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• Jorge Silva

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Apunte de Álgebra Lineal

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Sistemas de Ecuaciones tales como: a) 2x + 3y = 3 x - y = 1

c) 2x - y - 5z = 1 3x + 2y - z = 0

b) x - y + z = 1 2x - 3y + z = 0

d)

x + y + z - 2t y + z - t x + 2y - z 2x + 3z - 2t

= 2 = 1 = 0 = -2

son casos particulares del sistema: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ........... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ........... + a2n xn = b2

(*)

....................................................................... am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + ........... + amn xn = bm en el que todos los aij y los bk son números reales. Algunos de estos sistemas tienen solución, otros no. Todo depende del arreglo de números aij . 1< i < m, 1 < j < n, es decir de:

 

a11 a12 a13 ........... a1n a21 a22 a23 ........... a2n ...................................... am1 am2 am3 ........... amn

que llamamos Matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones

Del estudio de esta matriz y de su relación con la matriz a11 a12 a13 ........... a1n b1 a21 a22 a23 ........... a2n b2 ...................................... am1 am2 am3 ........... amn bm

llamada matriz ampliada del sistema (*)

Dependerá si éste tiene o no solución y cuantas. Por tal motivo, haremos un estudio de las matrices para que los resultados se apliquen al sistema de ecuaciones (*).

Matrices de m filas por n columnas

A =

fila

a11 a12 ........... a1n a21 a22 ........... a2n .................................. am1 am2 ........... amn

Es una matriz de m filas por n columnas (matriz m x n)

Columna

El conjunto de todas las matrices de m filas por n columnas lo denotaremos

aij

: término o registro de la i-ésima fila, j-ésima columna.

aij

: matriz de i filas por j columnas.

Mmn ó Mm x n.

Al número mn, ó m x n lo llamaremos dimensión de matriz Algunas Matrices Especiales.

1)

 =

2)

Si A =

0 0 ...... 0 0 0 ...... 0 ......................... 0 0 ...... 0

a ij

=

aij

 Mmxn y B = -a ij

tal que aij = 0, i , j (matriz nula).

 Mmxn , decimos que B es la matriz opuesta de A

y lo anotaremos, B = -A. 3)

4)

Si A = a ij  Mmxn , entonces la matriz que se obtiene de A, cambiando filas por columnas, se llama matriz traspuesta de A y se anota:

Si A =

a ij

A’ = At = a ji es una matriz cuadrada n x n, entonces:

a) L = a ij

tal que aij = 0

si

i < j, se llama matriz triangular inferior

b) U = a ij

tal que aij = 0

si

i > j, se llama matriz triangular superior.

5)

c) D = a ij

tal que aij = 0

d) I =

tal que aij =

a ij

si

i  j, se llama matriz diagonal

1, si i = j se llama Idéntica o Identidad. 0, si i j

Una matriz de la forma a11 a12 a13 ........... a1n b11 b21 . bm1

se llama matriz fila y la matriz:

es una matriz columna.

Operaciones con Matrices

a)

Suma: Si A =

a ij

,B=

define la matriz C = A + B = posición). b)

b ij

a ij + b ij

son matrices de igual dimensión entonces se (se suman los registros o términos en igual

Producto por escalar (Ponderación). Si A = a ij

 Mmxn

   (o C). Entonces se define la matriz:  A =  a ij (todos los registros se multiplican por )

Propiedades de la suma de matrices y del producto por escalar a) Si A, B, C son matrices de igual dimensión, entonces: i) ii) iii) iv)

A + B = B +A (Conmutatividad) (A + (B + C) = (A + B) + C (Asociatividad) A+=+A=A ( matriz nula respectiva) Para cada matriz A existe la matriz –A, que A + (-A) = 

b) Si A, B son matrices de igual dimensión y ,  son escalares (reales o Complejos), entonces: i) ii) iii) iv)

 (A + B) =  A +  B ( + ) A =  A +  A  ( A) = ( ) A =  ( A) 1 A = A.

Definición:

La suma A + ( -1) B se escribirá: A + (-1)B = A – B , en donde (-1) B = -B

Producto de matrices: a) Producto de fila por columna. (Producto interior) Sea A = a11 a12 a13 ........... a1n

una matriz fila y

b11 b21 B=

b31 . bn1

es una matriz columna.

Se define el producto de A  M1xn por B  Mnx1 , al número real. 

A • B   a1k bk1  a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 +...... + a1n bn1 k 1

Observación: Para que este producto esté definido, es necesario que el número de columnas de la matriz fila, sea igual al número de filas de la matriz columna. 2 Ejemplo:

(1, 3, -1)

3 5

=2+9–5=6

b) Producto de matrices: Sean A  Mmxp ¸ B  Mpxn . Entonces se define la matriz producto de A por B ( en ése orden), como la matriz C  Mmxn , tal que C=AB= p

cij

c ij

en el que:

=  aik bkj = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ...... + aipbpi k 1

Observación: Cada registro cij de la matriz producto, es el producto de la i-ésima fila de A por la j-ésima columna de B. (Se multiplican todas las filas por todas las columnas). (primera fila por primera columna en el registro c11) 1(1) + 2(0) + (-1)(-2) = 3 j 3  i

1 3

2 2

1 0 -2

-1 -2

2x3

2 -1 1

1 -3 4

-11

3x3

2x3 3(1) + 2(-3) + (-2)(4) = -11

(segunda fila por tercera columna en el registro c 23) Complete la matriz resultante.

Propiedades del Producto de matrices: El producto de matrices solo está definido si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda. Cuando las operaciones siguientes tienen sentido, se cumplen las siguientes propiedades: i) ii) iii)

A · (B · C) = (A · B) · C A · In = In · A = A (A + B) · C = A · C + B · C A · (B + C) = A · B + A · C

(Asociatividad) (In matriz idéntica) Distributividad de · con +.

Es fácil probar que el producto de matrices no es Conmutativo. NOTA: Si las matrices A, B, C son cuadradas de la misma dimensión, la suma y el producto siempre están definidos, y se cumplen todas las propiedades anteriores. Observación: En los números reales se cumple que si a, b   y a•b = 0 entonces, necesariamente, a = 0 ó b = 0. Esta propiedad no es válida en el producto de matrices. Existen matrices no nulas cuyo producto es la matriz nula. Por ésta razón se dice que el producto matricial acepta divisores de “cero”. Ejemplo

2 6

-1 -3

3 6

5 10

=

0 0

0 0

(ninguna de las matrices de los factores es nula, y sin embargo el producto resulta ser la matriz nula).

Determinante de una matriz n x n 1) La solución del sistema ax + by = p cx + dy = q

es x =

pd  bq ad  bc

y=

aq  cp ad  bc

Estas expresiones tienen sentido solo si ad – bc  0 , el que es “determinante” en la obtención de la solución del sistema. Por ésta razón daremos la siguiente definición: Definición: Sea A = a b c d – bc y se anota

una matriz. Se llama Determinante de la matriz A¸ al número real ad

det A = det

a b c d

=

a b = ad – bc c d

2) Del mismo modo, la solución del sistema ax + by+ cz = m dx + ey + fz = n gx + hy + kz = p

es:

mek  bfp  cnh  cep  mfh  bnk aek  bfg  cdh  ceg  afh  bdk ank  mfg  cdp  cng  afp  mdk y= aek  bfg  cdh  ceg  afh  bdk aep  bng  mdh  meg  anh  bdp z= aek  bfg  cdh  ceg  afh  bdk x=

Observación: De nuevo vemos que la solución del sistema depende del valor de la expresión.

 = aek + bfg + cdh – ceg – afh – bdk el que deberá ser distinto de cero para que la solución (x, y, z) del sistema exista y además “sea única”. Definición: Se llama determinante de la matriz

A=

a d g

b e h

c f k

al número real

det A =

a b c d e f = aek + bfg + cdh – ceg – afh – bdk g h k

Nota: Para obtener el determinante de una matriz de 3 x 3, existe la siguiente regla conocida como regla de Sarrus. a b c d e f g h k -

a b d e = aek + bfg + cdh – gec – hfa – kdb g h

- - +

+ +

(signos del producto de cada diagonal)

Una forma recurrente de desarrollar un determinante 3 x 3 es la siguiente: a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 a31 a32 a33

a22 a23

a21 a23 - a12

a32 a33

a21 a22 + a13

a31 a33

a31 a32

(desarrollo del determinante por la primera fila) Observación: Mas adelante se dará una forma general para desarrollar un determinante por filas o por columnas, método que se aplica al desarrollo de determinantes de orden mayor que 3

Menores de una matriz: Sea A  Mnxn y sea Mij la submatriz obtenida de A por eliminación de la i-ésima fila y la j-ésima columna. Diremos que la matriz Mij es el ij-ésimo menor de A.

Ejemplo:

A=

2 -1 4 0 1 5 6 3 -4

M13 =

0 6

1 3

M32 =

2 0

4 5

Cofactores: Si A  Mnxn, llamaremos ij-ésimo cofactor de A, al número real Aij = (-1)i+j det Mij = (-1)i+j Mij En el ejemplo anterior A13 = (-1)4

0 1 = -6 6 3

A32 = (-1)5

2 4 = -10 0 5

A33 = (-1)6

2 1 = 2 0 1

Observación: Se observa que cada posición en la matriz tiene un signo, y que, partiendo desde a11 con signo +, horizontal y verticalmente, estos son alternados. Desarrollo de un determinante por cofactores Sea A una matriz cuadrada n x n

y

(ai1 ai2 ai3 ..... , ain) una fila cualquiera (Ai1 Ai2 Ai3 ..... , Ain) los cofactores de dicha fila.

Entonces: det A= ai1 Ai1

+

ai2 Ai2 + ai3 Aai3 + ..... + ain Ain

n

det A=  aik Aik

Desarrollo por la i-ésima fila

k 1

Este desarrollo de det A se conoce como “por cofactores”. Se puede demostrar que es el mismo, cualquiera sea la fila, y que también es válido el desarrollo por una columna. En este caso el desarrollo por la j-ésima columna queda como sigue: det A= a1j A1j

+

a2j A2j + a3j A3j + ..... + anj Anj

Ejemplo: A=

1 0 1

2 3 -1 2 1 -1

1 2 0 2 0 1 -2 +3 = -1 –2 (-2) +3 · 1 = 6 1 1 1 1 1 1

por 1ª fila  detA

=

1

por 2ª fila  detA

=

-0

por 3ª fila  detA

=

1

2 3 1 3 1 2 -1 (-1) = 1 · 7 – 1 (2) + (-1)(-1) =6 1 2 0 2 0 1

por 1ª columna  detA =

1

1 2 2 3 2 3 -0 +1 = -1 + 0 + 7 = 6 1 1 1 1 1 2

por 2ª columna  detA =

-2

0 2 1 3 1 3 +(-1) -1 =4+4–2=6 1 1 0 2 1 1

2 3 1 3 1 2 (-1) -2 1 1 1 1 1 1

= 0-1 (-4) –2(-1) =6

Observación: Este método permite calcular un determinante de orden 4, supuesto conocido el desarrollo de uno de 3 x 3 y luego uno de orden 5, etc. Ejemplo: 1 2 1 1

2 0 -1 2

3 -1 2 0

1 4 2 3

=1

0 -1 4 2 -1 4 -1 2 2 -2 1 2 2 +3 2 0 3 1 0 3 (por la primera fila)

2 0 4 1 -1 2 -1 1 2 3

2 0 -1 1 -1 2 1 2 0

Propiedades de los determinantes 1. El valor de un determinante es cero si: a) Tiene una fila (o columna) de ceros. b) Tiene dos filas (o columnas) iguales. c) Una fila (o columna) es la combinación lineal entre otras 2 filas (o columnas), es decir, si Fj =  Fi +  Fk , ,   . 2. Si una fila (o columna) de un determinante, se multiplica por un escalar c, el valor del determinante se multiplica por c. 3. El valor de un determinante cambia de signo si se intercambian dos filas (o columnas). 4. El valor de un determinante no cambia, si una fila, se cambia por la suma entre ella y un múltiplo de otra fila fija.

Nota: Esta será una operación válida para transformar un determinante en otro más fácil de calcular, y la anotaremos Fi Ci

Fi + kFj Ci + kCj

(Operación por filas) (Operación por columas)

Demostración de la propiedad 3 Supongamos que se intercambia la i-ésima con la (i+1) –ésima fila. Se tiene: a11 a12 ..... a1n ................................... A = ai1 ai2 ..... ain a(i+1)1 a(i+1)2 ..... a(i+1)n ...................................

,

B=

a11 a12 ..... a1n .................................. a(i+1)1 a(i+1)2 ..... a(i+1)n ai1 ai2 ..... ain ..................................

desarrollando A por la i-ésima fila y B por la (i+1)-ésima fila se tiene:

detA = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ai3 Ai3 + .............. + ain Ain detB = ai1 B(i+1)1 + ai2 B(i+1)2 + ai3 B(i+1)3 + ............. + ain B(i+1)n en donde

(1) (2)

Aij = (-1)i+j Mij B(i+1)j = (-1)i+1+j Mij = -(-1)i+j Mij = -Aij

Luego en la ecuación (2), cada B(i+1)j es el opuesto de cada Aij en la ecuación. Reemplazando se obtiene: detB = - detA Demostración de la propiedad 1 b: Supongamos que dos filas consecutivas son iguales. Aplicando la propiedad recién demostrada tenemos: a) Intercambiando estas dos filas se obtiene que la matriz no cambia. Luego: detA = detB b) Pero al intercambiar las filas se obtiene que: detB = - detA c) Luego detA = - detA  2 detA = 0  detA =0

Ejercicio: Investigar la demostración de las otras propiedades señaladas para los determinantes. Observación: Por la aplicación de la propiedad 4, a partir de una fila pueden hacerse ceros sobre una columna, facilitando el cálculo del mismo, al desarrollarlo por esa columna. (los mismo es válido manteniendo fijo una columna y hacer ceros por una fila). Ejemplo 1: 2 1 -1

Fila fija

0 3 -1 2 -1 F1 → F1 +(–2) F2 1 = 0 3 0

-1 1 2 -1 5 -1

-1

1

5

-1

= -1

F3 → F3+ (1) F2 Por primera columna = -1 (-4) = 4

O bien: 2 3 -1 F1→ F1+(-1)F2 1 1 0 1 2 -1 = 1 2 –1 -1 3 0 -1 3 0

1 1 = -(-1)

=1 · 4 = 4 -1 3

(Se dejaron fijas la 2ª y 3ª filas)

desarrollando por tercera columna.

O bien: Fijar primera 2 3 -1 y terceras 1 2 -1 columnas -1 3 0

= 2 9 -1 9 -1 C2→C2+ 3C1 1 5 -1 = (-1) -1 0 0 5 -1

= (-1)(-4) = 4 desarrollando por tercera fila.

Ejemplo 2: 2 1 2 3

-1 -1 0 1

3 0 -1 -2

0 F1→ F1+1F2 2 F2 →F2+1F4 4 = 1

5 4 2 3

0 0 0 1

1 -2 -1 -2

1 3 4 1

5 1 1 = 1 4 -2 3 2 -1 4

Por segunda columna

El desarrollo condujo a un determinante 3 x 3, que podría desarrollarse de la misma forma (haciendo ceros) o aplicando Regla de Sarrus. Verificar que el valor de este determinante es – 35.

Inversa de una matriz cuadrada Definición: Una matriz A  Mn xn se dirá no singular o invertible, si existe B  Mn x n tal que: A · B = B · A = In La matriz B se llama Matriz Inversa de A y se anota: B = A-1 Si tal matriz no existe, diremos que A es matriz singular o que no es invertible.

Inversa de una matriz 2x2:

Sea A =

a c

b d

tal que A   0

Si suponemos que A-1 = A· A-1 = 1 0

-1

A

=

0 1

d A c A

x y z t

y aplicamos:

, se logra que:

b A a A

=

1 A

d -b -c a

..... (**)

Observación: Si A = 0 , la matriz es singular. (no invertible) Nota: Puede demostrarse que una condición necesaria y suficiente para que una matriz, n x n, sea no singular es que detA  0. Propiedades inmediatas a) Si A es no singular, entonces: 1. A-1 es única. 2. A-1 es no singular y (A-1)-1 = A 3. At es no singular y (At)-1 = (A-1)t. b) Si A y B’ son no singulares de orden n, entonces AB es no singular y se cumple (AB)-1= B-1 A-1.

Matriz adjunta de una matriz cuadrada Definición: Sea A = (aij) una matriz cuadrada y sea (Aij) la matriz de los cofactores de A. Llamaremos adjunto de la matriz A (adj A) a la matriz; adj A = (Aij) t = (Aij) Esto es, la matriz Adj A es la traspuesta de la matriz de cofactores de A. Ejemplo: a c

1) A =

b d

Nótese que

2)

A –1 =

 (Aij)

=

 adj A

=

b -c -b a d -d -c a

(según (**))

1 adj A A

A=

1 1 -1 0 2 1 -2 1 1

det A = -5

(AIJ) =

1 -2 4 -2 -1 -3 3 -1 2

matriz de cofactores

adj A =

1 -2 3 -2 -1 -1 4 -3 -2

1 A = 5 -1

1 -2 3 -2 -1 -1 4 -3 2

Ejercicio: Verifique que B =

1 A

=

-1/5 2/5 -3/5 2/5 1/5 1/5 -4/5 3/5 -2/5

adj A = A-1 (Calcule A · A-1 y A-1 · A)

Operaciones elementales por filas en una matriz Definición: Serán operaciones elementales por filas de una matriz A a los siguientes cambios de ella. Fi  Fj

1) Intercambiar dos filas

eij

2) Multiplicar una fila por un escalar   Fj  Fj

ei(α)

3) Reemplazar un a fila por una suma entre ella y un múltiplo de otra que permanece fija.  Fj + Fi  Fi

eij(α)

Nota: Estas operaciones tienen su justificación en los cambios que pueden hacerse en un sistema de ecuaciones, sin variar su solución.

1) Intercambiar dos ecuaciones. 2) Multiplicar una ecuación por un escalar. 3) Cambiar una ecuación por una suma entre ella y un múltiplo de otra. (reducción)

Definición: Una matriz B, que se obtiene de otra matriz A, mediante operaciones elementales por filas, se dice equivalente por filas con A. (lo anotaremos ~) Ejemplo:

A =

1 1 2 2 3 -1 0 1 3

~

1 0 0

1 2 1 -5 1 3

=B

-2 F1 + F2  F2 A y B son equivalentes por filas.

Teorema: Sea A  Mnxn , entonces las siguientes expresiones son equivalentes: a) A es invertible b) detA  0 c) A es equivalente por filas con la matriz idéntica In

Obtención de A-1 mediante operaciones elementales por filas de A 1º 2º 3º 4º

Verificar que A es invertible. Se escribe la matriz ampliada AIn  Mnx2x Mediante operaciones elementales por filas en esta matriz nx2n llegar a la forma I nB Entonces B = A-1.

Esquemáticamente: Operaciones el elementales InB

AIn por filas Ejemplo:

A=

1 3

2 4

 detA = -2  A es no singular

~

~

1 2 1 1 2 1 0 1 2 1 0 1    -3F1+F2→F2   3 F 2→F2 3 4 0 1 0  2  3 1 2 0 1     2 

Luego

A-1 =

-2 3/2

~ 1 0  2 0  3  1  -2F2+F1→F1   0 1 2 2  

1  1  2 

1 -1/2

Ejercicio: Verificar que A· A-1 = A-1 · A = I2

MATRIZ ESCALONADA Definición: Diremos que una matriz E tiene la forma escalonada reducida, si se cumplen las siguientes condiciones: i)

Si tiene filas formadas solo por ceros (filas nulas) ellas están en l aparte de debajo de la matriz.

ii)

En cualquier fila no nula, el primer número distinto de cero, de izquierda a derecha, es 1.

iii)

En dos filas no nulas consecutivas, el primer 1 está en la fila de más arriba, es decir, el primer 1 en la fila de abajo, está más a la derecha.

iv)

En cualquier columna que contenga el primer 1 de una fila los número restantes de la columna, son todos ceros.

Ejemplos de matrices escalonados reducidas.

1 0

1 0 0 0

1 0 2 5 0 1 3 6 0 0 0 0

0 1

0 1 0 0

-1 0 0 0

1 0 0 5 0 0 1 2 0 0 0 0

Observación: Si en la definición de matriz escalonada reducida, no se establece que el primer número de una fila no nula, sea necesariamente1, o no se cumple la propiedad iv), se dice simplemente que la matriz es Escalonada.

Ejemplo:

2 0 0 0

3 4 0 0

1 1 1 0

0 0 0 0

Matriz Escalonada.

Observación: Mediante operaciones elementales en la fila de esta matriz escalonada, se le puede dar la forma Escalonada reducida.

NOTA: Toda matriz A, tiene una forma escalonada equivalente por filas E.

A =

2 1 1

3 1 2 -1 1 2

F1  F2 ~

1 2 1

2 -1 3 1 1 2

-2F1+F2→ F2 ~ -1F1+F3→F3

1 2 -1 0 1 -3 0 -1 3

1 ~ 0 1·F2+F3→F3 0

2 -1 1 -3 0 0

=E

(E es la matriz escalonada reducida, equivalente por filas, con A)

1 2 -1 0 -1 3 0 -1 3

(-1) F2→F2

Rango de una Matriz: Llamaremos rango de una matriz A, y lo anotaremos rg A, al número de filas no nulas de su forma escalonada equivalente por filas. En el caso interior:

Rg A = Rg

3 2 1

3 1 2 -1 1 2

=2

Observación: Si A  Mnxn , entonces, i) ii) iii)

Rg A < n Si rg A = n, entonces A s invertible. A es singular si rg A < n

SISTEMAS DE ECUACIONES Ahora volvemos al sistema de ecuaciones:

a11 x1 - a12 x13 - ........... - a1n xn = b1 a21 x1 - a22 x23 - ........... - a2n xn = b2 ................................................................. .................................................................

(*)

am1 x1 - am2 xm3 - ........... - amn xn = bm

En el que haciendo: a11 a12 ........... a1n A=

a21 a22 ........... a2n ............................ am1 am2........... amn

X=

x1 x2 . . xn

Podemos escribirlo en la forma AX = B

B=

b1 b2 . . bn

Diremos que A es la matriz de coeficientes del sistema, que X es la matriz de incógnitas o indeterminadas, escritas como columnas, y que B es la matriz columna de las constantes b j , del sistema. Primer caso: m = n Sistema cuadrado. Igual número de ecuaciones que incógnitas y A es no singular. En este caso el sistema AX = B, tiene una única solución, que puede escribirse en la forma: X = A-1 B (Método matricial) Alternativa: De la definición de determinantes, se deduce que en el cálculo de cada una de las incógnitas, el denominador es el determinante de la matriz de coeficientes y que el numerador también tiene la forma de un determinante. Si llamamos Ai a la matriz obtenida de A cambiando la i-ésima columna por la columna B, entonces las soluciones del sistema son de la forma:

XI =

Ai

(Regla de Cramer)

A

Opcional

Ejemplo 1: 

2x1 + 3x2 = 1 x1 + x 2 = 0

A-1 =

X=

1 1

x1 x2

1 -3 -1 2

=

2 1

=

-1 3 1 -2

3 1

 A es no singular

= -1

-1 3 1 -2

 X = A-1 B

1 0

-1 1

=

Usando Regla de Cramer

x1 =

1 0

3 1

2 1

3 1

=

1 = -1 , x2 = 1

2 1 -1

1 0

1 1

= 1

Método matricial.

Ejemplo 2: 1 2 1

x + y - z = 0 2x + y + z = -1 x - z = 2



detA = 3

,

A-1 =

Luego :

x y z

=

1 -1 1 1 0 -1

x y z

=

0 -1 2

-1/3 1/3 2/3 1 0 -1 -1/3 1/3 -1/3

-1/3 1/3 2/3 1 0 -1 -1/3 1/3 -1/3

0 -1 2

=

1 -2 -1

(Método Matricial)

O bien: 1 1 -1 -1 1 1 3 0 -1 x=

0 1 -1 -1 1 1 2 0 -1 = 1

y=

3

= -2 3

1 2 1

1 0 1 -1 0 2

z =

= -1 3

(Regla de Cramer)

Caso General: (Método de Gauss). Este método es válido, cualquiera sea el sistema de ecuaciones, incluido el caso con solución única que ya hemos visto. Consiste en lo siguiente: 1. Escribir la matriz ampliada (AB) 2. Se escalona esta matriz, hasta obtener una matriz de la forma (E C) en donde E es la matriz Escalonada equivalente con A. Aquí pueden aparecer los siguientes casos: a) Rg A= Rg (AB) = Nº de incógnitas. En este caso el sistema tiene solución única, la que se obtiene resolviendo el sistema reducido, desde abajo hacia arriba. Ejemplo :

1 1 -1 2 1 1 -1 0 -1

~

x+y - z= 0 2x + y + z = -1 x -z = 2

0 -2F1+F2→ 2 -1 ~ 2 1F1+F3→ F3

1 1 -1 0 1 0 0 -1 3

0 -2 -1

~ 1F2+F3→F3

1 1 -1 0 -1 3 0 -1 0

1 1 -1 0 1 0 0 0 3

~ F3 F2

0 -2 -3

1 1 -1 0 -1 0 0 -1 3

~ 1 F3 →F3 3

0 -1F2→F2 2 -1

1 1 -1 0 1 0 0 0 1

0 -2 -1

El sistema equivalente (Sistema escalonado) queda como sigue x+y–z = 0 y = -2 z = -1

por lo que

z = -1 y = -2 x = 1

b) Rg A= Rg (AB) < Nº incógnitas. Este sistema tiene infinitas soluciones, las que dependen de una o más variables que llamaremos libres. Ejemplo:

2x + 3y – 5z = 2 3x - y – 2z = 3 x - 4y + 3z = 1

2 3 -5 3 -1 -2 1 -4 3

~

~

2 3 1

1 -4 3 0 11 -11 0 11 -11

F1  F3 ~

1 0 0

1 -4 3 1 0 1 -1 0 0 0 0 0

1 -4 3 3 -1 -2 2 3 -5

~

1 F2 → F2 n

1 3 2

1 -4 3 0 1 -1 0 11 -11

-3F1+F2 → F2 ~ -2F1+F3→F3

~ -11 F2+F3→F3

Rg (A) = Rg (AB) = 2 < Nº incógnitas. ( infinitas soluciones)

Sistema equivalente

x - 4y + 3z = 1 y- z=0



x - 4y = 1 - 3z y=z

z es una variable libre, los valores dados a z hacen que x e y tomen valores dependientes de éstos x = 4y +1 –3z y= z Solución = S =

 x = 4z + 1 – 3z  x = 1 + z

(1 + z, z , z) / z  

Forma General de la solución

Soluciones particulares ( 1, 0, 0) , (2, 1,1), (3, 2, 2) , ( 0,-1,-1)

Otro Ejemplo: x – 2y + 3z – t = 1 2x - z+ t=4 3x – 2y + 2z =5 x + 2y – 4z + 2t = 3

1 -2 2 0 3 -2 1 2

3 -1 -1 1 2 0 -4 2

1 4 5 3

1 0 0 0

3 -2 -7 3 0 0 0 0

1 2 0 0

~

-2 4 0 0

-2F1 + F2 → F2 ~ -3F1+F3→F3 -1F1+F4→F4

1 0 0 0

-2 4 4 4

3 -1 -7 3 -7 3 -7 3

1 2 2 2

-1F2+F3 → F3 -1F2 +F4→ F3

~ Rg (A) = Rg (AB) = 2 < Nº Incóg.  (Infinitas soluciones)

Sistema equivalente. x – 2y + 3z – t = 1 4y - 7z + 3t = 2

x – 2y = 1 + t – 3z 4y = 2 + 7z – 3t



Los valores de x e y dependen de los valores de z y t (2 variables Libres)

2  3t  7 z  1  t  3z 2 4t  z x= 2

x = 2y + 1 + t – 3z y=

3  3t  7 z 4

Solución: S =

x= 

4t  z  2 

,

2  3t  7 z  , z , t 4 

z,t

Ejercicios: Obtener 5 soluciones particulares del sistema.

Observación: Puede demostrarse que: Rg (AB) + Nº variables libres = Nº total incógnitas. (Teorema de Grassmann)

c) Rg (A)  Rg (AB) el sistema es inconsistente o incompatible (no tiene solución).

Ejemplos. 2x + 3y – z = 1 x - y + 2z = 3 3x + 2y + z = 0

1 -1 2 3 2 3 -1 1 3 2 1 0

~

-2F1+F2 →F2 ~ -3F1+F3 →F3



2 3 -1 1 1 -1 2 3 3 2 1 0

1 -1 2 3 0 5 -5 -5 -1F2+F3→F3 0 5 -5 -9 ~

F2  F1

1 -1 2 3 0 5 -5 -5 0 0 0 4

1 F2→F2 5 ~

1 1 2 3     0 1  1  1 0 0 0 4   

Luego Rg (A)= 2 , Rg (A B) = 3

 Rg (A)  Rg (A B)

Sistema equivalente. x – y + 2z = 3 y - z = -1 0·z= 4

La tercera ecuación no se satisface para ningún valor de z  . Entonces, el Sistema no tiene solución.

METODO DE GAUSS – JORDAN Si el sistema A X = B tiene solución única, entonces ésta puede obtenerse aprovechando que A es equivalente por filas con la matriz idéntica respectiva, mediante el siguiente algoritmo. 1) Se escribe la matriz ampliada (A B) 2) Mediante operaciones elementales por filas, reducir el sistema a la forma (In C). 3) La columna C es la solución del sistema, es decir, X = C. Ejemplo 1.

1 0 1

2 1 0

x + 2y = 5 y- z =2 x+ z =2

0 5 -1 2 1 2

1 2 0 0 1 -1 1 0 1

1 2 0 5 0 1 -1 2 0 -2 1 -3

~

F3 →F2 -F1 1 0 0

2 1 0

0 5 -1 2 1 -1

1 0 0

~

1·F3 + F2 → F2

X =

3 1 -1

= -1 (Sol. Única)

~

1 0 0

2 1 0

0 5 -1 2 -1 1

F3 →F3 + 2F2 2 1 0

0 5 0 1 1 -1

~

1 0 0

(-1)F3 0 1 0

0 0 1

3 1 -1

-2F2 + F1 → F1

(Solución del sistema)

Observación: El método de Gauss – Jordan también puede aplicarse en la resolución de un sistema con infinitas soluciones. Consiste en escribir la matriz reducida del sistema y terminar resolviendo el sistema reducido.

Ejemplo: Resolver el sistema 2x + y – z = 1 x + 2y + z = 4 x – y - 2z = -3

2 1 -1 1 1 2 1 4 1 -1 -2 -3

~

1 2 1 4 2 1 -1 1 1 -1 -2 -3

F1 F2

~

1 2 1 4 0 -3 -3 -7 0 -3 -3 -7

-2F1 + F2 → F2

~

1 2 1 4 0 -3 -3 -7 0 0 0 0

-1F2+F3 →F3

1 - F2 →F2 3

1·F1 + F3 → F3

~

1 0 0

2 1 0

1 4 1 7/3 0 0

~

1 0 0

0 -1 -2/3 1 1 7/3 0 0 0

-2F2 + F1 → F1

Sistema reducido x – z = -2/3 y + z = 7/3

x = -2/3 + z y = 7/3 – z



la solución general del sistema es

S=

(-2/3 + z , 7/3 - z, z , z) / z  

SISTEMAS HOMOGENEOS Si en el sistema AX = B, hacemos B =

0 0 0 . . 0

=

Entonces el sistema AX =  se llama Sistema Homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas  Mmxn) Este Sistema tiene al menos la solución: x1 = x2 = x3 ......... = xn = 0 (0, 0, 0, ......., 0) Solución trivial (singular)

(A

Lo anterior significa que un sistema homogéneo siempre es compatible, es decir: rg A = rg (AB) TEOREMA: El Sistema solo tiene la solución trivial si se cumple una de las siguientes condiciones: i) ii) iii) iv)

rg A = Nº incógnitas. det A  0 A es no singular A es equivalente por filas con In

Si Rg A = Rg (AB) < Nº incógnitas, el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones.

Ejemplos: 1)



x – 3y = 0 x+ y=0

1 -3 1 1 =4 0

 El sistema solo tiene la solución trivial x = y = 0 2) 2x + 3y – 5z = 0 x+ y- z=0 y+ z=0

rg

La única solución es S =

3)

x + 2y = 0 -2x – 4y = 0

2 3 -5 1 1 -1 0 1 1

= 3 = Nº incógnitas.

(0, 0, 0) 1 2 -2 -4



0 0

~ 2F1+F2 →F2

Sistema equivalente  x + 2y = 0  x = -2y Solución = (x,y) x = -2y S =

(-2y,y)  y 

= =

y (-2,1) y  (Infinitas soluciones)

1 0

2 0

0 0

Observación: Nótese que toas las soluciones del sistema son “generadas” por la matriz (-2, 1), al ser multiplicadas por cualquier número real y. (Más adelante llamaremos vector fila, a esta matriz (-2,1). 4) 2x –3y + z = 0 x+ y–z=0

~

1 1 0 -5

-1 3

2 -3 1 1 1 -1 1

~

0

~

1 -1 3 1 5

=

1 1 2 -3 1 0

-1 1

1

-1 3 1 5

~

0 0

Sistema equivalente.

x+y-

z=0

y–

3 z=0 5

x = z–y 

2 3  S =  z , z , z   z  5 5 

y =

3 z 5

2 z 5 3 y = z 5 x =



(Infinitas soluciones).

Aquí, las soluciones son “generadas” por la matriz (vector) (2/5, 3/5,1)

CONCLUSION: Si el sistema AX =  es tal que A  Mmxn con m < n, entonces, el sistema siempre posee infinitas soluciones. En este caso siempre se tendrá que Rg A = Rg (AB) < n (número de incógnitas)

OBSERVACIÓN: En muchos de los conceptos que se verán mas adelante, aparecerán sistemas homogéneos, de los cuales será muy importante determinar rápidamente, si tiene infinitas soluciones o si solo posee la trivial.

Relación entre la Solución del Sistema AX = B y la del Sistema homogéneo asociado AX = 

1) Cuando resolvimos el Sistema: 2x + 3y – z = 2 3x - y – 2z = 3 x - 4y + 3z = 1

Obtuvimos que la forma general de la solución es S= (1 + z, z, z)  z 

Notemos que S se puede escribir en la forma: S=

(1, 0, 0) + (z, z, z)  z 

Observemos que (1, 0 , 0) es una de las infinitas soluciones del sistema. La llamaremos Solución Particular. Sp = (1, 0, 0) El sistema homogéneo asociado tiene la solución 2 3 -5 3 -1 -2 1 -4 3

0 0 0

1 ~ 0 0

-4 3 1 -1 0 0

0 0 0

Determine las operaciones realizadas para reducir el sistema.

Sistema equivalente. x – 4 y + 3z = 0 y– z=0



x = 4y – 3z y= z

Luego, la solución del sistma homgéneo asociado Sh es:

Nótese que

Sh =

(z, z, z)  z 

S =

(1, 0, 0) + (z, z, z)

=

Sp + Sh



x =z y= z

2) Del mismo modo, cuando se resolvió el sistema x – 2y + 3z - t = 1 2x - z+ t=4 3x – 2y + 2z =5 x + 2y – 4 z + 2t = 3

S=

Se obtuvo que:

 4  t  z 2  3t  7 z  , , z , t   z, t   2 4  

Una solución particular que se obtiene con z = t = 0 es: Sp = ( 2,

1 , 0, 0) 2

S se puede escribir en la forma:

S=

3 1   t  5 z  3t  7 z  , , z, t  z, t   , ,0,0    4 2 2   4 

Puede demostrarse que el sistema homogéneo asociado tiene solución

Sh =

 t  5 z  3t  7 z  , , z, t  z, t   4  4 

De nuevo se verifica que la solución S del Sistema, puede escribirse en la forma:

S =

Sp + Sh

en donde Sp es una solución particular y Sh es la solución del Sistema homogéneo asociado. TEOREMA: Sea AX = B un sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Sea X una solución genérica del Sistema, y Xp una solución particular del mismo. Entonces X – XP es una solución del sistema homogéneo asociado.

En efecto:

AX =  Sistema Asociado. A(X – X) = AX – AX = B – B = 

CONCLUSIÓN: El sistema AX =  tiene la solución: Xh = X - Xp De aquí que X = Xp + Xh es la forma general de la solución del sistema AX = B

EJERCICIO: En los 2 ejemplos anteriores, escoger otra solución particular distinta de la utilizada. Verificar que con esa Sp , también es válido que: S = Sp + Sh OBSERVACIÓN: Si AX =  tiene solo la solución trivial, el sistema AX = B tiene solución única pues: X = Xp + Xh = Xp +  = Xp En donde Xp es también única.

Ejercicios: 1. Dadas las matrices:

A=

1 2 3 2 1 4

B=

1 2 3

0 1 2

3 -1 3 4 1 5 2 1 5

C=

D=

3 2

E=

2 -4 5 0 1 4 3 2 1

-2 5

Calcular, si es posible: a) C + E

b) AB

c) BA

d) CB + D

e) AB + D2

f) (AB)D

g) A(BD)

h) A(C + E)

i) AC + AE

j) At Bt

k) (AB)t

l) BtAt

m) verifique si se cumplen las siguientes propiedades: i) iii)

(C + E)t = Ct + Et det(CE) = detC · det E

ii) iv)

(CE)t = Et Ct det(C + E) = detC + det E

2. Determinar el rango para cada una de las matrices del ejercicio1.

3. Sea A = (aij) una matriz cuadrada de orden n. Se define TRAZA DE A y se anota Tr(A) al número Tr(A) = a11 + a22 + a33 + . . . +ann a) Calcular cuando sea posible, la traza de las matrices del ej. 1. b) Probar que se satisfacen, en general, las siguientes propiedades b1) Tr(cM) = c Tr(M), c   , M, matriz cuadrada. b2) Tr (M+N) = Tr(M) + Tr(N), M, N, matrices cuadradas de orden b3) Tr(MN) = Tr(NM), M,N, matrices cuadradas de orden n.

4. Determinar si las siguientes matrices poseen inversa. En caso afirmativo, obtener la inversa respectiva.

1 4 7

2 5 8

3 6 9

0 1 2 -1 0 3 -2 -3 0

0 1 2

1 0 3

2 3 0

1 8 8 0 1 0 -2 0 1

1 -1 0 2 2 -3 3 1 -3

x 5. Se dice que dos matrices son conmutables si AB = BA. Hallar todas las matrices  z  1 1  . son conmutables con   0 1 6. Calcular el determinante de cada una de las matrices siguientes.

1 2  2 2   1 2 2   3     0 1 4 1  ,  1 3 1 ,   1 1 3   2  4  1  2  5  1    1 2 

0 5 4 3

1  2 2  2 10     6 2 1 1 1 ,  0 1 2 3 4    0 1 5  4  2  

 1 1 2   7. Dada la matriz  0 2 2  , calcular det (λI – At) y resolver det(λI . At) = 0  1 1 3   8. Determine el rango de las siguientes matrices:

y  que t 

 1  2  3 4 1     2 1  3 2 2  ,  3  1 0 2  1     2 

2 3   3   0 1  1 , 2 2  2   0  1  0

2 0 2 1

1 1 0 1

5 1 0 2

0  1 , 1  0 

1 0 2 3  2 3 1 0 1 3 1  3  0  3 3 6 

5  3 2  1 

9. Sea A una matriz no singular de orden n. a) Pruebe que det(A-1) = det A -1 (Ayuda: Usar que det (AB) = detA· detB) b) Pruebe que si A = A-1 , entonces det(A) =  1 c) Si B = P-1 AP, con det P  0, entonces det A = det B 10. Si det(A) =3, calcule det (A-1), det (A2). Haga ver que A3 es no singular. 11. Sin resolver, decidir si el siguiente sistema de ecuaciones tiene solución única.

1  0 0  0 

2 1 0 1

0 1  2 3 1 2  2 1

·

 x1  0      x2  0  x  = 0  3   x  0  4  

t 1 4   , donde t   . Encontrar los valores de t de modo que A sea no 12. Sea A =   2 t  3 singular.

2  0   2 1 13. Halle A-1 si A =  2 1   0 1 

1 3 5 0

3  4 2  2 

14. Utilice la regla de Cramer para encontrar la solución del sistema

  2 3  1   2  1  1   2 1 1   

 1   x1       x2  =  4    3 x     3

15. Hallar todas las soluciones, si existen, de los siguientes sistemas de ecuaciones.

x1  x2 a) 3x1  2 x3 2 x2 x1  x2 c) x1 2 x1

e)

 2 x3  4 x3  3x3

 x3  2 x3  x3  x2

2 x1  3x2 x1  x2 3x1  4 x2

 2  5  2

 x4  x4  2 x4  x3

   5  3  6

 x3  x3  x3

 x4  2 x4  x4

x1  x2 b) x1  2 x3 x1  3x2 x1  x1  x1 2 x1

   

3x2 3x2 3x2 6 x2

 5 x3  x3  7 x3  2 x3  4 x3  4 x3  10 x3

 26  4   34    

3x4 4 x4 4 x4 9 x4

 2 x5  4 x5  x5  4 x5

 4  1  2  1

 3  1  5

16. Obtener la forma de la solución general del sistema, o bien, observar que no tiene soluciones distintas de la singular o trivial.

x  y  z  0 a) 3x  y  z  0 x  3y  z  0

b)

x  3y  z  0 5x  3 y  2 z  0

17. Para qué valor (es) de k el sistema solo posee la solución trivial.

x  3y  4z  0 x  ky  3z  0 3x  ky  2 z  0 18. En el sistema siguiente, determine todos los valores de a para cuales el sistema tiene: a) ninguna solución b) solución única c) infinitas soluciones x  y  z  2

x  2y  z  3 2 x  y  (a  5) z  a

19. Dada la matriz A =

3  1 2 0   a 3 0  0 0 0 1 b    1 0 3  1 

a) Calcule detA b) ¿Qué relación debe existir entre a y b para que A-1 exista? c) Asigne valores para a y b, de modo que A–1 exista y calcule.

t  3 1 1 20. Determinar t, de modo que 7 t 5 1 0 6 6 t 2 21. Resuelva el siguiente sistema, de modo que tenga una solución distinta de la trivial, para algún valor de t, a determinar.

(t  3) x  y  z  0 7x  (t  5) y  z  0 6x  6y  (t  2) z  0

22. Para el siguiente sistema lineal se pide:

2x  y  z  1 x  y  z  0 x  2z  1

a) Resolver el sistema b) Resolver el sistema homogéneo asociado c) Expresar la solución del sistema no homogéneo como la suma entre una sol. Particular y la del sistema homogéneo asociado.