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• SantiagoMangudoEscalada

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Ejercicios resueltos A continuación te ofrecemos algunos ejercicios resueltos sobre las funciones lineales. Ten en cuenta en cada caso, las argumentaciones que se brindan y cómo varían las propiedades cuando están desplazadas respecto a las originales.

:Ejercicio 1 Sea la función f definida en los reales por la ecuación f(x) = 2x – 6. a) Haz un esbozo de su gráfico. b) Escribe sus propiedades. c) Verifica si el par (– 1 ; – 8) pertenece a la función f. d) Calcula: 2f(2) – Solución inciso a:

Como la representación gráfica de una función lineal es una recta, basta con dos puntos para hacer su esbozo. Puedes tomar los llamados puntos cómodos, o sea, los interceptos de la recta con los ejes de coordenadas. 

Intercepto con el eje "x": 2x – 6 = 0 (Haces cero la ordenada en la ecuación) x = 3 (Despejas x)



Intercepto con el eje "y": y = – 6 (Coincide con el valor de n) Los puntos de intersección de la recta con los ejes son (3 ; 0) y (0 ; – 6). Solución inciso b:  Dominio:  Imagen:

. (La gráfica barre todo el eje "x") . (La gráfica barre todo el eje "y")

 Cero:

= 3. (La gráfica interseca al eje "x" en 3)

 Monotonía:

Creciente en todo su dominio. (La pendiente es positiva, o sea, m = 2 > 0 y la gráfica se inclina hacia arriba de izquierda a derecha)

 Signos:

positiva para x > 3 y negativa para x < 3. (Para x > 3, la gráfica está por encima del eje "x" y para x < 3, está por debajo. Observa además que para escribir los signos se toma el cero como referencia y no se incluye).

 Paridad:

No es par ni impar. (No es simétrica respecto al origen de coordenadas, ni al eje "y").

 Inyectividad:

Es inyectiva. (Al trazar rectas paralelas al eje "x", cortan a la gráfica en un solo punto).

Solución inciso c:  Para

verificar si un par pertenece a la función, debes: 1. Sustituir la x del par en la ecuación 2. Hallar el valor de y 3. Si el valor hallado coincide con la y del par, el punto pertenece. En caso contrario, no pertenece.

 Aplicamos

estos pasos para verificar si el par (– 1 ; – 8) pertenece a la función f: y = 2(– 1) – 6 y=–2–6 y=–8 Como la y del par también es – 8, el par sí pertenece a la función f.

Solución inciso c: Solicitan calcular 2f(2) –

.

 Para

resolver este inciso te sugerimos primero calcular los valores funcionales involucrados en la expresión. f(2) = 2.2 – 6 = 4 – 6 = – 2 f(– 2) = 2.(– 2) – 6 = – 4 – 6 = – 10 Ahora sustituyes en la expresión: = – 4 + 2 = – 2.

Veamos ahora un ejemplo a la inversa, o sea, dada la gráfica de la función hallar su ecuación y escribir sus propiedades.

:Ejercicio 2 En el sistema de coordenadas rectangulares aparece representada una función lineal de la forma g(x) = mx + n. a) Escribe la ecuación de la función g. b) Di sus propiedades. c) Si el par (3 ; y) pertenece a la función g, halla el valor de la ordenada. Solución inciso a: Para escribir la ecuación de una función lineal, necesitas los valores de m y n.  En

la gráfica aparecen dos de los puntos de la recta, pero ninguno de ellos te brinda el valor de n. En este caso debes: 1. Hallar primero el valor de m utilizando la fórmula. Los puntos dados en la gráfica son (1 ; 1) y (– 1 ; 5)

= NOTA: Verifica, para evitar errores, que si la recta se inclina hacia abajo, la pendiente tiene que ser negativa 2. Sustituir la m hallada y cualquiera de los puntos dados, para hallar el valor de n. y = mx + n Tomas m = – 2 y el punto (1 ; 1) 1 = – 2.1 + n 1=–2+n n=3 3. Escribes la ecuación. Como m = – 2 y n = 3, entonces:

 R/

La ecuación de g es g(x) = – 2x + 3.

Solución inciso b: Las propiedades de la ecuación g(x) = – 2x + 3:  Dominio:  Imagen:  Cero:

. (La gráfica barre todo el eje "x") . (La gráfica barre todo el eje "y")

– 2x + 3 = 0

= 1,5 ( Nota: A modo de comprobación verifica que la recta corta al eje "x" en el semieje positivo.  Monotonía:

Decreciente en todo su dominio. (La pendiente es negativa, o sea, m = = – 2 < 0 y la gráfica se inclina hacia abajo de izquierda a derecha)

 Signos:

positiva para x < 1,5 y negativa para x > 1,5. (Observa que para escribir los signos se toma el cero de la función como referencia).

 Paridad:

No es par ni impar. (No es simétrica respecto al origen de coordenadas, ni al eje "y").

 Inyectividad:

Es inyectiva. (Al trazar rectas paralelas al eje "x", cortan a la gráfica en un solo punto).

Solución inciso c: Te piden hallar el valor de la ordenada del par (3 ; y) que pertenece a la función.  Para

hallar la ordenada del punto sustituyes la abscisa del punto dado en la ecuación y calculas el valor de y. Esto es posible, ya que si el par pertenece a la función sus coordenadas satisfacen su ecuación. g(3) = – 2.3 + 3 = – 6 + 3 = – 3.

R/ La ordenada del par es – 3.

:Ejercicio 3 En el sistema de coordenadas aparece representada la función lineal h.

3.1. Escribe verdadero (V) o falso (F). Argumenta las que consideres falsas. a) ___ La función h es monótona creciente. b) ___ El valor de n es – 4. c) ___ La función es impar. d) ___h(– 2) = 4. 3.2. Selecciona la respuesta correcta. a) La ecuación de la función h es: ___ h(x) = 4x – 4 ___ h(x) = – 4x + 4 ___h(x) = – 2x – 4 ___ h(x) = – 4x – 4 b) El cero de la función h es: ___

=–1

__

= – 1,5

__

= – 0,5

__

=–2

c) De la función h se puede afirmar que: ___ es positiva para ___ tiene imagen

. .

___ no es inyectiva. ___ la gráfica interseca al eje "y" en el punto (– 4 , 0). Solución: 3.1. a) F. La gráfica se inclina hacia abajo de izquierda a derecha. b) V. Recuerda que el valor de n coincide con el intercepto de la recta con el eje "y" c) F. La gráfica no es simétrica respecto al origen de coordenadas o no cumple que h(– x) = – h(x). d) V. Si observas la gráfica, para x = – 2, el valor de y es 4 3.2. a) La ecuación es h(x) = – 4x – 4. El valor de n es – 4, por lo que queda descartada la segunda ecuación. También la gráfica se inclina hacia abajo, luego la pendiente es negativa y queda descartada la primera ecuación. Quedarían la tercera y la cuarta, para determinar si la pendiente es – 2 o – 4. Aquí puedes operar de dos formas: 1. Hallas la pendiente por la fórmula. 2. Verificas si el punto (– 2 ; 4) dado en la gráfica satisface la ecuación tres o la cuatro. Por la segunda vía quedaría de esta manera: y = – 2x – 4 y = – 2(– 2) – 4 = 4 – 4 = 0 no se cumple. y = – 4(– 2) – 4 = 8 – 4 = 4 4 = 4 se cumple. b) El cero de la función h es

= – 1.

Recuerda que para hallar el cero, das valor 0 a la ordenada en la ecuación: 0 = – 4x – 4 4x = – 4

x = – 1. c) De la función h se puede afirmar que tiene imagen gráfica barre todo el eje "y")

. (La

Analicemos por qué las otras opciones no pueden ser:  es

positiva para correcto es x < – 1).

. (Para los signos no se incluye el cero, lo

 no

es inyectiva. (Si trazas rectas paralelas al eje "x", estas cortan a la gráfica en un solo punto).

 la

gráfica interseca al eje "y" en el punto (– 4 , 0). (La gráfica interseca al eje "y" cuando la abscisa del punto es cero, lo correcto es (0 ; – 4)).

:Ejercicio 4 Sean las funciones lineales f y g dadas por sus ecuaciones f(x) = 2 – x y g(x) = 3 y la función h cuya representación gráfica

es

.

4.1. Selecciona la respuesta correcta. a) La función f es negativa para: ___ x < – 2. ___ x < 2. ___ x > 2 . ___ x > – 2. b) De la función g se puede afirmar que: ___ es monótona creciente. ___ no es par ni impar. ___ es inyectiva. ___ su conjunto imagen es

.

c) De la función h se puede afirmar que: ___ es impar. ___ no tiene cero. ___ es monótona decreciente.

___ el par (4 ; 2) pertenece a la función. 4.2. Completa los espacios en blanco. a) La ecuación de la función h es ________________. b) La función f es monótona ________________. c) El dominio de la función g es _______________. d) f(– 1) es igual a ________. Solución: 4.1. a) La función f es negativa para x > 2. Ten en cuenta que el cero de la función es x = 2 y como la pendiente es negativa (m = – 1), la función es monótona decreciente, por lo que la parte de la recta que está por debajo del eje "x" está a la derecha de 2. b) De la función g se puede afirmar que el conjunto imagen es . Estás en presencia de una función constante y su imagen siempre es el conjunto unitario cuyo elemento es el valor de n. c) De la función h se puede afirmar que es impar. La recta es simétrica respecto al origen de coordenadas. 4.2. a) La ecuación de la función h es h(x) = 2x. Como la recta pasa por el origen de coordenadas, n = 0 y la ecuación es de la forma y = mx. Sustituyes el par (2 ; 4) en la ecuación y obtienes 4 = 2m, de donde m = 2. También puedes hallar la pendiente utilizando la fórmula estudiada y los puntos (0 ; 0) y (2 ; 4). b) La función f es monótona decreciente. Ten presente que la ecuación no está ordenada y la pendiente es el coeficiente de la x, m = – 1. c) El dominio de la función g es

.

Recuerda que las funciones lineales tienen dominio el conjunto de los números reales, pues su gráfica barre todo el eje "x". d) f(– 1) es igual a 3. Recuerda que debes sustituir en la ecuación la x por – 1 y efectuar el cálculo indicado.

Existen diferentes fenómenos en la vida cuyo comportamiento es completamente lineal y otros que lo hacen por momentos. En estos casos el análisis de gráfico de esos fenómenos te permiten realizar estudios sobre comportamientos posteriores. A continuación te mostramos dos ejemplos.

:Ejercicio 5 Una sustancia se somete a un proceso de enfriamiento durante varios minutos. En la gráfica se muestra cómo fue variando su temperatura durante el proceso, a partir de las 11:40 a.m. y hasta finalizar. a) ¿Cuál era la temperatura inicial de la sustancia? b) ¿Durante cuánto tiempo estuvo descendiendo la temperatura? c) ¿A qué hora la sustancia alcanzó los 0oC? d) ¿Cuál fue la temperatura mínima alcanzada por la sustancia? Solución  Para

resolver todos estos incisos debes apoyarte en la información que te brinda la gráfica. a) La temperatura inicial de la sustancia puedes determinarla observando la gráfica que parte de 15 en el eje de las ordenadas. o

R/ La temperatura inicial es 150C.

b) Como la gráfica desciende durante toda la medición basta con observar el tiempo que marca la culminación del proceso de enfriamiento. o

R/ La temperatura estuvo descendiendo durante 28 minutos.

c) Para responder a qué hora la sustancia alcanzó los 0oC debes : 3. Hallar el cero de la función  Para

hallar el cero de la función es necesario escribir su ecuaciónque en este caso no la ofrecen. Como la gráfica corta al eje "y" en 15, el valor de n es 15.

Tomas el par (4 ; 12) que es un punto de la gráfica y el valor de n y los sustituyes en y = mx + n para hallar el valor de m 12 = 4m + 15 (Sustituyes el par y m en la ecuación) 12 – 15 = 4m (Transpones el 15) – 3 = 4m (Efectúas la sustracción) m = – 0,75 (Hallas el valor de m) La ecuación es T = – 0,75t + 15 4. Calculas el cero: 0 = – 0,75t + 15 (Sustituyes y por cero) 0,75t = 15 (Transpones el primer término al otro miembro para que quede positivo) t = 20 (Despejas t) Como te piden la hora, debes adicionar 20 minutos a la hora de inicio del proceso (11:40 a.m.). Obtienes las doce meridiano. R/ La sustancia alcanzó los 0ºC a las 12:00 m.  d)

Para determinar la temperatura mínima alcanzada por la sustancia debes observar en la gráfica que la temperatura mínima se alcanza cuando han transcurrido 28 minutos. Luego, sustituyes en la ecuación el tiempo por 28 y calculas la temperatura pedida: T = – 0,75t + 15 T = – 0,75.28 + 15 = – 21 + 15 = – 6 R/ La temperatura mínima alcanzada por la sustancia fue de –60C.

:Ejercicio 6 Un tanque que contenía cierta cantidad de agua se llenó completamente utilizando una manguera a partir de la 1:00 p.m. Después de cierto tiempo se comienza a utilizar el agua para una limpieza general hasta vaciarse completamente. La gráfica muestra la cantidad de litros de agua que contiene el tanque en cada momento.

C: cantidad de litros de agua que contiene el tanque. t: tiempo en minutos. a) Si la ecuación que describe el proceso de llenado del tanque es , ¿cuál es la capacidad del tanque?  Para

resolver este inciso, debes completar la ecuación dada con el valor de n. Como ya conoces, el valor de la ordenada de donde parte la gráfica es precisamente el valor de n. Por otra parte, el tanque se llenó a los 30 minutos, por lo que la capacidad se halla, sustituyendo en la ecuación t por 30:

R/ La capacidad del tanque es de 100 litros. b) Durante el proceso de llenado, ¿a los cuántos minutos el tanque contenía agua hasta el 60% de su capacidad?  El

60% de 100 litros, es 60 litros. Sustituyes 60 en la ecuación y despejas el tiempo.

R/ El tanque contenía agua hasta el 60% de su capacidad a los 15 minutos. c) ¿A qué hora se llenó completamente el tanque?  De

la gráfica se observa que el tanque se llenó a los 30 minutos, pero te piden la hora. Adicionas los 30 minutos a la hora de inicio del proceso (1:00 p.m.).

R/ El tanque se llenó completamente a la 1.30 p.m. d) ¿Durante cuántos segundos no se utilizó agua del tanque?  El tramo que es

paralelo al eje de las abscisas es el que muestra donde no varió la cantidad de agua en el tanque. Este tramo va de 30 a 45, luego son 15 minutos, los cuales debes convertir a segundos.

R/ No se utilizó agua en el tanque durante 900 segundos. e) Si la ecuación que describe el proceso de vaciado es C = mt + 200, ¿en qué tiempo se vació completamente el tanque?  El

tanque se vacía por completo cuando no contiene agua, luego debes calcular el cero de la función. o

Como la ecuación del proceso de vaciado no está completa, debes hallar el valor de m. Para ello, tomas el par (45 ; 100) que pertenece a ese tramo y lo sustituyes en la ecuación dada. 100 = m. 45 + 200 100 – 200 = 45m – 100 = 45m

La ecuación queda: o

 El

Calculas el cero:

tanque comenzó a vaciarse a partir de los 45 minutos y hasta los 90 minutos. Luego, demora en vaciarse 45 minutos.

R/ El tanque se vació completamente en 45 minutos. En ocasiones debes realizar el análisis de las propiedades de una función lineal con dominio restringido. En estos caso, aparecen propiedades que no existen para las funciones lineales cono dominio los reales y otras cambian, respecto a su análisis. A continuación te mostramos un ejemplo concreto.

:Ejercicio 7 Sea la función lineal d cuya ecuación es d(x) = 3x + 9, definida para todos los números reales, tales que . a) Haz el esbozo del gráfico de dicha función en el dominio indicado. b) Escribe su conjunto imagen. c) ¿Para qué valores reales la función d es positiva? d) Señala su valor mínimo y su valor máximo. Solución

a) Para realizar el esbozo del gráfico de esta función lineal, debes: 1. Hallar la imagen para los elementos del dominio que son extremos del intervalo dado. d(– 4) = 3.(– 4) + 9 = – 12 + 9 = – 3 d(2)= 3(2) + 9 = 15 2. Calcular su cero. 3x + 9 = 0 3x = – 9 x=–3 3. Ubicas los valores hallados y trazas el segmento limitado por los extremos del intervalo dado. b) Para escribir su conjunto imagen, debes observar en la gráfica, qué parte del eje "y" barre la gráfica.  Como

puedes observar, la gráfica va de – 3 hasta 15. Estos valores se incluyen, ya que el intervalo dado es cerrado. R/ El conjunto imagen de la función d es

.

c) Para escribir los signos de la función se toma como referencia su cero.  Como

puedes apreciar, la gráfica está por encima del eje "x" a la derecha de – 3 y hasta 2. Al escribir el intervalo, ten en cuenta que para x = 2, la gráfica está por encima del eje "x", por lo que el 2 se incluye en la respuesta.

R/ La función es positiva para

.

d) Normalmente las funciones lineales no tienen máximo ni mínimo, ya que su gráfica es infinita hacia arriba y hacia bajo. En este caso, al estar limitado su dominio, tiene ambos valores.  El

valor máximo es el mayor valor que toman las ordenadas y el valor mínimo, el menor de ellos. R/ El valor máximo de la función d es y = 15 y el valor mínimo y = – 3.