta o no saberla o tener dudas. Si no sabe, marca al azar. Si duda, reduce las alternativas a 3 de las cuales una es la correcta y luego, responde al azar Si la probabilidad de que conozca la respuesta es 0.5, de que no conozca es 0.2 y de que aude es 0.3 a) Hallar la probabilidad de que acierte la pregunta. b) Si acertó la pregunta, ¿que probabilidad hay de que no haya sabido la repuesta? Rp a) 0 . 6 4 b) 0.04/0.64. 33. Sólo el 60% de la mercadería que recibe un comerciante del fabricante A es de calidad excepcional, mientras que el 90% de la mercadería que recibe del fabricante B es de calidad excepcional. Sin em bargo la capacidad de fabricación del fabricante B es limitada, y por esta razón sólo el 30% de la mercadería le es permitido adquirir del fabricante B, el 70% la adquiere de A. Se inspecciona un embarque que acaba de llegar y se encuentra que es de calidad excepcional, ¿cuál es la probabilidad de que provenga del fabricante A?. Rp. 0.42/0.69. 34. En un proceso de producción el porcentaje de objetos no defectuosos fabricados es 70% con probabilidad 0.35, 90% con probabilidad 0.25, y 60% con probabilidad 0.4. Si se selecciona al azar uno de tales objetos y si resulta no defectuoso, calcular la probabilidad de que sea de calidad del 90% no defectuoso. Rp. 0.225/0.71. 35. El 100% de una población de electores se divide en tres estratos sociales excluyentes: baja, media y alta; de manera que la clase baja o media son el 90% del total, y la clase Ticdia o alta el 40% del total. De los primeros sondeos realizados para las próximas elecciones, se afirma que el porcentaje de electores que votarían por el candidato D puede ser: 30% de clase baja 50% de clase media 70% de clase alta a) Si se elige un elector al azar y se encuentra que vota por D, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la clase alta?. b) Si se escogen dos electores al azar, ¿qué probabilidad hay de que uno de ellos vote por D?. Rp. a) 0 .175, b) o 48. 36. Una máquina produce un tipo de objeto en distintos periodos. Si la máquina está bien ajustada en un periodo, el 80% de los objetos producidos pasan el control de calidad, de otro modo sólo pasan el 60%. Se ha determinado que el 90% de los periodos la máquina está bien ajustada. De los 25 objetos producidos en un solo periodo se escogen 3 al azar y a la vez para el control de calidad. a) ¿Qué probabilidad hay que sólo 2 pasen el control de calidad?. b) Si sólo 2 pasen el control de calidad ¿qué probabilidad se tiene que haya sido producido cuando la máquina trabaja en un periodo de buen ajuste?. Rp. a) 960/2300. b) 855/960.

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37. El departamento de créditos de una tienda comercial afirma que según sus experiencias pasadas la probabilidad de que el 2 0 % de los clientes que compran por más de $50 es igual a 0.3 y que la probabilidad de que el 60% de los clientes compren por más de $50 es igual a 0.7. Sin embargo al entrevistar a dos clientes al azar se encuentra que los dos compraron por más de $50. En base a este resultado, ¿qué modificación acerca de las probabilidades 0.3 y 0.7 deberá hacer la tienda comercial?. Rp.D:2 compran por más de $50. P(20%)=0.3, í>(60%)=0.7. í>(D)=0.3(0.2)2+0.7(0.6)2= 0.012+0.252=0.264. P(20%/D)=0.045, P(60%/D)=0.955

38. A un candidato le han indicado que obtendría el 60% de los votos con probabilidad 0.2, el 45% de los votos con probabilidad de 0.3 y el 70% de los votos con probabilidad 0.5. Después de preguntarle a 4 personas se obtiene que 2 de ellas votarían por el candidato. A la luz de este resultado, ¿cuál es la probabilidad de que el candidato obtenga el 60% de los votos?. Rp.

0 .2

C \ 0.620 4:+ 0.3 C j

0

4520.552+0.5

C \ 0.720.32=0.1095, 0.06912/0.10955=0.63.

39. Una agencia de publicidad observa que el 2% de los compradores potenciales de un producto ve su propaganda por periódico, el 2 0 % ve dicha propaganda por televisión y el 1% ve los dos tipos de propaganda. Además de cada tres que ven la propaganda uno compra dicho producto y el 7.9% compran y no ven la propaganda a) ¿Cuál es la probabilidad de que el com prador potencial compre dicho producto si no vio la propaganda?. b) Si un comprador potencial compra el producto, ¿cuál es la probabilidad de que no haya visto la propaganda? Rp a) 0.079/0.79=0.1, b) 0.21(l/3)+0.79(l/10)=0.149, y 0.079/0.149

40. Un gerente está a la espera de la llamada telefónica de 3 de sus clientes para realizar un negocio. La probabilidad de que lo llamen cualquiera de sus 3 clientes en forma independiente es 0.3. Además la probabilidad de realizar el negocio es de 0.20 si llama un cliente, es de 0.4 si llaman dos clientes, y es de 0.8 si llaman los 3 clientes. Si ninguno de los 3 le llama no realiza el negocio. a) calcular la probabilidad de que realice el negocio. b) ¿cuántas llamadas de clientes es más probable que haya recibido el gerente sabiendo que realizó el negocio?. Rp. Si A¡: "llaman i clientes ", i = 0,1,2,3, entonces, P(A: ) = C 15 (0.3)l (0.7)4'' Si B: "realiza negocio", P(B/A.) = 0, PÍ.B/A,) = 0.2, P(B/A¡) = 0.4, P(B/A,) = 0.8 a)0+0.0882+0.0756+0.0216=0.1854, b) 1 pues es 0.0882/. 1854

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