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• Elian Masat Snaider

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Ejercicios unidad 2 Archivo Unidad 4 IV. 9. Problemas 1. De una caja que contiene 4 monedas de diez centavos y 2 de cinco centavos, se seleccionan al azar tres monedas sin remplazo. Construya la distribución de probabilidades de la variable aleatoria T: el total de las tres monedas. 2. De una caja que contiene cuatro bolas negras y dos verdes, se extraen tres de ellas en forma sucesiva y se regresan a la caja antes de realizar la siguiente extracción. Encuentre la función de probabilidades de la variable aleatoria X: el número de bolas verdes. 3.

Sea W una variable aleatoria que representa el número de caras menos el número de cruces en tres lanzamientos de una moneda. Haga una lista de los elementos del espacio muestral S para los 3 lanzamientos de la moneda y asigne un valor w de W a cada punto muestral.

4. Encuentre la distribución de probabilidades de la variable aleatoria W del ejercicio anterior, suponiendo que la moneda está alterada de manera que es doblemente probable que ocurra un cara que una cruz. 5. Un envío de 7 aparatos de televisión contiene 2 defectuosos. Un hotel adquiere en forma aleatoria 3 de los aparatos. Si X es el número de aparatos defectuosos adquiridos por el hotel, encuentre la distribución de probabilidades de X. 6. Se extraen tres cartas sin reemplazo en forma sucesiva de un mazo. Encuentre la distribución de probabilidades del número de espadas. 7. Un dado tiene una cara roja, dos verdes y las tres restantes negras. Se lanza el dado una vez. Si sale rojo usted gana $2 y si sale verde gana $0.50. ¿Cuánto debería pagar usted si sale negro para que el juego fuera equitativo? 8. El dado del ejercicio anterior se lanza dos veces. Si en los dos lanzamientos aparece el mismo color usted gana $11; en caso contrario pierde $7. ¿Cuál es el valor esperado de este juego?. 9. Una caja contiene 4 bolas rojas y 6 azules. Se sacan 3 bolas sucesivamente con sustitución. Si usted gana $2 por cada bola roja y $1 por cada bola azul, ¿Cuánto debería pagar por el derecho a jugar para que el juego fuese equitativo? 10. Si en el ejercicio anterior las tres bolas se sacan sin remplazo ¿Cuánto debería ser el pago por el derecho a jugar?

11. La distribución de probabilidades de X, que es el número de defectos por cada 10 metros de una tela sintética en rollos continuos de anchura uniforme, está dada por: x 0 1 2 3 4 f(x) 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01 Construya la función de distribución acumulada de X. 12. Se sabe que un grupo de 4 componentes contiene 2 defectuosos. Un inspector prueba los componentes uno por uno hasta encontrar los dos defectuosos. Una vez encontrado el segundo defectuoso se concluye la prueba. Sea Y el número de pruebas necesarias hasta encontrar el segundo defectuoso. Encuentre la distribución de probabilidades de Y. 13. Al examinar pozos de agua en un distrito, con respecto a dos impurezas encontradas frecuentemente en el agua potable, se encontró que el 20% de los pozos no revelaban impureza alguna, el 40% tenían la impureza A, y el 50% la impureza B (algunos tenían ambas impurezas.). Si se selecciona un pozo del distrito al azar, encuentre la distribución de probabilidades para Y: el número de impurezas encontradas en el pozo. 14. Considere un sistema de agua que fluye a través de válvulas de A a B. (Véase el diagrama).

Las válvulas 1,2 y 3 funcionan independientemente y cada una se abre correctamente mediante una señal con una probabilidad de 0.80. Encuentre la distribución de probabilidades para Y: el número de vías abiertas de A a B después de haber enviado la señal. (Obsérvese que Y puede tomar los valores 0, 1 y 2). 15. En un problema de una prueba aplicada a niños pequeños, se les pide que hagan corresponder cada uno de los tres dibujos de animales con la palabra que identifica a ese animal. Si un niño asigna aleatoriamente las tres palabras a los tres dibujos, encuentre la distribución de probabilidades para Y: el número de correspondencias correctas. 16. Cinco pelotas numeradas 1,2,3,4 y 5 se encuentran en una urna. Se sacan dos pelotas al azar de las cinco y se anotan sus números. Encuentre la distribución de probabilidades para lo siguiente: a) El mayor de los números seleccionados

b) La suma de los dos números seleccionados. 17. Con el propósito de verificar la exactitud de sus estados financieros, las compañías tienen auditorías permanentes para verificar los asientos contables. Supóngase que los empleados de una compañía efectúan asientos erróneos en el 5% de las veces. Si un auditor verifica tres asientos al azar: a) Encuentre la distribución de probabilidades para Y: el número de errores detectados por el auditor. b) Encuentre la probabilidad de que el auditor detecte más de un error. 18. A un trabajador de un establecimiento de lavado de automóviles se le paga según el número de autos que entran al servicio. Suponga que las probabilidades de que el trabajador reciba $7, $9, $11, $13, $15 o $17 son, respectivamente, 1/12, 1/12, ¼, ¼, 1/6 y 1/6. Determine la ganancia esperada del trabajador. 19. Una empresa de inversiones ofrece a sus clientes bonos especiales, los cuales vencen al cabo de algunos años. Considerando que la función de distribución acumulada de X: número de años al vencimiento para un bono elegido al azar es: si x < 1 0 1/ 4 si 1 ≤ x < 3  F ( x) = 1/ 2 si 3 ≤ x < 5 3 / 4 5 ≤ x < 7  x≥7 1 Encuentre: a) P(X=5) b) P(X>3) c) P(1.4 0 si x ≤ 0

Determinar el calor de “c” tal que P(x>c)=0.5. 11. Sea X una variable aleatoria continua, cuya función de densidad es: 6 x − 6 x 2 f (x) = 0

si 0 ≤ x ≤1 para otros valores de x

Obtener: a) La función de distribución acumulada. b) La esperanza de X. c) 7. 8.

1

P( x ≤ 2 | x ≥ ) 3

Sea X una variable aleatoria continua con función: 0.05  f ( x ) = 0.05 + kx  0

si - 2 ≤ x < 0 si 0 ≤ x ≤ 2 para otros valores

a) Encontrar el valor de k para que se función de densidad. b) Calcular la desviación estándar. 9. Sea X una variable aleatoria continua con función: 10. ax 2  f ( x ) = a + ax 0 

si - 2 ≤ x < 0 si 0 ≤ x ≤ 2 para otros valores

a) Calcular la constante “a” de forma que se tenga una función de probabilidad. b) Calcular la esperanza y variancia de X. c) Calcular P (0 ≤ x ≤ 0.5) 11. Sea X una variable aleatoria continua, con la siguiente función de densidad: 12. x si 0 ≤ x ≤ 4 16  f ( x ) = 8 − x si 4 < x ≤ 8 0 16 para otros valores   a) Determinar la función de distribución correspondiente b) Calcular P ( x ≤ 6)

15. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad: si - 1 ≤ x < 0 0.2  f ( x ) = 0.2 + 1.2 x si 0 ≤ x ≤ 1  en otros lugares 0 Obtener la función de distribución. 13. Sea f(x) una función de probabilidad dada por: 14. 2 − x   4 f ( x ) = x − 3 0  

si 0 ≤ x ≤ 2 si 3 ≤ x ≤ 4 en otros lugares

a) Encontrar la función de distribución acumulada. b) Calcular P (1 ≤ x ≤ 3.5) 17. Si la función de densidad de una variable aleatoria continua X está dada por: 18. si 0 < x ≤ 1 x  f ( x ) = 2 − x si 0 < x < 2  en otros lugares 0 Calcular: a) La función de distribución F(x) b) La media y la variancia de X c) P(0.2µ + σ ) b) P(-5 ≤ x ≤ -2)

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Sea X una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo [0, b]. a) Obtener el valor de b si se sabe que P(x ≤ 1)=0.1 b) Calcular P(x ≥ 7) Suponga que X está distribuida uniformemente en el intervalo [ -α , α ] , en donde α >0 . Determinar el valor de α de modo que satisfaga que P(x ≥ 1)= 13 .

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Sea X una variable aleatoria continua con distribución uniforme, con media uno y variancia 4/3. Determinar P(xc) = 0.5

29. Considérese un equipo de radar cuyo comportamiento de fallas se apegue a una distribución exponencial. Si el radar falla en promedio una vez cada 10 horas, encontrar el valor del tiempo t, tal que haya una probabilidad de 0.9 de que el radar funcione satisfactoriamente durante un tiempo mayor que t. 30. El tiempo que transcurre para que una persona sea atendida en un restaurante es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con media de 4 minutos. ¡Cuál es la probabilidad de que: a) ¿una persona sea atendida en menos de 3 minutos? b) si van 5 veces al restaurante, en 3 de ellas atiendan en menos de 3 minutos? 31. Sea X una variable aleatoria que se distribuye uniformemente en el intervalo [1, 3 y sea Y otra variable aleatoria continua que se distribuye exponencialmente con media λ . 2 2 Encontrar el valor de λ tal que σ x = σ y . 32. El tiempo para que falle cierto transistor de una televisión se comporta como una distribución exponencial con media de 750 horas. Se seleccionan 10 de estos componentes ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad de ellos duren cuando menos 700 horas? 33. La falla de una resistencia en un circuito electrónico X está distribuida uniformemente en el intervalo [0, 2] y la falla en un condensador Y en el mismo circuito se distribuye exponencialmente con media λ . a) Encontrar λ si P( X ≤ 1) = P (Y ≤ 1) b) Calcular P(Y>2) 34. La duración en años de cierta marca de refrigeradores se apega a una distribución exponencial y en promedio duran 6 años. Si en un pedido llegan 10 de esos refrigeradores ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 2 de ellos sigan funcionando después de 10 años? 35. Un componente electrónico tiene una vida de 4 años y su duración puede considerarse como una variable aleatoria que se apega a una distribución exponencial. Un aparato de sonido está armado con 6 de tales componentes y el aparato funcionará cuando trabajen al menos 2 de dichos componentes. ¿Cuál es la probabilidad de que el aparato eléctrico funcione después de la vida útil esperada de los componentes? 36. Suponga que para una zona del sur de México es posible modelar la actividad sísmica utilizando la distribución exponencial. Se sabe que la probabilidad de que un temblor sea mayor a 3.5 grados en la escala de Richter es 0.25. a) Encontrar la variancia de la variable aleatoria que mide la actividad sísmica en la escala de Richter. b) Calcular la probabilidad de que 3 de 5 temblores superen los 4 grados en la escala de Richter. Distribución normal

VII. 3. 5. Problemas 1

El tiempo de incapacidad por enfermedad de los empleados de una compañía en un mes, tiene una distribución normal con media de 100 horas y desviación estándar 20 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo por incapacidad de de un mes seleccionado al azar se encuentre entre 50 y 80 horas ?

2

El tiempo requerido para ensamblar una pieza mecánica, es una variable aleatoria que se apega a una distribución normal con media 12.9 minutos y desviación estándar 2 minutos. Encontrar la probabilidad de que el ensamble de la pieza mecánica dure : a) al menos 11.5 minutos. b) entre 11 y 14.8 minutos.

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La edad en que se presenta determinada enfermedad en los niños se distribuye normalmente, con media 10 años y desviación estándar 2 años. Si un niño contrajo la enfermedad ¿cuál es la probabilidad de que su edad esté; a) entre 8 y 12 años ? b) por encima de los 11 años ? c) por debajo de los 12 años ?

4

El tiempo promedio de bajada de los esquiadores de una competencia es de 8.72 minutos con desviación estándar de 1 minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que un esquiador seleccionado al azar baje en : a) al menos 8.8 minutos ? b) a lo más 7 minutos ? c) entre 6.8 y 7.9 minutos ?

5

Si las calificaciones de coeficiente intelectual de un grupo de estudiantes están normalmente distribuidas, co media 100 y desviación estándar13 : a) calcular la probabilidad de que si se selecciona un estudiante al azar , su coeficiente intelectual sea mayor de 133. b) ¿Qué porcentaje de estudiantes tendrán un coeficiente intelectual de cuando mucho 90 ?

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Las calificaciones para el examen de admisión a cierta Universidad se apegan a una distribución normal, con media 500 y desviación estándar100. a) Calcular la probabilidad de que un un estudiante obtenga una calificación de entre 325 y 675. b) ¿Qué porcentaje de estudiantes obtendrán calificaciones menores de 400 ?

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Los pesos de los pernos que produce una compañía se distribuyen normalmente, con media 8 kilogramos y desviación estándar 0.9 kilogramos. Si se selecciona un perno al azar, encontrar la probabilidad de que su peso se encuentre : a) arriba de 9.5 kilogramos. b) entre 7.3 y 9.1 kilogramos.

8

Supóngase que las calificaciones de un examen se distribuyen en forma normal, con media 76 puntos y desviación estándar15 puntos. a) Si el 10% de las calificaciones más bajas reprueban el curso, calcular la calificación mínima para aprobar. b) Si el grupo consta de 50 alumnos ¿cuántos alumnos se espera que obtengan calificaciones entre 74 y 80 puntos ? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar obtenga calificación mayor de 79 puntos ?

9

Un profesor de gimnacia califica a sus alumnos por la altura que salten. El promedio de altura saltada es de 1.42 metros, con desviación estándar de 10 centímetros. Si califican con A el 20% de los alumnos que más salten ¿cuál es la altura mínima que debe saltar un alumno para obtener calificación A ?

10 El coeficiente de inteligencia de 600 solicitudes para ingresar a una escuela se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 115 y variancia de 144. Si la escuela exige un coeficiente mínimo de 100, ¿cuántos estudiantes se espera que sean rechazados ? 11 Cierto tipo de batería para automóvil tiene un tiempo de vida distribuido normalmente, con media 1200 días y desviación estándar 100 días. ¿Por cuánto tiempo se deben garantizar las baterías, si el fabricante sólo quiere reemplazar el 10% de las baterías vendidas ? 12 Los diámetros de los tubos que se usan en un sistema de desagüe se distribuyen de acuerdo a una distribución normal, con media de 950 milímetros y desviación estándar de 10 milímetros. Si se selecciona un tubo al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de qu el tubo tenga un diámetro entre 947 y 958 milímetros? b) ¿Cuál debe ser el valor de “c”, de modo que la probabilidad de que un tubo que tiene un diámetro menor que “c” sea 0.85? 13 El diámetro de las barras de acero que produce una empresa están distribuidos normalmente con media de 0.9 centímetros y desviación estándar de 0.002 centímetros. Los límites de especificación en el proceso de fabricación están dados como 0.9 ± 0.005 centímetros. ¿Qué porcentaje de barras serán defectuosas? 14 Se sabe que los resultados de un examen de física tienen una distribución normal, con media 70 puntos y variancia 36 puntos cuadrados. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona apruebe el examen, si la calificación mínima aprobatoria es de 65 puntos? b) ¿Cuál debe ser la calificación mínima para que pasen el 80% de los que presentan el examen? 15 Un rodamiento es rechazado, si su diámetro es mayor que 2.02 centímetros o menor que 1.96 centímetros. ¿Cuál será el número de rodamientos rechazados, si los

diámetros de una partida de 10 mil rodamientos están distribuidos normalmente, con media de 2 centímetros y desviación estándar de 0.01 centímetros?. 16 Las calificaciones obtenidas en un examen por los aspirantes a un trabajo, tienen una distribución aproximadamente normal, con media 85 y desviación estándar 4. a) ¿Qué porcentaje de aspirantes tendrán una calificación superior a 90? b) Si para aprobar el examen se requiere obtener una calificación superior a 80 ¿cuál es la probabilidad de que una persona apruebe el examen? 17 Suponga que las calificaciones de un examen están distribuidos normalmente, con media 76 puntos y desviación estándar 15 puntos. El 15% de las mejores calificaciones reciben A y el 10% de las más bajas obtienen R. Encontrar la calificación mínima para: a) obtener A. b) aprobar, esto es, no recibir R. 18 El número de palabras por minuto de las mecanógrafas de una compañía se distribuye normalmente, con media 90 y desviación estándar 16. Si se selecciona al azar a una mecanógrafa: a) Encontrar la probabilidad de que el número de palabras que escriba por minuto este entre 82 y 98. b) Si el 15% de las mecanógrafas más deficientes asisten a un curso de capacitación ¿cuál será mínimo número de palabras por minuto para no asistir a dicho curso? 19 Un automovilista ha observado que el tiempo promedio empleado en ir de la casa a la oficina es de 30 minutos, con desviación estándar de 5 minutos. ¿Cuántos días del año espera llegar tarde a su trabajo, si todos los días sale de su casa a las 8:20 horas y debe llegar a su oficina a las 9:00 horas?. Considérese que el empleado trabaja 260 días al año. 20 Supóngase que z tiene distribución normal. Determinar k tal que P(|z| ≥ k)= 14 . 21 Ciertos bastoncillos de plástico son cortados automáticamente por una máquina. Las longitudes reales están distribuidas normalmente, con media de 6 centímetros y desviación estándar de 0.06 centímetros. a) Si los bastoncillos deben estar entre 5.9 centímetros a 6.1 centímetros ¿Qué porcentaje de bastoncillos se salen de los límites de aceptación? b) ¿Qué valor debe tener la desviación estándar para que el 99% de los bastoncillos estén dentro de los límites de aceptación? 22 Se acepta que la vida útil de cierta marca de baterías para automóvil se apega a una distribución normal, con media 38 meses y desviación estándar 2 meses. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una batería cualquiera dure más de 40 meses? b) Si la compañía no desea reemplazar más del 5% de las baterías vendidas ¿Qué tiempo de garantía debe dar?

23 Un fabricante de lavadoras asegura que la vida media del modelo que produce dura, bajo condiciones normales de trabajo en el hogar, 5.75 años, con una desviación estándar de 2 años. Si la vida de este modelo se apega a una distribución normal : a) ¿Qué garantía debe ofrecer el fabricante, si está dispuesto a reparar únicamente una de cada 100 lavadoras vendidas ? b) Si da garantía por 2 años ¿qué porcentaje de máquinas necesitarán reparación antes de que expire dicha garantía? 24. Suponga que la variable aleatoria X tiene una distribución normal con media 10 y variancia 9. Determinar el valor de “c” tal que P(x ≤ c)=2 P(x>c) . 25. El diámetro de un cable eléctrico está distribuido normalmente, con media 19.558 milímetros y desviación estándar 0.254 milímetros. Un cable se considera defectuoso si su diámetro se desvía de la media en más de 0.508 milímetros. ¿Qué porcentaje de cables defectuosos se fabricarán? 26. El propietario de un restaurante ha observado que la demanda de carne de res en su negocio tiene una distribución normal con media de 240 kilogramos y desviación estándar de 23 kilogramos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera se consuman más de 300 kilogramos de carne de res? b) ¿Qué cantidad de carne de res debe estar disponible diariamente para que la probabilidad de que se agote la dotación no sea mayor de 0.01? 27. Las calificaciones obtenidas en un examen de admisión a una escuela tienen una distribución normal, con media 85 puntos y desviación estándar 4 puntos. a) Si el 10.56% de los que presentan el examen obtienen calificación MB ¿cuál es la calificación mínima para obtener calificación MB ? b) Obtener un intervalo simétrico al rededor de la media, de forma que ahí se ubiquen el 80% de las calificaciones. 28. El tiempo de incapacidad por enfermedad de los empleados de una compañía en un mes, tiene una distribución normal con media 100 horas y desviación estándar 20 horas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo por incapacidad de un mes cualquiera se encuentre entre 50 y 80 horas ? b) ¿Cuánto tiempo de incapacidad deberá haber para que la probabilidad de excederlo sea de 10% ? c) Si ingresan 8 empleados en un mes ¿cuál es la probabilidad de que más de 6 permanezcan entre 50 y 80 horas con incapacidad ? 29. La vida útil de las lámparas eléctricas de cierta marca está distribuida normalmente con media 850 horas y desviación estándar 50 horas. Si se revisan 4 lámparas seleccionadas al azar ¿cuál es la probabilidad de que 3 lámparas duren por lo menos 822 horas ?

30. En un examen de química la puntuación promedio fue de 82 puntos, con desviación estándar de 5 puntos. Los estudiantes con puntuación de 88 a 94 puntos obtuvieron calificación B. Si las calificaciones tienen una distribución aproximadamente normal y 8 estudiantes recibieron calificación B ¿Cuántos estudiantes presentaron el examen? 31. Una empacadora automática empaca paquetes de azúcar cuyo peso tiene una distribución normal con desviación estándar 2 gramos. ¿Cuál es el peso promedio del contenido, si el 90% de los paquetes contienen menos de 500 gramos de azúcar? 32 El gerente de crédito de una tienda estima que las pérdidas anuales por deudas se apegan a una distribución normal, con media de 30 mil pesos. Si la probabilidad de que una deuda sea mayor de 35 mil pesos es 0.25 ¿cuál es la desviación estándar? 33. Un fabricante de clavos vende su producto en cajas. Se sabe que los pesos en kilogramos de las cajas se apegan a una distribución normal con variancia 0.0001. ¿Cuál debe ser el peso medio de las cajas para que el 90% pese al menos un kilogramo? 34. En una fábrica de gelatinas en polvo, la distribución de pesos de los sobres se apega a una distribución normal, con desviación estándar de 1.4 gramos. a) Si el 1% de los sobres pesa más de 56 gramos ¿cuál es el valor de la media ? b) Un sobre cualquiera no pasa el control de calidad si se desvía de la media en al menos 4 gramos. Si un día se fabrican 3 mil sobres ¿cuántos de ellos se espera que sean rechazados? 35. Una empresa periodística desea publicar una edición especial de una revista. El gerente sabe que las ventas se distribuyen normalmente con media de 100 mil ejemplares y piensa que hay una probabilidad de 0.2 de que se vendan más de 120 mil ejemplares. ¿Cuál es el valor de la desviación estándar? 36. Una fábrica produce pistones cuyo diámetro se distribuye normalmente, con un diámetro medio de 10 centímetros y desviación estándar de 0.002 centímetros. Para que un pistón se considere bueno para salir al mercado debe encontrarse dentro del intervalo [9.996, 10.003]. Si el diámetro del pistón es inferior de 9.996 centímetros se desecha y si es mayor que 10.003 centímetros se reprocesa. a) ¿Qué porcentaje de pistones salen al mercado? b) ¿Cuáles deben ser los límites del intervalo, para que sólo el 0.51% de los pistones sean desechados y el 2% sean reprocesados? 37. Supóngase que la estatura en centímetros de las personas de 21 años es un fenómeno aleatorio que se apega a la distribución normal, con media 170 centímetros y variancia 25 centímetros cuadrados. Si se sabe que una persona mide más de 160 centímetros ¿cuál es la probabilidad de que mida más de 172 centímetros? 38. La resistencia de los alambres que se usan en una computadora está distribuida normalmente. Si el 8% de estos alambres soportan una resistencia de más de 100 ohms y el 25% soportan menos de 95 ohms, encontrar la media y desviación estándar.

39. La vida útil de cierta marca de pilas está distribuida normalmente. Si el 6.68% de las pilas duran más de 56 horas y el 30.85% duran menos de 52 horas ¿cuál es la media y desviación estándar ? 40. En una prueba de aptitudes para el ejercicio se reporta que el 10% de los universitarios graduados que realizan la prueba obtienen calificación de 1120 o menos y el 10% obtienen 1400 puntos o más. Suponga que las calificaciones se distribuyen normalmente. a) Encontrar la media y desviación estándar. b) Calcular la probabilidad de que una persona obtenga calificación de cuando menos 1100 puntos. 41. Se sabe que el tiempo que tarda un jefe de personal en entrevistar a los aspirantes para una vacante en la compañía sigue una distribución normal. Si el 10% de los entrevistados tardan más de 80 minutos y el 4% duran menos de 35 minutos, calcular el tiempo medio y la desviación estándar. 42. Las alturas de los edificios de cierta colonia están distribuidas normalmente. Se sabe que el 2.28% miden más de 14 metros y el 84.13% miden manos de 12 metros. Encontrar la media y desviación estándar. 43. Supóngase que los pesos en kilogramos de las personas de una población están distribuidos normalmente. Se sabe que P(x ≤ 160)=0.5 y P(x ≤ 140)=0.25 . Obtener los valores de la media y desviación estándar. 44. Supóngase que una variable aleatoria X tiene una distribución normal, en la que E(X 2 ) = 68 y P(x