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• Daniel Quisbert

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Estabilidad de Sistemas Lineales 1. Objetivos ● Analizar la estabilidad de sistemas continuos definidos por funciones de transferencia y modelos en espacio de estados. ● Utilizar la aproximación de Padé para analizar la estabilidad de sistemas continuos con atraso de tiempo.

2. Fundamento Teórico Función de transferencia continua Trabajar en el dominio de Laplace no solamente es útil para la resolución matemática de ecuaciones sino que se presta especialmente para ser utilizado con el concepto de función de transferencia. En general un proceso recibe una entrada u(t) y genera una salida y(t). Si llevamos estas señales al dominio de Laplace tendremos una entrada U(s) que genera una salida Y(s). La función que relaciona salida con entrada se denomina función de transferencia g(s).

De modo que Y(s) = g(s)×U(s) . Sistemas de primer orden Se denominan sistemas de primer orden a aquellos en los que en la ecuación general aparece solamente la derivada primera del lado izquierdo (el de la variable de estado). O sea que se reducen al formato siguiente:

donde k se denomina ganancia del proceso y es la constante de tiempo del sistema. En general encontraremos que la ecuación está escrita en función de

las variables “desviación” respecto al valor de estado estacionario. Por lo tanto en general y(0) = 0 , u(0) = 0 . Tomando transformadas de Laplace.

Estabilidad La Estabilidad de un sistemas de control es su propiedad más importante, tanto es así que no se puede hablar de sistema de control si éste no es estable. Un sistema es estable si responde con una variación finita a variaciones finitas de sus señales de entrada. Si se considera un sistema lineal e invariante en el tiempo, la inestabilidad del sistema supondrá una respuesta que aumenta o disminuye de forma exponencial, o una oscilación cuya amplitud aumenta exponencialmente. En esas situaciones el sistema no responde a las acciones de control, por lo que se dice que el sistemas se ha ido de control. Este efecto puede provocar situaciones muy peligrosas y fallos catastróficos, de ahí la importancia de estudiar la estabilidad.

El problema más importante de los sistemas de control lineal tiene que ver con la estabilidad. Un sistema de control es estable si y sólo si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s . Consideremos la siguiente función de transferencia de lazo cerrado.

𝐶(𝑆) 𝑏𝑜 𝑠 𝑚 + 𝑏1 𝑠 𝑚−1 + . . . +𝑏𝑚−1 𝑠 + 𝑏𝑚 = 𝑅(𝑆) 𝑎𝑜 𝑠 𝑛 + 𝑎1 𝑠 𝑛−1 + . . . +𝑎𝑛−1 𝑠 + 𝑎𝑛 En donde las a y las b son constantes y m ≤ n . Criterio de estabilidad de Routh. El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el

semiplano derecho del plano s (raíces positivas) sin tener que factorizar el polinomio. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos. Procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh: 1. Escriba el polinomio en s del denominador en la forma siguiente:

𝑎𝑜 𝑠 𝑛 + 𝑎1 𝑠 𝑛−1 + . . . +𝑎𝑛−1 𝑠 + 𝑎𝑛 = 0 En donde los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que 𝑎𝑛 ≠ 0 ; es decir, se elimina cualquier raíz cero. 2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso, el sistema no es estable. La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes de la ecuación estén presentes y tengan signo positivo. 3. Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el patrón o arreglo siguiente:

Los coeficientes b1 ,b2 ,b3 , ..., c1 , c2 , c3 , ..., d1 , d2 , ..., etc., se evalúan del modo siguiente:

La evaluación hasta que todas las restantes son cero.

continúa

El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el número de raíces de la ecuación con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo. La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuación sean positivos y que todos los términos de la primera columna del arreglo tengan signo positivo. Aplicación del criterio de estabilidad de Routh al análisis de un sistema de control. Considere el sistema de la figura. Determine el rango de valores de K para la estabilidad. La función de transferencia en lazo cerrado es:

La ecuación característica es:

El arreglo de coeficientes se convierte en:

Para la estabilidad, K debe ser positiva, y todos los coeficientes de la primera columna deben de serlo también.

Por tanto, para que el sistema de control sea estable, el rango de K sería:

Cuando K = 14/9 , el Coeficiente de la primer columna de la fila 𝑠1 se hace cero, esto significa que existen raíces imaginarias y el sistema se vuelve oscilatorio y, matemáticamente, la oscilación se mantiene en una amplitud constante. Respuesta en el tiempo de un sistema de control ● Respuesta transitoria ❏ Tiende a cero cuando el tiempo es muy grande ❏ Depende sólo de la dinámica del sistema ● Respuesta en estado estable ❏ Ocurre cuando el transitorio ha desaparecido

Errores en estado estable ❏ No son provocados por imperfecciones en el sistema ❏ Surgen por la incapacidad del sistema para seguir determinados tipos de entrada ❏ Se establece principalmente para señales de entrada escalón, rampa y parábola Análisis del lugar geométrico de las raíces ❏ La respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicación de los polos en lazo cerrado ❏ Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, entonces se puede conocer cómo se mueven los polos en lazo cerrado ❏ Para el diseñador, importa ajustar la ganancia para mover los polos de lazo cerrado a una posición deseada Aproximación de Pade La aproximación de Padé es la "mejor" aproximación de una función por una función racional de un orden dado. En virtud de esta técnica, la serie de potencias de la aproximación concuerda con la serie de potencias de la función que se aproxima. La técnica fue desarrollada por Henri Padé. La aproximación de Padé, da una mejor aproximación de la función que truncar su serie de Taylor, y funciona incluso donde la serie de Taylor no es convergente. Por esta razón las aproximaciones de Padé se usan ampliamente en los cálculos de ordenadores. Han sido también aplicados a las aproximaciones diofánticas, aunque para resultados nítidos, típicamente son reemplazados por métodos en cierto sentido inspirados en la teoría de Padé.

Dada una función f y dos enteros m ≥ 0 y n ≥ 0, la aproximación de Padé de orden (m, n) es la función racional:

que concuerda con máximo orden posible, lo

{\displaystyle f(x) en el que equivale a:

Equivalentemente, si R(x) se expande en una serie de McLaurin (Serie de Taylor en 0), sus primeros m + n términos cancelarían los primeros m + n términos de f(x), y como tal:

La Aproximación de Padé es única para determinadas m y n, es decir, los coeficientes {\displaystyle p0, p1, ... ,pm; q1, q2, …, qn, pueden ser determinados de manera unívoca. Esta es la razón por la que el término de orden cero en el denominador de R(x) es 1, ya de otra manera el numerador y denominador de R(x) habrían sido simplemente multiplicandos por la constante q0. A la Aproximación de Padé definida arriba se la denotada también como:

Para una x dada, la Aproximación de Padé puede ser calculada por el Algoritmo Épsilon y también por otras secuencias de transformaciones de sus sumas parciales:

Aproximación de representación en Matlab

Pade y

Las aproximaciones de Padé son un tipo particular de aproximación en fracciones racionales respecto al valor de una función f(x). La idea es que dicha aproximación coincida con el desarrollo en serie de Taylor de la misma función en la medida de lo posible; esto quiere decir que este método selecciona los parámetros haciendo cumplir que la función y las N primeras derivadas sean iguales en el origen, y adicionalmente que sea una función racional propia, partiendo desde la ecuación general de las aproximaciones racionales:

Donde el grado N de una función racional es n + m y el número de parámetros es igual a N+1 Padé hace que: 𝑓(𝑓) (0) = 𝑓(𝑓) (0) para k=0,1, 2…N la expresión anteriormente descrita quiere decir que:

Esto quiere decir que f(x) – R(x) será nulo y con multiplicidad N+1 en x=0. Esta es la condición principal para el cálculo de los coeficientes pj y qj a partir de los coeficientes aj que provienen de la Serie de Mclaurin de la misma función, de aquí se obtiene:

Esto facilitara que al igualar términos del mismo orden sea mucho más simple encontrar los coeficientes de la función en sí; para ello primero se deben encontrar los coeficientes q j para posteriormente encontrar los coeficientes pj

La aproximación de Padé tiene mejores resultados tanto en funciones representadas como series convergentes como en funciones representadas como no convergentes según la serie de Taylor; por este motivo esta aproximación es la más utilizada en el cálculo de ordenadores en especial para temas sensibles como la generación de interpolantes donde las funciones presentan asíntotas (es decir funciones con discontinuidades infinitas conforme vaya tomando valores).

APROXIMACIÓN DE PADÉ EN SISTEMAS DINÁMICOS Trasladando la aproximación de Padé como tal a sistemas dinámicos y la determinación de su respuesta temporal, la aproximación de Padé se reduce al ajuste a una función racional propia de la expansión en serie de una sola función trascendental, la exponencial e-Ts, donde T es la cantidad de tiempo que se toma el sistema analizado en responder, Esto se debe a que si se considera un retardo puro T, su transformada de Laplace corresponde a la mencionada anteriormente, esa transformada no se puede utilizar como función de transferencia debido a que no se trata de una división polinómica, por tal motivo se utiliza esta aproximación cuando existe un retardo, que se presenta en sistemas de orden superior (mayores al 2° orden). Padé permite representar el retardo como polos y ceros permitiendo considerar sus efectos al analizar el lugar de la raíz. Sin embargo, La aproximación de Padé es válida solo cuando los retardos son pequeños como se puede apreciar en la gráfica 1. Para analizar el error cometido por la aproximación de Padé utilizaremos la transformada de Fourier y la identidad de Euler. La representación en modulo y ángulo de un retardo es:

Para ilustrar el proceso y consideraciones anteriormente descritas, se empleará una expresión de orden 1 tanto en numerador como en denominador, y un retraso unitario (T=1), se escogerán los coeficientes b0, a1 y a0 de modo que el error sea pequeño por lo explicado anteriormente en la gráfica

Para aproximarlo con Padé se expande e-s y la función racional en series de Mclaurin y por el método de coeficientes resolver de la siguiente manera:

Como se puede apreciar por la definición de serie, se pueden tener un número infinito de ecuaciones, sin embargo, solo se tienen 3 parámetros, así que no se hace necesario emplear una cantidad mayor, Padé se determina cuando son hallados dichos parámetros, al tratarse de un sistema de 1° orden se obtiene lo siguiente:

Figura 2.Aproximación de Padé (1° Orden) Si suponemos este mismo ejemplo para un sistema de 2° orden, se tendrían 5 parámetros o coeficientes diferentes, que al hallarlos se obtendría la aproximación de Padé para este orden de sistema, el cual es mucho más aproximado a lo esperado:

Figura 3.Aproximación de Padé (2° Orden) Como se puede apreciar, al aumentar el orden a la aproximación de Padé, el resultado adquiere exactitud, pero también incrementa su complejidad como se puede apreciar en su expresión general; un dato no menor, al ingresarlo con la función de transferencia de la planta, la planta incrementará su orden.

REPRESENTACIÓN DE LA APROXIMACIÓN DE PADÉ EN MATLAB Matlab para representar las aproximaciones de Padé, utiliza 2 comandos de trabajo, el primer comando directo es la expresión de función de transferencia es decir el comando “tf” el cual al insertar en su tercer parámetro ‘inputdelay’ y en el siguiente parámetro una cantidad numérica realizara el retraso de dicha función en esa cantidad, de la siguiente manera:

Posteriormente, para apreciar las ‘n’ aproximaciones en forma racional, se emplea el segundo comando, que se llama “pade” donde en su primer parámetro recibe la función de transferencia con el respectivo retraso como se realizó con el comando anterior, y en el siguiente parámetro se coloca el orden de la aproximación de Padé que se desea trabajar, como se expresa en la siguiente figura

Luego al aplicar la instrucción “step” o respuesta al escalón a las 4 primeras aproximaciones, así como la función de transferencia retrasada aun no racionalmente, se puede evidenciar que al incrementar el orden de la aproximación de Padé, se incrementa su similitud a la función de transferencia sin la aproximación, pero también al tener un número mayor de oscilaciones hace más difícil su control en comparación:

Esto quiere decir que, si se conoce el tiempo que toma el elemento de orden N en reaccionar, es posible emular sistemas de orden superior mediante retrasos, y dichos sistemas comportarse como sistemas de primer o segundo orden según se requiera.

3. Desarrollo del laboratorio Realizar en Matlab los ejercicios propuestos por el docente en el laboratorio, comparar las respuestas y analizar los resultados.

● Determinar la estabilidad de:

>> a=[0 0 1;-2 -3 -4;-1 -5 -7] a= 0 -2 -1

0 -3 -5

1 -4 -7

>> eig(a) ans = -9.7202 0.7202 -1.0000 Por lo tanto como dos autovectores son negativos se concluye que el sistema es inestable.

● Analizar la estabilidad de:

>> n=1;d=[0.3 1]; >> g=tf(n,d) g= 1 --------0.3 s + 1 Continuous-time transfer function.

>> [na,da]=pade(0.15,1); >> ga=tf(na,da); >> gtotal=g*ga; >> rlocus(gtotal); >> sisotool)gtotal)

EJEMPLOS DE LA CLASE Para g1: >> g1=tf(1,[1 4 5 0]) g1 = 1 ----------------s^3 + 4 s^2 + 5 s Continuous-time transfer function. >> figure(1) >> rlocus(g1)

Para g2: >> g2=tf(1,[1 6 12 0]) g2 = 1 -----------------s^3 + 6 s^2 + 12 s Continuous-time transfer function. >> figure(2) >> rlocus(g2)

Para g3: >> g3=tf(1,[1 6 25 0]) g3 = 1 -----------------s^3 + 6 s^2 + 25 s Continuous-time transfer function. >> figure(3) >> rlocus(g3)

Para g4: g4=tf([1 9],[1 4 11 0]) g4 = s+9 -----------------s^3 + 4 s^2 + 11 s Continuous-time transfer function. >> figure(4) >> rlocus(g4)