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Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Azcapotzalco Licenciatura en Ingeniería Física Proyecto de Investigación.

“Diseño de una esfera integradora basada en superficies reales no Lambertianas.” Reporte de proyecto de investigación para obtener el grado de Ingeniero Físico Presenta: Alan Morales Larraga. Matrícula: 209304500 Asesores: Dr. Armando Gómez Vieyra. Profesor-Investigador Titular B. Física de Procesos Irreversibles. Departamento de Ciencias Básicas. División de Ciencias Básicas e ingeniería. Correo: [email protected]

Dr. Geovanni Hernández Gómez Profesor-Investigador Asociado D. Física de Procesos Irreversibles. Departamento de Ciencias Básicas. División de Ciencias Básicas e ingeniería. Correo: [email protected] Trimestre 15-P México D.F., julio de 2015.

I.

Resumen.

En la mayoría de las mediciones radiométricas y/o fotométricas es muy empleada una esfera integradora como elemento para la concentración de energía. Una esfera integradora consta de una cavidad esférica hueca, que en su interior está cubierta con un recubrimiento difuso reflectante, tal superficie se denomina Lambertiana, con pequeños orificios para los puertos de entrada y salida. Su propiedad más relevante es una uniformidad de la dispersión o el efecto de difusión. En este trabajo se presenta el desarrollo teórico del comportamiento de una esfera integradora ideal. Además se toma en cuenta que las superficies son reales no son ideales, por tal motivo se desarrolla la teoría para cuando el recubrimiento de la esfera no es Lambertiana. Basándose en los resultados se propone diseño de una esfera integradora, y se define el material con el cual debería estar recubierta en su interior. Tal material se caracterizó mediante la medición de potencia en función del ángulo para poder determinar cuál ofrecía un recubrimiento lo más altamente difuso posible. Todo esto para poder dejar las bases para la posterior construcción de una esfera integradora a un bajo costo. Con los resultados se proporcionan las bases necesarias para la construcción y entendimiento de una esfera integradora de acuerdo a las necesidades del consumidor.

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“Si no crees que mereces lo mejor, nunca lo conseguirás”

Página |2

II.

Agradecimientos

Primeramente quiero agradecer a la Universidad Autónoma Metropolitana por haberme abierto sus puertas durante toda mi carrera, a los profesores por brindarme su más valiosa posesión, el conocimiento. Quiero agradecer a todas las personas que me han ayudado a comprender que si quiero cambiar algo en mi vida, primero debo empezar por actuar diferente. A mis hermanos por estar conmigo y brindarme su más sincera amistad, en especial a mi hermano Gilberto por su apoyo y comprensión incondicional. A mis amigos y compañeros que han estado a mi lado en todo este tiempo. A las personas, que en tan poco tiempo se han convertido en seres muy especiales para mí, gracias por enseñarme que en la vida hay cosas que valen la pena, y que la vida puede ser todo lo agradable que te lo permitas. Principalmente quiero agradecer a mis padres por siempre estar a mi lado apoyándome en cada momento de mi vida, sé que siempre han dado lo mejor de ustedes para que yo pueda lograr mis objetivos, por confiar en mí y por alentarme a continuar siempre, sin ustedes nada de esto hubiera sido posible. Sé de antemano que no podré expresar la gratitud que siento hacia ustedes, pero sé que me comprenderán. Gracias a todos por enseñarme que “ningún sueño es imposible, el límite es el cielo”.

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III.

Tema

Índice

Pág.

I.

Resumen………………………………………………………………………1

II.

Agradecimientos……………………………………………………………...3

III.

Índice………………………………………………………………………….4

IV.

Índice de figuras……………………………………………………………...6

V.

Índice de tablas……………………………………………………………….7

1. Introducción……………………………………………………………………....8 2. Justificación………………………………………………………………………9 3. Objetivos………………………………………………………………………….9 3.1 Objetivo general……………………………………………………………9 3.2 Objetivos particulares……………………………………………………....9 4. Desarrollo teórico………………………………………………………………..11 4.1 Energía transportada por ondas electromagnéticas………………………...11 4.2 Conceptos básicos de radiometría………………………………………….13 4.3 Magnitudes radiométricas……………………………………………….....14 4.4 Fuentes isotrópicas y Lambertianas………………………………………..17 4.5 Fuentes finitas……………………………………………………………...19 5. Desarrollo de la teoría del modelo ideal de una esfera integradora………......22 5.1 Esfera integradora………………………………………………………......22 5.2 Teoría de la esfera integradora…………………………………………......24 5.3 Dependencia angular del detector……………………………………….....29 6. Desarrollo de la teoría del modelo real de una esfera integradora….………..32 6.1 Dispersión uniforme en esferas integradoras………………………………32 6.2 Medidas relativas…………………………………………………………..36 6.3 Mediciones absolutas en una esfera integradora…………………………...40 6.4 Método de deflectores……………………………………………………...42 6.5 Esferas de difusores no isotrópicos………………………………………...43 7. Diseño de la esfera integradora…………………………………………………50 7.1 Diámetro de la esfera integradora………………………………………….50 Página |4

7.2 Estimación del tamaño de la esfera integradora para poder realizar la medición radiométrica de un led de 5 ………………………………...51 7.3 Estimación del tamaño de la esfera integradora para poder emplear un fotodiodo como sensor de potencia………………………………………..52 7.4 Selección del recubrimiento de la esfera integradora……………………...52 8. Conclusiones……………………………………………………………………..59 9. Referencias………………………………………………………………………61

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IV.

Índice de Figuras

Figura

Pág.

1. Cono………………………………………………………………………………...13 2. Definición de ángulo sólido….……………………………………………..............13 3. Cono circular recto de medio ángulo desde el vértice…………………………...…14 4. Área proyectada por ……………………………………..……………...............15 5. Elemento de superficie subtendido en un ángulo sólido radiado por una fuente puntual…………………………………………………………………..….16 6. Superficie Lambertiana plana de área  y radiancia uniforme  ….……..............17 7. Irradiancia producida por una fuente Lambertiana de disco de radio  y radiancia uniforme  en un área de elemento  ………………...……………….19 8. Geometría de la relación entre exitancia y radiancia…………………..…………...20 9. Medición de irradiancia en una esfera integradora………………………..………..22 10. Dos elementos diferenciales de área dentro de la superficie de una esfera………...23 11. Flujo infinitesimal distribuido por una muestra especular………………….……...31 12. Irradiación en la pared de una esfera…………………………………………....….33 13. Inclusión en el plano de una esfera integradora……………………………...……..37 14. Medición de la reflectancia absoluta en una esfera integradora……………………43 15. Dispersión arbitraria en una esfera…………………………………………………44 16. Grafica de la reflectancia para diferentes diámetros………………………….……51 17. Potencia contra grados para una placa, con y sin recubrimiento de Bic ecolutions (Base agua)………………………………………………………………………....53 18. Potencia contra grados para una placa, con y sin recubrimiento de Aqua kores (base agua)………………………………………………………………………….54 19. Potencia contra grados para una placa, con y sin recubrimiento de Pelikan (base agua)………………………………………………………………………….54 20. Potencia contra grados para una placa, con y sin recubrimiento de PaperMate (base aceite)………………………………………………………………………...55 21. Potencia contra grados para las cuatro placas con recubrimiento………………….56

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V. Tabla

Índice de tablas Pág.

1. Magnitudes radiométricas estándar………………………………………..………..14 2. Interdependencia entre la irradiación y la geometría de observación………………34 3. Materiales coloidales semi-lambertianos…………………………………………...53

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1. Introducción

La caracterización de detectores y fuentes de luz es de suma importancia, y en especial la caracterización de diodos emisores de luz (LED) es importante debido a las aplicaciones que estos tienen en la actualidad. Es muy importante conocer el flujo radiante originado por los LED’s ya que así se podrá conocer la eficacia que tienen estos dispositivos.

La radiometría es el campo de la ciencia y de la ingeniería relacionado con la medición de la radiación electromagnética, más específicamente, la medición de la energía de radiación electromagnética no coherente. La radiometría describe la transferencia de energía (o energía por unidad de tiempo, potencia) desde una fuente a un detector.

La radiometría es importante en astronomía, especialmente en la radioastronomía y en geofísica. La medida cuantitativa de la intensidad de la radiación se hace por medio de diferentes tipos de detectores que convierten parte de la radiación en calor o en una señal eléctrica, con termopares o fotodiodos. Es común emplear un medidor de potencia óptica, radiómetros, determinas superficies patrón y esferas integradoras para realizar estas mediciones.

El propósito de una esfera integradora especialmente es la de integrar flujo radiante. El flujo radiante, es la energía por unidad de tiempo que es radiada por una superficie sobre longitudes de ondas ópticas, incluye las regiones del espectro electro magnético normalmente referido como, Ultra Violeta (UV), Visible, e Infrarroja (IR). El flujo se puede medir directamente o después de que haya interactuado con una muestra de material. La esfera como parte de un radiómetro o fotómetro puede medir directamente el flujo originado por dispositivos de iluminación, esparcimiento y análisis en espectroscopia o la densidad de flujo producido a partir de lámparas y láseres. Tal vez la mayor aplicación para la esfera de integración es en la medición de la reflectancia o transmitancia total a partir de materiales difusos o de dispersión.

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La esfera integradora debidamente instrumentada con un fotodetector de la respuesta espectral adecuada se puede utilizar para medir directamente el flujo geométrico total que emana de una fuente de luz o la densidad de flujo de un área iluminada. La más antigua aplicación de la esfera integradora es en la medición del flujo geométrico total de lámparas eléctricas. La técnica se originó en el siglo XX como un método sencillo y rápido de la comparación de la salida del lumen de diferentes tipos de lámparas. Todavía se utiliza ampliamente en la industria para la fabricación de lámparas de control de calidad [1], así como aplicaciones en la biomedicina [2]. En este trabajo se analizará, desarrollará y se propondrá el diseño de una esfera integradora. Los resultados de este trabajo servirán para poder extrapolarse al diseño y construcción de esferas integradoras de acuerdo a nuestras necesidades.

2. Justificación Actualmente la esfera integradora se ha convertido en un instrumento estándar en fotometría, radiometría y biofotónica. Su principal ventaja es que puede conseguir la medición total de la luz producida por una fuente en una sola medición. Sin embargo el costo de este instrumentos óptico es muy elevado, la justificación de esta propuesta es diseñar una esfera de integración a un costo accesible y procurando emplear en su diseño materiales existentes en el mercado nacional. 3. Objetivos 3.1 Objetivo General -Diseñar una esfera integradora basada en su modelo ideal donde el recubrimiento es Lambertiano y ajustar este diseño considerando que las superficies reales no son Lambertianas. 3.2 Objetivos Particulares -Describir la teoría del modelo ideal de una esfera integradora basada en un recubrimiento Lambertiano.

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-Describir la teoría del modelo real que es el aproximado para superficies no uniformes (no Lambertianas). -A partir del modelo real estimar el tamaño de la esfera integradora para poder realizar la medición radiométrica de un led de 5 . -A partir del modelo real estimar el tamaño de la esfera integradora para poder emplear un fotodiodo como sensor de potencia. -Evaluar y caracterizar diversos materiales para el recubrimiento interior de la esfera integradora. -Especificar las características ingenieriles (radio de curvatura, rugosidad, tipo de recubrimiento casi Lambertiano, tolerancias, cotas mecánicas, etc.).

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4. Desarrollo Teórico En general, la radiometría es la medición de la energía o potencia (energía por unidad de tiempo) contenida en las ondas de radiación electromagnética. Estas incluyen la transferencia de energía desde una fuente a través de un medio hasta un detector. Toda técnica de medición óptica necesita al menos una fuente de luz, un sensor y un componente óptico que lleve la luz a la muestra de prueba y al sensor. Podemos considerar dos categorías de medición de energía o potencia: 1. Medición directa de la energía o potencia como propiedad principal de una componente óptica y 2. Medición de la potencia o energía como cantidad base, de la que otras propiedades pueden ser derivadas. Mediciones relativas de reflectancia de superficies y recubrimientos o transmisión óptica de componentes pertenecen a la primera categoría. Otros ejemplos para la categoría 1 son la medición de la potencia absoluta y distribución espacial de fuentes de luz o la sensibilidad de un detector. A menudo la motivación para este tipo de mediciones es encontrar la fuente o detector medición óptica, tarea que se encuentra dentro de la segunda categoría. Las técnicas incluidas en la segunda categoría no miden la absoluta o relativa potencia como una propiedad de la componente bajo prueba, pero necesitan la cantidad de potencia o energía para evaluar otras cantidades. 4.1 Energía transportada por ondas electromagnéticas. Fundamentalmente para la comprensión de la medición de energía o potencia es el transporte de energía como principal propiedad de las ondas electromagnéticas. Las cargas aceleradas producen campos eléctricos y todos los campos eléctricos están acompañados de campos magnéticos y viceversa. Los campos electromagnéticos existen fuera e independientemente de las fuentes primarias y transportan energía a través del espacio con la velocidad de la luz. Este proceso se repite eternamente si no existe interacción con un material, incluso si la fuente de este proceso ya no existe.

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La descripción de la propagación de la luz como ondas electromagnéticas es evaluada en las ecuaciones de Maxwell. La energía de los campos electromagnéticos se describe como la densidad de energía , que es la energía de un elemento infinitesimal de volumen. La densidad de energía es una distribución del campo eléctrico y magnético de la onda viajera. En un medio homogéneo, dieléctrico isotrópico lineal (no conductor) la densidad de energía del campo electromagnético es = + 

(1)

Donde 1 1  ⃗  = ⃗  2 2

=

(2)

Y  =

1 1 1  ⃗  =    ⃗  =  ⃗  2  2 2

(3)

Y donde: ⃗ es la fuerza del campo magnético. ⃗ es la inducción magnética.  

 = 8.854210  Es la constante dieléctrica. 

 = 410 , es la permeabilidad magnética absoluta. Las constantes del material y

 es la constante dieléctrica relativa y la relativa

permeabilidad del material, respectivamente, con un valor de 1 para el vacío. La energía llevada por un campo electromagnético causa un flujo de energía perpendicular al campo magnético y eléctrico. Que es descrito como el vector de Poynting [3].

⃗ ⃗ = ⃗ × 

(4)

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4.2 Conceptos básicos de radiometría.

La magnitud básica a partir de la cual se derivan las mediciones radiométricas son los conceptos de área y de ángulo sólido que son necesarios para calcular el flujo radiante que incide en un sistema.

Un cono es el volumen barrido cuando una línea recta pasa por un vértice fijo y se mueve a través de un recorrido cerrado.

Figura 1. Cono

Ω=

 ["#$"!"%!&' (#!)] !

(5)

Figura 2. Definición de ángulo sólido.

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Cuando a es el área interceptada por un cono en una superficie esférica de radio r centrado en el vértice del cono; el ángulo sólido obtenido en toda la esfera es igual a 4 #!. Y el ángulo sólido obtenido por un cono circular recto de medio ángulo desde el vértice (*, ), es: 



Ω = 4#"' ( *, ).  

Figura 3. Cono circular recto de medio ángulo desde el vértice.

4.3 Magnitudes radiométricas

La nomenclatura utilizada para definir las cantidades radiométricas son: Tabla 1. Magnitudes radiométricas estándar. Cantidad

Símbolo

Definición

Unidad

Energía radiante

-

Densidad de energía



-, :

7, ;

Φ, >

-, $

?$$ [?]

Exitancia radiante

@

Φ, 

Irradiancia



Φ, 

Radiancia



  ΦD A BC Ω

?,  ?,  ?,  #!

Intensidad radiante

E

Φ, Ω

?, #!

radiante Flujo radiante (Potencia)

/ Φ$

7% 9" [7]

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La radiancia L es el flujo por unidad de área proyectada por unidad de ángulo sólido que abandona o emite una fuente o, en general, una superficie de referencia. Si   Φ es el flujo emitido a un angulo solido Ω por un elemento de fuente de área proyectada A BC , la radiancia es definida como:  Φ = A BC Ω

(6)

El área proyectada se obtiene por A BC = G%#*.

Figura 4. Área proyectada por .

Donde * es el ángulo entre el exterior de la superficie normal y el elemento de área dA en la dirección de observación.

La energía total contenida en un campo de radiación o la energía total suministrada a un receptor dado por tal campo de radiación, es llamada energía radiante -. La densidad de energía es definida como: =

:

(7)

- es la energía radiante contenida en un elemento de volumen : del campo de radiación.

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La exitancia radiante I es el flujo por unidad de área que abandona la superficie de una fuente de radiación y se expresa como: @=

Φ 

(8)

Φ=

Q $

(9)

Donde Φ es el flujo radiante. La irradiancia K, también llamada radiancia incidente, es el flujo por unidad de área recibida por un elemento de superficie real o imaginario y se expresa como

@=

Φ 

(10)

La intensidad radiante L es el flujo por unidad de ángulo sólido emitido por toda una fuente en una dada dirección, por lo tanto: E=

Φ Ω

(11)

Donde Φ es el flujo emitido en el angulo sólido Ω. Aunque puede ser definida para una fuente, esta cantidad en particular se usa para describir la radiación producida por una fuente puntual, esto es, una fuente cuya dimensión lineal es mucho menos que la distancia de la región de observación.

Figura 5. Elemento de superficie subtendido en un ángulo sólido radiado por una fuente puntual.

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El elemento de superficie  esta subtendido en un ángulo sólido, de acuerdo con Ω = MNBO

P

.

Y el flujo que toca el elemento de superficie de acuerdo a Ω =

RMNBO

P

, y de acuerdo a la

irradiancia . =

Φ EG%#* = A !

(12)

Este resultado es una forma de la Ley de Lambert de cosenos, la irradiancia decrece con el ángulo de incidencia como *. También ilustra la ley de cuadrados inversos en que la irradiancia decrece con la distancia 1/!  . Valido para fuentes puntuales. 4.4 Fuentes isotrópicas y Lambertianas

Cualquier superficie, real o imaginaria, cuya radiancia sea independiente de la dirección considerada se denomina emisor o fuente Lambertiana puesto que verifica la Ley de Lambert del coseno: la irradiancia (o exitancia) desde un elemento cualquiera de área sobre la superficie varía como el coseno del ángulo * entre la superficie considerada y la dirección normal a la superficie.

Es un hecho empírico de que las fuentes de radiación más incoherentes (emisores o dispersores) producen radiación cuya luminosidad es aproximadamente independiente del ángulo de observación. Una fuente Lambertiana es definida como una cuya radiación es completamente independiente del ángulo de observación.

Figura 6. Superficie Lambertiana plana de área  y radiancia uniforme  .

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Para obtener la intensidad de la fuente en la dirección *:

E = /  G%#*

(13)

Ya que la integral es independiente de la posición, esta integral es evaluada trivialmente para obtener: E = E G%#*

(14)

Donde E ha sido usada para designar al producto   . Esta ecuación constituye otra forma de la Ley de Lambert de los cosenos e ilustra la disminución de la intensidad de la fuente con respecto al ángulo de observación para una fuente plana de tamaño finito. Cabe señalar que esta disminución se debe enteramente a la disminución de la superficie proyectada de la fuente.

Para fuentes Lambertianas, en particular existe una relación simple que se determina a partir de la definición de la radiancia y la exitancia radiante.

@ = / G%#*Ω

Aplicando la definición de ángulo sólido y resolviendo la primera integral, tenemos: V/

@ = 2 /



#"'*G%#** = 2 / G%#*(G%#*) = 





Una fuente puntual isotrópica tiene la misma intensidad en todas las direcciones, esto implica una fuente esférica. En la realidad estas fuentes no existen, por lo que es necesario definir aproximaciones más próximas a la realidad.

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4.5 Fuentes finitas

Muchas cantidades fundamentales de la radiometría son definidas en términos de elementos de área infinitesimales. Por lo tanto, con el fin de tratar los problemas relacionados a fuentes finitas, a menudo es necesario realizar integraciones de estas cantidades sobre la superficie de la fuente. A continuación revisaremos el caso de una fuente Lambertiana de disco.

Deseamos calcular la irradiancia producida por una fuente Lambertiana de disco de radio  y radiancia uniforme  en un área de elemento  que se encuentra paralela a la superficie del disco y se localiza axialmente a una distancia W desde el centro del disco (ver figura 7). Un elemento anular del área de la fuente está dado por:

 = 2W 

#"'** cos ; *

Y el elemento de ángulo solido subtendido por  desde el punto en  es:

Ω =

 G%#* (W⁄G%#* )

Figura 7. Irradiancia producida por una fuente Lambertiana de disco de radio  y radiancia uniforme  en un área de elemento 

Por lo tanto el flujo transferido desde    esta dado en concordancia con la definición de radiacion:

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 Φ = 2 #"'*G%#** Y la irradiancia en  , esta dada por:

=

OX⁄P Φ  = / 2#"'*G%#** = #"' *⁄ =  Y  Z   + W 

^

Donde *⁄ = arctan \ `, es el angulo medio subtentado por el disco en el punto de _ observación.

Podemos notar que en el límite W ≪  la irradiancia  se aproxima al valor  que es la exitancia radiante de una fuente Lambertiana. En oposición cuando el límite W ≫  la irradiancia  se aproxima al valor   ⁄W  , y en este caso la irradiancia obedece la ley del inverso cuadrado. En este límite el disco puede ser considerado como una fuente puntual de intensidad E =    y la irradiancia puede ser expresada por el resultado general  = E/!  derivado de una fuente puntual.

La relación es en general, compleja, y depende en gran medida de la distribución angular de la radiancia desde la fuente . El flujo transmitido desde  (la fuente) a  (sobre la superficie de la esfera es:  Φ =

 G%#* !

(15)

Figura 8. Geometría de la relación entre exitancia y radiancia.

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Donde * es el ángulo desde la superficie normal hasta  y en la dirección de propagación. Por definición:  = Ω! 

(16)

Sustituyendo para Ω los términos de * y e:  = !  #"'**e

(17)

Entonces el flujo transferido a la superficie  es:  Φ =  #"'*G%#**e

(18)

Aplicando límites para el hemisferio de * f e, y construyendo la integral: V

V/

Φ = / e / 

 #"'*G%#**



Si la fuente  es Lambertiana, entonces: V/

#"' * Φ = 2 Y Z 2 

Substituyendo @ = Φ/ y resolviendo los productos, @ = ; tal que, la radiancia y la exitancia radiante en una superficie Lambertiana están relacionados por un factor de . Estas relaciones nos permitirán estudiar y analizar los resultados de las mediciones radiométricas de los recubrimientos propuestos para el interior de una esfera integradora.

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5. Desarrollo de la teoría del modelo ideal de una esfera integradora

5.1 Esfera Integradora

A menudo es necesario medir el flujo de un haz de irradiancia no uniforme. Para un haz lo suficientemente pequeño, un detector de área activa puede ser usado para esto. Para haces débiles o muy divergentes, así como cuando la respuesta del detector a través del área no es suficientemente uniforme, una esfera integradora puede usarse para producir irradiancia uniforme que es proporcional al flujo total incidente. Esta irradiancia es medida por un detector.

Figura 9. Medición de irradiancia en una esfera integradora.

El interior de la esfera integrador tiene un material de muy difusa reflectividad. Así la radiación es disparada muchas veces antes de ser absorbida, y se convierte en radiación muy uniforme distribuida sobre el interior de la superficie de la esfera. Así la esfera produce irradiancia que es proporcional al flujo total que entra a la esfera.

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Figura 10. Dos elementos diferenciales de área dentro de la superficie de una esfera.

Si deseamos calcular la contribución de la irradiancia de ′ debido al elemento de superficie , asumimos que es una fuente Lambertiana de radiancia . Debido a la geometría esférica del problema, los angulos * f *′ definidos en la figura 10 son iguales. El flujo transmitido desde ′ esta dado de acuerdo a la definición de radiancia como:   Φ = A BC Ω Donde la superficie de área proyectada está dada por G%#* y el angulo sólido subtentado por ′ esta dado por i G%#*/ . Donde la distancia  es igual a 2G%#*, el flujo puede ser expresado como  Φ = i /4  y la contribución de la irradiancia de i esta dada por:  =

 Φ  = i 4 

(19)

Se nota que este resultado es independiente del ángulo *. Así el flujo llevado a cada parte de la superficie de la esfera es distribuido uniformemente sobre el resto de la esfera. Si una cantidad de flujo Φ entra en la esfera, la irradiancia en cualquier punto de la esfera debido a una reflexion estará dada por Φ!/4  , donde ! es la difusividad reflectiva de la superficie. Una fracción de ! de este flujo se reflejara por segunda vez, llevando una distribución uniforme sobre la superficie de la esfera. Así la irradiancia total en la superficie está dada por:

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=

Φ (! + !  + ! ; + ⋯ ) 4 

Podemos notar que el término (! + !  + ! ; + ⋯ ) no es más que la serie geométrica de ! multiplicada por ella misma, entonces [4] [5]:

=

Φ ! 4  1 − !

(20)

5.2 Teoría de la esfera integradora

Primero definimos algunas expresiones generales necesarias para comprender el desarrollo subsecuente. La radiancia  en la dirección * , e , es resultante de la radiación incidente k contenida en el angulo sólido proyectado #"'*k G%#*k *k ek sobre un elemento de superficie que tiene una función de distribución: li (*k , ek ; * , e ) Es V

V/

li (*k , ek ; * , e )k (* , e )#"'*k G%#*k *k ek

k (* , e ) = /

/





(21)

Donde los subíndices & y ! hacen referencia a la dirección incidente y reflejada respectivamente. El flujo radiante emitido por el elemento de superficie m he interceptado por p es: u

q

Φk () = /

/





 (m) (* , e )

G%#*k G%#* m p 

(22)

Donde @ f v denotan el elemento de superficie y   es la distancia entre los elementos de superficie. Asumiendo una superficie perfectamente Lambertiana, la función de distribución está dada por:

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li (*k , ek ; * , e ) =

lw 

Donde lw es la reflectancia de la pared de la esfera. Entonces, renombrando que vk (*k , ek )#"'*k G%#*k *k ek = k (*k , ek ). Podemos escribir la ecuación (21) como

 (* , e ) =

lw / k (*k , ek ) 

(23)

De la geometría de la esfera, G%#*k G%#* /  = 1/x donde x es el diámetro de la esfera, cuya superficie de área podemos denotar como , entonces la ecuación (23) y sustituyendo en (22), tenemos

Φk(p) = lw >k(m) (p) /

(24)

O en términos de la radiancia:

k(p) = lw >k(m) /

(25)

Ahora podemos describir las múltiples interreflexiones en la esfera de integración en términos de la radiancia. Trataremos el revestimiento de la esfera como si estuviera compuesto por ' elementos de superficie que denotamos como y, donde: y =  − z − { − 

(26)

Y z , { f  se refieren respectivamente a la muestra, detectores y entradas de puertos. Supondremos que { f  son elementos de superficie de cero reflectancia. Supongamos que ahora seguimos los primeros encuentros del haz de referencia con la pared de la esfera. La radiancia resultante del encuentro inicial con el elemento de superficie R esta dado por la ecuación (23)

P á g i n a | 25

 (R) (* , e ) = lw k(R) 

(27)

Haciendo referencia a (23),(24) y (25) la radiancia resultante del segundo encuentro para un elemento de superficie seleccionado arbitrariamente en y, incluyendo R tenemos   (|) (* , e ) = lw >k /

(28)

Para el elemento de superficie (z) , y análogo a (# … 9) podemos escribir  () (* , e ) = lz lw >k /

(29)

Para el tercer encuentro del flujo radiante incidente, digamos, el elemento de superficie (m) , es: (q)

~

>k(m) = /

/





q   lw >k lz lw >k (|) (m) + / / (z) (m)    

Donde la primera integral se refiere a la contribución de los elementos de (m) y la segunda integral es la contribución de (z) a (m) , la radiancia es entonces:

 (m) (* , e ) =

 lw >k €l y + lz (z)    w

(30)

Similarmente, la radiancia de (z) para la contribución es

 (z) (* , e ) =

 lz lw >k y 

(31)

Comparando (30) y (31) se observa la ausencia de una autoexcitación en (31), una consecuencia directa de la planitud de la muestra. El flujo radiante para el próximo encuentro sigue el mismo procedimiento por algún elemento de superficie arbitraria (‚) .

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(†)

~

>k(‚) = /

/





†    >k >k lw lz lw „l y + l  …  + / / y(z) (‚) w z (m) (m) (‚) ;     

De modo que la radiación resultante es ; lw >k  (‚) (* , e ) = „l y + 2lz (z) …y  ; w

(32)

Y  lz >k lw  (z) (* , e ) = „lw y + 2lz (z) …y  ;

(33)

Ahora, si un haz continuo entra en la esfera de integración podemos escribir la radiancia colectada como

v (|) =

     l > lw lw y lw 2lw y 2lw >k y y  z k (z) Y1 + +  + ⋯ Z + lw Y1 + + +⋯Z       

Para todo (|) en y, excepto (R) que tendrá adicionalmente el termino obtenido en (27). Si hacemos ˆ = lw y/, y ‰ = lz (z) / la radiancia para cualquier elemento de superficie (|) es:  (|) =

 >k 1 lw ‰ ‹1 + Œ  1 − ˆ 1−ˆ

(34)

Y para (R)  (R) =

 >k 1 lw >k lw ‰ + ‹1 + Œ (R)  1 − ˆ 1−ˆ

(35)

Consideremos una muestra de haz perfectamente difusa. Podemos escribir en lugar de (27) y (28)  (z) (* , e ) = lz k /  (|) (* , e ) = lz lw >k /

(27)

(28)

P á g i n a | 27

Pero la ecuación (29) es ahora

 () (* , e ) = 0

(29)

Esto es consecuencia directa de la planitud de la muestra. El hecho de que la radiancia (z) para esta reflexión sea cero es de crucial importancia en que la equivalencia entre la radiancia asociada con la muestra y de referencia con el haz perturbador. Esta perturbación se manifiesta para toda la reflexión subsecuente. Para el tiempo de equivalencia que se preserve, la esfera integradora, no introduce errores. Se sigue entonces que las expresiones (30), (31) y (32).

 (m) (* , e ) =

 (z) (* , e ) =

 lw lz y  

lw lz >k y  

(30)

(31)

  (‚) (* , e ) = (lw lz >k y/  )„lw y + lz (z) …

(32)

Lo que reduce a:

 (|) =

lz lw >k 1 ‰ ‹1 + Œ (36)  1 − ˆ 1−ˆ

Se omite (27a) en (36) ya que es una regla de oro que todas las mediciones necesarias se deban hacer en relación a la pared de la esfera. Por lo tanto, la medición de reflectancia de (22), (35) y (36) es lz lw >k 1 ˆ ‹1 + Œy  1−ˆ 1−ˆ  = > lw >k lw 1 ˆ k + ‹1 + ‰ + Œy  1−ˆ  1 − ˆ

(37)

P á g i n a | 28

Podemos notar que en (37) se han introducido resultados para una esfera idealizada. Es decir, se dejamos que y =  y por lo tanto ‰ = 0. La ecuación (37) se reduce a  = lz . Si omitimos la primera reflexión en el denominador de (37), satisfacemos uno de los criterios para mediciones que se hacen en modo comparativo. Entonces propiciando (z) ≪ , (37) se reduce a

=

lw lw (1 + ‰)

(38)

El factor (1 + ‰) se refiere a la planitud de la muestra. Con un poco de algebra, (20), fácilmente se reduce para mediciones en modo comparativo en:

=

lz y 

(39)

En el caso especular, se ve que el numerados de (20) es claramente idéntico al denominador, excepto que cada uno de los términos se multiplican por lz . En consecuencia.  = lz 5.3 Dependencia angular del detector

Los detectores exhiben una marcada dependencia angular. En vista de esto, se introduce un detector de constante de proporcionalidad, (*, e), así (37) se puede escribir como:



() (1 − ˆ) ∫ (*, e)(R) ˆ ˆ  = lz ‹1 + ŒŽ + lw ‹1 + ‰ + Œ‘ ~ 1−ˆ (R) 1−ˆ ∫ (*, e)(|)



(40)

Consideremos, un detector de sulfuro de plomo. El detector responde en función del ángulo de incidencia, paralelo polarizado y perpendicular en el plano de incidencia, se puede indicar como una primera aproximación la dependencia, siguiendo la expresión general de Fresnel.

P á g i n a | 29

G%#  (* i + *) 1 #"' (* i − *) “1 + ” ℛ= G%#  (* i − *) 2 #"' (* i + *)

(41)

Desplazamos nuestro sistema coordenado de modo que coincida con el detector y la integración numérica de la integral en (24), tenemos

2  ∑

(*, e)k /y k k (*, e)#"'*k Δ*/y

(42)

Donde k /y puede ser interpretada como un área fraccional y (*, e) esta dada por (41). La integración (26) para típicos resultados del sulfuro de plomo tiene un valor de 1.044 k /y, que vamos a escribir como (1 + —)k /y . Sustituyendo en (24) nos encontramos con que

=

lz y/ 1 + —[1 − ˆ(1 − ‰)]

Podemos atribuir el factor y/ a las pérdidas de agujeros, y el término —[1 − ˆ(1 − ‰)] al detector de potencia angular. Si z ≪ , se ve fácilmente que como y/ y lw se aproximan a la unidad,  se aproxima a lz . Generalmente, para los recubrimientos de la esfera en la región solar el factor, y/, será la principal fuente de error. Si el detector esta simétricamente orientado desde la pared principal de reflectancia tanto del haz de referencia y la componente especular del haz de muestra (figura 11), se deduce de los argumentos anteriores que para un muestreo especular [6],  = lz

(43)

P á g i n a | 30

Figura 11. Flujo infinitesimal distribuido por una muestra especular.

P á g i n a | 31

6. Desarrollo de la teoría del modelo real de una esfera integradora 6.1 Dispersión uniforme en esferas integradoras Puede que no sea obvio que la esfera de integración con un recubrimiento reflectante isotrópico muy difuso en su superficie interna sea un dispositivo para recolectar la luz dispersada por un objeto de prueba en un hemisferio 2π o una esfera 4π si se mide el factor de dispersión hemisférica del objeto. Se podría sugerir la utilización de una esfera integradora de pared de espejo especular. Consideremos la irradiación de la superficie interna parcialmente reflectante y transmisora de una esfera de integración de radio R a través de una pequeña abertura por un haz de luz directo con flujo radiante Φ y que tiene una sección transversal  . Si toda la pared interna de la esfera refleja la luz como un solo espejo con reflectancia especular l , entonces la secuencia de múltiples reflexiones dentro de la esfera debe crear ya sea uniforme o próxima a la uniforme irradiancia  solamente cuando se aborda un número infinitamente alto de reflexiones en el interior. Esa condición se satisface si la reflectancia de la pared tiende a la unidad: l → 1.0. Suponiendo que l depende débilmente del ángulo de incidencia, la irradiancia total  ,™ , de una esfera de pared especular dispersa sobre la superficie de la esfera Aš , es:  ,™

Φ 1 1 Φ 1 − l › › (Φ ) = + Φ l + ⋯ + Φ l = Ÿ ⎯ ⎯ ¡  



 → A 4  4  1 − l œ›→ž ¢£¤ 1 − l

(44)

La distinción de la reflectancia especular de la pared para 1.0 define la cercanía de irradiancias consecutivas k y C y la distinción de la irradiación total ™ de la irradiancia creada por el haz de irradiación directa: = Φ /A . Por lo tanto, la irradiación dentro de una esfera de espejo se ve afectada por los términos de irradiancias desiguales de múltiples reflexiones arbitrarias distribuida sobre la superficie de la esfera. En consecuencia, sólo si l → 1.0 puede una esfera especular que refleja quedar irradiado uniformemente por sus propias reflexiones internas. Por el contrario, cualquier difusor isotrópico convierte luz con radiancia uniforme o crea irradiación perfectamente uniforme sobre una superficie esférica ideal incluso para una reflectancia difusa no igual a 1.0 [2,3, 1,4, 0,4]. Para un punto arbitrario O de la esfera (Fig. 2.28) bajo la condición de reflectancia difusa uniforme lM es una fuente secundaria isotrópica de intensidad radiante: E = E(0)G%#¥. La luz reflejada en dirección ¥

P á g i n a | 32

al punto @ crea irradiancia m para la superficie inclinada a una normal interior dada por un ángulo ¥ tal que: m =

EG%#¥ E(0) cos ¥ E(0) = = (2G%#¥) 4  9

(45)

Figura 12. Irradiación en la pared de una esfera.

Aquí E(0) es la intensidad de radiación reflejada por la normal al punto irradiado O. Por lo tanto, la irradiación dentro de la esfera de reflexión difusa no depende de las coordenadas de observación del punto M. Cada reflexión posterior de la esfera contribuye con una suplementaria pero constante irradiación. La única diferencia entre la primera reflexión y nuevas reflexiones de la pared de la esfera hecha de un difusor isotrópico consiste en el retroceso de magnitudes de los términos de reflexión. El primer haz que irradia la pared se refleja por el factor de dirección difusa de la geometría de irradiación de observación. La Tabla 2 define que esta geometría es como (0 / d). Otras reflexiones de la pared tienen la geometría (d / d) difusa-difuso u otra. La reflectancia efectiva de la esfera cambia desde la primera a la segunda reflexión, y luego a otras reflexiones ya que es imposible lanzar un haz de luz a un material en una esfera y llevarlas a cabo si la superficie interior de la esfera está cubierta por cualquier material reflectante opaco sin aberturas. Dependiendo del número de aberturas, la totalidad de su área, y su capacidad para reflejar la luz de nuevo a la esfera, la reflectancia hemisférica efectiva l ′ de la superficie total de la esfera para irradiación difusa uniforme es:

P á g i n a | 33

Tabla 2. Interdependencia entre la irradiación y la geometría de observación. No.

Tipo de reflectancia

Factor de transformación

(irradiación/Observación)

Espejo ideal

Difusor perfecto

1

l(2⁄2)

1

1

2

l(2⁄Ω )

(1⁄) ∫ P G%#Θ Ω

(1⁄) ∫ P G%#Θ Ω

3

l(2⁄Θ )

(1⁄)G%#Θ Ω

(1⁄)G%#Θ Ω

4

l(Ω ⁄2)

1

1

5

l(Ω ⁄Ω )

6

l(Ω ⁄Θ )

G%#Θ Ω⁄∫ X G%#Θ Ω

(1⁄)G%#Θ Ω

7

l(Θ ⁄2)

1

1

8

l(Θ ⁄Ω )

1o0

(1⁄) ∫ P G%#Θ Ω

9

l(Θ ⁄Θ )

1o0

(1⁄)G%#Θ Ω

§

§

§

§

§

P X P ∫ G%#Θ Ω,∫ G%#Θ Ω (1⁄) ∫ G%#Θ Ω

§

§

lk ( ⁄ ) ª l ( ⁄ ) k ¬ (46) Aš

∑k« ©1 − l ′(/) = l (/) ¨1 −

Aquí l (/) es la reflectancia de zona libre de aperturas de la esfera para la irradiación difusa uniforme, k y l (/) son el área y la reflectancia de la apertura i-esima, y Aš = 4   es el área de la esfera en el caso cuando no tiene aperturas. Si distinguimos las propiedades de la esfera-difusor para directa y difusa irradiación podrán no ser respetados, la reflectancia efectiva es l (0/) = l ( /) = l . Si l∑,k = 0, la reflectancia efectiva se convierte en: li = l Y1 −

∑,k Aš

Z (47)

Cuando sumamos las acciones de todas las múltiples reflexiones dentro de la esfera reflectora difusa, la ecuación para la irradiancia interna  de una esfera de integración más allá de cualquier zona de su primera irradiación es:

P á g i n a | 34

Aš =

Φ Φ l (0⁄ ) [l (0⁄ ) + l (0⁄ )li ( ⁄ ) + ⋯ ] = (48)   4 4 1 − li ( ⁄ )

Donde l ′ designa la reflectancia efectiva. Simplificando la expresión (2.106), tenemos:  =

Φ l 4  1 − li

(49)

De esta ecuación podemos concluir que la irradiancia o iluminancia de una esfera de integración es inversamente proporcional al cuadrado del radio de la esfera y es directamente proporcional a la reflectancia difusa de la pared directamente irradiada, y a la reflectancia eficaz de la totalidad de su superficie interna para la irradiación difusa. La irradiancia interna de la esfera se diferencia en el área  directamente irradiada por el haz incidente. Dentro de esa área, la irradiancia de la esfera aumenta por el término Φ ⁄ . Si en lugar de un haz directo de irradiación toda la esfera se irradia de manera difusa por un flujo Φ (), la ecuación. 2.106 convierte en: Φ () 1 Φ () [1 + li ( ⁄ ) + ⋯ ] = i   ­ «®¯° 4 4 1 − l ( ⁄ )

Aš () ±²²²²³

(50)

La inclusión de los puertos de entrada o salida, deflectores, detectores, y muestras en un esfera de integración cambiará la irradiancia de la esfera creada por el haz reflejado desde o transmitida por una muestra. Debido a estas inclusiones necesarias, la reflectancia efectiva de la esfera l ′ cambia a través de cualquier área irradiada de cada reflexión sucesiva, pero la irradiancia interna de la esfera M creada por un haz reflejado desde el difusor uniforme de reflectancia difusa lM se deduce de la ecuación. 2.106: M =

Φ lM 1 i 4  1 − l ( ⁄ )

(51)

Para una muestra con reflexión especular que tiene reflectancia l , cuando el haz de muestra reflejado irradia directamente un lugar no unido de la pared de la esfera, pero no el detector, la ecuación para la irradiación se convierte en:

P á g i n a | 35

 =

Φ l l (0⁄) 4  1 − li ( ⁄ )

(52)

Si la muestra es un difusor no uniforme de cualquier dispersión arbitraria ´(Θ) caracterizado por un ángulo sólido equivalente Ωe y si el detector es deflejado frente a la irradiación directa por la luz reflejada o transmitida por esa muestra, la irradiancia resultante para el detector deflejado es: µ =

Φ lµ li (Ω¶ ⁄ ) 4  1 − li ( ⁄ )

(53)

6.2 Medidas relativas Relativa, es decir, en referencia a cualquier estándar, las mediciones de reflectancia difusa o la transmitancia de cualquier objeto se puede obtener por medio de la esfera de integración como un integrador de la radiación difundida por ese objeto en un ángulo sólido de 2π o 4π. Un objeto y un estándar pueden sustituirse entre sí en un punto de la esfera para la comparación. La reflectancia efectiva de la esfera l ′ puede ser desconocida, si lo que queda de reflectancia no cambia durante un ciclo de medición de irradiación del objeto y el estándar. Si la reflectancia de la esfera l ′ cambia, la ecuación de medición se convierte en: lB· = l¸

v¸ x vB·

(54)

donde x es el factor de corrección de acomodación de la variación de la reflectancia efectiva de la esfera l,B· ′ ≠ l,¸ ′ desde la normal del objeto o ángulo sólido equivalente respectivo ΩB· . Hay dos métodos generales para hacer mediciones relativas. El primer método consiste en la irradiación directa por flujo incidente Φ de la normal y el objeto instalado consecutivamente detrás de un puerto de muestra en la esfera de integración. Otro método consiste en la irradiación simultánea de la normal y del objeto de prueba (muestra) mientras que se colocan simultáneamente en la esfera detrás de los puertos equivalentes.

P á g i n a | 36

El primer procedimiento de medición, el método de sustitución, utiliza un par de pequeños puertos - uno, para la entrada de luz en la esfera y otro, para la instalación de cada muestra. La segunda técnica, el método de comparación, requiere ya sea un par extra de puertos o una apertura de entrada más grande y dos puertos de muestreo para establecer simultáneamente la muestra y el estándar en la esfera, que tiene la ventaja de que la eficacia de reflexiones múltiples en la esfera de integración de comparación, identificados por la ec. 2.103, restante estén sin cambios. Para identificar la eficacia de los dos métodos, considere una pequeña región ′ en coordenadas esféricas Θi , Ψi de la superficie interna de una esfera de integración a ser irradiada directamente por un haz de la fuente (figura 13). Luz difusamente reflejada de esa región crea irradiancia (Θ, Ψ) en toda la esfera de superficie.

Figura 13. Inclusión en el plano de una esfera integradora.

La irradiancia inicial  (Θ, Ψ) para la región ′ se realiza por irradiación directa por el haz de entrada. La irradiancia  (Θ, Ψ) es cero en todas partes de la esfera, excepto en la región irradiada ′, situado en la superficie de la muestra o en el estándar con el cual la muestra se va a comparar, ambos con coordenadas Θi , Ψi . Por esa designación, la irradiancia completa para la región ′ es (Θ, Ψ) + E (Θi , Ψi ), donde el primer término define la condición inicial de irradiación para la esfera y el segundo término es no conocido, pero tiene que ser determinado. Para aquellos casos cuando la muestra estudiada refleja toda la radiación incidente sobre él como un difusor isotrópico con reflectancia l(Θi , Ψi ), y radiancia constante ’ la emitancia radiante @ de la región ′ puede expresarse como: P á g i n a | 37

@ = i = l(Θi , Ψi )[ (Θi , Ψi ) + (Θi , Ψ)]

(55)

Teniendo en cuenta la relación entre el flujo y la radiancia de cualquier haz de luz, el flujo Φ emitido por una plataforma arbitraria situada en ’ en otra zona  de la esfera con coordenadas (Θ, Ψ) pueden ser identificados por la siguiente ecuación Φ=

−¾ ∙ Ài ¾∙À l(Θi , ½ i ) [ (Θi , Ψi ) + (Θi , Ψ)]i Y Z  ‹ Œ |¾| |¾|¾Â 

(56)

donde À’ y À son los vectores unitarios de la normal exterior en los puntos marcados con coordenadas, Θi , Ψi y Θ, Ψ y ¾ es el vector que une las pequeñas plataformas  f ’ y que tiene una dirección desde ’ a . Por último, la irradiancia de la superficie interna de la esfera superficie no irradiada por el haz directo está dada por:

(Θ, Ψ) =

(−¾ ∙ Ài )(¾ ∙ À) i 1  /  (Θi , Ψi )l(Θi , Ψi )    ¾Ã (−¾ ∙ Ài )(¾ ∙ À) i 1  i i )l(Θi i) + / (Θ , Ψ ,Ψ  ¾Ã  

(57)

Debido a que la irradiancia E (Θi , Ψi ), es conocida, la ecuación (57) es una ecuación integral de tipo Fredholm para el espacio esférico simétrico con una sola variable de integración. Una variable de este tipo es el área ’ del segmento esférico elemental irradiado por la luz reflejada desde la superficie de toda la esfera:



(Θ, Ψ) = ´(Θ, Ψ) + Ä / Å(Θ, Ψ, Θi , Ψi )(Θi , Ψi )i .

(58)



Aquí Ä es un parámetro y Å(Θ, Ψ, Θi , Ψi ) es el núcleo de esa ecuación. La nueva función ´ (Θ, Ψ) representa la irradiancia en un punto de coordenadas Θ, Ψ formada por la primera reflexión directa del haz de muestra que lleva flujo Φ que ocupa una región en particular con coordenadas esféricas Θi , Ψi . La radiación reflejada una vez más en toda la superficie interna

P á g i n a | 38

de la esfera que incluye la muestra irradiada crea un irradiancia adicional ´(Θi , Ψi )Å(Θ, Ψ, Θi , Ψi )dA′ en la región de la esfera Θ, Ψ, etc. Aproximando a un puerto de abertura relativamente pequeño de área œ ≪ Aš en una esfera perfecta con ninguna desviación de su geometría, la ecuación (57), con su factor geométrico: (−¾ ∙ Ài )(¾ ∙ À)/¾ à = 1/(4  ) se convierte en: 



1 1 A¶ Ç (Θ, Ψ) = /  (Θi , Ψ i )l(Θi , Ψ i )i + / (Θi , Ψ i )l(Θi , Ψ i )i  4 4  

(59)



Para el método de sustitución, la relación de irradiancia  / N para la muestra esférica de reflectancia l y la comparación esférica de la muestra de reflectancia lN , partiendo de la curvatura de la esfera, que es:

⎡ (lN − l) œ ⁄Aš ⎤  Aš l ⎢ ⎥ ‹ Œ = 1− l œ­ lœ ⎥ N È· lN ⎢ 1− Aš − Aš ⎦ ⎣

(60)

Aquí œ­ y œ son las áreas de la superficie de la esfera con reflectancia l y de la muestra estudiada con reflectancia l. La ecuación (60) se obtiene para un área idéntica œ de la muestra de comparación que tiene reflectancia lN , asumiendo una geométrica perfecta de la esfera para cualquiera de las muestras instaladas. En la ausencia de inclusiones planas, el método de comparación se realiza sin errores sistemáticos:  Aš l ‹ Œ = N NB lN

(61)

Si tanto la muestra de ensayo y, o bien la de comparación o la muestra de sustitución son planas en los planos de área œ = (  − 9  ), ya sea una o dos secciones de área œ = 2  (1 − 9/) de la superficie activa de la esfera se sustituyen por las inclusiones de muestras planas a una distancia 9 desde el centro de la esfera (véase figura 13).

P á g i n a | 39

Para muestras pequeñas, la geometría se puede aproximar como: (−¾ ∙ Ài )(¾ ∙ À) ( − 9G%#Θ)(9 − G%#Θ) ≅ (  + 9  − 2G%#Θ) ¾Ã

(62)

Si asumimos pequeñas muestras difuso-reflectantes que reflejan el interior de una relativamente grande (en comparación con las dimensiones de las muestras) esfera de integración, el método de sustitución con dos muestras planas da [2.49]: (lN − l)(œi ⁄Aš )(l œ­ ⁄Aš )  Çи l ‹ Œ = Ñ1 − Ò 1 − (l œ­ ⁄Aš ) (1 + lœi ⁄Aš ) N È· lN

(63)

Para el método de comparación, las muestras planas también traen imperfecciones a la esfera. Por contraste con el método de sustitución, en el último caso, la reflectancia difusa l que se está midiendo se ve disminuida cuando es más pequeño que la reflectancia lN de la muestra de comparación. El factor de corrección para las muestras planas, utilizando el método de comparación, es todavía considerablemente menor que para el método de sustitución: (lN − l) œi ⁄Aš l  Çи = Ñ1 − Ò ‹ Œ 1 + lœi ⁄Aš N NB lN

(64)

6.3 Mediciones absolutas en una esfera integradora

Las perspectivas de obtener mediciones de reflectancia absoluta en una esfera de integración ya sea por el método de comparación o el método de sustitución se deduce de las ecuaciones (48) a la (55). Aquí el término medición absoluta implica que un determinado método no requiere ninguna calibración adicional de la magnitud absoluta de cualquier reflectancia o transmitancia, medida por estar intrínsecamente relacionada con un objeto interno de comparación, tal como es la propia pared de la esfera de integración. La irradiancia o

P á g i n a | 40

iluminancia para una esfera de integración geométricamente simétrica en su sección protegida contra directa irradiación de la muestra por un deflector isotrópico que refleja es:

Aš A (0⁄ )

Φ lM (0⁄) li ( ⁄ ) = 4  1 − li ( ⁄ )

(65)

dónde lM (0⁄ ) es la reflectancia difusa de la muestra para la irradiación directa. Aš

Comparando la irradiancia A (0⁄ ) con la irradiancia Aš (ec. 48) para la irradiación directa de la pared con reflectancia l (0⁄) sin inclusiones, cualquier detector interno expuesto a la pared de la esfera tiene directamente reflectancia igual a: Aš

A Aš

= lM (0⁄ )

li ( ⁄ ) l (0⁄ )

(66)

Sólo bajo irradiación difusa uniforme de la superficie interna de la esfera, creando radiancia constante  irradiando directamente el detector y la superficie de la esfera, haciendo cualquier medición de reflectancia difusa y de la transmitancia no se tendrá ningún error sistemático, ya que en la ecuación (66): li (0⁄ ) ⟶ li ( ⁄ ), y: Aš li ( ⁄ ) A D Aš Ò ≡ lM (0⁄ ). = lM (0⁄ ) Ñ i l ( ⁄ ) Ô«NB›¸

(67)

En consecuencia, para que la medición absoluta en la esfera integradora pueda ser realizada sin error sistemático, el detector interno de la esfera debe ser irradiado por la radiación ya sea reflejada o transmitida a través de la muestra estudiada y no directamente, sino a través de la pared de la esfera, causando que reflexión isotrópica difusa se mantenga más.

Una medición comparativa ideal sería obtener la comparación de lecturas del detector para la irradiación directa de la muestra en el deflector y de la superficie interna de la esfera sin deflectores, manteniendo al mismo tiempo su irradiación geometría como de la luz difundida por la muestra. Estudios de reflectancia especular y transmisión directa de muestras no

P á g i n a | 41

requieren la irradiación difusa de la esfera ya que desde las ecuaciones. 48 y 52 la reflectancia especular es: Aš

l =

A (!⁄ ) Aš (0⁄ )

(68)

6.4 Método de deflectores

Si tomamos en cuenta ciertos impedimentos para la irradiación secuencia de una muestra de prueba o un haz paralelo de luz que tiene irradiancia constante y de la superficie interna de la esfera por un haz con energía equivalente de frente de onda esférico normal y uniformemente irradiando toda la esfera, condicionan la conversión de la ecuación 66 a 67 de una manera directa. La razón principal de esta conversión es que las propiedades reales de muchos difusores blancos se pueden aproximar como los de difusores isotrópicos casi perfectos, que se desvían en ángulos de observación solamente cerca de los 90°. Suponiendo igualdades para l (0⁄ ) ≅ l ( ⁄ ) y l ( ⁄ ) ≅ li ( ⁄ ) suponiendo que el área de todas las aperturas y las inclusiones absolutas dentro del material de la esfera son mucho menor que el área de toda la superficie interna, ∑ k ≪ 4  , nos puede convertir la ecuación de medición. La ecuación 66 puede ser utilizada para una reflexión difusa o una transmisión difusa de la muestra en la forma: Aš

lM (0⁄ ) ≅

A (0⁄ ) Aš (0⁄ )

(69)

El concepto de medición absoluta simplificada de reflectancia difusa y transmitancia por la ecuación (69) define el método generalizado de Taylor (ver figura 14). La figura 14 ilustra una realización del método y puede ser modificado en función de las aplicaciones.

P á g i n a | 42

Figura 14. Medición de la reflectancia absoluta en una esfera integradora.

6.5 Esferas de difusores no isotrópicos

El análisis anterior, sobre el método absoluto y relativo de medición con la esfera de integración, pone en evidencia una desventaja clave que limita la precisión de cada medición: la necesidad de que la reflectancia difusa de la pared de la esfera no sólo sea Lambertiana, pero también que no cambie de directa a difusa irradiación. Esto significa que la medición debe hacerse utilizando una esfera de un difusor isotrópico prácticamente perfecto. Por lo tanto, es importante distinguir la diferencia real en las propiedades de cualquier difusor real en comparación con el difusor perfecto, o para excluir la necesidad de reflectancia difusa de la esfera para irradiación directa, l (0⁄ ), sea igual a su reflectancia efectiva para después de múltiples reflexiones, li ( ⁄). Este último se puede realizar mediante la irradiación toda la superficie interna de la esfera cuando se mide la primera irradiancia de la esfera  . Dejemos de considerar la medición de la irradiaría de la esfera para un difusor no isotrópico irradiado por un haz directo a través de su apertura de entrada. También debemos extender ese concepto para la integración de esferas hechas de materiales translúcidos irradiando directamente a través de un punto de entrada de la pared de la esfera con la transmitancia difusa y reflectancia ÖM + lM = 1. Cuando un haz colimado lleva flujo Φ eh incide en una región exterior de la zona de área  de la pared la esfera de transmisión difusa, que a su vez irradia al resto de la superficie interna de una esfera translúcida en conformidad con la

P á g i n a | 43

dispersión de la superficie de la pared de la esfera la indicatrix de transmisión: ´(Θ) = ‰(Θ)G%#Θ = (Ø ⁄ )G%#Θ, y con la transmitancia difusa de la pared ÖM (Fig. 15). Cuando el haz entra a través del puerto de entrada, la indicatrix de reflectancia de la pared y la transmitancia ÖÙ del puerto tiene que ser conocido. Aquí  es la radiancia de la pared de la esfera que emite en la dirección de observación,  es la radiancia de la pared que se ve desde  la normalidad, y Θ es el ángulo de observación. El flujo Φm emitido por el elemento  en

la dirección de la plataforma @ es:

Figura 15. Dispersión arbitraria en una esfera.

  Φm = Em Ω = E ´(Θ)Ω

(70)

 donde Em es la intensidad de una fuente puntual equivalente al elemento  visto en la

dirección de la plataforma @ y Ω es el ángulo sólido de observación. El flujo Φ  ya sea transmitido de forma difusa o reflejada de nuevo en la esfera es: V

Φ  = / E ´(Θ)Ω = E Ω¶ (71) 

V

Donde Ω¶ = ∫ ´(Θ)Ω es el ángulo sólido equivalente para una superficie interna traslucida de una esfera, que no puede seguir siendo la misma en la transmisión y en la reflexión,

P á g i n a | 44

 respectivamente cambiando de Ω¶,Ú y a Ω¶,œ . La irradiancia m de una plataforma elegida al

azar @ debida a la radiación emitida por la región irradiada  eh incidente en un ángulo ¥ a la normal exterior para la plataforma de observación @ es:

 m

 Em E ´(Θ) =  cos ¥ = 4  G%#¥ !

(72)

Teniendo en cuenta la relación entre indicatrixes de la radiación y irradiancia:´(Θ) = ‰(Θ)G%#Θ, y la igualdad de los ángulos inscritos: Θ = ¥ , se pueden obtener:

 m

 Em ‰(Θ)G%#Θ E = = ‰(Θ) 4  4  G%#¥

(73)

Desde: Φ  = ÖM Φ = E Ω¶ , la ecuación para la irradiación interna de una esfera no uniforme arbitraria, o para la iluminación interna, creada por la luz transmitida o reflejada por la pared de la esfera, es:

M (Θ) =

lM Φ ÖM Φ  ‰(Θ) = ‰(Θ) (74) 4  Ω¶ 4  Ω¶

La plataforma @, refleja luz con una reflectancia difusa lM , irradia otro elemento arbitrario v: pm =

Epm Em ´(Θ) Em ‰(¥ ) G%#¥ = G%#¥ = G%#¥   ! ! !

(75)

Teniendo en cuenta, por el momento, indicatrixes idénticos en transmitida y reflejada radiación: pm =

   m ´(Θ)G%#¥ m m G%#¥ m = l ´(Θ) = l ´(Θ)Ω  M  M ! !

(76)

P á g i n a | 45

Integrando, con respecto a todos los elementos reflectantes en el interior, proporciona la expresión para la irradiancia en la esfera creada por la primera reflexión de la radiación de la totalidad de la superficie interna de la esfera:

œ­Û ,

Ω¶ M i V = l / ´(Θ)Ω = M li   

(77)

Dónde li es la reflectancia difusa efectiva de la superficie interna de la esfera con aperturas: 

V

li = / lM (¥) Ü1 − Ý Ñ1 − 

k«

lk (¥) k Ò Þ ¥ lM (¥) Aš

(78)

y lM (¥) = 1 − ÖM (¥) es la reflectancia de la pared translúcida de la esfera, que puede depender del ángulo de incidencia ¥. La irradiancia › después de ' reflexiones en la esfera, la conversión de la luz en pérdidas insignificantes, es:

œ­Û ,› =

M ‹li

Ω¶ › Œ 

(79)

Como resultado, la irradiancia para la esfera traslucida sin pérdidas, irradiado a través de la transmisión de su pared, y la irradiancia de la esfera de integración reflectante, irradiando a través del puerto abierto de manera similar sin pérdidas, son:

∑,Ú =

ÖM Φ ‰(Θ)  4 Ω¶ ⁄ 1 − lMi Ω¶ ⁄

(80)

∑,œ =

Φ ‰(Θ) lM  4 Ω¶ ⁄ 1 − lMi Ω¶ ⁄

(80ß)

El primer factor en ambas ecuaciones caracteriza la irradiancia, creada por el difusor isotrópico y no absorbente. El segundo factor identifica los cambios de la irradiancia como una función de la falta de uniformidad de una indicatrix de dispersión para un difusor real. P á g i n a | 46

El tercer término determina la eficiencia de múltiples reflexiones, ser contingente a la irregularidad de la indicatrix. La ecuación (80a) derivada para la irradiancia de una esfera traslucida sin pérdidas se puede transformar adicionalmente mediante la separación de las observaciones de transmisión y reflexión, teniendo en cuenta una potencial diferencia de ángulos sólidos equivalentes Ω¶,Ú y Ω¶,œ en radiación transmitida y reflejada:

∑ =

ÖM Φ ‰(Θ) i 4  Ω¶,Ú ⁄ 1 − lM Ω¶,œ ⁄

(81)

Para cualquier esfera translúcida con absorción insignificante, proporcionando a su pared real absorbancia y que este por debajo de la sensibilidad de medición (véase cap. 2.1), la transmitancia difusa de la pared ÖM = 1 − lM y:

∑,Ú«œ =

1 − lM Φ ‰(Θ)  4 Ω¶,Ú ⁄ 1 − lMi Ω¶,œ ⁄

(82)

Si la esfera de integración que refleja la luz por su superficie interna de alta reflectancia difusa está expuesta a radiación directa de flujo Φ a través de su apertura limpia, el factor 1 − lM en la ecuación. 82 cambia a l y:

∑,œ =

Φ ‰(Θ) l i  4 Ω¶,œ ⁄ 1 − l Ω¶,œ ⁄

(83)

Si ahora expresamos como Å a la no uniformidad de la dispersión de la indicatrix de la esfera de integración, como un único factor por el que se revela la diferencia de irradiancias creadas por un difusor real y el difusor isotrópico. Para un difusor translúcido y sin pérdidas, es decir, que absorbe débilmente, de la ec. 2.161:

ÅÚ =

‰(Θ) 1 − l Ω¶,Ú ⁄ 1 − lMi Ω¶,œ ⁄

(84)

P á g i n a | 47

Para una esfera difuso reflectante no uniforme ÅÚ se define por las relaciones (80) y (83) para el factor electrónico Ω¶ : Ŝ =

‰(Θ) l i Ω¶,œ ⁄ 1 − l Ω¶,œ ⁄

V

(85)

V/

Ω¶ = / ‰(Θ)G%#Θ2#"'ΘΘ =  / 

‰(Θ)#"'2ΘΘ

(86)



A modo de ejemplo, consideremos los valores de Å para un cristal opal con reflectancia difusa lM = 0.6 y transmitancia difusa ÖM ≅ (1 − lM ) ≅ 0.4 y su indicatrix de radiancia dada en ángulos fijos de observación como en la siguiente tabla:

Θ°

0

10

20

30

40

50

60

70

80

‰(Θ)

1.00

1.00

1.00

0.99

0.98

0.96

0.92

0.83

0.64

La falta de uniformidad de dispersión para el difusor se puede aproximar con error menor al 1% como: â°

Ω¶ =  /

°

cos . Θ #"'2ΘΘ + /



â°

ã°

cos .á Θ #"'2ΘΘ + /

cos .á Θ #"'2ΘΘ

(87)

°

El cálculo da Ω¶ = 0.925. Considerando Ω¶,Ú = Ω¶,œ y con el detector situado a 45° de la zona que emite, dando ‰(45°) = 0.97, el valor de Å para el área relativa de aperturas /Aš = 0.05 es:

Å=

0.97 0.6 = 0.97 0.925 1 − (1 − 0.6) ⋅ 0.950.925

Si el difusor con esta tabla de indicatrix tiene transmitancia difusa ÖM = 0.7 y reflectancia lM = 0.3, el factor de no uniformidad se convierte en: Å = 0.997, haciendo una esfera de integración suficientemente uniforme con el 0.3% de precisión, pero con los valores P á g i n a | 48

invertidos ÖM = 0.3, y lM = 0.7 la falta de uniformidad de la irradiancia se vuelve prohibitivamente grande Å = 0.817. La gran diferencia en el valor de Å de 1.0 es causada por la fuerte influencia del factor de reflexión múltiples (1 − l ) en l → 1.0, la mejora de la falta de uniformidad de irradiancia a través de múltiples reflexiones muy pronunciados en la más alta reflectancia de la esfera [7].

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7. Diseño de la esfera integradora.

El diseño de una esfera integradora para cualquier aplicación implica determinar unos parámetros básicos. Estos incluyen la selección del diámetro óptimo en base del número y tamaño de aperturas de los puertos y dispositivos periféricos así como la selección del adecuado recubrimiento de la esfera.

7.1 Diámetro de la esfera integradora.

Las esferas integradoras se diseñan teniendo en cuenta inicialmente el diámetro requerido para los puertos de apertura. El diámetro de los puertos se considera tanto por el tamaño de los dispositivos así como por las restricciones geométricas requeridas por un sistema de la esfera integradora.

Consideremos el caso de una esfera de integración de dos puertos; ambos puertos tiene diámetro de una unidad. La radiancia relativa producida como una función del diámetro de la esfera, x , para la entrada de un flujo equivalente es proporcional a:

 ∝

@ x

(88)

En el diseño práctico, el área de las aperturas de la esfera para los puertos, se necesita que se mantenga en torno al 5% del área total de la esfera para un rendimiento óptimo y así evitar perder la ventaja del recubrimiento.

La ecuación (88) se puede graficar en función de la reflectancia para diferentes diámetros y la fracción resultante para los puertos de la esfera (´).

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Figura 16. Grafica de la reflectancia para diferentes diámetros.

Se puede notar en la Fig. 16 que la esfera más pequeña produce generalmente la más alta radiancia. Sin embargo, la esfera de integración es generalmente usada por su capacidad para integrar espacialmente flujo de entrada, un mayor diámetro de la esfera y una fracción más pequeña del puerto mejorarán el rendimiento espacial [1].

7.2 Estimación del tamaño de la esfera integradora para poder realizar la medición radiométrica de un led de ç èè. Para las mediciones de flujo se debe insertar todo el LED en el puerto de la esfera integradora. Si en este caso utilizamos un sensor de potencia como el del Optical Power Meter modelo 1916C, tendríamos un área de los puertos de 10 mm, y tomando que esta el área de estos puertos sea del 1% del área total de la esfera. Podremos determinar entonces que el diámetro efectivo de la esfera para este caso es de

x = 39.63  Para fines de construcción, el diámetro quedara en 40 . En el mercado se encuentran esferas integradoras construidas para este fin con un diámetro que va desde 30 hasta 200 mm, todo esto en función del área del detector de potencia. P á g i n a | 51

7.3 Estimación del tamaño de la esfera integradora para poder emplear un fotodiodo como sensor de potencia. Al igual que con la medición radiométrica, todo el LED debe estar dentro del puerto de la esfera integradora, teniendo en cuenta este puerto y otro donde se colocara el fotodiodo, teniendo en cuenta el área activa del fotodiodo, por ejemplo para un fotodiodo de área activa de 2.54  (Silicon PIN photodiode BPX 66), el área de los puertos sería en total de 7.54 . En este caso se utilizará un mayor diámetro de la esfera y una fracción más pequeña del puerto para mejorar el rendimiento espacial. Podemos para este caso considerar que el área de las aperturas sea de 1% y obtener el diámetro óptimo para la esfera en estas condiciones. Entonces con un pequeño cálculo podemos definir que el diámetro de la esfera para este caso sea igual a x = 34.41  Para fines de construcción, dejaremos que el diámetro quede en 35 . Para un uso aún más práctico, podremos utilizar la esfera con el diámetro calculado anteriormente para la medición radiométrica de un led de 5 . Solo que ahora el área a considerar de apertura de los puertos será del 0.8%.

7.4 Selección del recubrimiento de la esfera integradora.

Para la selección del recubrimiento de la esfera integradora se caracterizaron cuatro diferentes materiales coloidales semi-lambertianos para poder especificar de manera concreta el material que se deberá utilizar para el recubrimiento interno de la esfera. Para la caracterización de los materiales semi-lambertianos, se hizo incidir primeramente un haz laser rojo de longitud de onda de 632 ' sobre las cuatro placas lisas y tomaron mediciones de potencia desde 0 hasta 180°. Para realizar la medición se utilizó un Optical Power Meter modelo 1916-C.

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Después se procedió a recubrir cada una de las placas con los materiales semi-lambertianos y se procedió tomar nuevamente las mediciones de potencia. Los materiales utilizados se enlistan en la tabla 3.

Tabla 3. Materiales coloidales semi-lambertianos. Material 1

Bic ecolutions (base agua)

Material 2

Aqua kores (base agua)

Material 3

Pelikan (base agua)

Material 4

PaperMate (base aceite)

El resultado de las mediciones de las placas con y sin recubrimiento se muestra por separado en las figuras 17 a la 20.

Figura 17. Potencia contra grados para la placa, con y sin recubrimiento de Bic ecolutions (base agua).

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Figura 18. Potencia contra grados para la placa, con y sin recubrimiento de Aqua kores (base agua).

Figura 19. Potencia contra grados para la placa, con y sin recubrimiento de Pelikan (base agua).

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Figura 20. Potencia contra grados para la placa, con y sin recubrimiento de PaperMate (base aceite).

Ahora, comparando los resultados de las cuatro placas con el recubrimiento (ver figura 21) podemos notar que el material que ofrece la mejor eficiencia es el que cubre la placa 1, ya que es el que ofrece una mayor potencia (cercana a los 0.8 ?).

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Figura 21. Potencia contra grados para las cuatro placas con recubrimiento.

En las figuras 17 a la 20 podemos apreciar las mediciones de las placas con y sin recubrimientos, y es fácil ver que cuando la placa no cuenta con un recubrimiento, esta se comporta como una superficie especular. Al cubrir las placas con cada uno de los materiales, la reflexión pasa de ser especular a ser difusa, creando una superficie semi-lambertiana. En la figura 20 comparamos la respuesta de las cuatro superficies (placas), y de ahí se puede ver fácilmente que de entre las cuatro superficies, la que ofrece una mejor reflexión difusa superior a la de las otras tres superficies es la que se encuentra cubierta con Bic ecolutions (base agua) ya que ofrece de igual manera una potencia reflejada máxima que se encuentra alrededor de las 0.8 ?. Este resultado es muy satisfactorio ya que teóricamente esta potencia debería ser la unidad, y considerando que el material utilizado para cubrir esta placa se puede obtener fácil y a bajo

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costo, proporciona una manera accesible y económica de conseguir una superficie semilambertiana. En la siguiente página se muestra el plano del diseño de la esfera integradora.

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8. Conclusiones

El trabajo realizado consta de dos partes muy importantes, primero, el desarrollo de la teoría de una esfera integradora, tanto para el modelo real como para el modelo idealizado de la misma. En esta parte se pudo comprender la importancia y el impacto de las superficies lambertianas para la dispersión especular dentro de una esfera integradora.

Con la teoría desarrollada se procedió a caracterizar cuatro materiales coloidales semilambertianos, con lo cual se pudo determinar cuál sería el recubrimiento de nuestra esfera integradora, este material Bic ecolutions (base agua), ofrece una dispersión especular de una eficiencia considerablemente buena, con lo cual determinamos que es un material accesible y barato para el recubrimiento interior de la esfera.

Un aspecto esencial en el diseño de la esfera integradora, fue poder determinar el diámetro óptimo para el buen funcionamiento de la misma, y se logró comprender que el diámetro de la esfera va a estar condicionado al tamaño del área de los puertos de entrada como de apertura en la esfera, se considera que el área que ocupen estos puertos deba ser como máximo del 5% del área total de la esfera (sin aperturas).

Se logró comprender que una esfera más pequeña produce generalmente la más alta radiancia. Sin embargo, un mayor diámetro de la esfera y una fracción más pequeña del área de los puertos mejorarán el rendimiento espacial.

En este trabajo se dejan las bases para poder diseñar esferas integradoras para las necesidades que se tengan, denotando que los parámetros más importantes para ese diseño, son: la selección del material que cubrirá la superficie interna de la esfera, y aquí se propone un material accesible y barato; y que el diámetro interno de la esfera va a estar en función del número y tamaño de puertos de entra y salida.

El trabajo a futuro es realizar la construcción de la esfera, así como la caracterización de la misma para poder realizar las mediciones radiométricas y de potencia deseada, y de ser

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posible, poder obtener la comparación de la esfera diseñada con alguna esfera integradora similar que se encuentre en el mercado, y así obtener de manera objetiva una comparación cuantitativa de la esfera aquí diseñada.

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9. Referencias [1] Labsphere A Halma Company, Technical Guide Integrating Sphere Theory and Applications. [2] Emiliano Terán Bobadilla, “Consecuencias del esparcimiento múltiple en la absorción de algunos sistemas biológicos”, Tesis Doctoral, Ensenada, Baja California, Agosto de 2010. [3] “Handbook of optical systems, Volume 5: Metrology of Optical Components and Systems”, B. Dörband, H. Müller, H. Gross, Wiley-Vch. [4] “Radiometry and the Detection of Optical Radiation”, W. Boyd Rwobert, Wiley series in pure and applied optics. [5] “Field Guide to Radiometry”, G. Grant Barbara, Spie Field Press Volume FG23. [6] “INTEGRATING SPHERE THEORY”, Mitchell W. FINKEL, Goddard Space Flight Center. Greenbelt, Maqland, USA. [7] “Applied Photometry, Radiometry, and Measurements of Optical Losses”, Bukshtab Michael, Editorial Springer.

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