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• Robert Paul Dávila Torrico

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Estabilidad de los sistemas de control Ingeniería de Control y Automatización

Definiciones: estabilidad absoluta, estabilidad relativa e inestabilidad • La característica más importante del comportamiento dinámico de un sistema de control es la estabilidad absoluta, es decir, si el sistema es estable o inestable. • Un sistema de control con estabilidad absoluta se denomina sistema estable. • Definición: Un sistema de control es estable si ante cualquier entrada acotada, el sistema posee una salida acotada. • Si un sistema de control es estable, se puede además caracterizar el grado de estabilidad, esto esta relacionado con la estabilidad relativa. • Un sistema de control LTI es críticamente estable si las oscilaciones de la salida continúan de forma indefinida. • Un sistema de control LTI es inestable si la salida diverge sin límite a partir de su estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial

Estabilidad • La estabilidad de un sistema realimentado está estrechamente relacionada con la posición de las raíces de la ecuación característica de la función de transferencia del sistema. Un sistema es estable cuando todos los polos de su función de transferencia están en el semiplano s izquierdo. La estabilidad relativa de un sistema se analiza estudiando las situaciones relativas de los polos.

Estabilidad • La respuesta de un sistema dinámico ante una entrada será decreciente, neutra o creciente. Por la definición de estabilidad se deduce que un sistema será estable si, y solo si, el valor de su respuesta a un impulso (t) integrada sobre un intervalo finito, es un valor finito. • Un sistema es estable si la respuesta del sistema al impulso tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Si el sistema tiende a un valor finito diferente a cero, se puede decir que el sistema es críticamente o marginalmente estable. Una magnitud infinita hace a el sistema inestable. • La localización de los polos en el semiplano s izquierdo garantiza una respuesta decreciente para entradas de perturbación. Los polos situados sobre el eje jω dan como resultado una respuesta neutra y los situados en el semiplano s derecho una respuesta creciente (y por tanto inestable).

Estabilidad • Si todos los polos de la función de transferencia están en el lado izquierdo de plano-s entonces el sistema es estable. • Un sistema es críticamente estable si uno o más polos están en el eje imaginario del plano-s. • En el estudio de estabilidad sólo los polos de la función de transferencia son importante, los ceros son irrelevantes. • Los polos de un sistema son las raíces obtenidas de el denominador de la función de transferencia cuando es igualado a cero (polinomio característico o ecuación característica) • El concepto de estabilidad es aplicado a sistemas a lazo cerrado o a lazo abierto.

Función de transferencia K ( s  z1 )...(s  zm ) G( s)  ( s  p1 )...(s  pn ) m 1

N (s) G (s)  D( s)

C ( s ) b0 s  b1s    bm1s  bm p( s )   R( s ) a0 s n  a1s n1    an1s  an q( s ) m

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz • Un polinomio se dice Hurwitz si todas sus raíces tienen parte real negativa. • Si

es la función de transferencia de un sistema

entonces el sistema es estable si el polinomio D(s), conocido como el polinomio característico del sistema, es Hurwitz. • El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz permite determinar si hay raíces con parte real positiva (inestable) sin necesidad de resolver el polinomio característico.

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz Procedimiento Sirve para determinar si un polinomio a(s) es Hurwitz o no. 1. Se escribe el polinomio en s de la forma siguiente:

donde los coeficientes son números reales. Se supone que 𝑎𝑛 ≠ 0 es decir a(s) no tiene raíces en s=0.

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz Procedimiento 2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo en presencia de al menos un coeficiente positivo, entonces el polinomio a(s) tiene raíces puramente imaginarias, o que tienen parte real positiva. En este caso a(s) no es Hurwitz, por tanto, el sistema no es estable. Si sólo interesa la estabilidad absoluta, no es necesario continuar con el procedimiento. 3. Si todos los coeficientes son positivos (o todos negativos) y diferentes de cero, construya el siguiente arreglo:

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz Procedimiento sn

a0

a2

a4

a6 

s n1

a1

a3

a5

a7 

s n2

b1

b2

b3

b4 

s n 3

c1

c2

c3

c4 

s n4

d1

d2

d3

d4 

s2

e1

e2

s1

f1

s0

g1



donde: a1a2  a0 a3 a1a4  a0 a5 a1a6  a0 a7 b1  , b2  , b3  , a1 a1 a1 c1 

b1a3  a1b2 ba ab ba ab , c2  1 5 1 3 , c3  1 7 1 4 ,  b1 b1 b1

d1 

c b bc c1b2  b1c2 , d2  1 3 1 3 ,  c1 c1



Se continua de esta forma hasta que la nésima fila del arreglo ha sido completada.

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz Procedimiento • El criterio de Routh-Hurwitz establece que el número de raíces de a(s) con parte real positiva es igual al número de cambios de signo de los coeficientes en la primera columna del arreglo. • Entonces, el polinomio a(s) es Hurwitz si y solo si 𝑎𝑖 ≠ 0 , 𝑎𝑖 > 0 y todos los coeficientes en la primera columna del arreglo son positivos.

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz Ejemplo s  6s  11s  6s  15  0 4

s4 s3 s2 s1 s0

3

2

Casos especiales del criterio de RouthHurwitz 1. El primer elemento de una fila es cero, y es el único elemento de la fila, o los demás elementos de la fila son diferentes de cero. En este caso, el cero es reemplazado por un número positivo muy pequeño 𝜀 y se continua con el cálculo del arreglo. Si el signo del coeficiente arriba del cero (𝜀) en el arreglo es el mismo que el de abajo, entonces el polinomio a(s) tiene un par de raíces imaginarias. En caso contrario, esto es, si el signo del coeficiente arriba del cero (𝜀) es diferente que el de abajo, entonces el polinomio a(s) tiene 2 raíces con parte real positiva.

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz Caso especial 1 - Ejemplo s  3s  2s  6s  2  0 4

3

2

s4

1

2 2

3

3

6

s

s 0 2 1 6  6 0 s 2

s

0



2

Casos especiales del criterio de RouthHurwitz 2. Si todos los coeficientes de una fila son cero, entonces el polinomio a(s) tiene raíces de igual magnitud y opuestas en el plano-s, esto es, 2 raíces de igual magnitud y de signo contrario, o 2 raíces imaginarias conjugadas. En este caso, el arreglo de los coeficientes puede ser completado formando un polinomio auxiliar con los coeficientes de la fila anterior y usando los coeficientes de la derivada de este polinomio en la siguiente fila. Las raíces de igual magnitud y opuestas en el plano s corresponden a las raíces del polinomio auxiliar.

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz Caso especial 2 - Ejemplo s  2s  4s  2s  7s  8s  12  0 6

s6 1 4 5

s 2 2

7

5

4

3

12

au( s)  3s 4  3s 2  12

8

s 4 3 3 12 s3 0 0

2

Polinomio auxiliar au(s) Fila de ceros

au( s)  12 s 3  6s s

Se reemplaza la fila de ceros por la derivada del polinomio auxiliar.

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz Caso especial 2 - Ejemplo s  2s  4s  2s  7s  8s  12  0 6

5

4

s6 s

5

s4

3

2

1

4

7

2

2

8

3

3

12

s 3 0 / 12 0 / 6 s

2

3 2

s1  90 s 0 12

12

12