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EL PLANO GRUPO I INTEGRANTES: Alvarez Alexis; Guangasi Christian; Moreno Jonathan; Pachucho Nataly; Yanouch Galo; Zamora Misael. Facultad de Ingeniería Civil y Mecánica Universidad Técnica de Ambato Av. Los Chasquis y Río Payamino Ambato-Ecuador E-mail: [email protected] (Zamora Misael)

I.

INTRODUCCIÓN

En el presente informe se ampliará algunos temas básicos de la geometría plana. Aceptar como ciertos postulados que parecen obvios y a partir de ellos demostraremos otros hechos fundamentales. Analizar diversos temas exponerlos y dar ciertas reglas para poder comprender mejor sus funciones y aplicaciones en la Ingeniería Mecánica. Cada tema mostrado tiene sus propiedades diferentes ya que su forma de resolución es diferente y tienen sus propias formulas.

Para ello ha necesitado disponer de alguna superficie sobre la que trazar puntos, líneas, círculos u otras figuras. Desde los petroglifos esculpidos en piedra a las pinturas renacentistas o a los modernos planos utilizados en la arquitectura o la ingeniería, disponemos de innumerables ejemplos de representaciones elaboradas sobre superficies más o menos planas. [1] El plano es por lo tanto un objeto que cobra importancia para la geometría, ya que nos permite representar figuras sobre él. [1] ¿Qué es un plano?

II.

OBJETIVOS

General. Explicar diversos postulados, reglas y fórmulas para poder llegar a una comprensión básica de temas de interés.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

Específicos: • • •

Un plano es una superficie plana que no tiene dimensión en “volumen” y que se extiende infinitamente en todas las direcciones. Se trata, entonces, de un objeto bi dimensional. [1]

Definir cada una de las propiedades de las ecuaciones del plano. Reunir información básica y sencilla para poder dar una fácil comprensión de los temas a tratar. Analizar diversas fórmulas de resolución de problemas investigando en fuentes confiables.

• • • •

Tres puntos no alineados. Una recta y un punto exterior a ella. Dos rectas paralelas. Dos rectas que se cortan. [2]

El plano tiene dos dimensiones: largo y ancho: El plano

III.

EL PLANO

Desde los inicios de la historia, el ser humano ha intentado representar su entorno visual dibujando los objetos y figuras que lo rodean. [1] Imagen 01: Representación del plano (autores)

IV.

ECUACIÓN GENERAL IMPLÍCITA DEL PLANO

O

Dada una dirección en R3, existen infinitos planos perpendiculares a la misma. Si conocemos además un punto del plano, éste queda determinado de forma única. [3] Nos proponemos hallar la ecuación del plano π que pasa por P0(x0,y0,z0) P0(x0,y0,z0) y es perpendicular al vector 𝑛⃗=(a,b,c). El vector n ⃗

se denomina

vector

Ejemplo 01:

Hallar la ecuación del plano perpendicular al vector n= (3,2,1) que pasa por el punto Po(1,1,–1). Las componentes de n→ nos indican los coeficientes a, b y c de la ecuación del plano: π 3x+2y+z+d=0 ¿Cómo hallamos d? El punto debe verificar la ecuación, entonces reemplazamos P0y obtenemos el coeficiente que faltaba: 3.1+2.1–1+d=0 d=3.1+2.1–1

Imagen 02 : Representación del vector n en el espacio [3]

d=-4 Así obtenemos la ecuación del plano:

normal del plano. 3x+2y+z–4=0 Si armamos el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑃𝑜 , éste debe ser paralelo al plano, o sea perpendicular al vector normal del plano:

V.

ECUACIÓN CANÓNICA O SEGMENTARIA DEL PLANO.

Imagen 03: Representación de los puntos (Autores)

Obtenemos la ecuación general de plano:

Ecuación 01: Ecuación general o implícita del plano [1]

La ecuación canónica o segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas. [3]

Su ecuación es:

Ecuación 02: Ecuación general o implícita del plano [1]

Imagen 05: Representación de los puntos en un plano [2] Imagen 04: Representación de la ecuación segmentaria del plano [4]

Ejemplo 02: Hallar la ecuación segmentaria de la siguiente ecuación.

Ejemplo 03: Halla la ecuación vectorial de la recta que pasa por y tiene como vector de dirección

( x, y )  OP  U ( x, y )  2,3    2,1 x, y   2,3    2,1 Ejemplo 04:

VI.

ECUACIÓN DEL PLANO

VECTORIAL

Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección. Para que el punto P pertenezca al plano π el ⃗⃗⃗⃗⃗ tiene que ser coplanario con vector 𝑃𝑋 ⃗ y𝑉 ⃗ . [4] vector 𝑈

Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P= (-2,3) y Q= (1,4) Solución. Para determinar la ecuación vectorial necesitamos un punto y un vector de dirección, el punto lo tenemos y un vector de dirección se puede determinar a partir de dos puntos de la recta ecuación vectorial es:

, luego la

( x, y )  OP  PQ ( x, y )   2,3   3,1 x, y    2,3   3,1 VII.

ECUACIÓN PARAMÉTRICA DEL PLANO

Partiendo de la expresión en coordenadas empleada en la ecuación vectorial, igualamos coordenada a coordenada. Así podemos escribir: [4]

Ecuación 03: Ecuación paramétrica del plano [4]

Hay que tener en cuenta que las ecuaciones anteriores no son únicas, ya que si en lugar   de utilizar la base u , v  usamos otra cualquiera se obtendrá expresiones distintas del mismo plano. [4]

Imagen 06: Representación Ejemplo 07 [Autores]

Los vectores AC y AB son paralelos al plano que pasa por los puntos A, B y C, por lo tanto, podemos tomar

y

.

Ejemplo 05: Determinar la ecuación vectorial y paramétricas del plano que pasa por el punto y es paralelo a los vectores . Solución.

Como punto conocido del plano podemos tomar A, B, C puesto que dicho plano pasa por estos puntos. Dependiendo del punto seleccionado obtenemos diferentes ecuaciones paramétricas para el mismo plano. Las ecuaciones paramétricas del plano no son únicas.

Ecuación vectorial: Ecuación vectorial Las ecuaciones paramétricas del plano son Ecuaciones paramétricas

Ejemplo 06: Determinar la ecuación vectorial y paramétricas del plano que pasa por los puntos A  1,2,3 , B   2,1,0 y

C  3,3,4.

VIII.

ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE

PASA

POR

TRES

PUNTOS.

Solución. Tenemos un plano que pasa por los puntos cuyas componentes son, respectivamente:

Dado los siguientes puntos encontrar la ecuación de la recta que pasa por tres puntos. A= (0,2,1) B= (1,-3,0)

C= (2,1,1)

P= (P1, P2, P3) ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑽 = (𝑽𝟏 𝑽𝟐, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑽𝟑 ) ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑼 ⃗ = (𝑼𝟏 𝑼𝟐, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼𝟑 ) 𝑿 − 𝑷𝟏 𝒀 − 𝑷𝟐 𝒁 − 𝑷𝟑 ⃗𝑽X𝑼 ⃗⃗ =[ 𝑽𝟏 𝑽𝟐 𝑽𝟑 ] 𝑼𝟏 𝑼𝟐 𝑼𝟑 Imagen 07: Representación de un plano con 3 puntos respectivos a un plano. [Autores]

Un punto cualquiera del plano lo representamos con P, cuyas componentes desconocidas son: (X,Y,Z). [2] Sabemos que dos puntos determinan un vector, por ejemplo.

⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 𝐴𝐵 = (1, −3,0) − (0,2, −1) = (1, −5,1) ⃗⃗⃗⃗⃗ = (2,1,1) − (0,2, −1) = (2, −1,2) ⃗ = 𝐴𝐶 𝑈 P=A= (0,2,-1) 𝑋−0 ⃗ x𝑈 ⃗ =[ 1 𝑉 2

𝑌−2 −5 −1

𝑍 − (−1) ] 1 2

2(-5) X + 2(1) (Y-2) + 1(-1) (Z+1) - 2(-5) (Z+1) -2(1) (Y-2) - 1(1) X = 0 -10X +2Y -4 -Z-1+10Z+10-2Y+4+X=0

Hemos estudiado que la forma implícita de la ecuación del plano es:

(-9X+9Z+9 =0) /9 X-Z-1=0

Ejemplo 08: Determinar la ecuación del plano que pasa por tres puntos. P= (1,2-3) Q= (2,3,1) R= (0,2,-1) Si a las componentes de los vectores y los sustituimos por las componentes de cada uno de los tres puntos del plano que conocemos, obtenemos: [5]

⃗⃗⃗⃗⃗ = (2,3,1) − (1,2, −3) = (1,1,4) ⃗ = 𝑃𝑄 𝑉 ⃗ = 𝑃𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑂, −2, −1) − (1,2, −3) = (−1, −4,2) 𝑈

𝑖 ⃗𝑋𝑈 ⃗ =[1 𝑉 −1

𝑗 1 −4

𝑘 4] 2

⃗𝑋𝑈 ⃗ =[1 𝑉 −4

4 1 ] 𝑖 -[ 2 −1

4 1 ] 𝑗 +[ 2 −1

1 ⃗ ]𝑘 −4

⃗ ⃗𝑋𝑈 ⃗ = [2 − (−16)]𝑖 − [2 − (−4)]𝑗] + [−4 − (−1)]𝑘 𝑉 ⃗ =𝑛⃗ ⃗𝑋𝑈 ⃗ = 18𝑖 − 6 𝑗 − 3𝑘 𝑉

Ecuación 04: Ecuación de una erecta que pasa por tres puntos [1]

T= (X, Y, Z) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑇 . 𝑛⃗= (x-1, y-2, z+3). (18,-6,-3)

Ejemplo 07:

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑇 . 𝑛⃗=(x-1).18+(y-2). (-6) +(z+3). (3)

[3] Conamat, «geometria y trigonometria,» de gemetria plana, madrid, pearson, 2009, p. 102.

18x-18-6-12-3z-9=0 (18x-6y-3z-15=0) /3

[4] M. S. S. y. P. E. S. C. Aurelio Baldor, «geometria y trigonometria,» de plana y del esoacio, amsterdan, publicaciones cultura, 1997, p. 210.

6x-2y-z=5

IX.

CONCLUSIONES RECOMENDACIONES

Y

Es necesario comprender y analizar cada uno de las fórmulas expuestas, ya que con su uso correcto podemos desarrollar ejercicios con mayor facilidad. Para hallar la ecuación paramétrica de un plano, debemos siempre partir de su ecuación vectorial para consiguiente igualarla coordenada a coordenada. Tomar muy en cuenta que las bases pueden cambiar y por ende se obtendrá expresiones distintas del plano. Cada ejercicio puede presentar distinta base, pero su procedimiento no se va alterar. Para la determinación de cada uno de los ejercicios es necesario analizar y comprender cada uno de ellos. Para empezar al realizar el cálculo de la ecuación de una recta que pasa por tres puntos, es recomendable empezar por el punto que contenga más ceros o por el punto que contenga valores pequeños, ya que facilita el cálculo.

X.

REFERENCIAS

[1] J. Gómez, J. Navarro, F. García y E. Pina, Matematicas. Profesores de Enseñanza Secundaria, España: MADEduforma. [2] E. d. Oteyza, Geometria analitica y Trigonometria, MÉXICO: PEARSON EDUCATION, 2001.

[5] Á. R. Gómez, «Geometría,» de Geometría paso a paso, lima, tebar, 2000, p. 415.