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ESTABILIDAD I

Ingeniería Mecánica

UT N F RG P SISTEMAS DE FUERZAS

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CATEDRA ESTABILIDAD I INGENIERIA MECANICA APUNTE TEORIA UTN FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SISTEMAS DE FUERZAS

2016 Pablo Strazzeri

ESTA ABILIDAD I

Ingeniería Mecánica M

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SISTEMA AS DE FUER RZAS

Es stática: es la parte de la mecánicca que estud dia las cond diciones que e deben sattisfacer las fuerzas que q actúan sobre s un cue erpo rígido p para que el mismo m conse erve el equilibrio. Fu uerza: pued de ser definida como la circunstanc cia capaz de e modificar el estado de e reposo o movimien nto de un cu uerpo. C Cuerpo rígid do (es el cuerpo del que se ocupa la estática)): es aquel en el cuál dos d puntos cualesquiera no mod difican su posición relativva independientemente de las fuerzzas que se le e apliquen. Si bien el cu uerpo rígido es un cuerrpo ideal en n la realidad d para cierto os estudios se puede considera ar las deform maciones co omo desprecciables.

Vectores

F Fijos o aplica ados A Axiles o deslizantes L Libres

En la estática a la fuerza está e represe entada por un u vector axxil, es decir que q no tiene e punto de aplicación pero sí un na recta de acción. Cu uando tratem mos con cue erpos deform mables la fu uerza va a tener pun nto de aplica ación, por lo tanto va a sser un vectorr fijo. Vector fu uerza, con re ecta de acciión y sentido o:

Vector re epresentativo o de una fue erza (su largo o en el dibujjo representta su módulo o):

Esscala: [fuerza a]/[longitud] Clasificación de d los sistem mas de fuerzza Coplanare es Sistemas s de fuerza No coplan nares o espa aciales

Concurrentes No concurrrentes Paralelas Concurrentes No concurrrentes Paralelas

Principio os de la estática 1ºº: Principio o (del parallelogramo):: un sistema a formado por dos fuerz zas concurre entes a un punto ess equivalente a una única ú fuerzza denomina ada resultante que pa asa por el punto de concurrencia cuyo vector v representativo esstá determin nado por la diagonal del d paralelog gramo que lleva por lados los ve ectores repre esentativos d de las fuerza as compone entes del prim mer sistema a.

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2ºº Principio: dos fuerzass pueden esstar en equilibrio únicam mente en el caso en qu ue sean de igual mag gnitud y que e actuando a lo largo de la misma re ecta de acció ón tengan se entidos opue estos.

ema de fuerza dada no se altera, en modo alguno, si 3ºº Principio:: la acción de un siste agregamos o quitamo os a estas fu uerzas cualq quier otro sisstema de fue erzas en equ uilibrio.

4ºº Principio: (de acción y reacción): a toda acció ón le corresp ponde una re eacción. Momento o de una fuerza con resp pecto a un p punto. Siendo el punto “A A” un punto cualquiera de la fuerza.   ̌ ̌   . .

  .

Ell momento es e un vector libre.  

Sistema as planos de d fuerzas Compone entes de una a fuerza en el e plano ablo Strazze eri 2016 Pa

.

 

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| |. | |. | |

     

Siendo el áng gulo φ el argumento de la fuerza, y se s mide según lo indicad do. A una fuerza en un plano o la podemoss definir com mo un vectorr, o con módulo y argum mento “φ”. Momento o de una fuerza con resp pecto a un p punto

    ó               Cupla o par p (de fuerz zas paralelas s)

.

.

 

Pero como y

 

. . Traslació ón de fuerzass

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.

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. Sistema de d fuerzas concurrentes c s (resultante e) ∑

.

          

  Módu ulo:   

           

∑

. :   

Resultante mediante el polígono de fuerzas (método grá áfico): Se puede e obtener la resultante e de un sistema de fuerza as concurre entes hacien ndo sucesivo os paralelog gramos de fuerza as. | |

.

.

Teorema a de Varign non Dadas varias fuerzzas concurre entes el mo omento resu ultante de la as distintas fuerzas es e igual al momento de la resultante e de ellas aplicada en el punto de co oncurrencia.  

  Descomposic ción de un sistema de fuerzas concu urrentes en d direcciones concurrente c s. Por los extrremos del ve ector represe entativo se trazan las rectas de las direcciones incógnitas, forman ndo la mitad del paralelo ogramo.

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Si quisiéramos descomponer una fuerza en tres direcciones concurrentes no nos daría una solución única, como se puede ver en el siguiente ejemplo gráfico.

Descomposición de un sistema de fuerzas concurrentes tres direcciones no concurrentes. (Método de Cullman). Se traza una auxiliar (a) entre la intersección de la fuerza y cualquier dirección y entre la intersección de las otras direcciones. Luego se trabaja descomponiendo la fuerza en dos direcciones concurrentes, primero entre “a” y la primera dirección y luego se descompone (a) en las dos direcciones restantes.

Fuerzas paralelas

0           

Resultante del sistema de fuerzas en el plano: la resultante de un sistema de fuerzas en el plano es una fuerza equivalente al sistema original. El valor de ésta fuerza (módulo, dirección y sentido) es la resultante de reducción, pero para que sea la resultante a secas tenemos que hallar un punto por donde pasa. Para ello igualamos el momento de la resultante al momento de todas las fuerzas del sistema original.

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  .

.

.

.

Despejam mos un puntto por donde e pasa la ressultante. . .

...

.

Es sto quiere decir que si reemplazam r mos el sistem ma original por una fuerzza que sea la suma de todas lass fuerzas y que q pase po or el punto h hallado tendremos el mismo efecto sobre el cu uerpo en el que están n aplicadas.

Resultante de dos fuerzas parale elas

 

. . .

.

.

.

.

Fuerzas no concurrrentes en ell plano (es e el caso gene eral)

Reducción de e un sistema a plano de fu uerzas a un centro c de reducción “CR R” cualquiera a.

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1 2

 

∑

3

∑ ∑

   

. .             

          

∑

Cuando reducimos r a un punto cualquiera c lo o que nos qu ueda es un ssistema equ uivalente al sistema s de fuerzas original o ahora a constituido o por una fue erza de redu ucción y un m momento de e reducción. Resultan nte de un sistema de fu uerzas en el plano o mínima m expre esión equiv valente Pa ara hallar la resultante, una vez obtenida la resultante de re educción, lo que nos faltta es hallar un punto o por donde pasa. Parra ello igualamos el mo omento de lla resultante e con el mo omento del sistema de d fuerzas.

Si ya hab bíamos reducido a un pu unto podemo os igualar co on el momen nto reducido o; Y si el ce entro de redu ucción es el origen de co oordenadas; .

.

Que es la a ecuación de la recta por donde pasa p la resu ultante. Si le damos va alor a una co oordenada hallamoss el valor de la otra y lo que q obtenem mos es uno de d los puntos por donde e pasa la ressultante. Es sto quiere decir que tod do sistema de e fuerzas en n el plano se e puede redu ucir a: a a) una fuerza co on una recta a de acción n determinad da (que pas sa por un punto) p que llam mamos resu ultante, b b) a un par o c) a un u sistema nulo. n Si expresamo os el sistem ma de fue erzas en cualquiera de d los tress sistemas equivalentes anteriores decimos que encon ntramos la mínima expresión eq quivalente de d un sistema as de fuerza as en el plan no. Método gráfico g para hallar la resultante: polígono funicular y polígon no de fuerzas.

Condiciones de equillibrio para un sistema de e fuerzas co oplanares. ablo Strazze eri 2016 Pa

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1º Opción de ecuaciones. 0                                          

0                              

0

Con esto se asegura que un hipotético cuerpo no se desplace en ninguna dirección ni gire. 2º Opción de ecuaciones. 0                            

0                  

0

La línea que une los dos centros de reducción no tiene que ser perpendicular a z. 3º Opción de ecuaciones.

0                                    

0                                 

0

La condición es que los tres centros de reducción no estén alineados.

Sistemas equivalentes y equlibrantes Si un sistema de fuerzas en el plano se puede reemplazar por una resultante, y si cualquier fuerza se puede descomponer en tres direcciones quiere decir que un sistema de fuerzas en el plano siempre se va a poder reemplazar por tres fuerzas en direcciones determinadas (siempre que no sean concurrentes). Para hacer el cálculo de estas fuerzas se debe igualar el sistema original y el sistema que se quiere encontrar en las ecuaciones de equilibrio. A las fuerzas incógnitas se les debe asignar un sentido arbitrario, si el resultado para determinada fuerza da positivo quiere decir que la fuerza va en el sentido asignado, si da negativo quiere decir que el sentido de la fuerza es el opuesto.                                                       

                                

Siendo “X” las tres fuerzas incógnitas. Si en lugar de trabajar con el sistema original, para simplificar cálculos, trabajamos con la reducción al origen de coordenadas;                                                       

                               

Si lo que se quiere encontrar es un sistema que equilibre al original se tienen que sumar los dos sistemas e igualarlos a cero. 2016 Pablo Strazzeri

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0                           

0                                 

0

Los resultados “X” de este sistema serán fuerzas en módulo y dirección iguales al sistema equivalente y con su sentido opuesto.

Sistemas de fuerzas en el espacio Componentes de una fuerza en el espacio (terna izquierda)

“l”, “m” y “n” son los cosenos directores, que son lo cosenos de los ángulos “α”, “β”, y “γ” respectivamente. ̌ ̌   | |   ;     

;    

  1

Momento de una fuerza con respecto a un eje. Se define como momento de la fuerza P respecto del eje “e”, al momento de la proyección de P sobre un plano normal al eje, con respecto al punto en que el eje corta al plano de proyección. También se puede definir como la proyección sobre el eje “ĕ” del momento de la fuerza con respecto a cualquier punto de dicho eje. Al ser el momento con respecto a un eje la proyección de un vector, éste es un escalar.

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̌ ̌

. .e

̌

.e ̌

. cosφ

El momento de una fuerza con respecto a un eje es cero si la fuerza se cruza con el eje, esto incluye si son paralelos ya que se interceptan en un punto impropio. Las componentes del vector momento son momentos con respecto a los ejes de referencia. Si el momento da positivo quiere decir que el sentido coincide con el sentido asignado al versor “ě”, si da negativo quiere decir que el sentido es el opuesto. Reducción de un sistema de fuerzas

Resultante de reducción:

∑

Invariante vectorial. ̌

Momento de reducción:

∑

̌

̌

 

  ̌

Cuando se reduce un sistema de fuerzas en el espacio a un punto se obtiene un sistema equivalente, generalmente formado por un vector fuerza y un vector momento alabeados. 2016 Pablo Strazzeri

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Invariante escalar Si descomponemos el momento resultante en una componente paralela a la resultante de reducción (M1), y otra perpendicular (M2), y trasladamos el centro de reducción veremos que la componente paralela (M1) del momento no varía, ya que cuando trasladamos fuerzas se generan momentos perpendiculares únicamente. Por lo tanto la proyección del momento sobre la resultante de reducción se un invariante escalar.

. | | Por lo tanto siempre se va a poder encontrar una serie de puntos que forman una recta, que elegidos como centros de reducción nos dan un momento paralelo a la fuerza, ya que no existe componente perpendicular. Esta recta se denomina Eje central de un sistema de fuerzas y cuando reducimos a alguno de sus puntos decimos que encontramos la mínima expresión equivalente.

Para hallar esta recta: Siendo “B”: punto perteneciente al “eje central”. Planteamos el momento de reducción a un punto del eje central, para facilitar los cálculos partimos del sistema reducido al origen. 0 Y sabemos que el módulo del momento en el eje central es el invariante vectorial, por lo tanto el vector momento será el producto del invariante escalar por el versor de la fuerza, siendo las componentes de este vector los cosenos directores de la fuerza. . ̌ ̌ ̌ ̌ Por lo tanto nos queda: 2016 Pablo Strazzeri

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. ̌ 0 Esta es una ecuación vectorial, para que se cumpla la igualdad tienen que ser iguales sus tres componentes  . .   . . .   . . . . Este es un sistema de ecuaciones con tres incógnicas (xB, yB y zB), las ecuaciones no son independientes, por lo tanto el resultado no es un punto si no una recta, si queremos conocer un punto de esta recta debemos darle valor a una variable. Condiciones de equilibrio para un sistema de fuerzas en el espacio. 0  ̌

̌

0

Como son dos ecuaciones vectoriales en el espacio esto nos quedaría seis ecuaciones escalares. 1

∑

.

0               2      4

∑

.

∑

0              3    

∑

.

0

0 

5       

0 

6     

0

Sistemas equivalentes y equlibrantes Se puede hallar un sistema equivalente a cualquier sistema de fuerzas en el espacio, formado por seis fuerzas en seis direcciones arbitrarias. Para hacer el cálculo de estas fuerzas se debe igualar el sistema original y el sistema que se quiere encontrar en las ecuaciones de equilibrio. A las fuerzas incógnitas se les debe asignar un sentido arbitrario, si el resultado para determinada fuerza da positivo quiere decir que la fuerza va en el sentido asignado, si da negativo quiere decir que el sentido de la fuerza es el opuesto.            

                        

                 

           

            

                        

                  

Si lo que se quiere encontrar es un sistema que equilibre al original se tienen que sumar los dos sistemas e igualarlos a cero. 2016 Pablo Strazzeri

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Bibliografía: - Apunte “Sistema de fuerzas”, Ciriaco De Luca, 1998. - “Establidad I”, Enrique Fliess, 1970.

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