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Teoría de los circuitos II Prof: Ing. Daniel Moretti Ayte: Ing. Federico Martínez

Ejercicios resueltos: Filtros pasivos Ejercicio 1 Se especifica un filtro pasa banda Butterworth con puntos de 3dB en 950Hz y 1100Hz y una atenuación mínima de 45dB en 700Hz y 40dB en 1300Hz. Rc = Rg = 100Ω. Resolución En primer lugar, se determina si se trata de un banda estrecha o banda ancha 𝑓𝑐𝑠 1100𝐻𝑧 = = 1,157 𝑓𝑐𝑖 950𝐻𝑧

< 1,5 ⟹ 𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎

Verifico calculando el Q, y para ello determino la frecuencia central: 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑄=

⟹ 𝑓𝑜 = √𝑓𝑐𝑠 . 𝑓𝑐𝑖 = √1100 . 950 = 1022,25 𝐻𝑧

𝑓𝑜 1022,25 𝐻𝑧 = = 6,81 ∆𝑓𝑐 150 𝐻𝑧

> 5 ⟹ 𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎

Hay que calcular el A (factor de pendiente) para entrar en las curvas y determinar el n. Para ello debo calcular lo siguiente: Con el dato de la frecuencia central se determina que ancho de banda es más restrictivo (de las dos condiciones de atenuación mínima indicadas en el enunciado se debe trabajar con la más “exigente”) 𝑓𝑎𝑖´ =

𝑓𝑜 2 1022,252 = = 1492,85 𝐻𝑧 𝑓𝑎𝑖 700

𝑓𝑎𝑠´ =

𝑓𝑜 2 1022,252 = = 803,84 𝐻𝑧 𝑓𝑎𝑠 1300

⟹

⟹

Δ𝑓𝑎𝑖 = 𝑓𝑎𝑖´ − 𝑓𝑎𝑖 = 1492,85 − 700 = 792,85 𝐻𝑧

Δ𝑓𝑎𝑠 = 𝑓𝑎𝑠 − 𝑓𝑎𝑠´ = 1300 − 803,84 = 496,15𝐻𝑧

El ancho de banda más restrictivo es Δ𝑓𝑎𝑠. Con ese valor y el Δ𝑓𝑐 se determina el A. A=

Δ𝑓𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑠 − 𝑓𝑎𝑠´ 496,15𝐻𝑧 = = = 3,3 Δ𝑓𝑐 𝑓𝑐𝑠 − 𝑓𝑐𝑖 150𝐻𝑧

Con el valor de A y la atenuación de 40dB se va a la hoja de curvas correspondiente y se determina el n. 𝑛=4 Nota: Para hallar con mayor precisión el valor de A=3,3 en la curva, se debe hacer el siguiente procedimiento: Con una regla se debe medir la distancia en centímetros entre A=1 y A=10 (da algo aproximado a 11,45cm). Luego se debe multiplicar esa distancia medida al logaritmo del A que se desea conocer (es decir, log 3,3), y el resultado de dicha multiplicación será la distancia que hay hasta el A=3,3 (aproximadamente 5,93 cm, dependiendo de cada impresión o fotocopia).

Ejercicios de Filtros

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Ahora con el valor de n y el valor de Rs (𝑅𝑠 =

𝑅𝑔 𝑅𝑐

100

= 100 = 1) se determinan, de la tabla correspondiente,

los valores normalizados de los componentes (para un filtro pasa bajos).

𝐶1𝑛 = 0,7654 𝐿2𝑛 = 1,8478 𝐶3𝑛 = 1,8478 𝐿4𝑛 = 0,7654

Desnormalizando con 𝐹𝐸𝑍 = 100Ω 𝑦 𝐹𝐸𝐹 = Δ𝜔𝜊 obtenemos: C1 = 8,12 uF L2 = 196 mHy C3 = 19,6 uF L4 = 81.21 mHy Con los datos de un filtro pasa bajos desnormalizado, se debe determinar los valores correspondientes al filtro pasa banda que se desea calcular. En donde se tiene un capacitor en el filtro pasa bajos, se tendrá un capacitor con una bobina en paralelo en el filtro pasa banda, y donde se tiene una bobina en el filtro pasa bajos, se tendrá una bobina con un capacitor en serie en el filtro pasa banda. Por lo tanto, el circuito para el pasa banda será:

Recordar que para un filtro pasa banda angosta se tiene la siguiente transformación: Rama serie

Rama paralelo

𝐿 = 𝐿𝑖 1 𝐶= 𝜔𝑜 2 𝐿𝑖

𝐶 = 𝐶𝑖 1 𝐿= 𝜔𝑜 2 𝐶𝑖

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Se calcula cada componente, obteniendo los valores ya desnormalizados. Por lo tanto: Primer rama paralelo 𝐶1 = 8,12 uF 𝐿1 =

1 1 = = 2,98 𝑚𝐻𝑦 𝜔𝑜 2 𝐶1 (2𝜋. 1022.25)2 8,12 uF

Primer rama serie 𝐿2 = 196 mHy 𝐶2 =

1 1 = = 123,67 𝑛𝐹 2 𝜔𝑜 𝐿2 (2𝜋. 1022.25)2 196 mHy

Segunda rama paralelo 𝐶3 = 19,6 uF 𝐿3 =

1 1 = = 1,23 𝑚𝐻𝑦 2 𝜔𝑜 𝐶3 (2𝜋. 1022.25)2 19,6 uF

Segunda rama serie 𝐿4 = 81.21 mHy 𝐶4 =

Ejercicios de Filtros

1 1 = = 298,48 𝑛𝐹 𝜔𝑜 2 𝐿4 (2𝜋. 1022.25)2 81.21 mHy

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Ejercicio 2 Diseñar un filtro supresor de banda Butterworth con una frecuencia de corte inferior igual a 8,5 kHz, una frecuencia de corte superior igual a 10 kHz, una atenuación de 25dB a 9 kHz y otra atenuación de 20dB a 9,5 kHz. Rg =200Ω y Rc = 100Ω. Resolución En primer lugar, se determina si se trata de un supresor de banda estrecha o banda ancha 𝑓𝑐𝑠 10 𝑘𝐻𝑧 = = 1,17 𝑓𝑐𝑖 8,5 𝑘𝐻𝑧

< 1,5 ⟹ 𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎

Verifico calculando el Q, y para ello determino la frecuencia central: 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑄=

⟹ 𝑓𝑜 = √𝑓𝑐𝑠 . 𝑓𝑐𝑖 = √10000 . 8500 = 9,22 𝑘𝐻𝑧

𝑓𝑜 9,22 𝑘𝐻𝑧 = = 6,14 ∆𝑓𝑐 1,5 𝑘𝐻𝑧

> 5 ⟹ 𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎

Hay que calcular el A (factor de pendiente) para entrar en las curvas y determinar el n. Para ello debo calcular lo siguiente: Con el dato de la frecuencia central se determina que ancho de banda es más restrictivo (de las dos condiciones de atenuación mínima indicadas en el enunciado se debe trabajar con la más “exigente”, en este caso se debe considerar el ancho de banda mayor a diferencia del pasa banda que se elegía el ancho de banda más chico) 𝑓𝑜 2 (9,22 𝑘𝐻𝑧)2 = = 9445 𝐻𝑧 𝑓𝑎𝑖 9 𝑘𝐻𝑧

⟹

Δ𝑓𝑎𝑖 = 𝑓𝑎𝑖´ − 𝑓𝑎𝑖 = 9445 − 9000 = 445 𝐻𝑧

𝑓𝑜 2 (9,22 𝑘𝐻𝑧)2 𝑓𝑎𝑠´ = = = 8948 𝐻𝑧 𝑓𝑎𝑠 9,5 𝑘𝐻𝑧

⟹

Δ𝑓𝑎𝑠 = 𝑓𝑎𝑠 − 𝑓𝑎𝑠´ = 9500 − 8948 = 552 𝐻𝑧

𝑓𝑎𝑖´ =

El ancho de banda más restrictivo es Δ𝑓𝑎𝑠. Con ese valor y el Δ𝑓𝑐 se determina el A. A=

Δ𝑓𝑐 𝑓𝑐𝑠 − 𝑓𝑐𝑖 1500 𝐻𝑧 = = = 2,71 Δ𝑓𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑠 − 𝑓𝑎𝑠´ 552 𝐻𝑧

Con el valor de A y la atenuación de 20dB se va a la hoja de curvas correspondiente y se determina el n. 𝑛=3 Ahora con el valor de n y el valor de Rs (𝑅𝑠 =

𝑅𝑔 𝑅𝑐

=

200 100

= 2) se determinan, de la tabla correspondiente,

los valores normalizados de los componentes (para un filtro pasa bajos). 1

Observar que en este caso se debe entrar en la tabla con 𝑅𝑠 = 0,5 ya que no figura el valor de Rs = 2.

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𝐿1𝑛 = 1,1811 𝐶2𝑛 = 0,7789 𝐿3𝑛 = 3,2612

Ya se obtuvo el circuito del pasa bajo, ahora se lo transforma a pasa alto.

𝐶1𝑛 ∗ =

1 = 0,846 𝐿1𝑛

𝐿2𝑛 ∗ =

1 = 1,283 𝐶2𝑛

𝐶3𝑛 ∗ =

1 = 0,306 𝐿3𝑛

Desnormalizando con 𝐹𝐸𝑍 = 100Ω 𝑦 𝐹𝐸𝐹 = Δ𝜔𝜊 obtenemos: C1 = 897,6 nF L2 = 13,6 mHy C3 = 324,6 nF Con los datos de un filtro pasa altos desnormalizado, se debe determinar los valores correspondientes al filtro supresor de banda que se desea calcular. En donde se tiene un capacitor en el filtro pasa altos, se tendrá un capacitor con una bobina en paralelo en el filtro supresor de banda, y donde se tiene una bobina en el filtro pasa altos, se tendrá una bobina con un capacitor en serie en el filtro supresor de banda. Por lo tanto, el circuito para el banda suprimida será:

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Recordar que para un filtro pasa supresor de banda angosta se tiene la siguiente transformación: Rama serie (LC Paralelo)

Rama paralelo (LC Serie)

𝐶 = 𝐶𝑖 1 𝐿= 𝜔𝑜 2 𝐶𝑖

𝐿 = 𝐿𝑖 1 𝐶= 𝜔𝑜 2 𝐿𝑖

Se calcula cada componente, obteniendo los valores ya desnormalizados. Por lo tanto: Primer rama serie (LC Paralelo) 𝐶1 = 897,6 nF 𝐿1 =

1 1 = = 331,9 𝜇𝐻𝑦 𝜔𝑜 2 𝐶1 (2𝜋. 9,22 𝑘𝐻𝑧)2 897,6 nF

Rama paralelo (LC Serie) 𝐿2 = 13,6 mHy 𝐶2 =

1 1 = = 21,9 𝑛𝐹 2 𝜔𝑜 𝐿2 (2𝜋. 9,22 𝑘𝐻𝑧)2 13,6 mHy

Segunda rama serie (LC Paralelo) 𝐶3 = 324,6 nF 𝐿3 =

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1 1 = = 917,9 𝜇𝐻𝑦 2 𝜔𝑜 𝐶3 (2𝜋. 9,22 𝑘𝐻𝑧)2 324,6 nF

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