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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

Elementos recursivos Aprendizaje esperado Resuelve problemas relacionados con secuencias numéricas en base a un modelo definido, explicando la estrategia de razonamiento utilizada

Criterios de evaluación: Determina los términos de una sucesión conocido el término general. Determinando su monotonía, acotamiento y convergencia. EJERCICIO RESUELTO: Dada la sucesión con término general: Obtener: i) ii) iii) iv)

Los 10 primeros terminos Monotonía Acotamiento Convergencia o Divergencia

Desarrollo: i)

Para obtener los diez primeros terminos, se debe dar valores a “n”, utilizando la formula general, según el lugar que ocupa el termino a obtener, es decir:

1

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas ii) Monotonía: Para establecer la monotonía, hay que identificar el comportamiento de los valores que va tomando la sucesion a medida que “n” crece, como lo indican los valores en el punto anterior. Los valores de la sucesión a medida que “n” crece van disminuyendo, por ende es una sucesión estrictamente decrecreciente. Recuerda las fórmulas: Si al efectuar la diferencia:

, tenemos que :

i)

Lo que implica que la sucesion es decreciente

ii)

Lo que implica que la sucesion es creciente

iii) Acotamiento:Para especificar si la función es acotada hay que analizar el comportamiento de la función en sus extremos, es decir, el mínimo y el máximo valor que podría tener la sucesión. En este caso, como es estrictamente decreciente, tiene un valor máximo que corresponde a “2” , pero no se sabe el valor mínimo que podría tomar esta sucesión.Una forma de verificación es la intuitiva, es decir identificar el comportamiento de la sucesión a medida que el valor de “n” crece.Otra forma es obtener el límite de la sucesión cuando “n” tiende a infinito, cualquieera de estos procedimientos es válido. En esta ocasión se utilizará la forma intuitiva: Para averiguar qué es lo que sucede con los valores de la sucesión cuando “n” toma valores grandes, se va a realizar un procedimiento de intuicion, es decir, tanteando, como se muestra a continuación:

2

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Como se puede apreciar mientras más grande sea el valor de “n”, el valor de la sucesión se acerca a 1, que en este caso es la cota inferior. Como existen las dos cotas se dice que la sucesión es acotada.

iv) Convergencia o divergencia:En este caso la sucesión es convergente, ya que la sucesión tiende a número, siendo este el 1. EJERCICIOS PROPUESTOS: Dado los términos generales de las sucesiones, determinar: i) Los 5 primeros términos ii) Monotonía iii) Convergencia o divergencia iv) Acotamiento. 1. 2. 3.

4. 5.

6.

RESPUESTAS: 1.i)

;

;

;

2.i)

;

;

;

;

3.i)

;

;

;

;

4.i)

;

;

;

;

;

ii) E. decreciente iii) Convergente a 2 iv) acotada ii) E. creciente iii) No convergente a 2 iv) No acotada ii) E. creciente iii) No Convergente a 2 iv) No acotada ii) E. creciente iii) No Convergente a 2 iv) No acotada

3

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas 5.i)

;

;

;

;

6.i)

;

;

;

;

ii) Alternada iii) Divergente a 2 iv) No acotada ii) E. creciente iii) No Convergente a 2 iv) No acotada

Criterios de evaluación: Determina la monotonía y convergencia de una sucesión mediante su representación gráfica. EJERCICIO RESUELTO: Dado el gráfico de una sucesión:

Obtener: i) Monotonía ii) Convergencia o divergencia DESARROLLO: Monotonía:

En este caso, se puede observar una monotonía alternada, ya que los valores de la sucesión tienen signos positivos y negativos.

4

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Convergencia o divergencia: Como se aprecia los valores de la sucesión mientras “n” crece, tienden a centrarse al valor 3, por ende la sucesión en convergente a 3.

EJERCICIOS PROPUESTOS: Dados los siguientes gráficos de sucesiones, determinar la monotonía, convergencia o divergencia y si acotada. 1.

2.

3.

4.

5

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5.

6.

RESPUESTAS: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

i) E. crecienteii) Convergente a 0. i) E. creciente ii) Convergente a 1,5. i) Alternada ii) Divergente. i) E. creciente ii) Convergente a 2,7. i) Alternada ii) Divergente. i) E. creciente ii) No convergente.

6

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Criterios de evaluación: Determina el término general de sucesiones dados los elementos de la secuencia numérica, explicando la estrategia de razonamiento. EJERCICIO RESUELTO: 1. Dados los valores de la sucesión: -1,2,7,14,23, . . . Obtener el término general de la sucesión: DESARROLLO: Para obtener el término general, se comienza descomponiendo los valore de cada término, con el fin de poder visualizar la secuencia de los números naturales que se asocien con algún patrón para determinar la fórmula general de la sucesión, como en los siguientes pasos: a1 = -1 = -1 + 2 a2 = 2 = -1+ 3 a3 = 7 =-1+ 8 a4 = 14 = -1 + 15 a5 = 25 = -1 + 24 . . . Se puede apreciar que el elemento variable es { 3, 8, 15, 24, ..}, correspondiendo a una unidad menos que el cuadrado de cada número natural. De esta forma: a1 = -1 = -1 + 0= -1 + (12- 1)= 12- 2 a2 = 2 = -1+ 3 = -1 + (22- 1)= 22- 2 a3= 7 = -1+ 8 = -1 + (32- 1)= 22- 2 a4 = 14 = -1+ 15 = -1 + (42- 1)= 22- 2 a5= 23 = -1+ 24 = -1 + (52- 1)= 22- 2 . . . 7

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas a10 = 79 = -1 + 80 = -1 + (92- 1) = 92- 2 . .

. an = -1 + (n2 – 1) = n2 – 2 De esta forma el término general de la sucesión es:an = n2 – 2. El método de razonamiento utilizado es el de descomposición de términos, de tal forma que cada valor de la sucesión se asocie con el número del término correspondiente. Es importante mencionar que no siempre es así, este método es sólo una forma de llegar al término general de una sucesión. EJERCICIO RESUELTO: Dados los valores de la sucesión: 1, 5, 9, 13, 17, . . . Obtener el término general de la sucesión: Se comienza descomponiendo los valores, es decir: a1 = 1 a2 = 5 = 1 + 4

=1+4∙0 = 1 + 4 ∙ 1 → necesita del termino anterior

a3 = 9 = 1 + 4 + 4

= 1 + 4 ∙ 2 → necesita deltérmino anterior

a4 = 13 = 1 + 4 + 4 + 4

= 1 + 4 ∙ 3 → necesita de término anterior

a5 = 17 = 1 + 4 + 4 + 4+ 4 = 1 + 4 ∙ 4 → necesita de término anterior . . . A10 = 37 = 1 + 4 ∙ 9 → 1 más 9 veces 4 . . . Como se puede apreciar el razonamiento se basa en la RECURRENCIA, es decir, que para formar el valor de un término, se necesitadel anterior. Lo que se resume en una constante, la cual se repitetantas veces como elnúmero del término menos uno, ya que la variable comienza en cero y no en uno. . . . an = 1+ 4(n - 1) = 1 + 4n – 4 = 4n -3 8

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Entonces el término enésimo es: an = 4n -3 ; el cual se obtiene estratégicamente por recurrencia.

EJERCICIO RESUELTO: 2. Dados los valores de la sucesión: 6, 12, 24, 48,. . . Obtener el término general de la sucesión. DESARROLLO: Se comienza descomponiendo los valores, es decir: a1 = 6 = 3 ∙ 21 a2 = 12 = 3∙2∙ 2

= 3 ∙ 22→ necesita del termino anterior

a3 = 12 = 3 ∙ 2 ∙ 2∙ 2

= 3 ∙ 23→ necesita del término anterior

a4 = 24 = 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2∙ 2

= 3 ∙ 24→ necesita de término anterior

a5 = 48 = 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2∙ 2

= 3 ∙ 25→ necesita de término anterior

. . . A10 = 1.536 = 3 ∙ 210→ 3 por 2 elevado a 10 . . . Como se puede apreciar el razonamiento se basa en la RECURRENCIA, es decir que para formar el valor de un término, se necesita del anterior. Lo que se resume en una constante la cual se repite tantas veces como el número del término. . . an = 3∙ 2n Entonces el termino enésimo es: an =3∙ 2n; el cual se obtiene estratégicamente por recurrencia Observación:Esta estrategia se utiliza tanto para progresiones Aritmética como Geométricas. EJERCICIOS PROPUESTOS: Determine el término general de las sucesiones siguientes, explicando la estrategia utilizada:

9

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1.

6.

2.

7.

3. 4. 5. RESPUESTAS: 1.

3.

2.

4.

5.

7.

6.

Criterios de evaluación: Resuelve problemas de secuencias numéricas que implique la aplicación de operatoria con sucesiones, explicando la estrategia de razonamiento utilizada. EJERCICIO RESUELTO: Dadas las sucesiones: an = n2 – n – 6 ; bn = n – 3 Determinar los primeros 10 primeros términos de la sucesión:

.

DESARROLLO: Para establecer los primeros 5 términos de la sucesión, se puedenutilizarvarios métodos; el primero es mediante el remplazo directo de términos sobre cada sucesión, para luego realizar la división de ellos, es decir:

a1 = (1)2 – (1) – 6 = -6

, por otra parte:

b1 = (1) – 3 = -2 ; por ende:

El problema se vuelve engorroso cuando hay que obtener varios términos, como en este caso. Alutilizar este método,se utilizademasiado tiempo en la obtención del total de términos. El otro método sugerido es operar algebraicamente las sucesiones, para llegar a una nueva sucesión, es decir determinar cn “como la sucesión que se obtiene del cuociente entre a n

y

bn . La formula general es:

10

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas De esta forma se define:cn = Entonces: c1 = 3

c5 = 7

c9 = 11

c2 = 4

c6 = 8

c10 = 12

c3 = 5

c7 = 9

c4 = 6

c8 = 10

De esta manera es más rápido trabajar en la obtención de los términos de una sucesión que corresponda a operatoria entre sucesiones, el dilema es ¿siempre será conveniente realizar este procedimiento?

EJERCICIOS PROPUESTOS: Dadas las sucesiones:

Determine el término general de:

1.

2.

3.

RESPUESTAS: 1.

2.

3.

11

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Aprendizaje esperado Resuelve situaciones problemáticas generales y contextualiza a la especialidad, que involucren progresiones aritméticas y geométricas, mostrando capacidad de análisis.

Criterios de evaluación:Identifica el tipo de progresión ante una secuencia numérica dada. EJERCICIO RESUELTO: Dado los términos de la sucesión :

,...

Determinar si es una progresion aritmética o

geométrica? DESARROLLO: Para evidenciar si corresponde a una P.A. o P.G, se debe trabajar con los valores de la sucesión, buscando una diferencia constante o una razon constante. En este caso se comienza verificando si existe una razón constante entre términos consecutivos, es decir: Recuerda las fórmulas: r= d=

se asocia a una P.G Se asocia a una P.A.

Como se puede apreciar no existe una razón constante entre términos consecutivosde la sucesión, por ende se puede afirmar que esta sucesión no es una P.G.

12

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas De esta forma verificamos si la sucesión tiene una diferencia constante entre términos consecutivos, es decir: ;

;

;

En este caso existe una diferencia constante en donde

, por lo que se puede afirmar que

esta sucesión corresponde a una P.A.

EJERCICIOS PROPUESTOS: Identifica que tipo de progresión corresponde a cada caso: 1. 1 , -2 , 4 , -8, . . . 2.

4. 5.

3. RESPUESTAS: 1. P.G. 2. P.A. 3.Ninguna progresión 4. P.A. 5. P.G.

Criterios de evaluación:Calcula el término enésimo y suma de los “n” primeros términos de una P.A. o P.G. mediante el uso de fórmulas y propiedades según sea la situación planteada. EJERCICIO RESUELTO:

Recuerda las fórmulas: Progresión Aritmética (P.A.): El término general se obtiene: La suma de los primeros “n” términos es:

13

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Dada la sucesion con términos: Obtener: i.El término general o enésimo. ii.¿Cuál es el valor del término ? iii.Obtener la suma de los primeros 9 términos. DESARROLLO: i) Lo primero es determinar si la sucesión corresponde a algún tipo de progresión, por ende, se comenzará analizando si existe una razón constante entre términos consecutivos, lo que se asocia a una progresión geométrica, Luego:

;

;

En este caso se puede aprecia de que existe una razón constante la cual es:

, por ende

esta sucesión corresponde a una P.G. Además se tiene el primer término el cual es: Como se tiene el valor del primer termino de la P.G. y ademas su razón asociada, se puede obtener el termino enesimo o fórmula general de esta progresión, reemplazando los valores en la formula correspondiente, de esta forma: 14

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Se reemplaza

y

en la fórmula

obteniendo:

, este término enésimo permite obtener el valor de

cualquier término de la P.G. en forma directa, sólo basta con reemplazar el valor de “n”, el cual indica el término que se quiera obtener. ii) Como se tiene el término enésimo o general, se puede obtener el valor de

en forma

.

inmediata, reemplazando n = 13 , es decir:

iii) Para obtener la suma de los nueve primeros términos, es necesario tener algunos valores como requisito. Si se observa la fórmula, estos datos son: n,

y r, los cuales ya se tienen, por ende

basta sólo reemplazarlos en la fórmula de la suma de los “n” primeros términos de la P.G, es decir:

De esta forma: EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Calcular el término enésimo en la sucesión: -6, -4, -2, 0, 2, 2.Dados los términos de la sucesión: 5, 8, 11, 14, determinar la suma de los 15 primeros términos. 3. Determinar el término enésimo de la sucesión: 4. Obtener la suma de los 10 primeros términos de la sucesión: 768, 384, 192, . . . 5. Hallar la suma de los primeros 100 números naturales.¿Puedes realizar esto, sin utilizar fórmula y de una manera rápida?

RESPUESTAS:

15

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas 1.

2.

3.

4.

5.

. Si, una forma es

sumando los extremos (lo cual implica que se está ocupando 2 términos a la vez) y multiplicando por 50, ya que es la mitad de términos.

Criterios de evaluación:Interpola medios aritméticos o geométricos en problemas de enunciado verbal. EJERCICIO RESUELTO: Recuerda las fórmulas: Interpolar términos en una P.A.:

En donde “a” y “b” son los extremos de interpolación y “n” la cantidad de términos a interpolar, el valor ”d” corresponde a la diferencia de la P.A. Interpolar términos en una P.G.:

En donde “a” y “b” son los extremos de interpolación y “n” la cantidad de términos a interpolar, el valor “r” corresponde a la razón de la P.G. Interpolar 3 medios aritmeticos entre -21 y 16. 16

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas DESARROLLO: En este caso a = -21 , b = 16 y n = 3. Ya que se quieren interpolar 3 terminos, entonces:

como “d” es la diferencia de la P.A, basta con sumar el valor “d” comenzando con el primer término de la P.A. y obtener en forma secuencial los valores interpolados en forma correlativa, es decir:

Entonces la progresión aritmética resulta:

Para comprobar que los términos interpolados están correctos, hay que verificar que la diferencia se mantenga constante entre los valores obtenidos.En este caso se cumple, puedes vericarlo! EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Interpolar 5 términos entre 1 y 729 de modo que formen una P.G. 2. Interpolar 6 términos entre -18 y 17 de tal forma que resulte una P.A. 3. Interpolar dos medios geométricos entre 6 y 162 para una P.G. 4. Interpolar 4 términos entre 7 y 17 de modo que formen una P.A.

RESPUESTAS: 1. 3,9,27,81,243

2. -13, -8, -3, 2, 7, 12 3. 18,54 4. 9, 11, 13, 15

Criterios de evaluación: Aplica las propiedades y fórmulas de las progresiones aritméticas y geométricas en el cálculo de elementos desconocidos de ellas. 17

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas EJERCICIO RESUELTO: El tercer término de P.G. es 144 y el sexto término es 1152. Hallar la suma de los ocho primeros términos de la progresión. DESARROLLO: Como en el ejercicio se pide la suma de los ocho primeros términos, es conveniente utilizar la fórmula asociada a la suma de una P.G., por ende hay que obtener y .Por lo tanto, se comienza a utilizar la información que proviene del enunciado, es decir se tiene:

De esta manera, utilizando la fórmula del término enésimo de P.G se obtiene: →

→

→

a esta igualdad se denominará (1) →

a esta igualdad se denominará (2)

De las igualdades (1) y (2) se obtiene: y

→

→

→

Luego: → De esta menra se obtiene el valor de las razón (r=2), pero además se necesita el valor del primer término de la progresión ( ), el cual se obtiene reemplazando el valor de r=2 en la igualdad (1) o (2), en cualquiera de ellas al reemplazar se obtendrá el valor del primer término, pero es importante verificar cual de las dos es más conveniente utilizar, en este caso es más cómodo reemplazar en la igualdad (1), ya que tiene un exponente menor y un valor númerico menor, de esta forma se tiene:

→

→

Ya que se tienen los valores mencionados anteriormente, se puede utilizar la fórmula de la suma de los primeros “n” términos de una P.G. de esta manera:

18

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

→ Por lo tanto: EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.Dados los términos de la sucesión: 5, 8, 11, 14, determinar que lugar ocupa el término de valor 65. 2. Determinar cuántos términos tiene una P.A, si el primero es 5, el último es 50 y la diferencia es 3. 3. El término 4. Hallar

en una P.G. y la razón es 3. Determine el primer término.

en una P.A cuyo término de lugar 27 es 32 y cuyo término de lugar 18 es 5.

5. En una P.G.

. Determinar el valor del quinto término.

6. ¿Cuántos términos hay que sumar en la P.A. con términos: 4 , 8, 12,. . . Para obtener como resultado 220? 7. Obtener la suma de los 12 primeros términos de una P.A. sabiendo que 8.El primer término de una progresión geométrica es 375y el cuarto 192. Hallar la razón y la suma de los cuatro primeros términos.

RESPUESTAS: 1. 21 2. 16 3. 4

4. -46 5. 160 6. 10 7. 295 8. 0,8; 1107

Criterios de evaluación:Resuelve problemas generales y contextualizados mediante la utilización de progresiones aritméticas y geométricas, explicando la estrategia de razonamiento utilizada. EJERCICIO RESUELTO: Una empresa instala una máquina con un costo de $ 2.890 (millones). El valor de la máquina se deprecia anualmente en $ 130 (millones) y su valor de desecho es de $ 30 (millones). ¿Cuál es la vida de la máquina? (Asumiendo que la depreciación no es inmediata) DESARROLLO: Para resolver este problema, primero hay que reconocer a que tipo de progresión se asocia el problema, como se habla de una depreciación anual se puede deducir, que se trata de una P.A., ya que, cada año que pasa el valor de la máquina disminuye en $ 130 (millones) lo que 19

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas corresponde a la diferencia “d” de la P.A. además, se requiere la cantidad de tiempo asociado al funcionamiento de la máquina, la cual esta basada en un valor monetario, de esta forma “n” corresponde a la cantidad de años de la depreciación de la maquina. Extrayendo datos se obtiene: El primer término de la P.A. corresponde al valor de la maquina durante el 1° año. La depreciación corresponde a la diferencia de la P.A. Como se necesita saber cuantos años estará en funcionamiento la máquina, se utilizará la fórmula general de P.A., es decir: En donde “n” corresponde a la cantidad de años de funcionamiento de la máquina y

corresponde a la

vida útil de la máquina, por ende: → →

→

→ →

Es importante señalar que el valor que se obtiene representa la cantidad de años que es operativa la máquina. Una forma de comprobar el resultado es realizando una resta sucesiva al valor original de la máquina, el cual debe ser de 23 veces, compruebalo! EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. La cantidad de archivos que hay en un disco duro presenta un crecimiento de un 4% semanal.¿Qué cantidad de archivos habrá dentro de 10 semanas si hoy hay 150.000 archivos? 2. Un Informático comienza capacitándose en un nuevo software durante una hora diaria. Decide incrementar la capacitación 10 minutos cada día. ¿Cuánto tiempo en total habrá dedicado alacapacitación a lo largo de todo un mes (30 días)? 3.Una persona que ahorra cada año los 2/5 de lo que ahorró el año anterior, ahorró el quinto año $160. ¿Cuánto ha ahorrado en los 4 años? 4. Los pagos mensuales de un microempresario al banco ocasionados por un préstamo, forman una P.A. Si el octavo y décimo quinto pagos son de US$153 y US$180, respectivamente, ¿Cuál será su vigésimo pago? 5. Una máquina cuyo costo es U$2.000 se deprecia a un 2,5% anual, si el valor residual es U$1062. ¿Cuál es la vida útil de la máquina?

20

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas 6. Una empresa informática, instala un servidor a un costo de US$1500. Al cabo de 9 años, el servidor tiene un valor de US$420. Suponiendo que, la depreciación anual es constante, calcule la depreciación anual.(Asumiendo que la depreciación no es inmediata) 7. El pago de electricidad de una empresa se incrementó anualmente formando una PA. Pagó$440.000 mensualmente en el séptimo año y $1.160.000 al mes durante el vigésimo quinto año. Calcule, el pago inicial y su incremento anual aproximado.

RESPUESTAS: 1. 222.037 2. 102,5 hrs 3. $10.150 4. US$201 5. 25 años 6.US$120 7. $40.000 ; $66.667 aprox.

Aprendizaje esperado Resuelve problemas y ejercicios de sumatorias y sus propiedades, aplicando procedimientos algebraicos y explicando la estrategia de resolución. Criterios de evaluación:Representa en forma de sumatoria una secuencia numérica dada. EJERCICIO RESUELTO: Representar en forma de sumatoria la siguiente secuencia numérica:

DESARROLLO: Para establecer esta secuencia numérica como sumatoria, hay que tener presente dos cosas; la pimera la cantidad de términos, que en este caso son 12 y la segunda el expresar de una forma general la secuencia. En este caso, es conveniente utilizar alguna estrategia para llegar a la forma 21

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas general. Una estrategia es descomponer la secuencia y relacionar el primer término con el índice inferior de la sumatoria, es decir:

. . .

Observación: Los números enegresidos corresponden a los de los términos de la sumatoria, los cuales deben relacionarse con el término general de la secuencia, esto es posible por medio de la descomposición de los términos. Una vez que se obtiene, la forma general de la secuencia, esta puede ser expresada en sumatoria, como se muestra a continuación:

Lo que se comprueba a continuación:

EJERCICIOS PROPUESTOS: Representar en forma de sumatoria las siguientes secuencias numéricas: 1. 2. 1 + 3 + 5 + 7 +...+ 23 3. 0 + 6 + 8 + 24 + … +177.144 4.

22

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas 5.

RESPUESTAS:

Criterios de evaluación:Calcula sumatorias mediante propiedades y fórmulas, explicando el procedimiento utilizado. EJERCICIO RESUELTO: Recuerda las fórmulas: (recuadro 1) PROPIEDADES DE SUMATORIAS: n

1.

 ck = n  c

2.

k =1

n

3.

 (a k =1

n

k

 bk ) =  a k   bk

n

5.

 (a k =1

n

k +1

k =1

k =1

n

n

k =1

k =1

c  a k = c  a k n

4.

 (a k =r

n

r −1

k =1

k =1

k ) =  (a k ) −  (a k )

− a k ) = a n +1 − a 1 Propiedad Telescópica 23

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

Recuerda las fórmulas: (recuadro 2) SUMATORIAS DIRECTAS: n

1.

 c = c + c + c + ... + c = n  c k =1 n

2.

 k = 1 + 2 + 3 + ... + n = k =1 n

3.

k

2

n  (n + 1) 2

= 12 + 2 2 + 32 + ... + n 2 =

k =1

n  (n + 1)  (2n + 1) 6

n n  (n + 1) 4.  k 3 = 13 + 2 3 + 33 + ... + n 3 =    2 k =1 n

5.  a k = k =1

(

2

)

a  a n −1 con a  1 a −1

EJERCICIO RESUELTO: Obtener el resultado de la sumatoria aplicando propiedades:

DESARROLLO: Una estrategia para aplicar propiedades es tener una vision global de la sumatoria, como primera acotación , se puede apreciar que hay una constante multiplicando a un binomio. Además se visualiza en el índice inferior de la sumatoria que este empieza de un número distinto de 1, por lo tanto se comienza trabajando la primera observacion:

24

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

EJERCICIOS PROPUESTOS: Obtener el resultado de la siguientes sumatorias aplicando propiedades:

RESPUESTAS: 1. 200 2.

3.

4. 615 5.

Criterios de evaluación:Resuelve problemas de economía y negocio que involucren la aplicación de sumatoria y propiedades, explicando la estrategia de resolución y propiedades, explicando la estrategia de resolución. EJERCICIO RESUELTO: Una persona invierte $2.000.000 en un centro de internet, si la ganancia mensual es del 9,5% sobre el capital invertido. ¿Cuánto será la ganancia total al cabo de 4 años? DESARROLLO:

25

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Como primera consideración, hay que tener en cuenta que se está solicitando una sumatoria correspondiente a las ganancias obtenidas durante 4 años.Además se sabe que las ganancias obtenidas son mensuales, de esta forma se puede generar una sumatoria, pero previo a esto hay que obtener una sucesión con respecto a los valores mensuales, en donde “n” representa meses es decir:

. . . → Como son cuatro años y el interes se aplica en forma mensual se generan 48 términos. Se puede apreciar que los términos son constantes, y se quiere generar una sumatoria con respecto a los valores obtenidos, entonces:

Entonces $ 9.120.000 representa la ganancia obtenida durante los 4 años. EJERCICIOS PROPUESTOS: Desarrolar los siguientes problemas explicando la estrategia utilizada. 1. Unapersona ahorra para comprar un notebook, cual tiene un valor de $760.000. El método de ahorro es guardando $50 el primer día, $100 el segundo, $200 el tercero y así sucesivamente, ¿Cuánto tendrá ahorrado al termino del día 30? 2. El crecimiento de una población es del 4% anual.¿Qué población habrá dentro de 10 hoy hay 150.000 habitantes?

años si

3. Calcular el capital final que se obtendrá si se invierten $2.000.000 al 16% anual al término de 3 años. 4. Una persona compra un artículo en $25.000, pagando $17.000 al contado y el saldo en 8 meses, en cuotas de $1000 mensuales más los intereses del 18% anual sobre los correspondientes saldos mensuales. ¿Cuánto pago en total por el artículo?

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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas RESPUESTAS: 1. $ 1.638.350

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