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Diseño e Implementación de un Controlador PID para el Sistema de Levitación de una Esfera Ing Danilo Rairan [email protected] Ing. John Cortés Romero [email protected] Con el objeto de probar diferentes estrategias de control de la levitación, el grupo de investigación de levitación magnética de la Universidad Distrital desarrolló un primer prototipo que garantizara que cualquier estrategia desarrollada para tal fin, funcionara de manera similar en el prototipo final, además de plantear una metodología de modelamiento para cualquier sistema de levitación. Por esto se tenía que escoger un sistema con el que se lograra estabilidad total con la aplicación de un solo sistema de control. No fue difícil determinar que con el problema de la levitación de la esfera 1 se podían realizar perfectamente todas las pruebas planteadas, dado que la esfera brinda una superficie homogénea desde cualquier ángulo de aplicación del campo magnético. Soporte general Bobina de levitación Núcleo de la bobina

x

Terminación del núcleo en punta Esfera Receptáculo de la esfera Sensor óptico de distancia

Figura 1. Disposición general del prototipo esfera El diseño del sistema de levitación de la esfera incluyó el correspondiente diseño de un electroimán, un sistema para sensar distancia, un sistema de control de configuración y ajuste flexible, un 1

El problema de la levitación de la esfera ha sido resuelto por varios institutos de investigación en todo el mundo.

sistema de acondicionamiento de señal para el sensor y una etapa de manejo de potencia para la variación de la corriente en la bobina. En este articulo se hace referencia al diseño e implementación del sistema de control. I. Modelamiento del Sistema Esfera Bobina Dadas las características no lineales presentes en el sistema es necesario realizar un modelamiento que tenga en cuenta las medidas experimentales realizadas sobre él; de esta manera se puede asegurar que el diseño del controlador de posición funcione óptimamente. i

R u

+ -

Electroimán L

x m

Esfera

Figura 2. Modelo eléctrico del sistema electroimán esfera En este caso la inductancia mostrada es la resultante de la interacción entre el núcleo de la bobina y la esfera, luego no se puede suponer constante con respecto a la distancia; la relación de voltaje es como sigue: dΨ u = Ri + [V ] (1) dt donde Ψ es el flujo ligado entre la bobina y la esfera y por definición es: Ψ = Li [Wb ] (2) Y las relaciones que describen el comportamiento de las fuerzas que interactúan son: mx = Fm + Fg [N ] (3) Fg = mg [N ] (4) donde Fg es la fuerza gravitacional y Fm es la fuerza magnética de oposición, como se ve en la Figura 3.

Bobinas Núcleo ferromagnético

Fm

Esfera

Fg

Figura 3. Fuerzas presentes en el sistema de levitación Expresar una relación de la fuerza magnética en términos de distancias, dimensiones y en general parámetros del circuito resulta complicado y depende de cada geometría. Aquí se plantea una expresión que tiene en cuenta consideraciones de energía, en particular se utiliza el principio de conservación de energía.

dE m = dW E + dW M (5) Donde dEm es el cambio de energía magnética almacenada, dWE es la cantidad de energía eléctrica proporcionada por la fuente de energía al moverse el objeto y dWm es la cantidad de trabajo mecánico, fuerza por distancia, gastada por el dispositivo al mover un objeto.

Con la manipulación de todas estas relaciones se obtiene una relación de la fuerza magnética en términos de la corriente que circula por la bobina y el cambio en la inductancia del sistema con respecto a la posición, así: 1 dL 2 Fm = i [ N ] (6) 2 dx Esta relación indica cual es la metodología que se debe utilizar para el modelamiento. Se toman medidas experimentales de la fuerza versus la corriente para diferentes distancias entre la esfera y la punta del núcleo de la bobina con lo que se obtiene una gráfica de resultados de dL/dx con respecto a la distancia. A partir de este resultado y junto con un diagrama de Bode realizado sobre la bobina se puede determinar L(x). Con los datos obtenidos, la mejor aproximación encontrada para describir la característica de la inductancia L es la presentada en la Ecuación 7.

L( x ) = L0 + L1 e −x / α [ H ] (7) Donde L0 es la autoinductancia de la bobina y L1 y α son los parámetros obtenidos de la regresión exponencial2. De (1) a (7) se obtiene el modelo en variable de estado, presentado en (7).

x = v e l L1 2 − xα ve = −l i ∈ + g 2α m d i 1   L1 − xα   = − x  u − R +  i *v *ei ∈ l   d tL + L ∈ α   α  

(8)

0 1

Debido a que se enfrenta a un problema de regulación la señal de referencia es constante y se encuentra dada por la especificación inicial de diseño3. Se puede realizar un proceso de linealización alrededor del punto de referencia de tal forma que se obtenga un modelo lineal, lo cual facilita ampliamente su análisis y simulación correspondiente. El modelo lineal obtenido se muestra en la Figura 4.

2

Una explicación más detallada del proceso de linealización junto con la metodología experimental para hallar las constantes se encuentra en “Sustentation magnétique, synthèse d’un régulateur.” 3 Distancia entre la esfera y punta del núcleo.

Figura 4. Función de transferencia del modelo obtenido Modelamiento del Sensor de Distancia El sensor utilizado para esta aplicación es de tipo óptico difuso análogo. El sensor ya incorpora una etapa de linealización; no obstante es necesario realizar algunas pruebas para determinar los rangos de medida donde se puede aceptar como lineal. A continuación se muestra una gráfica del voltaje generado por el sensor con respecto a la distancia 12 Voltaje de salida [V]

10 8 6 4 2 0 0

2

4

6

8

10

Dis tan cia [m m ]

Figura 5. Característica de entrada salida del sensor óptico La ecuación que describe el comportamiento entrada salida se obtuvo aplicando una regresión lineal de la característica mostrada Dis tan cia = 1068 * v salida [ m] (9) Etapa de potencia Se implementa por medio un transistor 2N3055, trabajando en su región lineal. La función de transferencia de la etapa de potencia se calculo relacionando el voltaje con que se alimenta la bobina y el voltaje de base, de esta manera la función es: Vout ( S ) = 2 (10) Vb ( S )

II. Diseño del sistema de control No es viable aplicar un control P, PD o PI ya que ninguna de estas arquitecturas de controlador proporciona una solución estable para el sistema. Es posible obtener solución con un control PD pero en una arquitectura en cascada (ver articulo francés). El diagrama del lugar de las raíces de la planta para un control proporcional se muestra en la figura 64.

4

Como se puede observar todos los polos se ubican a la derecha del eje imaginario, indicando que no existe ninguna constante del controlador proporcional que logre la estabilidad del sistema.

Figura 6. Lugar de las raíces para el sistema esfera Igualmente no es aplicable la metodología de Ziegler y Nichols ya que la planta no cumple con ninguna de la condiciones que se exigen para estos criterios. La técnica para la sintonización de las constantes tiene dos etapas. En la primera parte se detecta las regiones de las constantes PID para que el sistema sea estable. Esto supone el diseño de un software que haga un barrido inteligente5 para cada una de las constantes del PID dando como resultado zonas bien específicas para los cuales el controlador hace el sistema estable. Pero muchas de estas no cumplen con las especificaciones de diseño deseadas por lo tanto, se requiere una segunda etapa de sintonización que escoja dentro de las regiones detectadas las mejores constantes PID que cumplan satisfactoriamente las especificaciones requeridas. En esa segunda etapa se utiliza una ayuda de MATLAB denominada NCD (Non Linear Control Desing). Con los valores iniciales dados en la primera etapa, el software puede encontrar los valores óptimos y no se tiene el riesgo de caer en un proceso de iteración divergente. Diagrama de bloques implementado en Matlab para el diseño del sistema de control. Para modelar los dispositivos reales utilizados en la implementación del controlador (transistores y amplificadores operacionales) se han utilizado bloques de saturación uno para cada lazo del control PID y uno para la salida del transistor el cual implementa el manejo de la potencia a la salida del controlador. Adicionalmente están presentes bloques para el calculo de los índices de error ITAE, IAE los cuales nos proporciona un criterio para la escogencia de la sintonización mas optima. Dado que le modelo de la planta es un modelo linealizado, para que puede interactuar sin ningún problema con los demás bloques del sistema es necesario realizar una transformación sobre la 5

Este software se desarrolló en Matlab con el nombre de barrido_polos.m

entrada y salida de la planta, esto se logra restando a la entrada un voltaje promedio que es el que efectivamente se debería aplicar para levitar la esfera a la distancia especificada y secundariamente sumando a la salida la posición de referencia.

Figura 7. Diagrama de bloques del sistema de control implementado en Matlab Búsqueda de regiones donde el sistema es estable Búsqueda manual del punto pivote (Kp= 2, Ki=3, Kd=0.06) Con la ejecución iterativa del programa barrido_polos se obtiene algún conjunto de soluciones que logran la estabilidad del sistema, es necesario escoger uno de estos puntos que sirva como punto pivote para realizar el análisis de sensibilidad del sistema, se ajusta de antemano que se obtenga una respuesta aceptable con la aplicación de este punto. Seguidamente se obtiene el rango con el cual se logra estabilidad por cada constante del controlador PID. En la Tabla 1 se muestra los resultados de este análisis de sensibilidad Tabla 1 Análisis de sensibilidad apara cada una de las constantes del controlador PID Punto pivote: Kp=2 Ki=3 Kd=0.06 Kp Ki Kd [0.14 2.29] 3 0.06 2 (0 140] 0.06 2 3 [0.053 ∞) Tabla 1. Regiones de estabilidad del controlador PID Constantes de cada una de estas regiones especificadas serán los puntos de inicio para el proceso de optimización desarrollado por el bloque NCD. A pesar de los rangos estipulados de cada constante para la estabilidad del sistema, experimentalmente estos se reducen debido, básicamente, a las aproximaciones realizadas para la obtención del modelo. Pero definitivamente la mayor sensibilidad la tiene la constante de derivación y en la practica solo es posible variar la constante dentro del rango de [0.05 0.12] (se puede lograr

un mayor rango de variación pero utilizando la aproximación del circuito derivador Kd/ (1+Kd.s/N)6. Sintonización con el bloque NCD El bloque de Matlab Non Linear Control Design provee una interfaz grafica de usuario que asiste en el diseño de sistemas de control en el dominio del tiempo. Con esta herramienta es posible sintonizar los parámetros dentro de un modelo lineal o no lineal para cumplir con requerimientos de funcionamiento en el dominio del tiempo. Estos requerimientos son representados de forma grafica. El bloque NCD logra de forma paralela los objetivos de diseño y optimiza los parámetros sintonizables dentro del modelo dado. El bloque NCD convierte los requerimientos en el dominio del tiempo en un problema de optimización y resuelve el problema utilizando rutinas de optimización del bloque Optimization Toolbox El bloque NCD iterativamente hace llamadas al sistema Simulink para comparar el resultado de la simulación con los requerimientos de diseño y usa el método del gradiente para ajustar los parámetros sintonizables con el fin de obtener mejores respuestas. Es posible observar el progreso de la simulación mientras esta se encuentra en ejecución y al final cuando la optimización se completa los resultados son disponibles en el espacio de variables de Matlab adicionalmente resultados intermedios del proceso son mostrados después de cada simulación.

Figura 8. Criterios de diseño representados en forma gráfica dentro del bloque NCD (se indican las coordenadas de cada uno de los segmentos) Los criterios de diseño son representados tal como se muestran en a Figura 8, donde todos estos parámetros son especificados en el dominio del tiempo, sin embargo el proceso de optimizaciónsintonización no garantiza que se logren absolutamente todos estas especificaciones de diseño, como también es posible que el resultado obtenido sea mejor que el especificado, pero adicionalmente dadas las características de los algoritmos utilizados en la optimizaciónsintonización es probable caer en un proceso divergente por lo tanto es necesario asegurar que le 6

Ver Chen Pag 556

punto de inicio conduzca a una solución estable. En algunos casos dependiendo de la planta este proceso no es muy fácil de controlar, pero por lo menos existe una mayor probabilidad de convergencia cuando el punto de inicio proporciona estabilidad al sistema. Por tal razón es necesario la primera etapa del proceso de sintonización. Para la comparación de respuestas para las diferentes combinación de constantes obtenidas del procesos de optimización se utilizan dos índices de medida del error 7: IAE integral del valor absoluto del error (Integral of Absolute Error) y ITAE integral del tiempo multiplicada por el valor absoluto del error (Integral of Time Multiplied by Absolute Error) Punto de inicio Kp 0.14 1.21 2.67 2 2 2 2

Ki 3 3 3 0.1 10 5 3

Resultado proceso de IAE ITAE optimización Kd Kp Ki Kd 0.07 1.53 5.11 0.068 3.806 2.688 0.07 1.22 3.01 0.069 4.824 3.535 0.07 1.54 2.99 0.068 3.674 2.567 0.07 1.29 5.65 0.060 2.343 1.197 0.07 1.23 9.99 0.069 4.6 3.100 0.07 1.35 5.06 0.069 4.693 3.418 0.054 1.42 2.99 0.057 2.352 1.696 Tabla 2. Resultado de proceso de optimización

La combinación seleccionada Kp=1.29, Ki=5.65, Kd=0.060 logra los menores índices de error por lo tanto es el candidato más opcionado para realizar la implementación

Figura 9. Gráficas de respuesta del sistema de control dentro del bloque NCD En la Figura 9 se puede observar la respuesta para con la aplicación del punto de inicio Kp=2, Ki=0.1 Kd=0.07 correspondiente a la tendencia en blanco no cumple prácticamente con ninguno de los criterios de diseño especificados, junto a ella se encuentra el resultado de la optimización, tendencia en verde, que cumple satisfactoriamente todas las especificaciones de la respuesta deseada. En la gráfica se observa que la respuesta cae dentro de la región configurada (no presenta 7

Ver Chen Chapter Various Design Criteria pag 346.

sobrepico ni error de estado estacionario, el tiempo de subida es de aproximadamente 0.4 s y un tiempo de asentamiento de 0.7 s) Una gráfica de respuesta más clara es la que se muestra en el Figura 10 que es la obtenida directamente del bloque Simulink con intervalo de simulación más adecuado del que permite el bloque NCD el cual se a aumentado para efectos de disminuir el tiempo de ejecución para el proceso de optimización.

Figura 10. Gráfica de respuesta de la posición III. Resultados de la implementación

Figura 10. Respuesta del sistema ante una señal cuadrada Existe una diferencia de respuesta del movimiento de la esfera cuando este es en sentido contrario a la gravedad con respecto al mismo sentido de la gravedad A pesar que la respuesta presenta ruido su tiempo de respuesta sobrepico y asentamiento son bastante aceptables en comparación con los resultados obtenidos de otros prototipos experimentales desarrollados por otro grupos de investigación, para este caso el sobrepico promedio es de 5 % , el tiempo de elevación es de 70 ms y el asentamiento de aproximadamente 300 ms. IV. Conclusiones El utilizar modelos linealizados no garantiza que los resultados de los sistemas vayan a ser satisfactorios. A pesar que generalmente siempre es necesario realizar ajustes adicionales de los parámetros del controlador a partir del diseño obtenido, el óptimo de la respuesta de la simulación coincide con el óptimo de la respuesta experimental. Por lo tanto la metodología de diseño planteada e igualmente el modelo obtenido del sistema son validos y pueden ser utilizados para el diseño e implementación de cualquier estrategia de control. La utilización del sensor óptico análogo en gran medida es el responsable de la excelente respuesta obtenida del sistema de control de posición. Implementaciones realizadas con otros sistemas de medida presentaron complicaciones. A partir de los resultados obtenidos se visualiza la factibilidad de desarrollo de proyectos, en particular con el desarrollo de diferentes estrategias de control. En ese mismo orden de ideas se sientan las bases para la ejecución de proyectos de aplicación industrial como: bandas transportadoras, manipulación de elementos delicados, aplicaciones en procesos intermedios de producción etc. V. Bibliografía •Chi-Tsong Chen. Analog and Digital Control System Design. Saunders College Publishing. 1993

•Gene F., David Powell, Emami Abbas. Feedback Control of Dynamic Systems. AddisonWesley Publishing Company, Inc. 1991. •Katsuhiko Ogata. Ingeniería de Control Moderna. Tercera Edición. Pearson, Prentice Hall. 1987 •Katsuhiko Ogata. Dinámica de Sistemas. Primera Edición. Prentice Hall. 1997 •Benjamín C. Kuo. Sistemas de Control Digital. CECSA. 1995 •P. K. Sinha. Electromagnetic Suspension Dynamics and Control. IEE Control Engineering Series 30. 1987. •Sustentation magnétique, synthèse d’un régulateur. http://iawww.epfl.ch/Laboratoies/levitaion/LevitaionFrame.html

Oliver

Chetelat.

•Rairan Danilo, Cortés John. Sistema Alternativo de Pasajeros Utilizando la Levitación Magnética. Parte I. Parte II. XIV Jornadas de Energía. Octubre 2001. ACIEM. Autores: Danilo Rairan. Ingeniero Electricista de la Universidad Nacional, Magíster en Automatización Industrial de la Universidad Nacional. Docente de planta de la Facultad Tecnológica. Investigador en Levitación Magnética. John Cortés. Ingeniero Electricista de la Universidad Nacional, Magíster en Automatización Industrial de la Universidad Nacional. Docente de planta de la Facultad Tecnológica. Investigador en Levitación Magnética e Instrumentación Virtual.