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• Daniel Maldonado Orosco

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ELASTICIDAD 1.- OBJETIVOS  Validar la ecuación de la elasticidad de una viga en voladizo para pequeños desplazamientos.  Determinar el módulo de Young de una placa metálica de forma experimental. 2.- FUNDAMENTO TEORICO Las vigas son cuerpos sólidos de forma alargada con gran interés en ingeniería civil ingeniera mecánica y arquitectura, las vigas se utilizan normalmente en posición horizontal, siendo su longitud grande comparada con su sección transversal.

Las vigas pueden estas sometidas a fuerzas concentradas fuerzas distribuidas o pares de fuerzas es decir momentos concentrados que actúan solos o en una combinación cualquiera, siendo la flexión la principal deformación que sufren. En esta experiencia se analizará el problema de la flexión de una viga en voladizo, es decir con un extremo empotrado y otro libre y bajo la acción de una fuerza “F” concentrada verticalmente en su extremo libre. Debido a la acción de la fuerza aplicada la viga se curva una distancia “SF” denominada flecha de flexión. Para una viga en voladizo la flecha de flexión es proporcional a la fuerza aplicada “F”.

SF

F

(1)

Esta proporción se vuelve en igualdad cuando se introduce constante de flexibilidad. SF = CF F

“C F” denominada

(2)

La ecuación (2) corresponde a la ecuación de una receta de la forma: (3) De acuerdo a la ecuación (3) la constante A nominal o teórico es cero A=, para validar la ecuación (2) determinaremos pares de datos experimentales de SF Vs F la misma deberá corresponder a una línea recta, el parámetro para validar la ecuación será el coeficiente de determinación R2 y la prueba de hipótesis al 99,8 % de confiabilidad. Planteo de Hipótesis Hipótesis nula.- el valor de A experimental no difiere del valor de A nominal Ho: A = AN Hipótesis alterna.- el valor de A experimental difiere del AN nominal

H1: A

AN

El cálculo del “t” calculado =

|

|

con

=

⁄

√

∑

∑(

∑

⁄

√

)

El valor de “t” tabulado tT =

n- 2

Decisión tc < tT tc > tT

Acepta la hipótesis nula Ho Rechaza la la hipótesis nula Ho

Realizando la prueba de “t” de student determinaremos si se cumple la hipótesis nula o alterna al 99,8 % de confiabilidad. Para determinar el módulo de Young por comparación, de la ecuación (3) y (2) la pendiente de la recta “B” es la constante de flexibilidad “CF”. CF = B

(4)

La constante de flexibilidad es función de la longitud de la viga “L”, del módulo de Young “E” y el momento de inercia de la viga “I”. =

(5)

El momento de inercia de la viga que pasa por su centro de masa es =

3 bh

Despejando “E” de la ecuación (5) E =

(6) (7)

Para el laboratorio de Física, es posible determinar pares de datos experimentales de fuerza aplicada y flechas de flexiones realizadas, realizando una regresión lineal es posible determinar la pendiente de la recta que es la constante de flexibilidad, a partir de la ecuación (7) es posible determinar el módulo de Young del material de la viga.

3. MATERIALES  Soporte metálico  Regla metálica de 30 cm  Pesas  Balanza  Vernier

4. PROCEDIMIENTO 4.1.- Medir la masa de cada pesa y transformar a unidades de fuerza. 4.2.- Para cada peso determinar la flecha de flexión en la viga. 4.3.- Determinar la base “b” y la altura “h” de la viga. 5.- CALCULOS Y GRAFICOS 5.1.- Realizar una tabla de datos experimentales de Fuerza (N) y flecha de flexión (m) Momento de Inercia Longitud de la regla (m) L= 30 cm = 0,3 m Base (m) b = 2,6 mm = 0,026 m Altura (m) h = 1mm = 1x10^-3 I = b hᵌ I = 0,026 (1x10^-3)ᵌ I = 2,16x10^-12

Fuerza (gf)

24,15

42,78

61,70

80,00

98,86

116,9

134,23

Flecha de flexión (cm)

0,31

0,7

1,1

1,5

1,9

2,3

2,7

Fuerza (N)

0,23

0,42

0,60

0,78

0,97

1,14

1,31

Flecha de flexión (m)

3,1x10^-3

7x10^-3

0,011

0,015

0,019

0,023

0,027

A = - 2,3377x10^-3

B = 0,0222

R = 0,9998

5.2.- Con los datos de las fuerzas “F” y flecha de flexión “S F” Realice la gráfica experimental y ajustada por regresión lineal de la flecha de flexión SF (eje “y”) vs fuerza “F” (eje “x”).

y = 0,022x R² = 0,9997

FLECHA DE FLEXION (m) VS FUERZA (N) FLECHA DE FLEXION (m)

0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

FUERZA (N) PUNTOS EXPERIMENTALES

CURVA DE AJUSTE

5.3.- Interpretar el gráfico y el valor de R2 El grafico nos indica que si la fuerza aumenta la flecha de flexión también aumentara y el R² representa una alta correlación entre la fuerza y la flecha de flexión y que los datos experimentales están estadísticamente correctos. 5.4.- Realice la prueba de hipótesis al ecuación (2).

99,8% de confiabilidad para validar la

Planteo de Hipótesis Hipótesis nula.- el valor de A experimental no difiere del valor de A nominal Ho: A = AN Hipótesis alterna.- el valor de A experimental difiere del AN nominal H1 : A AN El cálculo del “t” calculado =

|

|

con

=

⁄

√

∑ ∑

= =

⁄

√

|

= 1,32 x10^-4 |

= 17,71

El valor de “t” tabulado tT =

n– 2

tT = 0,001,5 tT = 5,893 Decisión tc < tT

Acepta la hipótesis nula Ho

tc > tT

Rechaza la la hipótesis nula Ho

Para el valor de A rechaza la hipótesis nula del valor de A nominal 5.5.- De la ecuación de regresión lineal obtener la pendiente de la regresión lineal B, que es la constante de la flexibilidad “CF” y mediante la ecuación “7” determinar el módulo de Young de la viga, en N/m 2. Calculamos el error de a y b Sa = 1,32x10^-4

Sb = 1,54x10^-4

Ea = 5,893 * 1,32x10^-4 Ea = 7,77x10^-4

Eb = 9,075x10^-4

Tenemos A = (-2,33x10^-3 B = (0,022 B=

7,77x10^-4)

9,075x10^-4)

=

Despejando E tenemos E= E=

(

)

Eb = 5,893 * 1,54x10^-4

E=

N/m²

Calculamos el error de E Ee/E = ln Lᵌ - ln(3 + cf +I) Ee = 2L²E/L +Ecf/cf + EI/I Ee = Ee = 0,1 E=(

)

N/m²

6. CUESTIONARIO. 6.1.- Realice una tabla de módulos de Yang para distintos materiales material

Módulo de Young (pa)

Aluminio Laton Cobre Hierro Plomo Níquel acero 6.2.- ¿De qué factores depende el módulo de Young? Depende de la longitud en función del coeficiente de flexibilidad y el momento de inercia del material a ser estudiado, además que también depende de la resistencia a la deformación de cada material. 6.3.- ¿Qué errores sistemáticos se puede cometer en esta práctica? Se puede cometer errores de paralaje cuando se realiza la medición de los objetos de estudio, en el peso de los objetos el cálculo de la altura, durante la realización de la práctica.

6.4.- ¿Qué ese el módulo de Young? El módulo de Young o módulo de elasticidad longitudinal es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza. Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tiene el mismo valor para una tracción que para una compresión, siendo una constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo denominado límite elástico, y es siempre mayor que cero 6.5.- ¿A qué se denomina deformación unitaria? La deformación se define como el cambio de forma de un cuerpo, el cual se debe al esfuerzo, al cambio térmico, al cambio de humedad o a otras causas. En conjunción con el esfuerzo directo, la deformación se supone como un cambio lineal y se mide en unidades de longitud.