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• Rodrigo Olivera

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Organización de datos agrupados: Se obtiene una buena descripción de una muestra con un gran número de datos agrupando las observaciones individuales en clases o intervalos de clase. Cuando esto se efectúa, se dice que los datos han sido agrupados. La agrupación de datos sintetiza la descripción de estos. Cuando estos han sido agrupados y divididos en clases, el número de observaciones en cada clase se llama frecuencia de clase. Y se representa como fi . La disposición de los datos de esta forma se denomina distribución de frecuencia (aquí en el curso se manejarán 4 distribuciones que son: distribución de frecuencia absoluta, distribución de frecuencia absoluta acumulada, distribución de frecuencia relativa y distribución de frecuencia relativa acumulada). Los datos que se en listan a continuación representan los kwatts/hr que se consumen en casas habitación de un grupo de alumnos de eléctrica del ITA.

Las siguientes observaciones corresponden a los pesos en kg de 100 estudiantes, y están dispuestos por orden de magnitud.

Método de los 4 pasos: 1. Calcular el rango. 2. Calcular el número de clases. 3. Amplitud de intervalo Frecuencia acumulada representa la frecuencia de esa clase y las anteriores. Distribución de frecuencia relativa: observaciones en cada una de las clases.

representa

el

porcentaje

de

Gráficos Con las distribuciones de frecuencia que son: fi, Fi, hi, Hi Se construyen algunos gráficos como son: el histograma el polígono de frecuencias, y el polígono de frecuencias acumuladas. Histograma: es un gráfico que se construye utilizando los limites reales de cada clase y se ubican en el eje horizontal, también se necesitan las frecuencias absoluta de cada clase las cuales se ubica en el eje Y. Polígono de frecuencias: Para construir el polígono de frecuencias se necesita la marca de clase la cual se ubica en el eje X, también se necesita la fi que se encuentra en el eje Y Diagrama de Dalton: Este se hace con los limites reales superiores de cada una de las clase en el eje x, también se necesita la frecuencia relativa acumulada o Hi la cual se grafica en el eje Y.

“Medidas de tendencia central para datos agrupados”

Media: Moda: Mediana: Fráctiles:

Con las medidas verificar la simetría o asimetría de los datos.

Diagrama de pareto Con 2 ejemplos En la libreta

Unidad II

2.1 Probabilidad de eventos Consiste en calcular numéricamente una incertidumbre. Introducción: definiciones, símbolos y terminología. En nuestro lenguaje es común utilizar las siguientes expresiones: Probablemente, es posible, es probable, tal vez, etc. Estas frases o palabras se usan para marcar la ocurrencia de un fenómeno, evento o experimento. Hay dos enfoques: Probabilidad de frecuencia relativa (empírica). Esta existe cuando se tiene un número muy grande de observaciones o repeticiones del mismo fenómeno o evento. Su definición es: si un experimento se ejecuta n veces en las mismas condiciones y hay x resultados, x menor o igual a n, encuentre una estimación de la probabilidad de ese evento es la razón x/n. Siempre que n tiende a infinito. Probabilidad clásica (probabilidad equiprobable). La definición clásica de probabilidad fue dada por la Plase y desde entonces se ha repetido en todos los libros de probabilidad. La cual es: la razón del número de casos favorables del experimento al número de casos totales.

Las probabilidades son útiles ya que sirven para desarrollar estrategias. Independientemente de su aplicación particular, en empleo de las probabilidades indica que existe algún elemento aleatorio o de incertidumbre de que ocurra o no ocurra algún evento futuro. Así en muchos casos puede ser virtualmente imposible predecir que pasara, pero es posible establecer lo que podría pasar. Ejemplos donde interviene algún ejemplo aleatorio: a) Pronosticar fallas. b) Estimar el costo de producción. c) Comprar seguros. d) Predecir la demandad de un nuevo artículo.

Sin embargo, cambiando el raciocinio, la experiencia y los datos históricos, con frecuencia es fácil decir que probable es un evento futuro. Raciocinio Evento

Experiencia Datos históricos

Cuantificar Fácil

El, punto central de todos los casos es la capacidad de probar cual probable es la capacidad de un evento. Las probabilidades se plantean con respecto a algún evento. El evento puede ser: que llueva, que falle un equipo, que falte un alumno, que ocurran accidentes de trabajo, que ocurran fallas eléctricas, etc. La probabilidad de un evento A se representa: P(A) La P(A) es un número que va del 0-1. Si tenemos la certeza de que el evento A ocurre su probabilidad será 1, si tenemos la certeza de que no ocurra será de 0. Las probabilidades pueden expresarse de diferentes formas como: Decimales Fracciones Porcentajes Reafirmando la probabilidad de que algún evento ocurra está dada mediante un número que está entre 0-1, por lo tanto no hay probabilidades negativas.

Eventos que resultan al relacionar los eventos: -Elementos mutuamente excluyentes: Los eventos son excluyentes si no presentan elementos comunes entre ellos.

S={1,2,3,4,5,6} E1={4,5,6} E2={1,3,2}

S E1 4,5,6

E2 1,2,3

mutuamente

S S={Alumnos del aula 46} B hombres

B={hombres} C={mujeres}

C mujeres

-Elementos no mutuamente excluyentes: A={alumno con calificación 80}

80
80

S S={1,2,3,4,5,6} E1 5,6

E1={4,5,6}

3,4

E2 1,2,

E2={1,3,2}

Probabilidad

clásica

-

equiprobable Enfoque de Enfoque objetivo relativa – datos históricos probabilidad subjetiva

Enfoque subjetivo

Probabilidad de frecuencia Probabilidad

Probabilidad clásica = resultados -- S

número de casos favorables al evento A/ Número de

S={1,2,3,4,5,6} F={1,2,5,6} P(F)= 4/6=.66

De la lista de alumnos de un total de 31 se quiere encontrar la probabilidad de inasistencia de esa lista de alumnos. 8/31=.25

Frecuencia relativa: número de casos favorables al evento A/ Número de observaciones del experimento.

Se les pregunta a los alumno que asistieron hoy a clases estudiaron por lo menos una hora el día de ayer. 2/23=.086

Se les pregunta a los alumnos cuantos vieron por lo menos una hora de tv. 12/23=.52 Problemario •

Encontrar el número de palabras diferentes que pueden formarse con las letras de la palabra Cristal (sin significado). Con 4 letras.

N=7 R=4 7P4=840 •

De cuantas formas puede un director de televisión programar 5 comerciales diferentes de patrocinadores durante los 5 cortes de

tiempo asignado a comerciales durante la trasmisión por TV del primer cuarto de un juego de baloncesto. N=5 R=5

5P5=120

•

Cuantas secuencias de 4 letras (no necesariamente con significado se pueden formar mediante el uso de las letras de la palabra armonía: a) Sin repetir letras. N=7 N1=2 N2=1 N3=1 N4=1 N5=1 N6=1 7!/2!*1!*1!*1! *1! *1! b) Con repetición de letras. 7˄4=2401 •

De cuantas formas se puede resolver un examen que se compone de 12 preguntas de Verdadero o Falso. a) De cuantas maneras puede contestar un estudiante cada pregunta que sea diferente. n ˄ r =2˄12=4096 formas. •

De cuantas maneras se pueden acomodar 5 computadoras en forma circular.

Permutaciones circulares= nPc=(n-1)! 5Pc=(5-1)! 5Pc=4!=24 formas Nota: si dos necesitan estar juntas se toman como una y se multiplica por su permutación, la cual seria 2.

•

El departamento de subministro tiene 8 diferentes motores eléctricos, de cuantas maneras se pueden escoger 4 para una inspección.

n=8 r=4 nCr=8!/4!*4!=70 •

Cuantos números de tres dígitos pueden formase con los dígitos del 0-6 (sin repetir).

n=7 r=3 7P3=7!/(7-3)!=210 7*

6*

5

=210 •

Un barco desea mandar señales, utilizando 2 banderas blancas, cuatro azules, dos rojas y dos amarillas. De cuantas formas se podrán formar las señales.

Objetos iguales e indistinguibles. n=10 n1=2 n2=4 n3=2 n4=2 10!/(2!* 4!* 2!* 2!)]=151200/8=18900 formas

•

Se tiene un grupo de 15 personas y se va a formar un equipo de 6 personas (hay 10 hombres y 5 mujeres en el grupo). De cuantas formas se puede elegir el equipo si debe contener:

a)4 Hombres y dos mujeres. 10C4*5C2=2100 formas a) Sin restricción. 15C6=5005 c) Sólo hombres.

10C6=210 d) Deberán estar incluidas todas las mujeres en el equipo. 5C5*10C1=10 e) Sólo deberá de haber dos hombres. 2C1=2

•

Hay tres solicitantes para una empresa de los cuales 12 tienen grado universitario. De cuantas formas se pueden cubrir estos puestos con: a) 3 para grado universitario. b) Todos sin grado universitario. c) Por lo menos uno de los aspirantes con grado universitario. d) Dos de los aspirantes con grado universitario.

•

Una caja contiene 12 baterías para calculadora y en ella se encuentran cuatro defectuosas. De cuantas formas se pueden elegir 5 sí: A) Ninguna defectuosa. B) 3 defectuosas. C) 2 sin defecto. D)1 defectuosa.

Diagramas de árbol: Son esencialmente útiles como método para representar los eventos relacionados con observaciones sucesivas o experimentos sucesivos. Los diagramas de árbol son representaciones gráficas que muestran todos los resultados posibles de una serie de eventos en forma descriptiva. Se construye de izquierda a derecha, y en cada nodo que no sea punto final se originan las ramas que corresponden a los posibles resultados del evento que se está desarrollando. A A S

Moneda A S S Probabilidad= ¼+¼+¼+¼=1

Se lanza un dado y una moneda normal en forma consecutiva. Verificar la cara superior del dado y la cara superior de la moneda, mostrar los resultados con un diagrama de árbol. A 1 S A 2 S A 3 DADO

S A 4 S A 5 S A 6 S

A) P(SOLO UN # PRIMO) =8/12 B) P(>6)=0 C) P(