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Ing. Luis Ernesto Aguilar 1 EL PROBLEMA DEL AREA Y LA INTEGRAL UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE DIVISIÓN DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA MATEMÁTICA BÁSICA 2 Ing. Luis Ernesto Aguilar

EL PROBLEMA DEL AREA El área es la cantidad de superficie con la cual un objeto cuenta, suponga que se quiere encontrar el área bajo la grafica de la función ‫ ݔ = ݕ‬desde el punto ‫ = ݔ‬0 hasta ‫ݐ = ݔ‬:

Observe que esta figura contempla un área triangular, por lo tanto es aplicable utilizar la geometría para encontrar esta superficie: ‫=ܣ‬

ܾℎ ሺ‫ݐ‬ሻሺ‫ݐ‬ሻ ‫ ݐ‬ଶ = = 2 2 2

Observe que esta ecuación del área debajo de la recta, cumple con la condición de ser la antiderivada de la función evaluada en el extremo ‫ݐ‬. Suponga ahora que lo que queremos encontrar es el área debajo de la función ‫ = ݕ‬2‫ ݔ‬+ 3, desde el punto ‫ = ݔ‬0 hasta ‫ݐ = ݔ‬, según lo visto anteriormente esta cumpliría con la antiderivada de la función evaluada en el punto ‫ݐ = ݔ‬, es decir: ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 2‫ ݔ‬+ 3 ⇒ Ahora mediante geometría encontremos esta área:

‫ܨ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ ݐ‬ଶ + 3‫ݐ‬

Ing. Luis Ernesto Aguilar 2 EL PROBLEMA DEL AREA Y LA INTEGRAL Observe que esta superficie es un trapezoide, entonces el área utilizando el área de un trapecio es: ሺܾ + ‫ܤ‬ሻℎ ൫3 + ሺ2‫ ݐ‬+ 3ሻ൯‫ ݐ‬ሺ2‫ ݐ‬+ 6ሻ‫ݐ‬ ‫=ܣ‬ = = = ‫ ݐ‬ଶ + 3‫ݐ‬ 2 2 2 Note bien que el área debajo de la recta cumple con ser la antiderivada de la función, siempre y cuando esta sea una recta, tratemos de encontrar el área debajo de la parábola ‫ ݔ = ݕ‬ଶ , desde el punto ‫ = ݔ‬0 hasta ‫ݐ = ݔ‬:

Si tratamos de utilizar la geometría para encontrar esta área necesitaríamos una formula para un segmento parabólico, el cual se puede encontrar en textos de cursos posteriores a la matemática básica 2, por lo tanto omitiremos esta formula y utilizaremos la teoría que hasta ahora conocemos para encontrar una aproximación de esta área. Al hacer una aproximación de esta área vamos a utilizar rectángulos:

El área debajo de esta parábola se podrá aproximar al sumar el área de cada uno de los rectángulos circunscritos. Si utilizamos 4 rectángulos obtendríamos una aproximación muy burda del área real debajo de la parábola desde 0 hasta t, a esta primera aproximación llamémosla ‫ܣ‬ସ, ahora mejoremos esta aproximación utilizando 8 rectángulos:

Ing. Luis Ernesto Aguilar 3 EL PROBLEMA DEL AREA Y LA INTEGRAL

De igual forma el área se obtendría de la sumatoria de cada uno de los rectángulos circunscritos debajo de la parábola, y esta aproximación se llamara ‫଼ܣ‬. Este proceso se puede seguir hasta alcanzar una aproximación adecuada es decir una aproximación ‫ܣ‬௡ en donde el subíndice ݊ indica el número de rectángulos. Si quisiéramos el área exacta entonces debemos tomar a ݊ tan grande como sea posible, utilizando el cálculo esto es: ‫ = ܣ‬lim ‫ܣ‬௡ ௡→ஶ

Pero hacer esto involucraría realizar la suma de ݊ rectángulos, una sumatoria de muchos rectángulos, esto involucra introducir un término nuevo, la NOTACION SIGMA, esta se utiliza para simplificar una suma, por ejemplo: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8+. . +݊

Lo anterior es la sumatoria de los primeros ݊ enteros positivos, y utilizando la notación sigma esto seria: ௡

෍ ݅ = 1 + 2 + 3 + 4+. . +݊ ௜ୀଵ

Cada uno de los datos indicados en lo anterior son: • El símbolo Σ indica que se debe sumar • el termino ݅ = 1 indica por cual valor se iniciara • el término ݊ indica en donde finalizara • el término ݅ es lo que se reemplazara por los enteros.

La siguiente notación indica la sumatoria de los cuadrados de los primeros ݊ enteros:

Ing. Luis Ernesto Aguilar 4 EL PROBLEMA DEL AREA Y LA INTEGRAL ௡

෍ ݅ଶ ௜ୀଵ

La notación anterior se puede escribir también de forma larga como: ௡

෍ ݅ ଶ = 1ଶ + 2ଶ + 3ଶ + 4ଶ +. . +݊ଶ ௜ୀଵ

Si utilizamos la notación sigma para denotar la sumatoria de los rectángulos circunscritos debajo de la parábola ‫ = ݔ‬0 hasta ‫ݐ = ݔ‬, utilizando un número muy grande de rectángulos entonces tendríamos que: ௡

‫ = ܣ‬lim ෍ ‫ܣ‬௜ ௡→ஶ

௜ୀଵ

En donde ‫ܣ‬௜ denotara el área del ݅݁‫ ݋݉݅ݏ‬rectangulo.

El área debajo de la parábola: Suponga que debemos encontrar el área debajo de la parábola ‫ ݔ = ݕ‬ଶ desde ‫ = ݔ‬0 hasta ‫ݐ = ݔ‬, entonces vamos a circunscribir debajo de la parabola ݊ número de rectángulos, si todos los rectángulos tienen el mismo tamaño de base, entonces esta será: ܾ=

‫ݐ‬−0 ݊

Los primeros rectángulos circunscritos debajo de la parábola serán:

La altura de los primeros tres rectángulos estará dada por:

Ing. Luis Ernesto Aguilar 5 EL PROBLEMA DEL AREA Y LA INTEGRAL ‫ ݐ‬ଶ ℎଵ = ൬ ൰ ݊ ‫ ݐ‬ଶ ℎଶ = ൬2 ൰ ݊ ‫ ݐ‬ଶ ℎଷ = ൬3 ൰ ݊ Por lo tanto el área de los primeros tres rectángulos será: ‫ ݐ ݐ‬ଶ ‫ܣ‬ଵ = ൬ ൰ ൬ ൰ ݊ ݊ ‫ ݐ‬ଶ ‫ݐ‬ ‫ܣ‬ଶ = ൬ ൰ ൬2 ൰ ݊ ݊ ‫ݐ‬ ‫ ݐ‬ଶ ‫ܣ‬ଷ = ൬ ൰ ൬3 ൰ ݊ ݊

Si seguimos encontrando el área de los ݊ rectangulos y luego los sumamos encontraremos el área exacta del área: ‫ܣ = ܣ‬ଵ + ‫ܣ‬ଶ + ‫ܣ‬ଷ + ‫ܣ‬ସ + ‫ܣ‬ହ +. . ‫ܣ‬௡

‫ ݐ ݐ‬ଶ ‫ݐ‬ ‫ݐ‬ ‫ݐ‬ ‫ݐ‬ ‫ ݐ‬ଶ ‫ ݐ‬ଶ ‫ ݐ‬ଶ ‫ ݐ‬ଶ ‫ = ܣ‬൬ ൰ ൬ ൰ + ൬ ൰ ൬2 ൰ + ൬ ൰ ൬3 ൰ + ൬ ൰ ൬4 ൰ +. . + ൬ ൰ ൬݊ ൰ ݊ ݊ ݊ ݊ ݊ ݊ ݊ ݊ ݊ ݊ Simplificando lo anterior se tiene que: ‫ ݐ‬ଷ ‫ ݐ‬ଷ ‫ ݐ‬ଷ ‫ ݐ‬ଷ ‫ ݐ‬ଷ ‫ = ܣ‬൬ ൰ + 2ଶ ൬ ൰ + 3ଶ ൬ ൰ + 4ଶ ൬ ൰ +. . +݊ଶ ൬ ൰ ݊ ݊ ݊ ݊ ݊

‫ ݐ‬ଷ ‫ = ܣ‬൬ ൰ ሺ1 + 2ଶ + 3ଶ + 4ଶ +. . +݊ଶ ሻ ݊ Podemos reemplazar la sumatoria por una notación sigma: ௡

‫ ݐ‬ଷ ‫ = ܣ‬൬ ൰ ෍ ݅ଶ ݊ ௜ୀଵ

Si hacemos que el número de rectángulos sea muy grande entonces: ௡

‫ ݐ‬ଷ ‫ = ܣ‬lim ൬ ൰ ෍ ݅ ଶ ௡→ஶ ݊ ௜ୀଵ

Existe una formula para poder reemplazar esta notación sigma: ௡

෍ ݅ଶ = ௜ୀଵ

݊ሺ݊ + 1ሻሺ2݊ + 1ሻ 6

Ing. Luis Ernesto Aguilar 6 EL PROBLEMA DEL AREA Y LA INTEGRAL Utilizando la formula anterior, entonces tendremos que: ௡

‫ ݐ‬ଷ ‫ ݐ‬ଷ ݊ሺ݊ + 1ሻሺ2݊ + 1ሻ ‫ = ܣ‬lim ൬ ൰ ෍ ݅ ଶ = lim ൬ ൰ ቆ ቇ ௡→ஶ ݊ ௡→ஶ ݊ 6 ௜ୀଵ

Simplificando la expresión anterior se obtiene: ‫=ܣ‬

‫ݐ‬ଷ 1 1 lim ൬1 + ൰ ൬2 + ൰ 6 ௡→ஶ ݊ ݊

El límite anterior se puede evaluar y obtenemos: ‫=ܣ‬

‫ݐ‬ଷ ‫ݐ‬ଷ ሺ1 + 0ሻሺ2 + 0ሻ = 6 3

Con lo cual se concluye que la formula que define el área debajo de la parábola ‫ ݔ = ݕ‬ଶ desde ‫ = ݔ‬0 hasta ‫ ݐ = ݔ‬es la antiderivada de la función evaluada en el límite superior.

El área de un círculo: Utilicemos el cálculo para demostrar que el área de un círculo es ‫ ݎߨ = ܣ‬ଶ : Si inscribimos un polígono de n lados en un círculo de radio r, entonces el área aproximada del círculo será el área del polígono, pero si hacemos que la cantidad de lados del polígono sea muy grande seremos capaces de encontrar el área de un círculo con exactitud, observe lo siguiente: Si inscribimos un polígono de n lados en un círculo obtenemos:

Observe que podemos dividir esto en triángulos:

Ing. Luis Ernesto Aguilar 7 EL PROBLEMA DEL AREA Y LA INTEGRAL Entonces el área del polígono será la sumatoria de los n triángulos inscritos en el. Los triángulos ଶగ tienen la característica que dos de sus lados corresponden al radio, y el ángulo entre estos es ௡ porque estamos dividiendo la circunferencia total en n partes, si tomamos un solo triangulo obtenemos que:

ଵ

El área de este triangulo esta dado por ‫ܾ = ܣ‬ℎ la base será la longitud de un lado del polígono, ଶ dividamos este triangulo en dos partes:

Observe que el ángulo también cambio a la mitad; del teorema de Pitágoras tenemos que la altura del triangulo es: 1 ℎ = ඥ‫ ݎ‬ଶ − ሺܾ/2ሻଶ = ඥ4‫ ݎ‬ଶ − ܾ ଶ 2 Pero observe que también se puede afirmar que: ܾ ߨ ܾ sin ቀ ቁ = 2 = ݊ ‫ ݎ‬2‫ݎ‬ ߨ ܾ = 2‫ ݎ‬sin ቀ ቁ ݊

Por lo tanto obtenemos que: 1 ߨ ଶ ℎ = ඨ4‫ ݎ‬ଶ − ቀ2‫ ݎ‬sin ቀ ቁቁ 2 ݊

Ing. Luis Ernesto Aguilar 8 EL PROBLEMA DEL AREA Y LA INTEGRAL 1 ߨ ଶ ℎ = ඨ4‫ ݎ‬ଶ − 4‫ ݎ‬ଶ ቀsin ቀ ቁቁ 2 ݊

ߨ ଶ 1 ℎ = ඨ4‫ ݎ‬ଶ ൬1 − ቀsin ቀ ቁቁ ൰ ݊ 2 ℎ=

ߨ ଶ 2‫ݎ‬ ඨቀcos ቀ ቁቁ ݊ 2

ߨ ℎ = ‫ ݎ‬cos ቀ ቁ ݊

Entonces el área del triangulo es el medio producto de la base por la altura: 1 ߨ ߨ ‫ = ܣ‬ቀ2‫ ݎ‬sin ቀ ቁቁ ቀ‫ ݎ‬cos ቀ ቁቁ ݊ ݊ 2 ‫ݎ‬ ߨ ߨ ‫ = ܣ‬ቀ2 sin ቀ ቁ cos ቀ ቁቁ 2 ݊ ݊ ‫=ܣ‬

‫ݎ‬ଶ 2ߨ sin ൬ ൰ 2 ݊

Como tenemos n triángulos iguales entonces el área de todos los triángulos es: ‫ܣ‬ሺ݊ሻ = ݊ ቆ

2ߨ ‫ݎ‬ଶ sin ൬ ൰ቇ ݊ 2

Si queremos el área exacta debemos hacer que los triángulos sean tantos como sea posible, es decir: ݊‫ ݎ‬ଶ 2ߨ sin ൬ ൰ ௡→∞ 2 ݊

‫ = ܣ‬lim

En este límite r es constante, por lo tanto podemos decir que: ‫=ܣ‬

‫ݎ‬ଶ 2ߨ lim ݊ sin ൬ ൰ ௡→∞ 2 ݊

Este límite no lo podemos evaluar directamente, por lo tanto recurrimos a la regla de l’Hopital llevándolo a una forma indeterminada: 2ߨ sin ቀ ቁ ‫ݎ‬ଶ ݊ ‫=ܣ‬ lim 2 ௡→∞ 1/݊

Ing. Luis Ernesto Aguilar 9 EL PROBLEMA DEL AREA Y LA INTEGRAL En este paso observe que tenemos una forma indeterminada del tipo 0/0 por lo que procedemos a obtener la derivada del numerador y el denominador: 2ߨ 2ߨ cos ቀ ቁ ቀ− ଶ ቁ ‫ݎ‬ଶ ݊ ݊ ‫=ܣ‬ lim 1 2 ௡→∞ − ଶ ݊ Note que se aplico la regla de la cadena en el numerador, y al simplificar la expresión anterior se obtiene que: ‫=ܣ‬

‫ݎ‬ଶ 2ߨ 2ߨ lim 2ߨ cos ൬ ൰ = ߨ‫ ݎ‬ଶ lim cos ൬ ൰ ௡→∞ ௡→∞ 2 ݊ ݊

De los teoremas de límite sabemos que lim௡→ஶ 1/݊ = 0 por lo tanto obtenemos que: ࡭ = ࣊࢘૛ ‫ܛܗ܋‬ሺ૙ሻ = ࣊࢘૛

Quetzaltenango 15 de octubre de 2010.