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• Carlos Piérola

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UTALCA UNIVERSIDAD DE TALCA

EJERCICIOS RESUELTOS UNIDAD DOS

Probabilidades

1.

a.

Suponga que se elige una carta de un grupo de veinte, que contiene diez cartas rojas y diez azules numeradas del 1 al 10. Se definen los siguientes sucesos: A={Se elige una carta con número par}. B={Se elige una carta azul}. C={Se elige una carta con número menor que 5}. Describa el espacio muestral (S) y cada uno de los siguientes sucesos en términos de subconjuntos: A∩ ∩B∩ ∩C. Solución: A=carta Azul. R=carta Roja. Descripción del Espacio Muestral S: S={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9, R10}. Descripción de los Sucesos A, B y C: A={A2, A4, A6, A8, A10, R2, R4, R6, R8, R10}. B={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9 A10}. C={A1, A2, A3, A4, R1, R2, R3, R4}. Luego: A∩ ∩B∩ ∩C={A2, A4}.

b.

B∩ ∩ Cc . Solución: B∩ ∩Cc={A5, A6, A7, A8, A9, A10}.

c.

A∪ ∪B∪ ∪C. Solución: A∪ ∪B∪ ∪C={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9, R10}.

d.

A∩ ∩(B∪ ∪C). Solución: B∪ ∪C={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, R1, R2, R3, R4}. Luego: A∩ ∩(B∪ ∪C)={A2, A4, A6, A8, A10, R2, R4}.

EJERCICIOS RESUELTOS UNIDAD DOS

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e.

Ac∩Bc∩Cc. Solución: Ac∩Bc∩Cc={R5, R7, R9}.

2. a.

Cuatro personas entran a un vagón del metro en el que hay 40 asientos desocupados. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse? Solución: 40 asientos y 4 personas. Importa el orden de su ubicación: 40! = 37 ∗ 38 ∗ 39 ∗ 40 = 2193360 40 P4 = (40 − 4)!

b.

Si hay 16 asientos dobles y 8 simples, ¿De cuántas maneras pueden sentarse si las dos personas que entran primero deben quedar juntas? Solución: 32 P1

3.

∗ P1 ∗

= 32 ∗ 38 ∗ 37 = 44992

38 P2

Se sabe que 2/3 de los alumnos del M.B.A. son menores de 30 años. Se sabe además que 3/5 del total de alumnos son hombres. Por último, se sabe que 5/8 del total son mujeres ó mayores de 30 años. Se desea seleccionar un delegado del curso para que represente los intereses de los alumnos ante la Dirección del Programa. ¿Cuál es la probabilidad que el delegado sea mujer y menor de 30 años? Solución: Sean los siguientes sucesos: M={el alumno es menor de 30 años}
MC={el alumno es mayor de 30 años}. H={el alumno es hombre}
HC={el alumno es mujer}. Se tiene que: 2 3 5 P(B) = P(H) = P(MC ∪ HC ) = 3 5 8 Se pide: P(M∩HC). Se cumple que: (MC∪HC) = (M∩H)C. Entonces: 5 P(MC ∪ HC ) = P (M ∩ H)C = 1 − P(M ∩ H) = 8 3 ⇒ P(M ∩ H) = 8 2 3 7 Pero, P(M ∩ HC ) = P(M) − P(M ∩ H) = − = = 0.2917 3 8 24

[

4. a.

]

Una urna contiene 20 fichas rojas, 30 blancas y 50 azules. Calcule la probabilidad de: Obtener una ficha roja y una azul al extraer dos fichas con reposición.

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Solución: Sean los siguientes sucesos: R1 = {sale ficha roja en la primera extracción}. R2 = {sale ficha roja en la segunda extracción}. Se pide: P R1 ∩ R2C ∪ R1C ∩ R2 = P(R1 ∩ R2C ) + P(R1C ∩ R2 ) =

[(

= P(R1 ) = b.

)]

) (

∗ P (R2C

/ R1 ) + P(R1C ) ∗ P(R2 / R1C ) =

20 50 50 20 1 ∗ + ∗ = = 0.20 100 100 100 100 5

Obtener una ficha roja y una azul al extraer dos fichas sin reposición. (20/99). Solución: Se pide: P R1 ∩ R2C ∪ R1C ∩ R2

[(

) (

)] = P(R

1

∩ R2C ) + P(R1C ∩ R2 ) =

= P(R1 ) ∗ P (R2C / R1 ) + P(R1C ) ∗ P(R2 / R1C ) = = c.

20 50 50 20 20 ∗ + ∗ = = 0.2020 100 99 100 99 99

No extraer ninguna ficha roja al seleccionar 10 con reposición. Solución: Se pide: C P(R 1C ∩ R 2C ∩ R 3C ∩ .... ∩ R 10 ) = C = P(R 1C ) ∗ P(R 2C / R 1C ) ∗ P(R 3C / R 1C ∩ R 2C ) ∗ ..... ∗ P(R 10 / R 1C ∩ R 2C ∩ R 3C ∩ .... ∩ R C )= 9

=

5.

80 80 80 80  80  ∗ ∗ ∗ .... ∗ =   100 100 100 100  100 

10

= (0.8)10 = 0.1074

Una persona ha olvidado el último dígito de un número telefónico y decide marcarlo al azar. ¿Cuál es la probabilidad que ella deba marcar a lo más tres veces para dar con el número? Solución: Sea A={la persona no ubica el número en 3 intentos}. 9   3 P(A) = = 0.70 10    3 AC={la persona ubica el número en a lo más 3 intentos}. P(AC) = 1 - P(A) = 1 – 0.70 = 0.30.

6.

Un sobre contiene 10 estampillas de $20; 5 estampillas de $15 y 2 estampillas de $10. Se sacan 6 de ellas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus valores no exceda de $100? Solución:

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10 estampillas de $20. 5 estampillas de $15. 2 estampillas de $10. Sea A={la suma de las 6 estampillas supera los $100}. 10    6 A1: 6 de $20 = $120
P(A 1 ) = 17    6

10   5    ∗    5  1 A2: 5 de $20 y 1 de $15 = $115
P(A 2 ) = 17    6 10   2    ∗    5  1 A3: 5 de $20 y 1 de $10 = $110
P(A 3 ) = 17    6 10   5    ∗    4  2  A4: 4 de $20 y 2 de $15 = $110
P(A 4 ) = 17    6 10   5   2    ∗   ∗    4  1 1 A5: 4 de $20 y 1 de $15 y 1 de $10 = $105
P(A 5 ) = 17    6 10   5    ∗    3  3 A6: 3 de $20 y 3 de $15 = $105
P(A 6 ) = 17    6 Luego: P(A) = P(A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ A 4 ∪ A 5 ∪ A 6 ) =

= P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) + P(A 4 ) + P(A 5 ) + P(A 6 ) = 0.60 Entonces: P(AC) = 1 – P(A) = 1 – 0.60 = 0.40.

7.

¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma total de ocho puntos con tres dados si al menos uno de ellos debe ser un uno? Solución: Sea A={la suma de los tres dados es 8}. Total de casos posibles: 6*6*6 = 216. Casos posibles: Se obtiene 8 en los siguientes casos: (1, 1, 6); (1, 2, 5); (1, 3, 4).

3! =3 (3 − 2)! Hay 6 maneras de obtener (1, 2, 5) y (1, 3, 4): P3 = 3! = 6

Pero hay 3 maneras de obtener (1, 1, 6): 3 P1 =

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Luego, la cantidad de casos favorables está dado por: 3+6+6=15. 15 = 0.0694 Luego: P(A) = 216

8.

Una rifa consta de 100 boletos entre los cuales hay dos premiados. Determinar el menor número de boletos que es necesario comprar para que la probabilidad de ganar a lo menos un premio, sea no inferior a 4/5. Solución: Sea A={ganar un premio a lo menos}. AC={no ganar ningún premio}. Cantidad de boletos comprados: n.  98  98!   n! ∗ (98 − n)! (100 − n)! ∗ 98! n P(A C ) = = = = 100 ! ( 98 − n)! ∗ 100! 100     n! ∗ (100 − n)!  n 

=

(98 − n)! ∗ (99 − n) ∗ (100 − n) 9900 − 199n + n2 = 99 ∗ 100 ∗ (98 − n)! 9900

Por lo tanto, P(A) = 1 − P(A C ) = 1 −

9900 − 199n + n2 4 > 9900 5

Luego: n2 − 199n + 7920 = (n − 55) ∗ (n − 144) < 0 Para cumplir con la ecuación anterior, el menor número de boletos a comprar es 55, puesto que en total existen 100 boletos (no es posible comprar 144 boletos).

9.

a.

Al editar un texto se ha observado que: • 40% tiene errores de impresión. • 20% tiene errores de encuadernación. • 10% tiene errores de compaginación. • 43% tiene errores de impresión ó de encuadernación. • 42% tiene errores de impresión ó de compaginación. • 25% tiene errores de encuadernación ó de compaginación. • 3% tiene los tres tipos de errores. Si del total de textos editados, se elige uno, al azar, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos: El texto elegido no tiene ninguno de estos errores. Solución: Sean los siguientes sucesos: I={el texto tiene errores de Impresión}. E={el texto tiene errores de Encuadernación}. C={el texto tiene errores de Compaginación}. Además, se tienen las siguientes probabilidades: P(I) = 0.40 P(E) = 0.20 P(C) = 0.10 P(I∪E) = 0.43 P(I∪C) = 0.42 P(E∪C) = 0.25 P(E∩I∩C) = 0.03

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Construyendo un diagrama de Venn:

S

I 0.57 0.18 0.14

0.05

0.03 0.01

0.02

0.00

E

C

Se pide: P(IC∩EC∩CC) = P[(I∪E∪C)C] = 1 – P(I∪E∪C). P(I∪E∪C) = P(I) + P(E) + P(C) – P(I∩E) – P(I∩C) – P(E∩C) + P(I∩E∩C) P(I∩E) = P(I) + P(E) – P(I∪E) = 0.40 + 0.20 – 0.43 = 0.17. P(I∩C) = P(I) + P(C) – P(I∪C) = 0.40 + 0.10 – 0.42 = 0.08. P(E∩C) = P(E) + P(C) – P(E∪C) = 0.20 + 0.10 – 0.25 = 0.05. Reemplazando en (*): P(I∪E∪C) = 0.40 + 0.20 + 0.10 – 0.17 – 0.08 – 0.05 + 0.03 = 0.43. Luego: P(IC∩EC∩CC) = 1 – 0.43 = 0.57. b.

(*)

De estos tres tipos de errores, el texto elegido tiene sólo errores de compaginación. Solución: Se pide: P(IC∩EC∩C). P(IC∩EC∩C) = P(I∪E∪C) – P(I∪E) = 0.43 – 0.43 = 0.0.

c.

El texto elegido tiene sólo errores de encuadernación y compaginación. Solución: Se pide: P(E∩C∩IC). P(E∩C∩IC) = P(E∩C) – P(I∩E∩C) = 0.05 – 0.03 = 0.02.

10.

Una fila para obtener entradas al teatro está formada por cuatro personas de las cuales dos tienen $500 y las otras dos $1000. Si la entrada cuesta $500 y el cajero no tiene cambio y si se supone que las personas ocupan su lugar en forma aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que las personas no deban esperar por su cambio? Solución: Sea Qi={la persona “i” tiene $500}
Q iC ={la persona “i” tiene $1000}. P(no deban esperar por vuelto) =

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= P( Q1 ∩ Q2C ∩ Q3 ∩ Q4C ) + P( Q1 ∩ Q2 ∩ Q3C ∩ Q4C ) = = P(Q1 )P(Q2c / Q1 )P(Q3 / Q1 ∩ Q2c )P(Q4c / Q1 ∩ Q2c ∩ Q3 ) + + P(Q1 )P(Q2 / Q1 )P(Q3c / Q1 ∩ Q2 )P(Q4c / Q1 ∩ Q2 ∩ Q3c ) =

2 2 1 1 2 1 2 1 2 = 0.3333 ∗ ∗ ∗ + ∗ ∗ ∗ = 4 3 2 1 4 3 2 1 6

=

11.

a.

Una caja contiene 5 ampolletas de los cuales 2 son defectuosos. Se prueban las ampolletas una tras otra hasta que se descubren las dos defectuosas. Calcule la probabilidad de que: Se suspenda el proceso en la segunda prueba. Solución: Sean Di={aparece ampolleta defectuosa en el i-ésimo intento} 2 1 1 P(D1 ∩ D2 ) = P(D1 )P(D2 / D1 ) = ∗ = 5 4 10

b.

Se suspenda el proceso en la tercera prueba. Solución:

[

]

P (D1 ∩ D2C ∩ D3 ) ∪ (D1C ∩ D2 ∩ D3 ) = P(D1 ∩ D2C ∩ D3 ) + P(D1C ∩ D2 ∩ D3 ) =

= =

12.

a.

P(D1 )P(D2C

/ D1 )P(D3 / D1 ∩

D2C ) +

P(D1C )P(D2 / D1C )P(D3 / D1C ∩ D2 ) =

2 3 1 3 2 1 1 ∗ ∗ + ∗ ∗ = 5 4 3 5 4 3 5

El canal 13 de TV quiere medir la capacidad de su meteorólogo. Los datos recolectados en el pasado indican lo siguiente: la probabilidad de que su meteorólogo prediga sol en días asoleados es 0.8. La probabilidad de que su meteorólogo prediga sol en días lluviosos es 0.4. La probabilidad de un día asoleado es 0.6. Encuentre la probabilidad de que: Habrá sol dado que el meteorólogo lo pronosticó. Solución: Sean A={el meteorólogo predice asoleado} B={el día es lluvioso} BC={el día es asoleado} C P(A/L ) = 0.8 P(A/L) = 0.4 P(LC) = 0.6
P(L) = 0.4 Se pide: P(LC/A). P (LC / A) =

b.

P( A / LC ) P(LC ) P ( A / LC ) P (LC ) + P( A / L) P(L)

=

0 .8 ∗ 0 .6 0.48 = = 0.75 0.8 ∗ 0.6 + 0.4 ∗ 0.4 0.64

El meteorólogo pronostique que habrá sol. Solución:

P( A) = P( A / LC ) P(LC ) + P( A / L) P(L) = 0.8 ∗ 0.6 + 0.4 ∗ 0.4 = 0.64

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13.

a.

Tres máquinas A, B, C producen respectivamente 60%, 30% y 10% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son respectivamente 2%, 3% y 4%. Si se selecciona un artículo al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso? Solución: Sean A={el artículo se produce en la máquina A} B={el artículo se produce en la máquina B} C={el artículo se produce en la máquina C} D={el artículo es defectuoso} P(D) = P(D / A)P( A) + P(D / B)P(B) + P(D / C )P (C ) =

= 0.02 ∗ 0.60 + 0.03 ∗ 0.30 + 0.04 ∗ 0.10 = 0.025 b.

Si se selecciona un artículo al azar y resulta defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo haya sido producido por la máquina B? Solución:

P(D / B)P(B) = P(D / A)P( A) + P(D / B)P(B) + P(D / C )P(C ) 0.03 ∗ 0.30 0.009 = = = 0.36 0.02 ∗ 0.60 + 0.03 ∗ 0.30 + 0.04 ∗ 0.10 0.025

P(B / D) =

14.

Se sabe que un Suero de Verdad aplicado a un sospechoso es 90% confiable cuando la persona es culpable y 99% confiable cuando la persona es inocente. Si se selecciona un individuo de un grupo de sospechosos, de los cuales se sabe que sólo un 5% de ellos ha cometido un crimen, se le aplica el suero de verdad el cual implica que es culpable. ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo sea inocente? Solución: Sean C={la persona es realmente culpable} CC={la persona es realmente inocente} S={el suero de verdad indica que la persona es culpable} SC={el suero de verdad indica que la persona es inocente} P(S/C) = 0.90 P(SC/CC) = 0.99 P(C) = 0.05
P(CC) = 0.95 P(S / C C )P(C C ) 0.01 ∗ 0.95 P(C C / S) = = = 0.1743 C C ∗ 0 . 90 0.05 + 0.01 ∗ 0.95 P(S / C )P(C ) + P(S / C )P(C )

15.

El 5% de las unidades producidas por una fábrica se encuentran defectuosas cuando el proceso se encuentra bajo control. Si el proceso se encuentra fuera de control, se produce un 30% de unidades defectuosas. La probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control es de 0.92. Si se escoge aleatoriamente una unidad y se encuentra que es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control? Solución: Sean F={proceso fuera de control} FC={proceso bajo control}

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D={la unidad producida es defectuosa} P(D/FC) = 0.05 P(D/F) = 0.30 P(FC) = 0.92
P(F) = 0.08 0.05 ∗ 0.92 P(D / F C )P(F C ) = 0.6571 = P(F C / D) = C C 0 . 05 0 .92 + 0.30 ∗ 0.08 ∗ P (D / F )P(F ) + P(D / F )P(F )

16.

Con base en estudios anteriores una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad, de descubrir petróleo, las formaciones geológicas en tres tipos. La compañía pretende perforar un pozo en un determinado sitio, al que se le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25 para los tres tipos de formaciones respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que el petróleo se encuentra en un 40% en formaciones del tipo I, en un 20% en formaciones del tipo II y en un 30% en formaciones del tipo III. Si la compañía no descubre petróleo en ese lugar, determine la probabilidad de que exista una formación del tipo II. Solución: Sean A={formación geológica del tipo I} B={formación geológica del tipo II} C={formación geológica del tipo III} D={se descubre petróleo} P(A) = 0.35 P(B) = 0.40 P(C) = 0.25 P(D/A) = 0.40 P(D/B) = 0.20 P(D/C) = 0.30

P(B / D C ) =

P (D C / B)P(B)

P(D C / A)P ( A) + P(D C / B)P(B) + P (D C / C )P(C ) 0.80 ∗ 0.40 = 0.4539 = 0.60 ∗ 0.35 + 0.80 ∗ 0.40 + 0.70 ∗ 0.25

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=

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