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• Daniela

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1 Probabilidad y Estad´ıstica Cuarta lista de ejercicios Ricardo Ceballos Sebasti´ an Distribuciones para variables aleatorias discretas y continuas 1. Si X tiene una distribuci´ on de Poisson con par´ametro β, y si P (X = 0) = 0,2, calcule la probabilidad de que X ≥ 2. 2. Sea X una distribuci´ on de Poisson con par´ametro λ. Encontrar el valor de k para el cual P (X = k) es la mayor. Sugerencia (comparar P (X = k) con P (X = k − 1). 3. El n´ umero de buques tanques, digamos N, que llegan cada d´ıa a cierta refiner´ıa tiene una distribuci´ on de Poisson con par´ ametro λ = 2. Las actuales instalacones portuarias pueden despachar tres buques al d´ıa. Si m´ as de tres buques llegan en un d´ıa, los que est´an en exceso deben enviarse a otro puerto. a) En un d´ıa determinado, ¿cu´ al es la probabilidad de tener que desviar buques tanques a otro puerto? b) ¿En cu´ anto debe aumentarse la capacidad de las instalaciones actuales para permitir la atenci´ on de buques tanques el 90 % de los d´ıas? c) ¿Cu´al es el n´ umero esperado de buques tanques que llegan al d´ıa? d) ¿Cu´al es el n´ umero m´ as probable de buques tanques que llegan diariamente? e) ¿Cu´al es el n´ umero esperado de buques tanques atendidos diariamente? f) ¿Cu´al es el n´ umero esperado de buques tanques devueltos diariamente? 4. Suponga que la probabilidad de que un art´ıculo produciddo por una m´aquina especial sea defectuoso es igual 0.2. Si 10 art´ıculos producidos, se seleccional al azar.¿Cu´al es la probabilidad de que no se encuentre m´ as de un art´ıculo defectuoso? Use las distribuciones binomial y de Poisson y compare los resultados. 5. Una compa˜ n´ıa de seguros ha descubierto que solo 0.1 por ciento de la poblaci´on tiene cierto tipo de accidente cada a˜ no. Si los 10,000 asegurados fueran escogidos aleatoriamente en la poblaci´on, ¿cu´ al ser´a la probabilidad de que no m´ as de 5 de estos clientes tengan un accidente de este tipo el pr´ oximo a˜ no? 6. Suponga que X tiene distribuci´ on de Poisson. Si P (X = 2) = P (X = 3).

2 P (X = 1), calcular, P (X = 0) y 3

7. Un productor de pel´ıculas produce 10 rollos de una pel´ıcula especialmente sensible cada a˜ no. Si la pel´ıcula no se vende dentro del a˜ no, debe descartarse. Experiencias pasadas indican que D, la demanda (peque˜ na) para la pel´ıcula es una variable aleatoria con distribuci´on de Poisson cuyo par´ametro es 8. Si se obtiene una utilidad de $7 en cada rollo vendido, mientras que ocurre una p´erdidad de $3 por cada rollo que debe ser descartado, calular la utilidad esperada que el fabricante puede obtener con los 10 rollos que produce. 8. Suponga que una fuente radiactiva emite part´ıculas y que el n´ umero de tales part´ıculas emitidas durante el periodo de una hora tiene una distrubuci´on de Poisson con par´ametro λ. Se utiliza un instrumento para contar y para anotar el n´ umero de part´ıculas emitidas. Si m´as de 30 part´ıculas llegan durante cualquier per´ıodo de una hora, el instrumento para anotar es incapaz de controlar el exceso y simplemente anota 30. Si Y es la variable aleatoria definida como el n´ umero de part´ıculas anotadas por el instrumento que cuenta, obtenga la distribuci´on de probabilidad de Y.

2 9. Suponga que una fuente radiactiva emite part´ıculas y que el n´ umero de tales part´ıculas emitidas durante el periodo de una hora tiene una distrubuci´on de Poisson con par´ametro λ. Consideremos que el instrumento para contar tales emisiones falla ocasionalmente en anotar una part´ıcula emitida. Sup´ongase, espec´ıficamente, que cualquier part´ıcula emitida, tiene una probabilidad p de ser anotada. a) Si Y est´ a definida como el n´ umero de part´ıculas anotadas. Determine una expresi´on para la distribuci´ on de probabilidad de Y. b) Calcule P (Y = 0), si λ = 4 y p = 0,9. 10. Sup´ongase que un dep´ osito contiene 10,000 part´ıculas. La probabilidad de que una de esas part´ıculas salga del dep´ osito es igual a 0.0004. ¿Cu´al es la probabilidad de que ocurran m´as de 5 salidas?(Suponga que las diversas salidas son independientes unas de otras) 11. Sup´ongase que un libro de 585 p´ aginas contiene 43 errores tipogr´aficos. Si esos errores est´an distribuidos aleatoriamente en el libro, ¿cu´ al es la probabilidad de que 10 p´aginas, seleccionadas aleatoriamente, est´en libres de errores?(Suponga que X, la variable que mide el n´ umero de errores por p´ agina, tiene una distribuci´ on de Poisson). 12. Se observa una fuente radiactiva durante 7 intervalos de 10 segundos de duraci´on cada uno y se cuenta el n´ umero de part´ıculas emitidas durante cada per´ıodo. Suponiendo que el n´ umero de part´ıculas emitidas, digamos X, durante cada per´ıodo observado tiene una disrtribuci´on de Poisson con par´ ametro 5.0. (Es decir, las part´ıculas son emitidas a raz´on de 0.5 part´ıculas por segundo) a) ¿Cu´al es la probabilidad de que en cada uno de los 7 intervalos de tiempo, sean emitidas 4 o m´as part´ıculas? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que en al menos uno de los 7 intervalos de tiempo, sean emitidas 4 o m´as part´ıculas? 13. Se ha encontrado que el n´ umero de fallas de transistores en un computador electr´onico en cualquier per´ıodo de una hora puede considerarse como una variable aleatoria que tiene una distribuci´ on de Poisson con par´ ametro 0.1. (Es decir, en promedio hay una falla de un transistor cada 10 horas). Se inicia cierto proceso que requiere 20 horas de tiempo de c´omputo, a) Encuentre la probabilidad de que el proceso anterior pueda ser terminado exitosamente sin una falla.(Se supone que la m´ aquina llega a ser inoperante s´olo si fallan 3 o m´as transistores) b) Lo mismo que en a) solo que la m´aquina llega a ser inoperante si fallan 2 o m´as transistores. 14. Al formar n´ umeros binarios con n d´ıgitos, la probabilidad de que aparezca un d´ıgito incorrecto es 0.002. Si los errores son independientes, ¿cu´al es la probabilidad de encontrar 0, uno m´as de un d´ıgito incorrecto en un n´ umero binario de 25 d´ıgitos? Si el computador forma 106 de tales n´ umeros de 25 d´ıgitos por segundo, ¿Cu´ al es la probabilidad de que se forme un n´ umero incorrecto durante cualquier per´ıodo de un segundo? 15. Se emplean dos procedimientos independientes en la operaci´on de lanzamiento de cohetes. Sup´ ongase que cada uno de los procedimientos se continua hasta que se produce un lanzamiento exitoso. Se supone que al usar el procemimieto I, P(E), la probabilidad de un lanzamiento exitoso es igual a p1 , mientras que para el procedimiento II, P(E) es igual a p2 . Se supone adem´as, que cada semana se hace un intento con cada uno de los dos m´etodos. Representemos con X1 y X2 al n´ umero de semanas necesarias para obtener un lanzamiento exitoso, por medio de los m´etodos I y II, respectivamente. X1 y X2 son variables aleatorias independientes, cada una de las cuales tiene una distribuci´on geom´etrica. Sea W el m´ınimo (X1 , X2 ) y sea Z el m´aximo (X1 , X2 ). W representa el n´ umero de semanas necesarias para obtener un lanzamiento exitoso, mientras que Z representa el n´ umero de semanas necesarias para obtener un lanzamiento exitoso con ambos procedimiento. Si el procedimiento I resulta en, E E E E, mientras que el procedimiento II resulta en E E E, tenemos que W = 3, Z = 4.

3 a) Obtener una expresi´ on para la distribuci´on de probabiliadad de W. Exprese el suceso W = k en funci´on de X1 y X2 . b) Obtener una expresi´ on para la didtribuci´on de probabiliadad de Z. c) Escribir nuevamente las expresiones anteriores si p1 = p2 . 16. Se arman cuatro componentes en un solo aparato. Las componentes originan fuentes independientes y pi = P (i-´esima componente defectuosa), i = 1, 2, 3, 4. a) Obtener una expresi´ on de la probabiliadad de que el aparato completo funcione. b) Obtener una expresi´ on de la probabiliadad de que al menos tres componentes funcionen. c) Si p1 = p2 = 0,1 y p3 = p4 = 0,2, calcule la probabilidad de que funcionen exactamente 2 componentes. 17. Un mec´anico mantiene un gran n´ umero de arandelas en un dep´osito. El 50 % de esas arandelas son de 1/4 de pulgadas de di´ ametro; el 30 % son de 1/8 de pulgada de di´ametro; y el 20 % restante son 3/8 de pulgadas de di´ ametro. Se supone que se eligen 10 arandelas. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que haya exactamente 5 arandelas de 1/4 de pulgadas, cuatro de 1/8 de pulgada, y una de 3/8 de pulgada? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que solo haya dos clases de arandelas entre las elegidas? c) ¿Cu´al es la probabilidad de que las tres clases de arandelas est´en entre las elegidas? d) ¿Cu´al es la probabilidad de que haya 3 de una clase, 3 de otra clase y finalmente 4 de la tercera clase en una muestra de 10? 18. El n´ umero de part´ıculas emitidas por una fuente radiactiva durante un per´ıodo espec´ıfico es una variable aleatoria con una distribuci´ on de Poisson. Si la probabilidad de ninguna emisi´on es igual a 1/3, ¿cu´al es la probabilidad de que ocurran 2 o m´as emisiones? 19. Sup´ongase que Xt , el n´ umero de part´ıculas emitidas en t horas por una fuente radiactiva, tiene una distribuci´on de Poisson con par´ ametro 20t. ¿Cu´al es la probabilidad de que exactamente 5 part´ıculas sean emitidas durante un per´ıodo de 15 minutos? 20. La probabilidad de un lanzamiento exitoso es igual 0.8. Supongamos que se hacen ensayos de lanzamientos hasta que han ocurrido 3 lanzamientos exitosos. ¿Cu´al es la probabilidad de que sean necesarios 6 intentos? ¿Cu´ al es la probabilidad de que sean necesarios menos de 6 intentos? 21. Para el problema 20, supongamos que los ensayos de lanzamientos se hacen hasta que ocurren tres lanzamientos consecutivos exitosos. Reaponda las preguntas formuladas en el problema previo para este caso. 22. Considere nuevamente la situaci´ on descrita en el problema 20. Supongamos que cada uno de los ensayos de lanzamiento cuesta $5, 000. Adem´as, un lanzamiento que fracase produce un costo adicional de $500. Calcular el costo esperado para la situaci´on descrita. 23. Sup´ongase que X tiene una distribuci´on N (2, 0, 16). Use la tabla de la distribuci´on normal para evaluar las distribuciones siguientes. a) P (X ≥ 2,3), b) P (1,8 ≤ X ≤ 2,1). 24. El di´ametro de un cable est´ a distribuido normalmente con media 0.8 y varianza 0.0004. ¿Cu´ al es la probabilidad de que el di´ ametro sobre pase 0.81 pulgadas? 25. Suponiendo que el cable en el problema 24 se considere defectuoso si el di´ametro se diferencia de su media en 0.025. ¿Cu´ al es la probabilidad de obtener un cable defectuoso?

4 26. Se sabe que los errores en cierto instrumento para medir longitudes est´an distribuidos normalmente, con valor esperado cero y desviaci´ on es´andar 1 pulgada. ¿Cu´al es la probabilidad de que al medir los errores, sean mayores de 1 pulgada, 2 pulgadas, 3 pulgadas? 27. Suponiendo que los instrumentos D1 y D2 tienen distribuciones N (40, 36) y N (45, 9), respectivamente. ¿Cu´al debe preferirse para usarlo en un per´ıodo de 45 horas? ¿Cu´al debe preferirse para usarlo en un per´ıodo de 48 horas? 28. Podemos interesarnos solo en la magnitud X, digamos Y = |X|. Si X tiene una distribuci´on N (0, 1) determine la funci´ on de probabilidad de Y , y calcule E(Y ) y V ar(Y ). 29. Sup´ongase que estamos determinando la posici´on de un objeto en el plano. Sean X y Y los errores en las medidas de las coordenadas x y y, respectivamente. Sup´ongase que X y Y son variables independientes, con distribuciones id´enticas N (0, σ 2 ). Encuentre la funci´on de probabilidad de R = √ X 2 + Y 2 . La distribuci´ on de R se conoce como la distribuci´on de Rayleigh.(Sugerencia: Considere X = R cos ψ y X = R sen ψ. Encuentre la funci´on de distribuci´on conjunta de (R, ψ) y luego obtenga la densidad marginal de R X 30. Encuentre la funci´ on de probabilidad de la variable aleatoria Q = , donde X y Y est´an distribuidas Y como en el problema 29. La distribuci´on de Q se conoce como distribuci´on de Cauchy. ¿Se puede calcular E(Q)? 31. Una distribuci´ on muy relacionada con la distribuci´on normal es la distribuci´on lognormal. Sup´ ongase que X est´a distribuida normalmente con media µ y varianza σ 2 - Sea Y = eX , entonces Y tiene la distribuci´on lognormal. Es decir, Y es log normal si y solo si lnY es normal. Encuentre la funci´ on de probabilidad de Y . 32. Suponga que X tiene una distribuci´ on N (µ, σ). Determine c como una funci´on de µ y σ >, donde P (X ≤ c) = 2P (x > c). 33. Sup´ongase que la temperatura, medida en grados cent´ıgrados, est´a distribuida normalmente con media 50◦ y varianza 4. ¿Cu´ al es la probabilidad de que la temperatura T est´e entre 48◦ y 53◦ cent´ıgrados? 34. Se especifica que el di´ ametro exterior de una flecha, llam´emosle D, debe ser de 4in ( 4 pulgadas). Sup´ongase que D es una variable aleatoria distribuida normalmente con media 4 in y varianza .01 in2 . Si el di´ ametro real se diferencia del valor especificado por m´as de .05 in, pero en menos de .08 in, la p´erdida del fabriante es de $0.50. Si el di´ametro real se diferencia del di´ametro especificado en m´as de 0.08 in, la p´erdida es de $1.00. La p´erdida L puede considerarse como una variable aleatoria. Encuentre la distribuci´ on de probabilidad de L y determine E(L). p 35. Compare la cota superior de la probabilidad P [|X − E(X)| ≥ 2 var(X)] obtenida con la desigualdad de Chebyshev con la probalidad exacta en cada uno de los casos siguientes: a) X tiene distribuci´ on N (µ, σ 2 ), b) X tiene la distribuci´ on de Poisson con par´ametro λ, c) X tiene la distribuci´ on de exponencial con par´ametro α. 36. Sup´ongase que X es una variable aleatoria para la cual E(X) = µ y var(X) = σ 2 . Suponiendo que Y est´a distribuida uniformemente en el intervalo (a,b), determine a y b de manera que E(X)=E(Y) y var(X)=var(Y). 37. Sup´ongase que X, la resistencia a la ruptura de una cuerda (en libras), tiene distribuci´on N(100,16). Cada 100ft (100 pies) de alambre para cuerda produce una utilidad de $25, si X > 95. Si X ≤ 95, la cuerda puede utilizarse con un objetivo diferente y se obtiene una utilidad de $10 por alambre. Encuentre la utilidad esperada por alambre.

5 38. Sean X1 y X2 variables aleatorias independientes cada una con una distribuci´on N (µ, σ 2 ). Sea Z(t) = X1 cos ωt + X2 sen ωt. Esta variable aleatoria es de inter´es en el estudio de se˜ nales aleatorias. Sea dZ(t) V (t) = . Se supone que ω es constante. dt a) ¿Cu´al es la distribuci´ on de probabilidad de Z(t) y V(t) para cualquier t fija? b) Demuestre que Z(t) y V(t) no est´an correlacionados. [Es posible demostrar que Z(t) y V(t) son independientes, pero esto es m´ as complicado] 39. Un combustible para cohetes va a contener cierto porcentaje (llam´emosle X) de un compuesto particular. Las especificaciones exigen que X est´e entre 30 y 35 por ciento. El fabricante tendr´ a una utilidad neta en el combustible (por gal´on) que est´a expresada por la siguiente funci´on de X:   +$0,10 por gal´on si, +$0,05 por gal´on si, T (X) =  −$0,10 por gal´on,

30 < X < 35 30 < X < 35 O 25 < X ≤ 30 en cualquier otro caso.

a) Si X tiene distribuci´ on N(33,9), calcule E(T) b) Suponga que el fabricante desea incrementar su utilidad esperada E(T) en 50 %, aumentando su utilidad por gal´ on, en aquellas partidas de combustibles que satisfacen las especificaciones 30 < X < 35. ¿Cu´ al debe ser su utilidad neta? 40. Sup´ongase que la duraci´ on en horas, digamos T, de cierto tubo electr´onico es una variable aleatoria con una distribuci´ on exponecial con par´ametro β. Es decir, la funci´on de densidad est´a dada por  βe−βt , t≥0 f (t) = 0, en otro caso. Una m´aquina que usa este tubo cuesta C1 pesos/hora para funcionar. Mientras la m´aquina est´ a funcionando, se obtiene una utilidad de C2 pesos/hora. Debe contratarse un operador para un n´ umero prefijado de horas, digamos H, y obtiene un pago de C3 pesos/hora. ¿Para qu´e valor de H es m´ axima la utilidad esperada? 41. Consideremos el ejemplo 40. Suponiendo que se le pagan C3 dolares/hora al operador mientras la m´aquina est´ a funcionando y C4 dolares/hora (C4 < C3 ) por el resto del tiempo durante el cual ha sido contratado despu´es de que la m´ aquina ha fallado. Determine nuevamente para qu´e valores de H (el n´ umero horas que el operador es contratado), la utilidad esperada es m´axima