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• Diego Ramirez

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1 1. En una distribución de Poisson, µ = 0.4. a) ¿Cuál es la probabilidad de que x = 0? P(0) =

(0.4)0 e−0.4 1∗0.670320046 = =0.67032 0! 1

R = La probabilidad es del 67%. b) ¿Cuál es la probabilidad de que x > 0?

P(x > 0) = 1 – P(0) =

1−

( 0.4 )0 e−0.4 1∗0.670320046 =1− =1−0.67032=0.32968 0! 1

R = La probabilidad es de 33%. 2. En una distribución de Poisson, µ = 4. a) ¿Cuál es la probabilidad de que X = 2? P(2) =

(4)2 e− 4 16∗0.0183156 = =0.1465251 2! 2

R = La probabilidad es del 14.65%. b) ¿Cuál es la probabilidad de que X ≤ 2? R = La probabilidad es del 14.65%. c) ¿Cuál es la probabilidad de que X > 2?

P(x > 2) = 1 – P(2) =

1−

( 4 )2 e−4 16∗0.0183156 =1− =1−0.1465251=0.8534749 2! 2

R = La probabilidad es de 85.35%.

2 3. La señorita Bergen es ejecutiva del Coast Bank and Trust. A partir de sus años de experiencia, calcula que la probabilidad de que un solicitante no pague un préstamo inicial es de 0.025. El mes pasado realizó 40 préstamos. µ = 40 * 0.025 = 1 a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se paguen 3 préstamos? P(3) =

(1)3 e−1 1∗0.3678794 = =0.0613132 3! 6

R = La probabilidad es de 6%. b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos no se paguen 3 préstamos?

4. Un promedio de 2 automóviles por minuto llega a la salida de Elkhart de la autopista de Indiana. La distribución de llegadas se aproxima a una distribución de Poisson. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún automóvil llegue en un minuto? (2)0 e−2 1∗0.13533528 P(0) = = =0.135335 0! 1 R = La probabilidad es del 13.56%. b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos llegue un automóvil en un minuto?

P(x > 1) = 1 – P(0) =

1−

( 2 )0 e−2 1∗0.13533528 =1− =1−0.13533528=0.8646647 0! 0

R = La probabilidad es de 86.47%.

3 5. Se calcula que 0.5% de quienes se comunican al departamento de servicio al cliente de Dell, Inc., escuchará un tono de línea ocupada. ¿Cuál es la probabilidad de que de las 1 200 personas que se comunicaron hoy, por lo menos 5 hayan escuchado un tono de línea ocupada? µ = 1200 * 0.005 = 6 P(5) =

(6)5 e−6 7776∗0.00247875 = =0.160623 5! 120

6. ¿Cuál es la diferencia entre una variable aleatoria y una distribución de probabilidad? VARIABLE ALEATORIA Es una función que asigna un número real, a cada resultado del espacio muestral, de un experimento aleatorio. DISCRETAS: Cuando puede tomar un número finito o infinito numerable de valores. CONTINUAS: Cuando puede tomar un número infinito no numerable de valores. Alternativamente, se puede definir como aquella variable que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo de números reales. 7. En cada uno de los siguientes enunciados, indique si la variable aleatoria es discreta o continua. a) El tiempo de espera para un corte de cabello. Variable Continua. b) El número de automóviles que rebasa un corredor cada mañana. Variable Discreta. c) El número de hits de un equipo femenil de softbol de preparatoria. Variable Discreta.

4 d) El número de pacientes atendidos en el South Strand Medical Center entre las seis y diez de la noche, cada noche. Variable Discreta. e) La distancia que recorrió en su automóvil con el último tanque de gasolina. Variable Continua. f) El número de clientes del Wendy’s de Oak Street que utilizaron las instalaciones. Variable Discreta. g) La distancia entre Gainesville, Florida, y todas las ciudades de Florida con una población de por lo menos 50 000 habitantes. Variable Continua. 8. Una inversión producirá $1 000, $2 000 y $5 000 a fin de año. Las probabilidades de estos valores son de 0.25, 0.60 y 0.15, respectivamente. Determine la media y la varianza del valor de la inversión. INVERSIÓN

P(X)

1000 0.25 2000 0.60 5000 0.15 TOTAL 1 Media = ∑ X*P(x) = 2200

X * P(X)

(X - µ)

(X - µ)²

(X - µ)² * P(X)

250 1200 750 2200

1200 200 2800 4200

1440000 40000 7840000 9320000

360000 24000 1176000 1560000

Varianza = ∑ [(x - µ) ² * P(x)] = 1560000 9. El gerente de personal de Cumberland Pig Iron Company estudia el número de accidentes laborales en un mes y elaboró la siguiente distribución de probabilidad. Calcule la media, la varianza y la desviación estándar del número de accidentes en un mes. ACCIDENTE

PROBABILIDAD X * P(X)

(X - µ)

(X - µ)²

(X - µ)² * P(X)

5 S 0 0.40 1 0.20 2 0.20 3 0.10 4 0.10 TOTAL 1 Media = ∑ X*P(x) = 2200

0 0.2 0.4 0.3 0.4 1.3

1.3 0.3 0.7 1.7 2.7 6.7

1.69 0.09 0.49 2.89 7.29 12.45

0.676 0.018 0.098 0.289 0.729 1.134

Varianza = ∑ [(x - µ) ² * P(x)] = 1560000 Desviación Estándar = √ ∑[( x −µ) ²∗P ( x)] = 1.06489 10. Croissant Bakery, Inc., ofrece pasteles con decorados especiales para cumpleaños, bodas y otras ocasiones. La pastelería también tiene pasteles normales. La siguiente tabla incluye el número total de pasteles vendidos al día, así como la probabilidad correspondiente. Calcule la media, la varianza y la desviación estándar del número de pasteles vendidos al día. PASTELES VENDIDO PROBABILIDAD X * P(X) S 12 0.25 3 13 0.40 5.2 14 0.25 3.5 15 0.10 1.5 TOTAL 1 13.2 Media = ∑ X*P(x) = 13.2

(X - µ)

(X - µ)²

(X - µ)² * P(X)

1.2 0.2 0.8 1.8 4

1.44 0.04 0.64 3.24 5.69

0.36 0.016 0.16 0.324 0.86

Varianza = ∑ [(x - µ) ² * P(x)] = 0.86 Desviación Estándar = √ ∑[( x −µ) ²∗P ( x)] = 0.9273618 11. En una reciente encuesta, 35% indicó que el chocolate era su sabor favorito de helado. Suponga que seleccionamos una muestra de diez personas y les preguntamos cuál es su sabor favorito de helado. a) ¿Cuántas personas de la muestra esperaría usted que mencionaran al chocolate?

6 Media = ∑ X*P(x) = 10*0.35 = 3.5 b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro personas incluidas en la muestra mencionen al chocolate? P(4) = 10C4(0.35)4 ¿ = 0.23766849 R = La probabilidad es de 23.77%. c) ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro o más mencionen al chocolate? P(X ≥ 4) = 10C4(0.35)4 ¿ + 10C5(0.35)5 ¿ + 10C6(0.35)6 ¿ + 10C7(0.35)7 ¿ + 10C8 (0.35)8 ¿ + 10C9(0.35)9 ¿ + 10C10(0.35)10 ¿ = 0.48575878 R = La probabilidad es de 48.58%. 12. Treinta por ciento de la población de una comunidad del suroeste de Estados Unidos es hispanohablante. Se acusó a un hispanohablante de haber asesinado a un estadounidense que no hablaba español. De los primeros 12 posibles jurados, sólo dos son estadounidenses hispanohablantes y 10 no lo son. El abogado de la defensa se opone a la elección del jurado, pues dice que habrá prejuicio contra su cliente. El fiscal no está de acuerdo y arguye que la probabilidad de esta composición del jurado es frecuente. Calcule la probabilidad y explique los supuestos. P(X = 2) = 12C2(0.3)²(1−0.3)12−2 = 0.167508 P(X = 10) = 12C10(0.3)10(1−0.3)12−10 = 0.0001909677 13. Un auditor de Health Maintenance Services of Georgia informa que 40% de los asegurados de 55 años y mayores utilizan la póliza durante el año. Se seleccionan al azar 15 asegurados de los registros de la compañía. a) ¿Cuántos asegurados cree que utilizaron la póliza el año pasado? µ = 15 * 0.4 = 6

7 b) ¿Cuál es la probabilidad de que diez de los asegurados seleccionados hayan utilizado la póliza el año pasado? P(X = 10) = 15C10(0.4)10 (1−0.4)15−10 = 0.0244857 R = La probabilidad es de 2.45%. c) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 o más de los asegurados seleccionados hayan utilizado la póliza el año pasado? P(X ≥ 10) = 15C10(0.4)10 (1−0.4)15−10 + 15C11(0.4)11 (1−0.4)15−11 + 15C12 (0.4)12 (1−0.4)15−12 + 15C13(0.4)13 (1−0.4)15−13 + 15C14(0.4)14 (1−0.4)15−14 + 15C15(0.4)15 (1−0.4)15−15 = 0.03372 R = La probabilidad es de 3.37%. d) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 de los asegurados seleccionados hayan utilizado la póliza el año pasado? P(X > 10) = 15C11(0.4)11 (1−0.4)15−11 + 15C12(0.4)12 (1−0.4)15−12 + 15C13 (0.4)13 (1−0.4)15−13 + 15C14(0.4)14 (1−0.4)15−14 + 15C15(0.4)15 (1−0.4)15−15 = 0.00922 R = La probabilidad es de 0.92%. 14. Tire and Auto Supply contempla hacer una división de 2 a 1 de las acciones. Antes de realizar la transacción, por lo menos dos terceras partes de los 1 200 accionistas de la compañía deben aprobar la oferta. Para evaluar la probabilidad de que la oferta se apruebe, el director de finanzas eligió una muestra de 18 accionistas. Contactó a cada uno y comprobó que 14 aprobaron la propuesta. ¿Cuál es la posibilidad de este evento, si dos terceras partes de los accionistas dan su aprobación?

8 2 =0.6667 3 15. Consulte los datos Baseball 2009. Calcule el número medio de jonrones por juego. Para hacerlo, encuentre primero el número medio de jonrones por juego para 2009. Después, divida este valor entre 162 (una temporada comprende 162 juegos). En seguida multiplique por 2, dado que hay dos equipos en cada juego. Utilice la distribución de Poisson para estimar el número de jonrones que se batearán en un juego. Encuentre la probabilidad de que: µ=

5042 =2.074897 15∗162

a) No haya jonrones en un juego. P(X = 0) =

2.0748970 e−2.074897 =0.125569 0!

b) Haya dos jonrones en un juego. 2.0748972 e−2.074897 P(X = 2) = =0.27030045 2! c) Haya cuando menos cuatro jonrones en un juego. P(X = 3) =

2.0748973 e−2.074897 =0.1869485 3!

P(X = 1) =

2.0748971 e−2.074897 =0.260543489 1!

P(X ≤ 4) = 1−{ P ( X=0 )+ P ( X =1 ) + P ( X=2 ) + P ( X=3 ) }=0.156638561