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• Emmanuel

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4.1 Tiro de un dado. Un experimento consiste en tirar un solo dado. Éstos son algunos eventos: A: observar un 2 B: observar un número par C: observar un número mayor a 2 D: observar A y B E: observar A o B o ambos F: observar A y C a. Haga una lista de eventos sencillos del espacio muestral. Lista de eventos simples: e₁: 1 e₂:2 e₃:3 e₄:4 e₅:5 e₆:6 b. Haga una lista de eventos sencillos en cada uno de los eventos A al F. A= {e₂} B= {e₂, e₄, e₆} C= {e₃, e₄, e₅, e₆} D= {e₂} E= {e₂, e₄, e₆} F= { } c. ¿Qué probabilidades debe asignar a los eventos sencillos? 1/6 d. Calcule las probabilidades de los seis eventos A al F sumando las probabilidades apropiadas de evento simple. 𝑃(𝐴) = 𝑃(E₂) 1 𝑃(𝐴) = 6 𝑃(𝐵) = 𝑃(E₂) + 𝑃(E₄) + 𝑃(E₆) 𝑃(𝐵) =

1 1 1 3 + + = 6 6 6 6

𝑃(𝐶) = 𝑃(E₃) + P(E₄) + P(E₅) + P(E₆) 𝑃(𝐶) =

1 1 1 1 4 + + + = 6 6 6 6 6

𝑃(𝐷) = 𝑃(E₂)

𝑃(𝐷) =

1 6

𝑃(𝐹) = 𝐴 ∩ 𝐵 = 0

4.2 Un espacio muestral S está formado por cinco eventos sencillos con estas probabilidades: P(E₁) = P(E₂) = .15 P(E₃) = .4

P(E₄) = 2P(E₅)

a. Encuentre las probabilidades para los eventos sencillos E₄ y E₅. 𝑃 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃(E₁) + 𝑃(E₂) + 𝑃(E₃) + 𝑃(E₄) + 𝑃(E₅) = 1 . 15 + .15 + .4 + 𝑃(E₅) + 2𝑃(E₅) = 1 . 7 + 3𝑃(E₄) = 1 0.3 𝑃(E₅) = = 0.1 3 2𝑃(E₅) = 𝑃(E 4 ) = 0.2 b. Encuentre las probabilidades para estos dos eventos: A = {E₁, E₃, E₄} B = {E₂, E₃}

𝑃(𝐴) = 𝑃(E₁) + 𝑃(E₃) + 𝑃(E₄) = .15 + .4 + .2 = .75 𝑃(𝐵) = 𝑃(E₂) + 𝑃(E₃) = .15 + .4 = .55

c. Haga una lista de eventos sencillos que se encuentren en el evento A o en el evento B o en ambos. 𝐴 ∪ 𝐵 = {E₁, E₂, E₃, E₄} d. Haga una lista de eventos sencillos que se encuentre en el evento A y en el B. 𝐴 ∩ 𝐵 = {E₃}

4.3 Un espacio muestral contiene 10 eventos sencillos: E₁, E₂, . . . , E₁₀. Si P(E₁) = 3P(E₂) = .45 y los restantes eventos sencillos son igualmente probables, encuentre las probabilidades de estos restantes eventos. 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐸₁) + 𝑃(𝐸₂) + 𝑃(𝐸₃) + 𝑃(𝐸₄) + 𝑃(𝐸₅) + 𝑃(𝐸₆) + 𝑃(𝐸₇) + 𝑃(𝐸₈) + 𝑃(𝐸₉) + 𝑃(𝐸₁₀) =1 . 45 + .15 + 7𝑃(𝐸₃) = 1 7𝑃(𝐸₃) = .4 𝑃(𝐸₃⃨₁₀) =

.4 2 = 7 35

4.5 Cuatro monedas. Un frasco contiene cuatro monedas: una de cinco, una de 10, una de 25 y una de 50 centavos. Se seleccionan al azar tres monedas del frasco.

a. Haga una lista de los eventos simples en S. E₁: 5,10,25 E₂:5,10,50 E₃:5,25,50 E₄:10,25,50 b. ¿Cuál es la probabilidad de que la selección contenga la moneda de 50 centavos? 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐸₂) + 𝑃(𝐸₃) + 𝑃(𝐸₄) =

3 4

c. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma total sacada sea igual a 60 centavos o más? 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐸₂) + 𝑃(𝐸₃) + 𝑃(𝐸₄) =

3 4

4.7 El problema de la urna. Un tazón contiene tres pelotas rojas y dos amarillas. Dos de ellas se seleccionan al azar y se registran sus colores. Use un diagrama de árbol para hacer una lista de los 20 eventos simples del experimento, teniendo en mente el orden en el que se sacan las pelotas. Roja

1

Roja

2

Amarilla

3

Amarilla

4

Roja

5

Roja

6

Amarilla

7

Amarilla

8

Roja

9

Roja

Roja

Roja

10

Amarilla

11

Amarilla

12

Roja

13

Roja

14

Roja

15

Amarilla

16

Roja

17

Roja

18

Roja

19

Amarilla

20

Roja

Amarilla

Amarilla

4.9 ¿Necesita lentes?. Un estudio clasificó a un gran número de adultos de acuerdo a si se considera que necesitan lentes para corregir su vista para leer y si usan lentes cuando leen. Las proporciones que caen en las cuatro categorías se muestran en la tabla siguiente. (Observe que una pequeña proporción, .02, de adultos usaba lentes cuando de hecho se considera que no los necesitan.)

Si un solo adulto se selecciona de este grupo grande, encuentre la probabilidad de cada evento: a. Se considera que el adulto necesita lentes. 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐸₁) + 𝑃(𝐸₂) 𝑃(𝐴) = .44 + .14 = 58 b. El adulto necesita lentes para leer pero no los usa. 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐸₂) 𝑃(𝐴) = .14 c. El adulto usa lentes para leer, los necesite o no.

𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐸₁) + 𝑃(𝐸₃) 𝑃(𝐴). 44 + .02 = .46

4.11 Miembros de un jurado. Tres personas son seleccionadas al azar de un registro de votantes y de personas con licencia de manejo, para reportarse como miembros de un jurado. El concejal del condado toma nota del género de cada persona. a. Defina el experimento. S={p1,p2,p3,p4} b. Haga una lista de los eventos simples en S. E₁:{p1,p2,p3} E₂:{p1,p2,p4} E₃:{p1,p3,p4} E₄:{p2,p3,p4}

c. Si es igualmente probable que cada persona sea hombre o mujer, ¿qué probabilidad le asigna usted a cada evento simple? 1/4 d. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo una de las tres sea mujer? 100% e. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean mujeres? 0

4.13 Probadores de té. Una compañía de alimentos planea efectuar un experimento para comparar su marca de té con la de dos competidores. Una sola persona es contratada para probar y clasificar cada una de las tres marcas de té, que no tienen marca excepto por símbolos de identificación A, B y C. a. Defina el experimento. S={A,B,C} b. Haga una lista de eventos simples en S. E₁:{A,B,C} E₂:{A,C,B} E₃:{B,A,C} E₄:{B,C,A} E₅:{C,A,B} E₆:{C,B,A}

c. Si el probador no tiene capacidad para distinguir una diferencia en gusto entre los tés, ¿cuál es la probabilidad de que el probador clasifique el té tipo A como el más deseable? ¿Como el menos deseable? 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐸₁) + 𝑃(𝐸₂) 1 1 2 𝑃(𝐴) = + = 6 6 6 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐸₄) + 𝑃(𝐸₆) 1 1 2 𝑃(𝐵) = + = 6 6 6