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• Oscar Chq Chilón

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ELASTICIDAD INTRODUCCION: Elasticidad es la propiedad mecánica que ciertos materiales proporcionan a los sólidos de sufrir deformaciones reversibles, es decir cuando éstos se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores recuperan la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan. Otra definición semejante de elasticidad es la capacidad que tiene un cuerpo deformado para recuperar su configuración original cuando dejan de actuar sobre él, el sistema de fuerzas que lo deformó. Esta propiedad de los cuerpos, depende del material del que están hechos. Los materiales elásticos son en realidad ideales, pero se usan como tales en diseños de ingeniería. I. CLASES DE MATERIALES ELASTICOS Las características de los materiales pueden determinar su clasificación en 5 clases: homogéneos, heterogéneos, isotrópicos, ortotrópicos y anisotrópicos. 1.1 Materiales homogéneos. En cuerpo homogéneo las propiedades del material son las mismas en cualquier punto en una dirección particular del cuerpo, es decir, las propiedades del material no son función de la posición en el cuerpo en una dirección particular.

A B

El material presenta las mismas propiedades mecánicas en cualquier punto del plano.

1.2 Materiales heterogéneos. Si las propiedades del material cambian de un punto a otro en la misma dirección, entonces el material es heterogéneo, es decir, las propiedades son función de posición en el cuerpo. 1.3 Materiales isotrópicos. En los materiales isotrópicos las propiedades son las mismas en cualquier dirección en un punto dado, es decir, todos los planos que pasan por un punto en un material isotrópico son planos de simetría de las propiedades del material. Ejemplo: acero, concreto, metales, suelos.

A

El material presenta las mismas propiedades mecánicas en cualquier plano alrededor de un punto.

El sólido presenta las mismas características mecánicas en todas las direcciones. Un material isotrópico puede ser homogéneo o heterogéneo. Un cuerpo isotrópico homogéneo tendrá todos los planos de simetría de las propiedades del material en cualquier punto, por ejemplo, el módulo de Young del material será el mismo en cualquier punto y en cualquier dirección. Un cuerpo isotrópico heterogéneo, es aquel que tendrá todos los planos de simetría de las propiedades del material en un punto dado, pero cualquier propiedad el material tendrá diferente valor en cualquier otro punto, sin embargo en ese otro punto las propiedades del material van tener el mismo valor en cualquier dirección. 1.4 Materiales anisotrópicos. En un cuerpo anisotrópico las propiedades del material van a ser diferentes en todas la direcciones en cualquier punto, es decir, no hay planos de simetría de las propiedades del material en cualquier punto dentro del cuerpo. Las propiedades del material son función de la dirección en un punto determinado. Ejemplo: madera, cuarzo, cristales.

Las propiedades mecánicas no son las mismas en las diferentes direcciones Por lo tanto en un cuerpo anisotrópico homogéneo las propiedades del material en una dirección particular serán iguales en cualquier otro punto en la misma dirección. Mientras que en un cuerpo anisotrópico heterogéneo, las propiedades del material en una dirección particular, serán diferentes en cualquier otro punto en la misma dirección. 1.5 Materiales ortotrópicos. Un material ortotrópico tiene tres diferentes propiedades en tres diferentes direcciones perpendiculares entre si, y tiene solo tres planos perpendiculares entre si que definen la simetría de las propiedades del material. Un material ortotrópico, tendrá tres diferentes propiedades del material en las direcciones X, Y, Z. Por ejemplo, el módulo de Young se tendrá que definir en tres direcciones.

Un material ortotrópico también puede ser homogéneo o heterogéneo. En un cuerpo ortotrópico homogéneo, las propiedades del material en una dirección particular serán las mismas en todos los puntos dentro del cuerpo, mientras que en un cuerpo ortotrópico heterogéneo las propiedades del material en una dirección particular serán diferentes en cualquier otro punto del material en el cuerpo. II. ELASTICIDAD Y LEY DE HOOKE. Sea un sistema de fuerzas F aplicada a un sólido deformable.

∆F ∆A

Un elemento de área ΔA, queda solicitado por un elemento diferencial de fuerzas ΔF Al cociente ΔF / ΔA se le denomina ESFUERZO O FATIGA Si ΔA → 0, entonces, Esfuerzo o Fatiga = Esfuerzo o Fatiga = dF/dA. Si la distribución de fuerzas es uniforme, Esfuerzo o fatiga = F/A. El esfuerzo o fatiga toma nombres especiales de acuerdo a la dirección de la fuerza F (normal o tangencial). Además, a medida que se aplica la fuerza F sobre un sólido deformable, ésta genera una deformación en el sólido ΔL. Existe una relación directamente proporcional entre la intensidad de la fuerza F y la deformación en dirección de la fuerza que ésta produce. Esta relación la da la ley de Hooke. F α ΔL F = k ΔL , Donde k: constante de rigidez del material del sólido deformable. [k]: FL-1; [k]: N/m; Kg-f/cm; Din/cm Así mismo, la ley de Hooke puede expresarse en función del esfuerzo o fatiga y de la deformación. Así: F = E ΔL A L Donde E: constante de elasticidad del material del sólido deformable (módulo de elasticidad o módulo de Young).

F /A (FL-2)

F (F)

m=K

m=E

ΔL/L (adimens)

ΔL (L) Curva Fuerzadeformación

Curva Esfuerzo deformación unitaria

III. CLASES DE ESFUERZOS Y MODULOS ELASTICOS De acuerdo a la dirección de la carga aplicada sobre una sección del sólido, los esfuerzos pueden ser:

Fuerza: Axial o normal. Esfuerzo σ: Axial o Normal

Fuerza: Tangencial. Esfuerzo: τ Cortante Cizalladura

o

3.1 Esfuerzo Axial o Normal. Módulo Elástico o Módulo de Young.

Φ Φ0

Φ TRACCION

Φ0

σ = F/A; ε = ΔL / L σ =Eε

COMPRESION

de

Aquí: σ: Esfuerzo normal o axial. (FL-2)

ε: Deformación unitaria longitudinal (adimensional) E: Módulo de elasticidad o módulo de Young. (FL-2)

σ =Eε F/A = E ΔL / L E = FL / A ΔL … MODULO DE YOUNG. La variación en el diámetro, genera también una deformación unitaria transversal. εt = Δφ / φ La relación entre la deformación transversal y la deformación longitudinal unitarias nos da el MODULO DE POISSON.

υ = | εt / ε| - εt = 

υε

NOTAS: o Si la fuerza axial es a tracción, ε >0 y εt < 0. o Si la fuerza axial es a compresión, ε 0. o Las deformaciones unitarias, ε y εt siempre tienen signos contrarios. o Si P no es constante, P(x), entonces ΔL = FL / EA = ∫ P(x) dx / EA 3.2 Esfuerzo Cortante o de Cizalladura. Módulo de Rigidez o Módulo de Corte.

δ

γ

τ = F/A; γ= δ / h, para γ pequeños. τ = G γ, donde: τ: Esfuerzo cortante o de cizalladura (FL-2) γ: Deformación angular o distorsión (radianes)

G: Módulo de corte o de rigidez. (FL-2)

τ =Gγ F/A = G δ/h G = Fh / A δ … MODULO DE CORTE O DE RIGIDEZ. 3.3 Módulo Volumétrico K. Llamado también módulo de compresibilidad y se calcula al generase una deformación volumétrica. Deformación Volumétrica = ΔV / V. K = F/A = -PV -ΔV / V ΔV Comúnmente, K ≈ 1012 dinas/cm2. Los módulos elásticos estudiados están relacionados entre sí, cumpliéndose que: E = 3K (1-2υ) = 2G (1+υ) = 9KG / (3K+G)

IV. ENERGIA DE DEFORMACION El trabajo que realizan las fuerzas externas al deformar a los sólidos, se almacena al interior de éstos en forma de energía, la cual se conoce como energía de deformación. F

W = U int = ½ F ΔL

W ΔL 4.1 Energía Interna de Deformación por Fuerza Axial. U int = W U int = ½ F ΔL U int = ½ F (FL / EA) U int = ½ F2L / EA



NOTA: o Si F no es constante, F(x), entonces U int = ∫ F2(x) dx / 2EA

4.2 Energía Interna de Deformación por Fuerza Cortante. U int = W U int = ½ F ΔL; δ = ΔL; h = L U int = ½ F (FL / GA) U int = ½ m F2L / GA En este caso, K: coeficiente que depende de la forma de la sección del sólido. Así: SECCION

m

1. Rectangular, triangular, cuadrada.

1.20

2. Circular.

10/9

3. Perfiles



DETALLE

1

NOTA: o Si P no es constante, P(x), entonces U int =m ∫ P2(x) dx / 2GA

EJEMPLOS DE APLICACIÓN.