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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

CONCEPTOS GENERALES EL PLANO

• • • • • •

El plano concepto. Determinación del plano. Rectas notables en el plano. Líneas notables en el plano. Posiciones particulares del plano. Plano de canto.

• Verdadera magnitud de un plano. • Orientación y pendiente de un plano. • Recta de máxima pendiente. • Problemas de aplicación.

Ubicar los puntos en la planimetría y representar en las vistas principales y auxiliares usando los sistemas de proyección en el primer y tercer cuadrante.

DEFINICIÓN Cuando se habla de un plano, se está haciendo referencia a la superficie geométrica que no posee volumen (es decir, que es sólo bidimensional) y que posee un número infinito de rectas y puntos que lo cruzan de un lado al otro.

Ejemplos de perspectiva de planos

A) DETERMINACIÓN DE UN PLANO

POSICIONES DE UN PLANO

POSICIONES DE UN PLANO

Proyecciones de planos determinados • En general las proyecciones de 3 puntos no colineales unidos por rectas (triángulo ABC) nos determinará un plano.

• Cuando dos rectas (AHBH y CHDH) se cortan forman un plano y también sus proyecciones (AFBF y CFDF).

Proyecciones de planos determinados

• Una recta (BHCH) y un punto (AH) determinan un plano y también sus proyecciones la recta (BFCF) y el punto (AF).

• Dos rectas paralelas (AHBH y CHDH) determinarán un plano y también sus proyecciones (AFBF y CFDF).

EJEMPLO 1: AS y RB son dos rectas que se cortan, completar la proyección del punto R. PROCEDIMIENTO SH

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

BH

RH AH

H F AF BF SF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a) Se forma un plano (cuadrilátero ABSR), y se ubica el punto de intersección IH. SH

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

IH

RH

BH

AH

H F AF BF SF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

b) Luego se proyecta a través de líneas de referencia el punto IH al plano F y se ubica la intersección de esta con la línea AFSF. SH

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

IH

RH

BH

AH

H F AF I

F

BF SF

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

c) Luego del punto BF se traza una línea que pase por IF hasta la intersección con la línea de referencia del punto R y así ubicamos RF. SH

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

IH

RH

BH

AH

H F AF I

F

BF SF

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B) RECTAS CONTENIDAS EN UN PLANO

RECTAS CONTENIDAS EN UN PLANO: Una recta está contenida en un plano, si corta a dos rectas del plano en dos puntos diferentes.

A

• • • • •

PLANO: ABC. RECTA: MN. X E AB, X E MN. Y E EC, Y E MN. MN E ABC.

Y X

N

M C

B

Rectas contenidas en un plano Una recta RS esta contenida en un plano ABC, si corta a dos rectas del plano AB y BC en dos puntos diferentes X e Y

RECTA CONTENIDA EN UN PLANO BH

Caso 1

MH

NH

CH

AH

H F AF

CF

BF

Paso 1 Una recta cualquiera, en este caso MHNH, está contenida en un plano, si pasa por dos puntos que pertenece al plano AHBHCH.

BH

Paso 2

MH NH

CH

AH

H F AF

CF

NF MF BF

La recta MHNH que pertenece al plano aparecerá en todas las vistas auxiliares al plano al proyectarlas.

Rectas contenidas en un plano Una recta está contenida en un plano si pasa por un punto que pertenece a un plano y es paralela a una recta que está contenida en dicho plano. Cuando dos rectas son paralelas, lo son en todas sus proyecciones.

Caso 2

BH

RH

Paso 1

XH SH AH

CH

H F BF

CF AF

Una recta está contenida en un plano, si pasa por un punto, en este caso XH, que pertenece a un plano y es paralela a una recta que está contenida en dicho plano. Cuando dos rectas son paralelas, lo son en todas sus proyecciones.

Paso 2

BH RH XH SH AH

CH

H F

BF SF

XF RF CF AF

• La recta RS corta al plano en los puntos XY que pertenecen a los lados AB y BC del plano ABC. • Hallada la proyección horizontal XH dicha proyección en el plano F se hallarán también en forma paralela ala lado AFCF, así quedará determinado que la recta esta contenida en el plano y será paralela en todas sus proyecciones.

RECORDANDO: así como hay rectas notables también hay planos notables.

posiciones particulares de la recta  En relacion de paralelismo con los plano H - F - P se subdivide en 3: AH

AH BH

H

B H H F B

F

BP

F

AF

BF

BP

A

AP

F

F P

Recta Horizontal

Recta Frontal

AP F P

Recta de perfil

RECORDANDO:

así como hay rectas notables también hay planos

notables.

 En relación de perpendicularidad con los plano H - F – P se subdivide en 3:

Recta Vertical

Recta Normal

Recta Ortoperfil

RECTA NOTABLES DE UN PLANO Recta Horizontal: Se proyecta en verdadera magnitud en el plano “H”. En el plano frontal se ve paralela a la línea de pliegue H/F.

ESTA RECTA NOS DARA LA ORIENTACIÓN DEL PLANO.

Carretera vista Horizontal

Recta Frontal: Se proyecta en verdadera magnitud en el plano frontal y se ve paralela a la línea de pliegue H/F.

Vista frontal de una catarata

Recta De Perfil: Se proyecta en verdadera magnitud en el plano de perfil, paralela a la línea de pliegue F/P.

RECTA NOTABLES Propiedad de la recta

Frontal

Horizontal

De Perfil

•Es paralela al P-proyeccion y en el se proyecta en V.M.

F

H

P

Se muestra paralela ala L.p en el plano de proyección

H-F F

F-H F

F-P F

alejamiento

cota

apartamiento

Todos sus puntos tienen igual….

RECTA NOTABLES DE UN PLANO

RECTA CONTENIDA EN PLANO: HORIZONTAL

RECTA CONTENIDA EN PLANO: FRONTAL

RECTA CONTENIDA EN PLANO: DE PERFIL

HUESOS DE LA CARA

ESTRATOS INCLINADOS

ESTRATOS HORIZONTALES

PUNTOS CONTENIDOS EN UN PLANO Un plano contiene infinitas rectas Frontales, Horizontales y de Perfil, y también infinitos puntos Un punto pertenece a un plano si esta contenido en una recta del plano.

C) PUNTOS PERTENECIENTES A UN PLANO

Si un punto pertenece a un plano, dicho punto pertenecerá también a cualquier recta que esté contenida en el plano, siempre que la recta pase por dicho punto.

BH

Determinar la proyección frontal del punto P

PH

CH

AH

H F AF

CF

BF

BH

RH XH

PH

Paso 1

YH

SH

CH

AH

H F AF

CF

BF

Se ubica la recta RS que pase por P y que cortan en los puntos X en lado AB y Y en el lado BC del plano ABC.

BH

RH

Paso 2

XH YH

SH

CH

AH

H

Se proyecta la recta RHSH al plano de proyección Frontal.

F AF

CF SF YF

RF

XF BF

BH

RH XH

PH

Paso 3

YH

SH

H

Desde el punto PH se traza la línea de referencia hasta cortar a la recta RFSF

CH

AH

F AF

CF SF YF

RF

XF BF

BH

RH XH

PH

Paso 4 YH SH

CH

AH

H

Se determina punto PF

F AF

CF SF PF YF

RF

XF BF

el

EJEMPLO 1: Graficar la proyección frontal del punto P sabiendo que se encuentra contenida en el plano ABC. PROCEDIMIENTO: a) Plano ABC y punto P.

PH

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3

B

H

A

H

CH H F B

F

2 1

CF AF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

b) Se traza la recta CHPH, determinando XH en AHBH.

PH

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3

B

H

X

H

A

H

CH H F B

F

2 1

CF AF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

c) Se ubica XF.

PH

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3

B

H

X

H

A

H

CH H F B

F

XF

2 1

CF AF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

d) En la prolongación de la recta CFXF se encuentra el punto PF.

PH

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3

B

H

X

H

A

H

CH H F B

P

F

F

XF

2 1

CF AF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

POSICIONES PARTICULARES DEL PLANO  En relación de paralelismo con los plano H - F – P se subdivide en 3: - Plano Horizontal - Plano Frontal - Plano de Perfil  En relación de perpendicularidad con los plano H - F - P se subdivide en 3: - Plano Vertical - Plano Normal - Plano Ortoperfil

D) POSICIONES PARTICULARES DE UN PLANO POR PARALELISMO Plano Horizontal: Es un plano paralelo al plano “H” de proyección, se proyecta en verdadera magnitud en el plano “H” y de canto en el plano frontal y paralela a la línea tierra; todos los punto del plano tienen cotas iguales.

Plano Frontal: Es un plano paralelo al plano frontal, se proyecta en verdadera magnitud en dicho plano y de canto en el plano “H”; todos los punto del plano tienen alejamientos iguales.

Plano De Perfil: Es un plano paralelo al plano de perfil, se proyecta en verdadera magnitud en dicho plano y de canto en el plano frontal; todos los punto del plano tienen apartamientos iguales.

• RELACIÓN DE PARALELISMO:

PROPIEDAD DE LA RECTA

FRONTAL

HORIZONTAL DE PERFIL

Es el plano paralelo F al plano … y en él se proyecta en V.M.

H

P

Se muestra de canto en … y paralelo a la línea de pliegue …

H H–F

F H–F

FYP F–P

Todos, sus puntos tienen igual …

Alejamiento

Cota

Apartamiento

Vista Horizontal

Vista Frontal

Vista de Perfil

POSICIONES PARTICULARES DE UN PLANO RELACIÓN DE PARALELISMO

E) POSICIONES PARTICULARES DE UN PLANO POR PERPENDICULARIDAD Plano Vertical: Es un plano que se muestra perpendicular al plano “H”, por lo que se proyectara de canto en dicha vista.

Plano Normal: Es un plano perpendicular al plano frontal proyectándose de canto en ella.

Plano Ortoperfil: Perpendicular al plano de perfil, se proyecta de canto en dicho plano.

• RELACIÓN DE PERPENDICULARIDAD:

PROPIEDAD DEL PLANO

NORMAL

VERTICAL

ORTOPERFIL

Perpendicular al plano

F

H

P

Se proyecta de canto en …

P – proy. F

P – proy. H

P – proy. P

POSICIONES PARTICULARES DE UN PLANO RELACION DE PERPENDICULARIDAD

VERDADERA MAGNITUD DE UN PLANO: • Un plano se proyecta en V.M. cuando es paralelo al plano de proyección (AFBFCF // AF F/H).

H F

AF

BF

CF

• En todo plano que se proyecta en verdadera magnitud todos sus componentes también estarán en verdadera magnitud. • Se puede calcular perímetro y área.

CH A H

B

H

H F

AF

BF

CF

• Si un plano ABC se proyectase en verdadera magnitud en un plano de proyección tal como H, entonces en todos los planos de proyección adyacentes al plano de proyección H, el plano ABC se proyectará de canto y paralelo a la línea de pliegue. C1

A2 1

H

2 H

B2 C2

B1 A

1

CH A H

B

H

H F

AF

BF

CF

F) PLANOS DE CANTO EN VISTAS AUXILIARES

Para hallar la proyección de un plano de canto en una vista, es necesario y suficiente hallar en dicha vista una recta del plano como punto.

Paso 1

Ubicamos en el plano ABC una recta MN y ubicamos sus proyección horizontal y frontal.

Paso 2

Trazamos una línea de pliegue paralela ala recta MHNH para hallar la verdadera magnitud de la recta.

Paso 3 • Luego trazamos una línea de pliegue perpendicular a la recta M1N1, la cual se encuentra en verdadera magnitud. •

En el plano 2 la recta M2N2 se proyecta como punto y el plano A2B2C2 se proyecta de canto.

Si una recta xy contenida en el plano

abc se proyecta como un punto, entonces el plano abc se proyectará de canto (como una línea plano de proyección 4). Plano de proyección 3 la

recta xy se proyecta en verdadera magnitud

MÉTODO DIRECTO

En general, para lograr la proyección de canto de un plano, se delinea una recta notable del plano y luego se traza un plano auxiliar mediante una línea de pliegue perpendicular a la VM de la recta notable, en dicho plano la recta notable se proyectará como punto y, también, el plano de canto.

Paso 1 Teniendo la vista horizontal y frontal, trazamos una recta paralela AHNH a la línea de pliegue H-F y la proyectamos en verdadera magnitud en el plano H.

Recordando:

- Que una recta se verá en VM, cuando su proyección en el plano adyacente se paralela a la línea de pliegue.

Paso 2 • Posteriormente ubicaremos una línea de pliegue H-1 perpendicular a la recta AHNH. • Trazamos las proyecciones de los puntos, según las distancias medidas de “a” y “b”. • El plano se logrará observar de canto y A1N1 como un punto.

PLANO DE CANTO METODO DIRECTO

Otra forma Paso 1 Teniendo la vista horizontal y frontal, trazamos una recta paralela NHCH a la línea de pliegue H-F y la proyectamos en verdadera magnitud en el plano F.

Paso 2 • Posteriormente ubicaremos una línea de pliegue F-1 perpendicular a la recta CFNF. • Trazamos las proyecciones de los puntos, según las distancias medidas. • El plano se logrará observar de canto y N1C1 como un punto.

G) VERDADERA MAGNITUD DE UN PLANO PROCEDIMIENTO

Recordar:  Procedimiento de planos auxiliares para obtener la VM de una recta: La recta AB se proyectará en VM si trazamos una línea de pliegue paralela a su proyección (sea en H o F)

CASO 1: Se tiene las proyecciones horizontal y frontal de la recta AB. Hallar su verdadera magnitud.

BH AH H F BF AF

Se traza la línea de pliegue H1 paralelo a la proyección horizontal de la recta AB

BH AH H F BF AF

Se trazan líneas paralelas a la línea de pliegue H1 que parten desde la proyección horizontal de la recta AB.

BH AH H F BF AF

Se traslada la medida del punto AF y BF hasta la línea de pliegue H-F

A1

B1

X

Y BH AH H X

F BF

Y AF

Al unir las proyecciones de los puntos A y B en la vista 1, se obtiene la Verdadera Magnitud de la recta AB.

B1

A1

BH AH H F BF AF

a). Procedimiento de los planos auxiliares: Se procede hasta proyectar el plano de canto. Se traza un nuevo plano auxiliar mediante una línea de pliegue paralelo al plano de canto, en dicho plano adyacente, el plano se proyecta en verdadera magnitud.

EJEMPLO: Hallar la verdadera magnitud del plano “ABC”

PASO 1: Se traza una recta AFNF paralela al pliegue H-F.

PASO 2: Se proyecta la recta AFNF al plano H, esta se proyectara en verdadera magnitud.

PASO 3: Se traza un pliegue H-1 perpendicular a la proyección a la recta AHNH.

PASO 4: La recta AHNH se proyecta como un punto y por efecto el plano ABC se proyecta de canto .

Y

Y

PASO 5: Se traza un pliegue 1-2 paralelo al plano de canto.

PASO 6: Y por ultimo se proyecta el plano en verdadera magnitud.

PROPIEDADES DE LAS RECTAS NOTABLES: PROPIEDAD DE FRONTAL HORIZONTAL DE PERFIL LA RECTA Es paralelo al plano de proyección … y en él se proyecta en V.M.

F

H

P

Se muestra paralela a la línea de pliegue … en el plano de proyección …

H–F H

F–H F

F–P F

Alejamiento

Cota

Apartamiento

Todos, sus puntos tienen igual …..

PROYECTAR EL PLANO “1234” EN VERDADERA MAGNITUD

1H2H // 3H4H // Lp H/F

3F4F Se encuentra en VM

En el plano de proyección 1 el plano se encuentra de canto y en el plano de proyección 2 el cuadrilátero 1234 se proyecta en verdadera magnitud

VERDADERA MAGNITUD DEL PLANO 123

VERDADERA MAGNITUD PLANO 123

b). Procedimiento de la “diferencia de cotas”

Dadas las proyecciones de un plano ABC, con el auxilio de un cuadrante y teniendo en cuenta la diferencia de cotas y la proyección horizontal de las rectas que limitan el plano, determinamos la verdadera magnitud de estas rectas y por construcción, la verdadera magnitud del plano dado.

RECORDAR:

 Procedimiento de diferencias de cotas para obtener la VM de una recta. Se mide la longitud horizontal de la recta AB (Lh AB) BH AH H F AF BF

L.h.(AB) : longitud horizontal

Se mide la distancia de los puntos A y B hacia la línea de pliegue HF, obteniéndose las cotas X e Y.

BH AH H F

X Y AF BF

Al restar las cotas X e Y, se obtiene la diferencia de cotas, necesario para este procedimiento.

BH AH

D.c.(AB)=Y - X

H F

X

Y

AF

D.c.(AB) BF

D.c.(AB): difencia de cotas de A y B L.h.(AB): longitud horizontal de A y B

VERDADERA MAGNITUD DE UNA RECTA MÉTODO DEL DIAGRAMA DE VERDADERA MAGNITUD A DcAB

AH

B

BH

Lh AB = AHBH También se puede determinar la V.M. de una recta usando el siguiente triangulo. Diferencia de alejamientos

Longitud frontal

Ejemplo: Determinar la VM del plano “ABC” utilizando el método de diferencia de cotas.

Paso 1: Primero se mide la diferencia de cotas (en el plano frontal).

 Diferencia de cotas.

PASO 2: Luego la distancia de la proyección horizontal.

 Distancia de las proyecciones horizontales.

PASO 3: Se transporta la d.c y la p.h. de las respectivas rectas.

PASO 4: Se unen las d.c. y p.h. de las respectivas rectas para formar la V.M. de ellas.

PASO 5: Una vez obtenido las V.M. de las rectas procedemos a formar el plano, se traza la recta AB, en verdadera magnitud, en el espacio.

PASO 6: Desde el punto B, se traza una circunferencia de radio (V.M. de BC).

PASO 7: Desde el punto A, se traza una circunferencia de radio (V.M. de AC).

PASO 7: El punto de intersección de las dos circunferencias será el punto C.

PASO 8: Unimos los puntos formando así el plano ABC en V.M.

NOTA: Este procedimiento determina la verdadera magnitud del plano, no su ubicación espacial.

c) Método de giros  Haciendo uso de un plano auxiliar, proyectamos de canto el plano dado.  Luego giramos este plano con respecto a un eje de giro de manera que el plano de canto sea paralelo a la línea de pliegue (entonces en la vista anterior se proyectara en verdadera magnitud.

Ejemplo: Hallar el plano “ABC” en verdadera magnitud. Por el método de giros.

Se proyecta el plano de canto, para eso primero se debe trazar una recta horizontal.

Recta horizontal en VM

Se lleva el plano a una vista auxiliar “1” tal que se vea de canto.

Se gira el plano (proyectado de canto) sobre un eje. Se toma “c” como eje; el plano debe quedar paralelo a la línea de pliegue H/1.

Nota: Si un plano ABC se proyectase en verdadera magnitud en un plano de proyección tal como H, entonces en todos los planos de proyección adyacentes al plano de proyección H, el plano ABC se proyectará de canto y paralelo a la línea de pliegue.

H) ORIENTACIÓN DE UN PLANO La orientación de un plano esta determinado por la orientación de una recta horizontal contenida en el plano. • La orientación de un plano se ve únicamente en la proyección horizontal. • Para la nomenclatura se especifica primero si va al norte o al sur y luego al este u oeste. ejemplo: N αº E. • La orientación de un plano esta definida por una recta horizontal contenida en el plano.

Ejemplo: Si en el plano ABC se toma el sentido AX , plano de nuestro ejemplo tiene una orientación S E. Si se tomara en sentido XA , la orientación debiera ser ; N O.

PENDIENTE DE UN PLANO Es la tangente del ángulo de inclinación, queda definida por el ángulo entre el plano dado y el plano horizontal ; lo que puede expresarse en grados o en porcentaje ABCD=Plano cualquiera ABFE=Plano horizontal θ=Ángulo en grados de la R.M.P La pendiente de un plano se halla en un plano de elevación ( perpendicular al plano de proy. H). en donde se debe proyectar de canto Convencionalmente el sentido de la recta de máxima pendiente del plano se consideran hacia abajo.

PENDIENTE DE UN PLANO

PENDIENTE DE UN PLANO



Es la tangente del ángulo de inclinación, que hace un plano dado respecto a un plano horizontal (o una paralela a este plano) se expresa como porcentaje o en grados sexagesimales.

Tan(51°)= Pendiente del plano ABC.

J) RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE

Analíticamente la recta de máxima pendiente de un plano se determina respecto un plano horizontal cualquiera, y esta dado por una recta contenida en aquel plano, que hace con su proyección ortogonal en el plano horizontal, un ángulo cuya tangente es máxima.

J) RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE (RMP) a.-Es la recta contenida en el plano , perpendicular a todas las rectas horizontales del plano. b.-La pendiente del plano será igual a la pendiente de la R.M.P y no habrá otra recta que tenga mayor pendiente.

RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE (RMP) c.-En un plano de elevación donde la R.M.P se encuentre en V.M. , el plano se mostrara de canto d.-El sentido en que baja la R.M.P. nos indica el sentido en que baja el plano e.-La R.M.P es la dirección que seguirá una bolita , si se dejara rodar libremente en el plano

RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE (RMP)

EJEMPLO :Ubicar la recta de máxima pendiente (R.M.C) PASO 1: Tenemos un triangulo ABC.

PASO 2: Trazamos una recta paralela ala linea de pliege H/F en el plano F.

PASO 3: Trazamos las líneas de referencia hacia el plano H y luego ubicamos la recta en V.M.

PASO 4: Trazamos una recta perpendicular a la recta en V.M a la que denominamos recta de máxima pendiente R.M.P.

Pendiente del Plano procedimiento. Determinación de la pendiente del plano , a partir de una recta notable. Para ver la pendiente , es necesario que el plano se presente de canto en una vista de elevación ( plano de proyección adyacente al plano horizontal).

Orientación : NβO o SβE Pendiente : ΘNE o X/Y × 100 NE

Pendiente del Plano procedimiento. b.- Se traza una recta horizontal A1 c.- En P-proy.1 perpendicular a A1 , A 1 de punta y el plano ABC de canto , mostrando su pendiente

Orientación : NβO o SβE Pendiente : ΘNE o X/Y × 100 NE

Nomenclatura: Θ NE .

(vista horizontal) cuadrante del sentido de la R.M.P es perpendicular a la recta horizontal

(vista de elevación) ángulo que forma el plano que se proyecta de canto con la línea de pliegue

Método del diagrama de V.M de la R.M.P Se halla la pendiente del plano ABC ( no usar vistas adicionales) Procedimiento: a) Se traza una recta horizontal AF1F,

b) En el plano H, se construye una RMP ( JHkH), perpendicular a la recta AH1H , se completa la proyección F de la RMP (JFKF) c) Se aplica el diagrama de V.M (diferencia de cotas, longitud horizontal y verdadera magnitud), y se mide el ángulo “α” d)Se determina el sentido de la RMP Respuesta :αNO

NOMENCLATURA DE LA PENDIENTE Y RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE DE UN PLANO

Se nota primero el ángulo que forma el plano respecto al plano horizontal y luego la dirección en que se baja la recta de máxima pendiente (Que se lee en el plano H). Así, la pendiente y la recta de máxima pendiente del plano ABC (Ejemplo 3.12), es Θ SE.

DETERMINACIÓN DE LA PENDIENTE Y LA RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE

a). POR EL PROCEDIMIENTO DE PLANOS AUXILIARES Se proyecta el plano de canto en una vista de elevación (adyacente al plano H). En dicha vista el canto mostrara la amplitud del ángulo de inclinación con respecto a la horizontal o paralela a ella.

Ejemplo: Determinar la orientación, la pendiente y la máxima pendiente del plano “ABC”.

PASO 1: Se traza la orientación del plano, dada por una recta en la horizontal tal como BR, N βº O.

PASO 2: El plano ABC se proyecta de canto en la vista auxiliar “1” , advirtiéndose el ángulo de inclinación θº que hace el plano dado respecto al plano horizontal.

La dirección en la que baja la Recta de Máxima Pendiente se indica con una flecha en el plano “H”.

“KB” es la dirección en que baja la recta de máxima pendiente, perpendicular a “RC” que es una recta horizontal contenida en el plano “ABC”.

Ejemplo: Las proyecciones horizontal y frontal del plano ABC, son simétricas con respecto a la línea de pliegue H/F. Determinar en el espacio descrito por el plano ABC; sus características: orientación y pendiente. Dato:

Paso 1. Se traza la línea de pliegue H/F. Luego se traza la línea AX horizontal (en la proyección H esta se encontrará en verdadera magnitud). A continuación se traza el pliegue H/1 perpendicular a la verdadera magnitud.

Paso 2. Se proyecta el triángulo ABC de canto, en el plano auxiliar 1.se traza una línea paralela a H/1, y se determina la pendiente de 100%.

Paso 3. La orientación que toma el plano es al este. El segmento 1,2 proyectado en la horizontal es la recta de máxima pendiente. Características: Orientación: este Pendiente: 100% norte

b) POR CONSTRUCCIONES AUXILIARES O DIFERENCIA DE COTAS. Teniendo en cuenta el criterio de que una recta de máxima pendiente es perpendicular a todas las horizontales contenidas en el plano, realizamos las auxiliares pertinentes.

Ejemplo: determinar, la pendiente y la Recta de Máxima Pendiente del plano “ABC”

K) TEORIA DE LOS PLANOS BISECTORES

Es aquel que biseca a los principales planos de proyección distinguiéndose dos tipos de planos caracterizados cada uno de ellos por diferente orientación de la recta de máxima pendiente (mientras que uno de ellos tiene 45 Norte , el otro tiene 45 Sur).

a) PLANO BISECTOR 45 NORTE

Las rectas, los planos, las circunferencias, etc, contenidos en todo plano de pendiente 45 Norte , tienen sus proyecciones en H y F simétricas a la línea de pliegue común.

b) PLANO BISECTOR 45 SUR

Las rectas que no tengan pendiente cero, o aquellos que limitan un plano contenido en un plano 45 Sur tienen sus proyecciones en H y F mutuamente paralelas.

Graficar el sólido en una vista auxiliar donde el plano A se proyecte en verdadera magnitud



En el plano de proyección frontal el plano A se proyecta de canto. La línea visual debe ser perpendicular al plano de canto A



Las líneas de referencia deben ser perpendicular es al plano de canto A



La línea de pliegue (plano de referencia) ha sido colocada en la parte superior de la vista horizontal.



En la vista auxiliar 1 se traza la línea de pliegue (línea de referencia) perpendicular a las líneas de referencia.



PASO 4

Se trasladan los alejamientos correspondie ntes de la profundidad







Proyección de los ejes de una tuerca hexagonal. El eje ab se encuentra en posición especial (en la proyección frontal la recta se está proyectando como un punto – recta normal)

Proyección frontal y horizontal de la tuerca.

Proyecciones de la tuerca sin considerar el agujero.

Proyección completa de la tuerca

140

141

LA TORRE EIFFEL