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EJERCICIOS PROBABILIDAD La mejor manera para aprender como resolver problemas de probabilidad es haciendolos. Cual es la probabilidad de que no haya 2 pasajeros que salgan en el mismo piso?. 3. Suponga que las calles de una ciudad forman una malla con calles que van de sur a norte y de este a oeste. Considere el siguiente esquema para patrullar un area de 16 cuadras por 16 cuadras. Un patrullero comienza a patrullar en la interseccion en el centro del area. En la esquina de cada cuadra el elige aleatoriamente ir hacia el norte, hacia el sur, este u oeste. >Cual es la probabilidad de que el: (a) Alcance los l mites de su area de patrullaje una vez que el ha caminado 8 cuadras. (b) Retornase al punto de partida despues de caminar exactamente cuatro cuadras. 4. Un alto cargo de una compa~ nia decide que en el futuro se divida el presupuesto de publicidad entre dos agencias. Ocho son las agencias que se estan considerando para este trabajo Ai i = 1; :::; 8. Calcular la probabilidad que A1 sea seleccionada. 5. Un compartimiento contiene 3 componentes del proveedor A; 4 del proveedor B y 5 del proveedor C: Se seleccionan aleatoriamente 4 de los componentes para probarlos >Cual es la probabilidad que se pruebe por lo menos un componente de cada proveedor? 6. Se van a repartir 8 regalos entre 4 ni~ nos, Si todos deben recibir regalo y todos los regalos deben ser entregados. Halle la probabilidad de: (a) Los ni~ nos reciban igual numero de regalos. (b) Dos ni~ nos reciban tres regalos. 7. Tres ni~ nos, tres ni~ nas y cuatro adultos se forman para subir a un autobus. Halle la probabilidad que: (a) Las ni~ nas queden juntas, pero no en los extremos. (b) Las ni~ nas queden juntas en los extremos. (c) Las ni~ nas queden juntas y los ni~ nos tambien. (d) Los adultos queden juntos 8. Si cuatro hombres y cuatro mujeres van a sentarse en torno a una mesa redonda. Calcule la probabilidad de: (a) Hombres y mujeres se sienten alternadamente. (b) Los hombres juntos. 9. Si 5 personas se sientan aleatoriamente en 10 asientos >Cual es la probabilidad de no haya dos personas sentadas en asientos contiguos? Generalice el resultado anterior, si k personas se sientan aleatoriamente en una la de n asientos (n > k) >Cual es la probabilidad de que ocupen k asientos contiguos en la la? 10. Se van a enviar 30 personas (8 mujeres y 22 hombres) por igual a 3 municipios (A, B, C) para realizar una encuesta. >Cual es la probabilidad que las mujeres sean enviadas al mismo municipio?

11. Un productor tiene almacenadas 12 maquinas, 3 de los cuales fueron suministradas por un proveedor A. Se deben distribuir por igual las maquinas a tres secciones. Halle la probabilidad que: (a) Las tres maquinas del proveedor A sean asignadas a la misma seccion. (b) Cada seccion reciba una maquina del proveedor A. 12. 100 estudiantes de matematicas se dividen en cinco clases, cada una con 20 estudiantes, 10 de estos van a ser premiados. Si todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de recibir el premio >Cual es la probabilidad de que exactamente 2 estudiantes de cada clase reciban premio? 13. De 5 numeros negativos y 3 numeros positivos se seleccionan 4 numeros y se multiplican >Cual es la probabilidad de que el resultado sea negativo? Considere que la seleccion es: (a) Uno por uno y sin reemplazo (b) Uno por uno y con reemplazo (c) Al tiempo. 14. Si se colocan al azar 10 bolas en 15 urnas >Cual es la probabilidad de que ninguna urna contenga mas de una bola? 15. Una caja contiene balotas numeradas del 0 al 9. Se seleccionan dos balotas. Halle la probabilidad que los dos numeros seleccionados sean enteros consecutivos, si: (a) La seleccion es una por una con reemplazo. (b) La seleccion es uno por uno sin reemplazo. (c) Se seleccionan las dos balotas al tiempo. 16. Un vendedor tiene almacenados 9 motores 4 fueron ensamblados en Colombia y el resto fuera del pa s, se seleccionan 3 motores para la venta, calcule la probabilidad de los siguientes eventos: (a) Los tres escogidos sean ensamblados en el mismo lugar. (b) Se escojan 2 ensamblados en Colombia. 17. De un grupo de 4 ingenieros y 3 economistas se a formar un comite de 5 personas. (a) Calcular la probabilidad que se escojan todos los ingenieros. (b) Si un ingeniero particular debe estar en el comite calcular la probabilidad que se escojan todos los economistas. 18. En un concurso regional de ortograf a, los ocho nalistas son 3 ni~ nos y 5 ni~ nas. Hallar la probabilidad de los siguientes eventos: (a) Los tres primeros nalistas son ni~ nas. (b) Los ni~ nos ocuparon los primeros lugares. 19. Un colegio participa en 12 juegos de futbol durante una temporada. Hallar la probabilidad que el colegio termine la temporada con: (a) 5 empates 3 victorias y 4 derrotas. (b) 6 derrotas y 6 victorias. 20. Nueve personas van de paseo en tres autos (Camioneta, deportivo, de lujo) con capacidades para cinco, cuatro y dos pasajeros, respectivamente. >Cual es la probabilidad que el auto de lujo vaya con el cupo completo? 21. El profesor de estad stica decide seleccionar 5 estudiantes de la lista que contiene 30 nombres, para realizar algunos ejercicios. Encuentre la probabilidad que el primer y el ultimo nombre de la lista sean seleccionados. 2

22. An bal, Juan y Carlos lanzan una moneda para decidir quien paga la cuenta en un restaurante, Si el disparejo para la cuenta. (a) >Cual es la probabilidad que se necesiten tres lanzamientos para saber quien paga la cuenta? (b) >Cual es la probabilidad que Juan pague la cuenta y se necesite solo un lanzamiento? 23. Dos jugadores A y B se turnan para lanzar un par de dados y que el ganador es el primer jugador que obtenga una suma de 7 en un lanzamiento de los dos dados. Si A lanza por primera vez >Cual es la probabilidad que B gane? 24. En una fabrica de pernos las maquinas A, B, C fabrican 25, 35, y 40 por ciento de la produccion total, respectivamente. De lo que producen 5, 4, y 2 por ciento respectivamente estan defectuosos. Si se escoge un perno al azar. (a) y se encuentra que es defectuoso >Cual es la probabilidad que provenga de la maquina A? (b) >Cual es la probabilidad que no este defectuosa y provenga de la maquina B? 25. Una persona lanza tres veces dos dados equilibrados, calcule la probabilidad de que en cada uno de los tres lanzamientos la suma de los dos numeros que aparecen sea 7: 26. Se va a seleccionar un numero de tres cifras formado con los d gitos 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 y sin repetir cifras, calcule la probabilidad que el numero seleccionado. (a) Sea par. (b) Sea mayor de 350: 27. Existen tres metodos A, B, C para ense~ nar a los trabajadores cierta habilidad industrial. El 45% de las veces se utiliza el metodo A por ser el mas economico, el 40% el metodo B y el resto el metodo C por ser el mas caro. El porcentaje de trabajadores que no adquieren la habilidad con el metodo A es del 12%, mientras que para B y C son respectivamente 10% y 6%. Se selecciona un trabajador entrenado con al alguno de los metodo. (a) Calcular la probabilidad que haya adquirido la habilidad (b) Calcular la probabilidad que haya adquirido la habilidad y se haya entrenado con el metodo B. (c) Si adquirio la habilidad, >Cual es la probabilidad que haya sido entrenado con el metodo B? (d) Calcular la probabilidad que haya adquirido la habilidad o sea entrenado por el metodo B. (e) Calcular la probabilidad que haya sido entrenado por el metodo C, si no adquirio la habilidad 28. La siguiente tabla muestra los resultados de una prueba de conocimientos a un grupo de jovenes, clasi cados por sexo. Calcular: Hombre Mujer Total

Aprobado 11 14 25

Reprobado 15 10 25

Total 26 24 50

(a) El porcentaje de hombres que reprobaron. (b) El porcentaje de los reprobados que son hombres : (c) El porcentaje que son hombres y reprobaron. 29. La tabla siguiente presenta un resumen del analisis realizado a las echas de un comprensor para determinar el grado con que estas satisfacen ciertos requerimientos de curvatura y acabado super cial. Si se toma una echa aleatoriamente calcular la probabilidad de: (a) Que cumpla con los requerimientos de acabado. (b) Que cumpla con ambos requerimientos. (c) Que cumpla con los requerimientos de curvatura, si se sabe que no cumplio con los de acabado super cial. 3

El acabado superficial cumple Total

La curvatura cumple Total Si No Si 375 38 413 No 55 32 87 430 70 500

(d) Que cumpla con los requerimientos de curvatura, o los de acabado super cial. (e) Que no cumpla con ninguno de los requisitos. 30. Tenemos dos urnas A y B. La urna A contiene 2 bolas negras, 3 bolas rojas y 1 bola verde. La urna B contiene 3 bolas negras, 3 bolas rojas y 2 bolas verdes. Lanzamos un dado al aire y si sale un numero menor que 3 sacamos una bola de la urna A y si sale 3, 4, 5 o 6 sacamos una bola de la urna B. (a) >Cual es la probabilidad de que la bola extra da sea verde? (b) Sabiendo que ha salido la urna A >Cual es la probabilidad de que la bola extra da sea verde? (c) >Cual es la probabilidad de que salga la urna A y la bola sea verde? (d) Sabiendo que la bola obtenida es verde >Cual es la probabilidad de que sea de la urna A? 31. Una persona despistada tiene ocho calcetines negros, seis azules y cuatro rojos, todos ellos sueltos. Un d a, con mucha prisa, elige dos calcetines al azar. Hallar la probabilidad de: (a) Que los dos calcetines sean negros. (b) Que los dos calcetines sean del mismo color. (c) Que al menos uno de ellos sea rojo. (d) Que uno sea negro y el otro no. Resuelva el problema utilizando las tres formas de seleccion. 32. El 5 % de las unidades producidas en una fabrica se encuentran defectuosas cuando el proceso de fabricacion se encuentra bajo control. Si el proceso se encuentra fuera de control, se produce un 30 % de unidades defectuosas. La probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control es de 0.92. Si se escoge aleatoriamente una unidad (a) Calcule la probabilidad que no sea defectuosa (b) y se encuentra que es defectuosa, >cual es la probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control? (c) Calcule la probabilidad que esta sea defectuosa y que el proceso se encuentre bajo control (d) Calcule la probabilidad que esta sea defectuosa o que el proceso se encuentre bajo control 33. Tenemos un grupo de pacientes que estan afectados o por el virus A o por el virus B. Sabemos que la probabilidad de estar afectado por el virus A es de 0.9, al mismo tiempo tenemos informacion de que la probabilidad de que padeciendo el virus A se cure es de 0.001 y si padece el virus B la probabilidad de que se cure es de 0.7. >Cual es la probabilidad de curacion? 34. La probabilidad de que un hombre no de en el blanco es de 1/4. Si dispara 7 veces. Calcular la probabilidad que de en el blanco: (a) 6 veces. (b) Una vez . (c) Por lo menos seis veces. 35. Cada vez que un cliente compra un tubo de pasta de dientes, elige la marca A o B. Suponga que en cada compra despues de la primera, la probabilidad que elija la misma marca que escogio en la compra anterior es 1/3 y que la probabilidad que cambie de marca es 2/3. Si es igualmente probable que en su primera compra elija la marca A o B >Cual es la probabilidad de que la primera y segunda compra elija la marca A y la tercera y cuarta compra elija la marca B? 4

36. Los clientes acostumbran a evaluar en forma preliminar el dise~ no de los productos. 40% de los productos han sido de gran exito, 30% han tenido un exito moderado y el resto han sido producidos sin mucho exito. En el pasado 90% de los productos de gran exito recibieron cr ticas favorables, mientras que para los productos de exito moderado y sin mucho exito fueron respectivamente del 60% y 10%. (a) >Cual es la probabilidad que un producto obtenga una cr tica favorable? (b) >Cual es la probabilidad que un producto obtenga una cr tica favorable y sea un producto sin mucho exito? (c) >Cual es la probabilidad que un producto obtenga una cr tica favorable si es un producto sin mucho exito? (d) >Cual es la probabilidad que un producto obtenga una cr tica favorable o sea un producto sin mucho exito? (e) Si un producto ha tenido un gran exito >Cual es la probabilidad que obtenga una cr tica NO favorable ? 37. Con base en varios estudios una compa~ n a ha clasi cado, de acuerdo con la posibilidad de descubrir petroleo, las formaciones geologicas en tres tipos I; II; III. Las probabilidades de seleccionar las formaciones tipo I; II y III son respectivamente 0:35; 0:40, y 0:25. De acuerdo con la experiencia, se sabe que el petroleo se encuentra en un 40% de formaciones del tipoI, en un 20% de formaciones del tipo II y en un 30% de formaciones del tipo III: (a) Calcular la probabilidad que la compa~ n a no descubra petroleo. (b) Si la compa~ n a no descubre petroleo en ese lugar, calcule la probabilidad de que exista una formacion del tipo II: (c) Si la compa~ n a descubre petroleo en ese lugar, calcule la probabilidad de que exista una formacion del tipo III: 38. Los relevadores que se usan en la construccion de circuitos electricos funcionan independientemente con una probabilidad de 0:9. Se tienen 3 dise~ nos de circuitos con 4 relevadores 1; 2; 3 y 4. en todos los casos la corriente uye del punto A a B, si hay por lo menos un camino cerrado, despues de activar los relevadores. >Cual de los dise~ nos produce la mayor probabilidad de que haya una corriente al activar los relevadores?

1

3

2

4

A

B

1

3

2

4

A

B

1 2

A 3

B 4

39. Se lanza un dado. Si sale un numero par se lanzan dos monedas, si sale impar se lanza una moneda. >Cual es la Probabilidad de que salga: (a) Alguna cara? 5

(b) Un numero impar y ademas no salga ninguna cara? 40. En una comunidad el 40 % es no fumadora, el 25 % no consume bebidas alcoholicas y un 15 % no realiza ninguna de ambas actividades. Se escoge una persona al azar en dicha comunidad: (a) Si no es fumadora >cual es la probabilidad de que no consuma bebidas alcoholicas? (b) Si es fumadora >cual es la probabilidad de que no consuma bebidas alcoholicas? (c) >Cual es la probabilidad de que sea fumadora y consuma bebidas alcoholicas? (d) Si no consume bebidas alcoholicas >cual es la probabilidad de que sea fumadora? 41. Suponga que hay 3 cajas y que cada una contiene 2 cajones. En cada uno de los cajones hay una moneda de oro o de plata. Una caja tiene 2 monedas de oro, otra tiene dos monedas de plata y la tercera tiene una de oro y una de plata. Se escoge aleatoriamente una de las cajas y al abrir uno de los cajone se observa una moneda de oro >Cual es la probabilidad de abrir el segundo cajon de la caja y observar una moneda de oro? 42. Supongase que 2 refrigeradores defectuosos han sido incluidos en un env o de 6 refrigeradores. El comprador empieza a probar los seis refrigeradores uno por uno. (a) Calcule la probabilidad que se encuentre el ultimo refrigerador defectuoso en la cuarta prueba. (b) Calcule la probabilidad que no haya que probar mas de cuatro refrigeradores para encontrar los dos defectuosos. (c) Dado que uno de los defectuosos ha sido identi cado en las primera dos pruebas, calcule la probabilidad de que el otro defectuoso se encuentre en la tercera o cuarta prueba. 43. Un detector de mentiras muestra una lectura positiva, es decir, indica una mentira en 10% de los casos cuando la persona dice la verdad y en 95% de los casos cuando la persona miente. Suponga que se sospecha de dos personas de haber cometido el delito, que fue ejecutado por una sola persona y de hecho solo una de ellas es culpable, calcular la probablidad de: (a) El detector muestre una lectura positiva para los dos sospechosos. (b) El detector muestre una lectura positiva para el sospechoso culpable y una negativa para el inocente. (c) El detector este completamente equivocado, es decir muestre una lectura positiva para el inocente y una negativa para el culpable. (d) El detector de una lectura positiva para cualquiera de los dos sospechosos o para ambos. 44. Supongase que la probabilidad de exposicion a la gripe durante una epidemia es 0:6: La experiencia ha mostrado que una vacuna tiene un 80% de efectividad en proteger a una persona contra la gripe si esta expuesta a la epidemia. Una persona no vacunada tiene una probabilidad de 0:9 de ser afectada por la gripe si esta expuesta. Dos personas una vacunada y otra no realizan una tarea altamente especializada en un negocio. Suponga que no se ubican en la misma localizacion, no entran en contacto con las mismas personas y no se exponen la una a la otra, calcule la probabilidad que al menos una sea afectada por la gripe.

Estos ejercicios son RETOS para los que quieran ganar EXTRAS 1. Suponga que usted puede elegir entre dos apuestas diferentes. En una sabe que hay 50 bolas rojas y 50 negras en un frasco, que se sacara aleatoriamente una de las bolas y recibira un premio si adivina el color de la bola. En la segunda apuesta hay igual numero pero desconocido de bolas rojas y negras en un frasco y recibira un premio si adivina el color de la bola que saque >En cual apuesta participar ?>Porque? 2. Dos jugadores apuestan $1 cada vez en lanzamientos sucesivos de una moneda. Cada uno posee $6. (a) >Cual es la probabilidad de que queden con lo que entraron despues de 6 lanzamientos sucesivos.?

6

(b) >Cual es la probabilidad que uno de ellos gane todo el dinero en el decimo lanzamiento de la moneda? 3. Supongase que en cada jugada de un juego es igualmente probable que una persona gane o pierda un dolar. Supongase tambien que su objetivo es ganar 2 dolares en el juego >Que capital inicial debe tener la persona para que la probabilidad de que alcence el objetivo antes de perder su capital inicial sea al menos 0:99 ? 4. Supongase que en cada jugada de un juego una persona gana un dolar con una probabilidad de 1=3 o pierde con probabilidad 2=3: Supongase que su objetivo es ganar 2 dolares en el juego. Demuestrese que cualquiera que sea su capital inicial la probabilidad de alcanzar su objetivo antes de perder su capital inicial es de 1=4: 5. Se lanza un satelite para recopilar datos sobre las condiciones atmosfericas de un planeta lejano. El satelite contiene dos celdas de energ a, cada una de las cuales tiene una probabilidad de 0:9 de funcionar correctamente. Las celdas estan ubicadas en lugares distintos del satelite, por lo cual es casi imposible que la aver a de una celda este relacionada con la otra. El satelite contiene tambien dos instrumentos de medicion: el principal y el de respaldo. Los dos estan juntos, por lo que no se considera que sea independiente la abilidad de los instrumetos las probabilidades de exito y fracaso son: Instrumento principal Bueno aver a

Instrumento de respaldo Bueno aver a 0.6 0.2 0.1 0.1

El instrumento principal solo requiere una celda de energ a para operar, pero el de respaldo necesita las dos celdas. La mision del satelite sera un exito si funciona cualquiera de los instrumentos >Cual es la probabilidad de exito de la mision? 6. Supongase que una urna A contiene 5 bolas y que otra urna B tiene 10 bolas. Se seleccionan aleatoriamente una de las urnas, se extrae una bola de esta y se introduce en la otra. Si este proceso se repite inde nidamente, calcule la probabilidad que la urna A se vac e antes de vaciarse la B.

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