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• Dennis Gonzalez

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ESTADÍGRAFO Estadígrafo es un valor cuyo significado o interpretación depende de la forma como se calcula, de la naturaleza de la variable y del contexto donde se encuentran los elementos de la población o muestra estudiada.

PRINCIPALES ESTADÍGRAFOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MEDIDAS DE POSICIÓN MEDIDAS DE DISPERSIÓN OTRAS MEDIDAS O COEFICIENTES

-Media Aritmética (Promedio) -Mediana -Moda -Percentil (ejemplo: 25, 50, 75) -Decil (ejemplo: 4, 5, 8) -Cuartil (ejemplo: 1, 2, 3) -Rango -Varianza -Desviación Estándar

-Asimetría -Kurtosis o Apuntamiento

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 

LA MEDIA ARITMÉTICA:

También llamada media o promedio. Se obtiene sumando todos los valores de los datos observados y se divide entre el numero de ellos. Notación: M 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

Para datos no agrupados: Para una muestra:

𝑥=

Para una población: µ =

𝑥𝑖 𝑛 𝑥𝑖 𝑁

Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a una muestra de 10 trabajadores según sus sueldos mensuales en soles: xi: 680, 690, 675, 690, 700, 660, 720, 680, 670, 675.

Para datos agrupados: Para una muestra:

𝑥=

Para una población: µ =

𝑥𝑖 ∗𝑓𝑖 𝑛 𝑥𝑖 ∗𝑓𝑖 𝑁

Ejemplo: Media aritmética cuando la variable es cuantitativa discreta:

Ejemplo: Media aritmética cuando la variable es cuantitativa continua.

Media Global: 𝑥𝑖 ∗ 𝑛𝑖 𝑥𝑝 = 𝑛𝑖 Ejemplo: Se clasifica a los trabajadores en una mineria en tres categorias, menores de 25 años, entre 25 y 35, mayores de 35 años.

𝑥1 ∗ 𝑛1 + 𝑥2 ∗ 𝑛2 + 𝑥3 ∗ 𝑛3 𝑥𝑝 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 40 ∗ 200 + 60 ∗ 260 + 70 ∗ 300 𝑥𝑝 = 200 + 260 + 300 44600 𝑥𝑝 = 760 44600 𝑥𝑝 = 760

𝑥𝑝 = 58.68 La productividad media es aproximadamente 59 unidades.

Propiedades: 1)

M[k]=k;

k es constante

2)

M[x+k]=M[x]+k

3)

M[k.x]=k.M[x]

4)

M[k.x+k]=k.M[x]+k

5)

M[x+y]=M[x]+M[y]

Características:     

Es la más conocida y más usada en el análisis estadístico. Para el cálculo intervienen todas las observaciones. Es una medida única. Es sensible a valores extremos altos y bajos. No se puede calcular cuando presenta clases abiertas en los extremos.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 

LA MEDIANA:

Es una medida de tendencia central que divide al total de observaciones debidamente ordenadas o tabuladas n dos partes de igual tamaño. Notación: Me

Para datos no agrupados: L: es el lugar donde se encuentra la mediana Número impar de datos:

L=

𝑛+1 2

Número par de datos:

Seria el promedio de los dos valores centrales.

Ejemplo 1: xi: 680, 690, 675, 690, 700, 660, 720, 680, 670. Ejemplo 2: xi: 25, 20, 22, 27, 23, 23, 19, 21, 20, 26.

Para datos agrupados: Cuando la variable es discreta: La mediana será el valor de la variable cuya frecuencia acumulada sea la primera en exceder a n/2. 

Cuando la variable es continua: 𝑛 [ − 𝐹𝑖−1 ] 2 𝑀𝑒 = 𝐿𝐼𝑖 + 𝑎𝑖 ∗ 𝑓𝑖 Se debe cumplir la siguiente relación: 𝑛 𝐹𝑖−1 ≤ < 𝐹𝑖 2 

Cuando: 𝐹𝑖−1 =

𝑛 2



𝑀𝑒 = 𝐿𝐼𝑖

Ejemplo: n=20  n/2=10 5

42

[66 – 72>

27

[72 – 75>

8

Fi

100

4) Del ejercicio anterior, estime la moda.

MEDIDAS DE POSICIÓN CUARTILES: Son estadígrafos que dividen la distribución en cuatro partes iguales, cada uno incluye el 25% de las observaciones. 

Para datos no agrupados: El procedimiento que se emplea para calcular los cuartiles es similar que el de la mediana. Para el cuartil: 𝑄𝑘 =

𝑘∗(𝑛+1) 4

Si k*(n+1)/4 no es exacta. Q se obtiene interpolando linealmente los dos valores correspondientes a las dos observaciones entre las cuales se encuentra la fracción.

Ejemplo: Al examinar los registros de facturación mensual de una empresa editora con ventas al crédito, el auditor toma una muestra de 11 facturas no pagadas. Las sumas que se adeudan a la compañía en soles son: 400, 1800, 1100, 700, 700, 1000, 2100, 500, 3300, 900 y 1200. Calcule e interprete Q1, Q2, Q3.

1) Ordenando los datos ascendentemente: 400, 500, 700, 700, 900, 1000, 1100, 1200, 1800, 2100, 3300. 2) Ubicando los lugares de los cuartiles: 1 ∗ (11 + 1) 𝑄1 = =3 4 2 ∗ (11 + 1) 𝑄2 = =6 4 3 ∗ (11 + 1) 𝑄1 = =9 4

c) Q1= S/700 ; Q2=S/1000 ; Q3=S/1800 d) Interpretación: Q1: El 25% de las facturas tienen una deuda máxima de S/700. Q2: El 50% de las facturas tienen una deuda máxima de S/1000. Q3: El 75% de las facturas tienen una deuda máxima de S/1800.

Para datos agrupados: Cuando la variable es continua: 𝑘∗𝑛 [ − 𝐹𝑖−1 ] 4 𝑄𝑘 = 𝐿𝐼𝑖 + 𝑎𝑖 ∗ 𝑓𝑖 Se debe cumplir la siguiente relación: 𝑘∗𝑛 𝐹𝑖−1 ≤ < 𝐹𝑖 4 Cuando: 

𝐹𝑖−1 =

𝑘∗𝑛 4

En general: Q1