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Facultad de CC.EE de Albacete Departamento de Análisis Económico y Finanzas Área de Fundamentos del Análisis Económico

MICROECONOMÍA AVANZADA Guía Práctica (Libro del Profesor) Curso académico 2013/2014    

Profesor: Fabio Monsalve  

   

 

                                        Las granadas   Las granadas Había una vez un hombre poseedor de varios granados  en su huerta. Y todos los otoños colocaba las granadas en bandejas  de plata fuera de su morada, y sobre las bandejas escribía un cartel  que decía así: "Tomad una por nada. Sois bienvenidos". Más la gente  pasaba sin tomar la fruta. Entonces, el hombre meditó, y un otoño no  dejó granadas en las bandejas de plata fuera de su morada, sino que  colocó un gran anuncio: "Tenemos las mejores granadas de la tierra,  pero  las  vendemos  por  más  monedas  de  plata  que  cualquier  otra  granada".  Y,  creedlo,  todos  los  hombres  y  mujeres  del  vecindario  llegaron corriendo a comprar.  Gibran Jalil Gibran         

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Indices 

     

Tabla de contenidos   Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica ............................................................... 10  1.1. Guía teórica para la resolución de los ejercicios ............................................................................. 11  1.1.1. Economía de intercambio puro ............................................................................................ 11  1.1.2. Economía de intercambio con producción ........................................................................... 13  1.1.3. Optimalidad en el sentido de Pareto ................................................................................... 15  1.2. Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 18  1.3. Ejercicios propuestos ...................................................................................................................... 39  1.4. Referencias Bibliográficas ............................................................................................................... 44  1.5. Practicas .......................................................................................................................................... 45 

Tema 2. Economía del Bienestar .......................................................................................... 67  2.1. Guía teórica para la resolución de los ejercicios ............................................................................. 68  2.1.1. Teoremas de la economía del bienestar .............................................................................. 68  2.1.2. La elección social ................................................................................................................. 69  2.1.3. Los fallos del mercado.‐ Externalidades .............................................................................. 70  2.1.4. Fallos de mercado.‐ Bienes Públicos .................................................................................... 71  2.2. Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 72  2.3. Ejercicios propuestos ...................................................................................................................... 86  2.4. Referencias bibliográficas ............................................................................................................... 91  2.5. Prácticas .......................................................................................................................................... 92 

Tema 3. Teoría de juegos ................................................................................................... 105  3.1. Guía teórica para la resolución de los ejercicios ........................................................................... 106  3.1.1. Juegos estáticos ................................................................................................................. 106  3.1.2. Juegos dinámicos ............................................................................................................... 106  3.2. Ejercicios resueltos ....................................................................................................................... 109  3.2.1. Juegos estáticos con información completa ...................................................................... 109  3.2.2. Juegos dinámicos con información completa .................................................................... 115  3.2.3. Juegos estáticos con información incompleta ................................................................... 127  3.3. Ejercicios propuestos .................................................................................................................... 132  3.3.1. Juegos estáticos con información completa ...................................................................... 132  3.3.2. Juegos dinámicos con información completa .................................................................... 143  3.3.3. Juegos estáticos con información incompleta ................................................................... 146  3.4. Referencias bibliográficas ............................................................................................................. 147  3.5. Prácticas ........................................................................................................................................ 148 

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Guía Teórico‐Práctica Microeconomía Avanzada. Curso 2013/14. 

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  Tema 4. Subastas ............................................................................................................... 155  4.1. Guía teórica para la resolución de los ejercicios ................................ ¡Error! Marcador no definido.  4.2. Ejercicios resueltos ....................................................................................................................... 156  4.3. Ejercicios propuestos .................................................................................................................... 168  4.4. Referencias bibliográficas ............................................................................................................. 171  4.5. Prácticas ........................................................................................................................................ 172 

Tema 5. Selección adversa ................................................................................................. 175  5.1. Guía teórica para la resolución de los ejercicios ................................ ¡Error! Marcador no definido.  5.2. Ejercicios resueltos ....................................................................................................................... 176  5.3. Ejercicios propuestos .................................................................................................................... 181  5.4. Referencias bibliográficas ............................................................................................................. 185 

Tema 6. Riesgo moral ........................................................................................................ 189  6.1. Guía teórica para la resolución de los ejercicios ................................ ¡Error! Marcador no definido.  6.2. Ejercicios resueltos ....................................................................................................................... 190  6.3. Ejercicios propuestos .................................................................................................................... 192  6.4. Prácticas ........................................................................................................................................ 193 

 

6   

Indices 

 

Ejercicios * 0F

Ejercicio 1.1. Economía de intercambio puro. Función de demanda. .................................................. 18  Ejercicio 1.2. Economía de intercambio puro. Función de exceso de demanda. ................................. 22  Ejercicio 1.3. Economía de intercambio con producción (3x2x1x1) ..................................................... 27  Ejercicio 1.4. La Frontera de posibilidades de producción con un factor ............................................. 30  Ejercicio 1.5. La Frontera de posibilidades de producción con dos factores ........................................ 34  Ejercicio 1.6. *Economía de intercambio puro. Función de demanda. ................................................ 39  Ejercicio 1.7. *Economía de intercambio puro. Función de exceso de demanda. ............................... 40  Ejercicio 1.8. *Economía de intercambio con producción (3x2x1x1) ................................................... 41  Ejercicio 1.9. *La Frontera de Posibilidades de Producción con un factor ........................................... 42  Ejercicio 1.10. *La Frontera de posibilidades de producción con dos factores .................................... 43  Ejercicio 2.1. Óptimo social y Segundo Teorema Economía Bienestar ................................................. 72  Ejercicio 2.2. Externalidades y equilibrio general competitivo ............................................................. 77  Ejercicio 2.3. Externalidades en la producción ..................................................................................... 80  Ejercicio 2.4. La tragedia de los bienes comunales ............................................................................... 82  Ejercicio 2.5. Bienes públicos ................................................................................................................ 83  Ejercicio 2.6. Bienes públicos y precio de Lindahl (solución numérica) ................................................ 85  Ejercicio 2.7. *Óptimo social y Segundo Teorema Economía Bienestar ............................................... 86  Ejercicio 2.8. *Externalidades y equilibrio general competitivo ........................................................... 87  Ejercicio 2.9. *Externalidades en la producción ................................................................................... 88  Ejercicio 2.10. *Bienes públicos ............................................................................................................ 89  Ejercicio 2.11. *Bienes públicos y precio de Lindahl (solución numérica) ............................................ 90  Ejercicio 3.1. Juego de los Cerdos [EN] (Clase) ................................................................................... 109  Ejercicio 3.2. Matrices estratégicas [Argumentos dominación] (Clase) .............................................. 111  Ejercicio 3.3. Juego del bienestar [Estrategias mixtas] (Clase) ........................................................... 113  Ejercicio 3.4. Duopolio Cournot (Clase) .............................................................................................. 114  Ejercicio 3.5. Representación estratégica (Clase) ............................................................................... 115  Ejercicio 3.6. Juego en forma extensiva [ENPS] .................................................................................. 117  Ejercicio 3.7. Información completa‐imperfecta/simultáneo‐secuencial  (Clase) .............................. 120  Ejercicio 3.8. El monopolista “Lobbysta” (Clase) ................................................................................ 122  Ejercicio 3.9. Duopolio de Stackelberg ............................................................................................... 126  Ejercicio 3.10. La batalla de los sexos [EBN] (Clase) ........................................................................... 127 

                                                        *

 El asterisco (*) indica ejercicios propuestos 

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  Ejercicio 3.11. Situación estratégica  [EBN] ........................................................................................ 130  Ejercicio 3.12. *Matrices estratégicas [EN] (Clase) ............................................................................. 132  Ejercicio 3.13. *Juego de la gallina o halcón‐paloma [EN] .................................................................. 133  Ejercicio 3.14. *La Batalla de los sexos [EN] (Clase)............................................................................ 134  Ejercicio 3.15. *Juego Izquierda‐Derecha [EN] ................................................................................... 135  Ejercicio 3.16. *Empresas automovilísticas [EN] ................................................................................ 136  Ejercicio 3.17. *Matrices estratégicas [Argumentos dominación] (Clase) .......................................... 137  Ejercicio 3.18. *Juego Generales Pacifico Sur [Argumentos dominación] (Clase) .............................. 138  Ejercicio 3.19. *Matrices estratégicas [Argumentos dominación] (Ejercicio Clase) ........................... 139  Ejercicio 3.20. *Inspección de trabajo [Estrategias mixtas] [Clase] .................................................... 141  Ejercicio 3.21. *Agencia Tributaria [Estrategias mixtas] (Pendiente) ................................................. 142  Ejercicio 3.22. *Duopolio de Cournot [Clase] ..................................................................................... 143  Ejercicio 3.23. *Juego en forma extensiva [ENPS] (Clase) .................................................................. 143  Ejercicio 3.24. *Telex contra IBM [EN y ENPS] .................................................................................... 144  Ejercicio 3.25. *Juego en forma extensiva [ENPS] .............................................................................. 145  Ejercicio 3.26. *La batalla de los sexos [EBN] (Clase) ......................................................................... 146  Ejercicio 4.1. Actitud frente al riesgo [Recordatorio] (Clase) .............................................................. 156  Ejercicio 4.2. Juego de subastas de primer precio. (Clase) ................................................................. 158  Ejercicio 4.3. Hacer un buen negocio. (Clase) ..................................................................................... 160  Ejercicio 4.4. Equilibrio en subastas. (Presentación) .......................................................................... 163  Ejercicio 4.5. *Juego de subastas de primer precio. (Clase) ............................................................... 168  Ejercicio 4.6. *Subastando un ordenador ........................................................................................... 169  Ejercicio 4.7. *El mercado de alfombras ............................................................................................. 170  Ejercicio 5.1. The market for lemons .................................................................................................. 176  Ejercicio 5.2. Razonando sobre selección adversa .............................................................................. 178  Ejercicio 5.3. Screening en Cruceros [Presentación]........................................................................... 179  Ejercicio 5.4. *The market for lemons [Presentación] ........................................................................ 181  Ejercicio 5.5. *La educación como señal de calidad [Presentación] ................................................... 182  Ejercicio 5.6. *Información asimétrica y mercado de trabajo [Ejercicio Clase] .................................. 183  Ejercicio 5.7. *Screening en compañía aérea ..................................................................................... 184  Ejercicio 6.1. Incentivos al esfuerzo [Presentación] ........................................................................... 190  Ejercicio 6.2. *Incentivos al esfuerzo .................................................................................................. 192 

   

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Programa 

 

         

Programa de la asignatura          

PARTE I 

EQUILIBRIO GENERAL Y BIENESTAR 

Tema 1 

Equilibrio general y eficiencia económica. 

Tema 2 

Economía del bienestar 

PARTE II 

COMPORTAMIENTO ESTRATÉGICO 

Tema 3 

Teoría de juegos 

Tema 4 

Subastas 

PARTE II 

ECONOMÍA DE LA INFORMACIÓN 

Tema 5 

Selección adversa 

Tema 6 

Riesgo moral     

 

9   

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica 

 

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica                                

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1.1. Guía teórica para la resolución de los ejercicios 1.1.1. Economía de intercambio puro  

:

2 2

; 1,2

; ó



,

: :

a) El equilibrio general competitivo con intercambio puro  Determinación mediante la función de utilidad  Paso 1.‐ Se calculan las funciones de demanda de cada uno de los individuos  En primer lugar resolvemos el siguiente problema de maximización. 



. .

Método 1.‐ Mediante el Lagrangiano. Se calculan las derivadas parciales e igualan a 0.  ,



Método  2.‐  Aplicando  directamente  la  condición  de  equilibrio  del  consumidor  determinada por la igualdad de las utilidades marginales (UMg) de cada bien.  En segundo lugar, sustituimos la condición de equilibrio en la restricción y, despejando,  obtenemos las curvas de demanda de cada consumidor para cada bien.  Paso 2.‐ Se calcula el vaciado de mercado  En  primer  lugar,  sustituimos  las  funciones  de  demanda  de  cada  individuo  en  la  factibilidad que  determina  las  dotaciones  iniciales,  obteniendo  una  ecuación  con  dos  incógnitas.  En segundo lugar, tomamos como numerario uno de los dos bienes y llegamos a unos  precios relativos de equilibrio.  En  tercer  lugar,  sustituyendo  los  precios  de  equilibrio  en  las  funciones  de  demanda,  obtenemos las cantidades demandadas de cada bien.  Determinación mediante las funciones de exceso de demanda 

11   

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica 

  Sabemos  que  la  el  exceso  de  demanda  o  demanda  neta  es  la  diferencia  entre  la  demanda deseada por el agente (demanda bruta) y sus dotaciones iniciales.  Paso 1.‐ Plateamos el problema de maximización de utilidad en términos de excesos de  demanda. Para ello.  En  primer  lugar,  reescribimos  la  función  de  utilidad  en  términos  de  exceso  de  demanda.  En segundo lugar, reescribimos la restricción presupuestaria en términos de exceso de  demanda y, para simplificar, utilizamos precios relativos  ⇒

0 ;



En tercer lugar, planteamos el nuevo problema de maximización y  . .

0



En  cuarto  lugar,  resolvemos  mediante  el  método  del  Lagrangiano  y  obtenemos  las  funciones de exceso de demanda    Paso 2.‐ Vaciado de mercado  En primer lugar, calculamos los precios relativos. Sabiendo que el exceso de demanda  agregada de cada bien es 0, podemos plantear un sistema de ecuaciones y obtener los  precios relativos.   0 En segundo lugar, sustituimos la relación de intercambio en las funciones de exceso de  demanda y obtenemos las cantidades demandadas por los individuos.  A partir de las funciones de exceso de demanda y considerando el precio relativo igual  a  1,  obtenemos  las  cantidades  de  cada  bien  que  los  agentes  están  dispuestos  a  intercambiar.  b) La ley de Walras  El valor del exceso de demanda ha de ser igual a 0 para cualquier conjunto de precios.  ≡ 0

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  Verificación de la ley de Walras  Para verificar si el equilibrio competitivo cumple con la ley de Walras, calculamos las  funciones de exceso de demanda de cada bien y comprobamos si la suma es igual a 0.  Verificación del Equilibrio Walrasiano  Dada  una  relación  de  precios  hablamos  de  equilibrio  walrasiano  (EW)  o  equilibrio  general competitivo (EGC) si se verifica que:   En  caso  de  que  no  se  verifique,  los  precios  no  serán  de  equilibrio  y  habrá  que  calcularlos. 

1.1.2. Economía de intercambio con producción  2 2 2 :

; ;

; 1,2 1,2

ó



:

ó

ó

ó : :

1,2





:

a) La curva de contrato  La  curva  de  contrato  es  el  conjunto  de  todos  los  puntos  eficientes  en  el  sentido  de  Pareto. Por tanto, desde el punto de vista gráfico es el lugar geométrico de la caja de  Edgeworth de las combinaciones de consumo (o producción) eficientes, factibles y no  derrochadoras.  La curva de contrato del consumo  En  primer  lugar,  calculamos  las  relaciones  marginales  de  sustitución  (RMS)  de  cada  agente y las igualamos.  En  segundo  lugar,  sustituimos  la  del  individuo  B  en  la  factibilidad  y  la  ponemos  en  función de la cesta de consumo de A.  ,

⇒

W

,W



En  tercer  lugar,  igualamos  a  la  RMS  de  A  y  despejamos  uno  de  los  bienes  (normalmente el 2), obteniendo una expresión del tipo 

13   

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica 

  Formalmente la caracterizamos de la siguiente forma  ,

, W

⁄

,W

∈ 0, W



La curva de contrato de la producción o conjunto de Pareto  En  primer  lugar,  calculamos  las  combinaciones  técnicamente  eficientes  mediante  la  condición de igualdad de las relaciones marginales de sustitución técnica.  / /



/ /



En segundo lugar, dado que las combinaciones han de ser factibles y no derrochadoras,  sustituimos los factores productivos del proceso 2 en la factibilidad y reescribimos la  RMST2 en función de los factores del proceso productivo 1.  ,

⇒

,X

X



En tercer lugar, igualamos a la RMST del proceso productivo 1 y despejamos uno de los  factores productivos (normalmente el 2) obteniendo una expresión del tipo  Caracterización  ,

, W

⁄

,W

∈ 0, X



b) El equilibrio general competitivo con producción  Paso 1.‐ Se calcula el beneficio de la empresa  En  primer  lugar,  resolvemos  el  siguiente  problema  de maximización  y  obtenemos  las  funciones de oferta de output y de demanda de input.  

. . .





En segundo lugar, calculamos la función de beneficios de la empresa 

.



Paso 2.‐ Se calcula el equilibrio general competitivo  Este desarrollo es idéntico al visto en el cálculo del equilibrio general competitivo con  intercambio  puro  con  la  salvedad  de  que,  dado  que  los  consumidores  son  también  propietarios de las empresas, hemos de incorporar en su restricción presupuestaria la  función de beneficios.  . .

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  De la resolución del problema de maximización se obtienen las funciones de demanda  de cada bien por parte de cada agente.  Paso 3.‐ Vaciado de mercado.  Desarrollo idéntico al analizando para economías de intercambio puro. 

1.1.3. Optimalidad en el sentido de Pareto  a) Determinar la frontera de posibilidades de producción  En primer lugar, invertimos las funciones de producción, de tal manera que hacemos  depender  el  factor  productivo  de  la  producción.  En  el  caso  de  los  factores  capital  y  trabajo sería:  ,

⇒



En segundo lugar, sustituimos en la condición de factibilidad de los factores llegando a  una expresión en la que la suma de las producciones iguala la dotación de factores.  En tercer lugar, establecemos una producción en función de la otra  Nota.‐ En el caso de que las dos empresas utilicen los dos bienes como inputs debemos  calcular primeramente la expresión de la curva de contrato, a partir de la igualdad de  las RMST.  b) Determinar la relación de transformación de producto (RTP)  / /



c) Determinación de la frontera de utilidad (FU)  La  frontera  de  utilidad  es  la  proyección  de  la  curva  de  contrato  en  el  espacio  de  utilidades.  ,

⁄

,

∈



En  primer  lugar,  sustituimos  la  expresión  de  la  curva  de  contrato  de  consumo  en  la  función  de  utilidad,  de  tal  manera  que  la  utilidad  del  individuo  dependa  funcionalmente de uno de los dos bienes.  ,

,



Procedemos  de  igual  manera,  para  el  agente  B.  Téngase  en  cuenta,  que  la  curva  de  contrato de B ha de estar definida en relación con la demanda del bien que hayamos  tomado de referencia (generalmente XA1).  ,

,



15   

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica 

  En  segundo  lugar,  invertimos  la  relación  para  que  sea  la  demanda  del  bien  1  por  el  agente A la que dependa funcionalmente de la utilidad.    En tercer lugar, igualamos y obtenemos la expresión de la función de utilidad    Formalmente, la expresamos en términos de la utilidad del agente A.  ⁄

,

∈ 0,



d) Determinación del núcleo de la Economía  El núcleo es el conjunto de asignaciones que mejoran la situación inicial (dotaciones)  de  ambos  individuos;  por  tanto,  es  un  espacio donde  el  intercambio  es  mutuamente  beneficioso.  ú

∈

,

/

W ,



En  primer  lugar,  calculamos  la  utilidad  que  le reportan  a cada  agente  sus  dotaciones  iniciales.   ,

 

En segundo lugar, expresamos la función de utilidad en relación con el nivel de utilidad  dado de un consumidor (generalmente B), el cual habrá de ser superior a la utilidad de  las dotaciones iniciales  ,



,



Si  expresamos  la  función  de  utilidad  respecto a  UB,    El  primer individuo  cuya  utilidad  reflejemos  en  el  eje  de  ordenadas  nos  determinará  el  límite  superior  del  núcleo  y  el  otro individuo el inferior 

 

16   

Guía Teórico‐Práctica Microeconomía Avanzada. Curso 2013/14. 

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  Formalmente, lo expresamos en términos del nivel de utilidad de un consumidor  ú

/

∈

,



e) Comprobación de la eficiencia en el sentido de Pareto de la asignación competitiva   En  primer  lugar,  se  determina  el  equilibrio  competitivo  mediante  el  proceso  ya  conocido  de  maximizar  la  utilidad  de  ambos  agentes,  obtener  las  funciones  de  demanda y calcular el vaciado de mercado.  En  segundo  lugar,  se  verifica  que  dichas  dotaciones  se  encuentran  en  la  frontera  de  utilidad  y,  por  tanto  son  eficientes.  Para  ello  se  calcula  la  utilidad  que  proporcionan  dichas dotaciones y se compara con la utilidad total.  f)  Cálculo del óptimo de Pareto   El óptimo de Pareto representa el punto de eficiencia global.  ⇒ . . En primer lugar, calculamos la relación marginal de sustitución (RMS) del consumidor.  / /





En segundo lugar, calculamos la relación de transformación del producto (RTP)  / /



En tercer lugar, igualamos ambas y obtenemos la condición de equilibrio global.  En  cuarto  lugar,  sustituimos  dicha  condición  en  la  FPP  y  obtenemos  el  óptimo  de  Pareto.   

17   

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica 

 

1.2. Ejercicios resueltos Ejercicio 1.1. Economía de intercambio puro. Función de demanda.  Para  una  economía  de  intercambio  puro  formada  por  dos  individuos  con  las  siguientes preferencias y dotaciones   /

/

/

;

/



,

;

,



a) Calcular el vector de precios de equilibrio y la asignación competitiva.  b) Obtener la expresión de la curva de contrato.  c) ¿Es la dotación inicial una asignación eficiente? ¿Se encuentra en la curva de  contrato?  d) Representar gráficamente el equilibrio.  e) Compruebe que la asignación de equilibrio competitivo cumple con la ley de  Walras.   SOLUCIÓN  a) Calcular el vector de precios de equilibrio y la asignación competitiva.  Para  calcular  el  vector  de  precios  de  equilibrio  y  la  asignación  competitiva  necesitamos, en primer lugar, resolver los problemas de maximización de cada uno de  los individuos   Consumidor A   Planteamos el problema de maximización 

X

,

/

X

/

. .

150



300

Resolvemos mediante la condición de equilibrio  Con los datos del ejercicio tenemos  2 3

/ /

X

1 X 3

/ /

2

⇒ 2

Sustituimos en la restricción presupuestaria para calcular XA1 

18   



Guía Teórico‐Práctica Microeconomía Avanzada. Curso 2013/14. 

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  150

300

3 100

50

150

⇒

300 3



Obtenemos ahora la función de demanda de XA1  50

2

100

100

200

100

⇒

1

200



 Consumidor B   Procedemos  de  igual  forma  para  calcular  las  funciones  de  demanda  del  segundo  consumidor  ,



3X

/

X

. .

/

300



100

Desarrollamos la condición de equilibrio  1 33 3

/ /

/

2 3

/

⇒ ⇒

2

2



Sustituimos en la restricción presupuestaria para calcular XB2  300

100

3

300

⇒

100 3



Obtenemos ahora la función de demanda de XB2  2

300

100 3

⇒

600

200 3



 El equilibrio competitivo  Calculamos ahora las cantidades de equilibrio, sabiendo que el exceso de demanda es  0, para dichas cantidades de equilibrio.  Para el mercado del bien 1 ha de cumplirse que:  100 200 300 100 ⇒ 450 3 Para resolver la ecuación tomamos como numerario el bien 1 (p1=1)  300 100 750 15 100 200 4 ⇒ 700 600 1350 ⇒   3 700 14 Una  vez  obtenidos  los  precios,  podemos  calcular  las  demandas  de  cada  agente  para  cada bien: 

19   

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica 

  100

200

300

100 3

50

314,286 ;

100

600

135,714 ;

146,667

200

253,333

3

b) Obtener la expresión de la curva de contrato.  La  curva  de  contrato  es  el  conjunto  de  todos  los  puntos  eficientes  en  el  sentido  de  Pareto  de  la  caja  de  Edgeworth  por  lo  tanto,  en  los  puntos  de  dicha  curva  se  ha  de  verificar que  2



2

Por  otra  parte,  sabemos  que  en  equilibrio  la  oferta  ha  de  ser  igual  a  la  demanda; es  decir la demanda de cada producto ha de igualar las dotaciones iniciales 

450 ⇒

450





400 ⇒

400

 

Sustituimos en la condición de equilibrio  2XA2 XA1 4

450

XB2 2XB1 400

400 2 450 ⇒

400 1800 3



c)  ¿Es  la  dotación  inicial  una  asignación  eficiente?  ¿Se  encuentra  en  la  curva  de  contrato?  Para comprobar si la dotación inicial es eficiente sustituimos en la curva de contrato y  verificamos si se anula o no.  300

20   

400 150 1800 3 150

44,44

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  d) Representar gráficamente el equilibrio. 

 

e)  Compruebe  que  la  asignación  de  equilibrio  competitivo  cumple  con  la  ley  de  Walras  Por  la  ley  de  walras  sabemos  que  el  valor  del  exceso  de  demanda  ha  de  ser  idénticamente igual a 0 para cualquier conjunto de precios.  ,

,

≡ 0

Calculamos,  en  primer  lugar,  los  excesos  de  demanda  para  el  nivel  de  precios  de  equilibrio  314,286

150

164,286  

146,667

300

153,333

135,714

300

164,286 

253,333

100

153,333

Calculamos ahora los excesos de demanda agregada  164,286 153,333

164,286 153,333

0 0

Si el exceso de demanda agregada es 0, también lo será su suma multiplicada por los  precios de equilibrio. 

21   

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica 

 

Ejercicio 1.2. Economía de intercambio puro. Función de exceso de demanda.  Considere  una  economía  de  intercambio  puro  con  dos  consumidores,  A  y  B,  y  dos  bienes, 1 y 2. Las  funciones de utilidad y las dotaciones son:  ;



,

;



,

Se pide determinar:  a) Las funciones de exceso de demanda individuales para cada bien.  b) La relación de intercambio.  c) Las cantidades intercambiadas por los individuos.  SOLUCIÓN  a) Las funciones de exceso de demanda individuales para cada bien.    Funciones de excesos de demanda del individuo A   Empezamos  construyendo  la  restricción  presupuestaria  del  individuo  A  en  base  a  los  excesos de demanda.  ⇒

0

⇒

0

Como  lo  que  nos  interesa  son  los  precios  relativos,  podemos  definir  p=p1/p2  y  simplificar lo anterior (divido por p2)  ⇒

0

La  función  de  utilidad  del  individuo  podemos  expresarla  en  términos  de  demanda  bruta o de exceso de demanda más dotaciones iniciales.  ,

W

,

W

50 ,



La función de utilidad del enunciado del individuo A expresada en función de excesos  de demanda y dotaciones sería:  2

50



De esta forma podemos plantear un problema de maximización de la utilidad sujeta a  la restricción presupuestaria 

2 . .

50 0



Para  resolver  el  problema  planteamos  la  ecuación  de  Lagrange    calculamos  las  primeras derivadas parciales y las igualamos a 0. 

22   

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  2

50

2 2

 

0 100

2

0

ó



2

p

100

0 A partir de la tercera ecuación obtenemos  Sustituimos en la condición de equilibrio (aunque normalmente es más fácil al revés)  2 2 2



100 2

100

4

100 50 4

25

A partir de aquí podemos obtener la función de exceso de demanda del bien 2   25

25

Los excesos de demanda o demandas netas o demandas transaccionales son funciones  del precio relativo de los bienes y son homogéneas de grado 0 en precios.  La restricción presupuestaria se satisface para cualquier conjunto de precios. El valor  neto del exceso de demanda del consumidor debe ser igual a 0.  25

25

0

De otra forma  25

25

0

Imaginemos que el precio relativo es 1, los valores de exceso de demanda serían:  25

;

25 1

25

Es  decir,  el  individuo  A  está  dispuesto  a  entregar  25  unidades  del  bien  1  (exceso  de  demanda negativo) y adquirir 25 unidades del bien 2 (exceso de demanda positivo).  Obviamente, a este nivel de precios se cumple que el valor de lo comprado ha de ser  igual al valor de lo vendido.  1

25

25

0

23   

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica 

  Podemos  comprobar  cómo  un  aumento  del  precio  relativo  del  bien  1,  disminuirá  el  exceso de demanda de ese bien y aumenta el del bien 2. Por ejemplo, si el precio pasa  a ser 2, los resultados serían:   25 ;

25 2

50

A  esta  nueva  relación  de  precios  también  se  cumple  con  el  principio  de  que  el  valor  neto del exceso de demanda del consumidor es igual a 0.  2

25

50

0

   Funciones de excesos de demanda del individuo B   La restricción presupuestaria del individuo B será  ⇒

0

La reescribimos ahora en función de los precios relativos (p=p1/p2)  ⇒

0

La función de utilidad del individuo B será  W

,

W

3

70  

De esta forma podemos plantear un problema de maximización de la utilidad sujeta a  la restricción presupuestaria 

3

70 0

. .



Resolvemos el Lagrangiano 

3

3

70

210

0

3



3

0

ó



210 3

p

0 A partir de la tercera ecuación obtenemos  Sustituimos en la condición de equilibrio (aunque normalmente es más fácil al revés)  210

3 3

24   



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  3

210 6

3



210 210 6

35

A partir de aquí podemos obtener la función de exceso de demanda del bien 2   35

35

b) La relación de intercambio.  Como  sólo  tenemos  dos  bienes,  sólo  tenemos  dos  mercados  y  dos  excesos  de  demanda. El sistema a resolver está formado por dos ecuaciones y dos condiciones de  equilibrio que no son independientes.  El exceso de demanda agregada de cada bien será:  25 25

35

35

35

25

25

0 

35

0

Cualquiera de las dos ecuaciones es suficiente para la determinación de la relación de  intercambio.  1 :

35

25

2 : 25p

0 ⇒ 35

1

25 1 ⇒ 35

0 ⇒ p

35 25

5 7 7 5

0,71 1,4

 

Las  soluciones  son  idénticas.  En  equilibrio  el  individuo  A/B  intercambiará  1  unidades  del bien 2 por 0,71 unidades del bien 1 y el individuo A/B 1 unidades del bien 2 por 1,4  unidad del bien 1.  c)  Las cantidades intercambiadas por los individuos.  Sustituimos  la  relación  de  precios  de  equilibrio  en  las  funciones  de  exceso  de  demanda.  25

;

25

5 7

25 ;

35

25

7 5

35

35

El consumidor 1 da 25 unidades del bien 1 al individuo 2 a cambio de 35 unidades del  bien 2. Como se observa para el precio relativo de equilibrio competitivo, los excesos  de demanda para cada bien por parte de cada consumidor son de igual magnitud pero 

25   

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica 

  de signos contrarios, con lo cual, el exceso de demanda agregada de cada bien es cero.  Los  dos  mercados  están  en  equilibrio  y  los  dos  individuos  están  maximizando  su  utilidad: es una situación de equilibrio general. 

26   

Guía Teórico‐Práctica Microeconomía Avanzada. Curso 2013/14. 

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Ejercicio 1.3. Economía de intercambio con producción (3x2x1x1) 2  1F

Considere una economía competitiva con producción en la cual hay una sola empresa  que produce un bien llamado bien 2, usando como input el bien 3 según la siguiente  función de producción: 

 

Los beneficios se distribuyen por partes iguales entre dos consumidores, A y B, cuyas  funciones de utilidad y dotaciones son:   /

/

;

,

,

,

, ,

 

Se pide calcular el equilibrio competitivo de esta economía.  SOLUCIÓN   Empresa  En primer lugar, planteamos el problema de maximización del beneficio de la empresa 

⇒

. .





Calculamos las condiciones de primer orden.  2

/

0 ⇒

/

2

⇒

2



Calculada la demanda del input, con una simple sustitución obtenemos la oferta de la  empresa. 

2

2



Una vez obtenidas las funciones de oferta de output (ingresos) y de demanda de input  (costes) podemos calcular la función de beneficios (en términos de los precios de los  bienes) de la empresa.  2 2

4

4

4

4



 Consumidor A   Dado que el consumidor es copropietario de la empresa (50%) hemos de incluir en su  restricción  presupuestaria  la  mitad  de  los  beneficios  de  la  empresa.  El  problema  de  maximización a resolver será ahora:                                                         

2

 3 bienes, 2 consumidores, 1 input y 2 empresa. 

27   

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica 

 

,

. .

X 2

/

X

/



1 2 4

0

La condición de equilibrio para el consumidor A es  ⇒



Sustituimos en la restricción presupuestaria para calcular XA1  2

2

16

⇒

8

8



16

Obtenemos ahora la función de demanda de XA2  16

16

8

16

8



16  Consumidor B   Resolvemos de igual manera para el consumidor B 

,

. .

X

/

X

/



1 2 4

2

La condición de equilibrio:  ⇒



Dado  que  la  condición  de  equilibrio  y  las  dotaciones  son  las  mismas  que  para  el  consumidor A, sus curvas de demanda del bien 1 y dos también van a ser iguales  8

16

;

16

8

16 16



 El equilibrio competitivo  Tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Calculamos las condiciones de  vaciado para cada uno de los 3 mercados.  Mercado 1.‐ La restricción viene dada por las dotaciones iniciales.  2

8

16 16

8 8

28   

8

16 16

0

4

Guía Teórico‐Práctica Microeconomía Avanzada. Curso 2013/14. 

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  Mercado 2.‐ La restricción viene dada por las dotaciones iniciales más la oferta de la  empresa  16

2

8

16

8

16

0

8

16

8



2



4

Mercado 3.‐ La restricción viene dada por las dotaciones iniciales, incluyendo además  la demanda de la empresa de bien 3.  0

0 8

2

2

En  este  caso  la  solución  más  fácil  del  sistema  de  ecuaciones  pasa  por  utilizar  los  mercados del bien 1 y 3 y tomar como numerario el precio del bien 3 (p3=1)  8 ⇒

∓√8

Lógicamente la solución válida es la positiva. Los precios no pueden ser negativos.  8

16

√8

8

16

16

16

0 ⇒

1

Los resultados del equilibrio competitivo son  Precio del bien 1 (P1) = 1  Precio del bien 2 (P2) = 2,828427  Demanda del bien 1 por consumidor A (XA1) = 2  Demanda del bien 2 por consumidor A (XA2) = 0,707107  Demanda del bien 3 por consumidor A (XA3) = 0  Demanda del bien 1 por consumidor B (XB1) = 2  Demanda del bien 2 por consumidor B (XB2) = 0,707107  Demanda del bien 3 por consumidor B (XB3) = 0  Oferta de la empresa del bien 2 (X2)= 1,41421  Demanda de la empresa del bien 3 (X3)= 2 

29   

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica 

 

Ejercicio 1.4. La Frontera de posibilidades de producción con un factor  Dos empresas producen los dos únicos bienes de consumo de una economía, siendo el  trabajo el único factor productivo. Las funciones de producción son  /

/

;



La cantidad total de factor trabajo es 136 y los precios de los bienes son P1=10 y P2=6.  Considere,  además,  que  en  la  economía  operan  dos  consumidores,  A  y  B.    Toda  la  producción del bien X1 se le entrega como dotación inicial al consumidor A y toda la  del bien X2 al consumidor B. Las funciones de utilidad son de los consumidores son:  :



:



Se pide determinar  a) La frontera de posibilidades de producción (FPP)   b) Las cantidades producidas de ambos bienes.  c) Los precios correspondientes al equilibrio general competitivo.  d) ¿Es  el  equilibrio  general  competitivo  un  óptimo  de  Pareto?  Justifique  su  respuesta.   SOLUCIÓN  a) La frontera de posibilidades de producción (FPP)  Recordemos  que  la  FPP  refleja  las  producciones  máximas  que  puede  generar  una  economía dada la tecnología (funciones de producción) y los factores de producción.  La FPP se representa como una relación funcional entre las cantidades producidas.  Para  calcularla,  invertimos  la  función  de  producción,  dejando  el  factor  productivo  como variable dependiente y sustituimos en la factibilidad del factor de producción. 



/

⇒

/

⇒ 136





136 

A  partir  de  la  expresión  anterior,  despejamos  una  de  las  dos  producciones  (normalmente la 2) y obtenemos al expresión de la FPP  136



b) Las cantidades producidas de ambos bienes.  Para  calcular  las  cantidades  producidas  de  ambos  bienes  maximizamos  el  beneficio  para cada una de las empresas teniendo en cuenta las funciones de producción y los  precios de los bienes P1=10 y P2= 6. 

30   

Guía Teórico‐Práctica Microeconomía Avanzada. Curso 2013/14. 

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   Empresa que produce el bien 1 



/





10

/

 

Calculamos la condición de primer orden y despejamos el factor productivo.  1 10 2 /



0 ⇒

5

/

⇒

25



 Empresa que produce el bien 2 



/





6

/

 

Calculamos la condición de primer orden y despejamos el factor productivo.  1 6 2 /



0 ⇒

/

3

⇒

9



Sustituimos en la factibilidad y obtenemos la cantidad de factor trabajo. 

136

25

9

⇒ 136

34 ⇒

25

25 0,25

100

9

9 0,25

36

0,25

Nota.‐ L2 también se podría haber obtenido a partir de la factibilidad  L

136

L

36

Una  vez  obtenidas  las  cantidades  de  factor,  podemos  determinar  las  cantidades  producidas. 

/

√100 /

√36

10 6

c) Determine los precios correspondientes al equilibrio general.  Maximizamos las utilidades de los consumidores. Recordad que toda la producción del  bien  X1  se  le  entrega  como  dotación  inicial  al  consumidor  A  y  toda  la  del  bien  X2  al  consumidor  B.  Por  lo  tanto  según  lo  calculado  en  el  apartado  anterior  X1=10    es  la  dotación inicial de A y X2=6  es la dotación inicial de B. 

31   

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica 

   Consumidor A   . .

10



La condición de equilibrio para el consumidor A es  2

⇒ 2



Sustituimos en la restricción presupuestaria y obtenemos:    2

10 2

10 3

⇒ 10 3

2



20 3

 Consumidor B   . .

6



La condición de equilibrio para el consumidor B es  ⇒

2

2

 

Sustituimos en la restricción presupuestaria y obtenemos:    2



6 2

2

⇒



2

2







4

Una vez obtenidas las funciones de demanda de cada consumidor para cada uno de los  bienes  y  conociendo  las  producciones  de  cada  bien,  obtenidas  en  el  apartado  b),  podemos calcular los precios relativos que vacían el mercado.  10 6

⇒ Para el mercado del bien 1, tenemos  20 3



2



10 ⇒



10 ⇒ 6



6   10

Comprobamos que el resultado es el mismo para el mercado del bien 2 

32   

Guía Teórico‐Práctica Microeconomía Avanzada. Curso 2013/14. 

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  10 3

4

6 ⇒

10 3

2 ⇒



6   10

  d) ¿Es el equilibrio general competitivo un óptimo de Pareto? Justifique su respuesta.  No; pues el nivel de precios inicial de los 2 bienes, a partir del cual se han calculado las  producciones  óptimas  (maximizan  el  beneficio),  no  coincide  con  los  precios  relativos  de equilibrio que vacían el mercado. 

33   

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica 

 

Ejercicio 1.5. La Frontera de posibilidades de producción con dos factores  En una economía operan dos empresas que producen los bienes X1 y X2 de acuerdo  con las siguientes funciones de producción  /



/

/

;

/



Donde una empresa produce X1 y la segunda empresa produce X2.  La  cantidad  total  de  los  factores  es  fija  de  forma  que  se  dispone  de  8  unidades del  factor trabajo y 32 unidades del factor capital.  Si  las  preferencias  del  único  consumidor  que  opera  en  esta  economía  pueden  representarse mediante la función de utilidad  /

/



a) Calcule el óptimo de Pareto  b) El equilibrio general competitivo.  SOLUCIÓN  a) Calcule el óptimo de Pareto  Sabemos que un óptimo de Pareto es una asignación de recursos que implica que no  se  puede  mejorar  globalmente  la  situación  de  la  economía;  es  decir  la  asignación  de  recursos  es  eficiente  desde  el  punto  de  vista  de  la  producción,  del  consumo  y  de  la  combinación productiva.   El problema de optimización que hemos de resolver es, por tanto, maximizar la utilidad  del  consumidor  sujeta  a  que  la  producción  se  encuentra  dentro  del  conjunto  de  posibilidades  de  producción.;  concretamente  en  la  frontera  de  posibilidades  de  producción (condiciones de igualdad)   . . K

X

/

X



/

/



/

/

K

/

⇒



32

L L 8 Calculamos, en primer lugar, la RMS es  

34   

/ /



Guía Teórico‐Práctica Microeconomía Avanzada. Curso 2013/14. 

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  Calculamos,  en  segundo  lugar,  la  RTP.  Sabemos  que  la  RTP  es  a  pendiente  de  la  frontera de posibilidades de producción (FPP) la cual, por tanto, hemos de calcular en  primer lugar.  Sabemos  que  la  FPP  es  el  lugar  geométrico  en  el  espacio  de  producción  de  aquellas  combinaciones  de  factores  que  son  eficientes  en  el  sentido  de  Pareto.  En  otras  palabras,  es  la  proyección  de  la  curva  de  contrato  en  el  espacio  de  producción.  Por  tanto, para calcular la FPP, hemos de calcular antes la relación funcional de la curva de  contrato  de  la  producción;  es  decir,  aquella  que  verifica  la  igualdad  de  las  RMST  de  ambos factores. 



Para los datos del ejercicio sería  /

2

/

/

;

/

2

2

/



/

/

2

/

Por otra parte sabemos que las condiciones de factibilidad son  K

K

32 L

L

8

Igualando ambas  RMST y haciendo depender la del proceso productivo 2 de la del 1 a  partir de las condiciones de factibilidad, obtenemos  32 8

8



32

⇒

4



Del mismo modo podemos comprobar que:   4



Una  vez  tenemos  la  relación  funcional  de  la  curva  de  contrato  “proyectamos”  dicha  relación en el espacio de producción. Algebraicamente lo que realizamos es sustituir la  relación de la curva de contrato en las funciones de producción. 

/

/

⇒



L

/

K

/

⇒



Sustituimos: 

35   

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica 

 

4

⇒

L



⇒

4 Por  lo  tanto,  si  L será: 

2

2



8,  entonces  la  frontera  de  posibilidades  de  producción 

2

2

8 ⇒

16

1

Se tiene que cumplir que 

, por lo tanto:  1 ⇒



Sustituimos en la FPP y obtenemos el óptimo de Pareto.  16 ⇒

8

Y como  ⇒

8

b) El equilibrio competitivo  Se pide, ahora, calcular el equilibrio competitivo; es decir, los vectores de precios de  bienes y factores de producción que vacían el mercado.   Para  calcular  los  precios  relativos  de  los  factores,  debemos  proceder  a  resolver  los  problemas de maximización de las empresas.   Empresa  El problema de maximización para la empresa productora del bien X1 será  .

36   





⇒

0

0 

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  /

.

2

0 ⇒

/

/

/

.

/

2

0 ⇒

/

2

/

2

⇒

⇒

w r

 

w r

 

/

  O lo que es lo mismo:  / El problema de maximización para la empresa productora del bien X2 será  /

. . /

.

2 2

/

2

0 ⇒

/

0 

/

/

.

0

/

2

0 ⇒

/

⇒

/

⇒

⇒

/

  O lo que es lo mismo,   / Resumiendo, con la maximización de beneficios de las empresas obtenemos   ⇒



Como en la maximización de beneficios hemos obtenido que 



32

8

Y por factibilidad sabemos que 

Sustituimos y obtenemos los precios relativos de los factores de producción  32 ⇒

32 ⇒

8

32 ⇒

4

Sustituimos y obtenemos  4



4



37   

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica 

  Sustituimos en las funciones de la maximización de beneficios de las empresas donde  habíamos despejado los precios y obtenemos:  2

/ /

2

/ /

2 4 4

/

2 4 4

/

/

/

Por lo tanto:  4 4  

38   

1

8 2

/

8 2

/

/

/

4

4

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1.3. Ejercicios propuestos Ejercicio 1.6. *Economía de intercambio puro. Función de demanda.  Considere  una  economía  de  intercambio  puro  con  dos  consumidores,  A  y  B,  y  dos  bienes, 1 y 2. Las funciones de utilidad y las dotaciones son:  ; ;



, ,



Se pide:  a) Determinar la expresión de la curva de contrato.  b) ¿Es la dotación inicial una asignación eficiente? ¿Se encuentra en la curva de  contrato?  c) Determinar  los  precios  de  equilibrio  competitivo  p1/p2  y  las  cantidades  demandadas.  d) Representar gráficamente el equilibrio  e) Calcule  los  excesos  de  demanda  individuales  y  agregados  y  verifique  que  la  asignación de equilibrio competitivo cumple con la ley de Walras. 

39   

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica 

 

Ejercicio 1.7. *Economía de intercambio puro. Función de exceso de demanda.  Considere  una  economía  de  intercambio  puro  con  dos  consumidores,  A  y  B,  y  dos  bienes, 1 y 2. Las funciones de utilidad y las dotaciones son:  , ,



Se pide determinar  a) Las funciones de exceso de demanda individuales para cada bien.  b) La relación de intercambio.  c) Las cantidades intercambiadas por los individuos. 

40   

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Ejercicio 1.8. *Economía de intercambio con producción (3x2x1x1)  Considere una economía competitiva con producción en la cual hay una sola empresa  que produce un bien llamado bien 2, usando como input el bien 3 según la siguiente  función de producción: 

/



Los beneficios se distribuyen por partes iguales entre dos consumidores, A y B, cuyas  funciones de utilidad y dotaciones son:   /

/

;

,

,

,

, ,



Se pide calcular el equilibrio competitivo de esta economía. 

41   

Tema 1. Equilibrio general y eficiencia económica 

 

Ejercicio 1.9. *La Frontera de Posibilidades de Producción con un factor  Dos empresas producen los dos únicos bienes de consumo de una economía, siendo el  trabajo el único factor productivo. Las funciones de producción son  ;

/



La cantidad total del factor trabajo es 19 y los precios de los bienes son P1=2 y P2=8.  Considere,  además,  que  en  la  economía  operan  dos  consumidores,  A  y  B.    Toda  la  producción del bien X1 se le entrega como dotación inicial al consumidor A y toda la  del bien X2 al consumidor B. Las funciones de utilidad son de los consumidores son:  : :

/



Se pide determinar  a) La frontera de posibilidades de producción (FPP)   b) Las cantidades producidas de ambos bienes.  c) Los precios correspondientes al equilibrio general competitivo.  d) ¿Es  el  equilibrio  general  competitivo  un  óptimo  de  Pareto?  Justifique  su  respuesta. 

42   

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Ejercicio 1.10. *La Frontera de posibilidades de producción con dos factores   En  una  economía  existen  dos  empresas  precio‐aceptantes  cada  una  de  las  cuales  produce un bien (X e Y), de acuerdo con las siguientes funciones de producción  /

/

;



donde L y K son los dos factores productivos, cuyas cantidades totales están dadas y  son L=6 y K=24.   Si  las  preferencias  del  único  consumidor  que  opera  en  esta  economía  pueden  representarse mediante la función de utilidad  Se pide calcular  a) La  función  de  transformación  o  frontera  de  posibilidades  de  producción  de  esta economía.   b) El óptimo de Pareto.  c) El equilibrio general competitivo. 

43   

Tema 2. Economía del bienestar 

 

Tema 2. Economía del Bienestar    

 

67   

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2.1. Guía teórica para la resolución de los ejercicios 2.1.1. Teoremas de la economía del bienestar  a) Primer teorema de la Economía del Bienestar  El equilibrio generado por mercados competitivos es óptimo en el sentido de Pareto. 

 

b) Segundo teorema de la Economía del Bienestar  Todo  óptimo de Pareto se puede asociar un sistema de precios tal que exista a tales  precios, un equilibrio competitivo.  Implica  que  un  planificador  puede  alcanzar  cualquier  asignación  Pareto‐eficiente que  se  proponga  mediante  la  redistribución  de  la  riqueza  inicial  y  dejar  al  mercado  competitivo funcionar. Para resolver:  En  primer  lugar,  Tomamos  la  restricción  presupuestaria  de  cada  consumidor  y  sustituimos los precios relativos de equilibrio y dejamos las dotaciones iniciales como  incógnitas.  En  segundo  lugar,  tomando  la  factibilidad  despajamos  una  dotación  inicial  y  la  sustituimos en la restricción presupuestaria.  Llegamos,  de  esta  forma,  a  una  relación  funcional  entre  las  dotaciones  iniciales  que  garantiza el equilibrio competitivo. 

68   

Tema 2. Economía del bienestar 

 

2.1.2. La elección social  a) La teoría de la elección social  A  través  de  las  reglas  de  votación  tratamos  de  agregar  las  preferencias  de  los  individuos para construir unas preferencias sociales que puedan modelizarse. Todas las  reglas presentan algún inconveniente de tal forma que no existe ningún mecanismo de  obtener una ordenación social a partir de las ordenaciones individuales, que resulte de  aplicabilidad  universal,  respete  la  unanimidad,  no  sea  dictatorial  y  sea  informacionalmente  eficiente.  (Teorema  de  imposiblidad  de  Arrow).  Las  reglas  más  habituales son:   

Votación  por  mayoría.‐  Decisión  mayoritaria  no  es  capaz  de  ordenar  adecuadamente las alternativas.  Votación  por  ordenación  de  preferencias.‐  La  inclusión  de  una  opción  adicional modifica las preferencias. 

b) Determinación del óptimo social  Para calcular el óptimo social ha de resolverse el siguiente problema de maximización  .



Si el enunciado no la proporciona, habrá de calcularse la frontera de utilidad.  c) Verificación de si la asignación competitiva es un óptimo social  En primer lugar, calculamos el equilibrio competitivo: funciones de demanda, precios  relativos y vaciamiento del mercado.  En segundo lugar, sustituimos las cestas de equilibrio en la función de utilidad de cada  individuo y verificamos si las utilidades coinciden con las del óptimo social.  d) Calcular las dotaciones iniciales que hacen del óptimo social un equilibrio  competitivo  Por el segundo teorema del bienestar sabemos que cualquier asignación eficiente en el  sentido de Pareto se puede asociar a un sistema de precios que dé lugar a un equilibrio  competitivo. Por otra parte, sabemos que el óptimo social es eficiente en el sentido de  Pareto,  por  tanto  el  óptimo  social  calculado  puede  obtenerse  como  equilibrio  competitivo,  lo  cual  conseguiremos  mediante  la  reasignación  de  las  dotaciones  iniciales.  Planteamos las restricciones presupuestarias y en ellas sustituimos las asignaciones y  los  precios  relativos  del  óptimo  social  de  tal  manera  que  nos  quedan  las  incógnitas  como dotaciones.  e) Determinar una asignación justa que pueda establecerse como equilibrio  competitivo  En  primer  lugar,  calculamos  el  equilibrio  competitivo  a  partir  de  una  distribución  simétrica 

69   

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En  segundo  lugar,  se  ha  de  verificar  que  las  cestas  de  equilibrio  son  eficientes  en  el  sentido de Pareto; por tanto: 

2.1.3. Los fallos del mercado.‐ Externalidades  a) Determinación del output teniendo en cuenta el coste social o el impacto de las  externalidades  Se plantea un problema de maximización conjunta, de tal manera que todos los costes  sean tenidos en cuenta por las empresas. 

π





b) Determinación del sistema de incentivos que garantiza unos niveles de output  Pareto eficientes en el consumo  En primer lugar se calcula el óptimo de Pareto. 

. .

En segundo lugar se calcula el equilibrio general competitivo. Para ello maximizamos la  utilidad de ambos consumidores obteniendo las funciones de demanda y calculamos el  vaciado del mercado.  En tercer lugar, verificamos si el equilibrio competitivo es un óptimo de Pareto. Si no lo  es, se establece un sistema de impuestos que garantice la igualdad entre ambos. Para  ello  se  reescriben  las  funciones  de  demanda  obtenidas  en  el  equilibrio  general  competitivo incorporando un impuesto para cada bien y cada consumidor y se igualan  al óptimo de Pareto.  ,

.

c) Determinación del sistema de incentivos que garantize la optimalidad de Pareto  del equilibrio general competitivo en el consumo y la producción.  En primer lugar se calcula el óptimo de Pareto.  En segundo lugar se calcula el equilibrio general competitivo.  En  tercer  lugar,  en  caso  de  desigualdad,  se  establece  un  sistema  de  impuestos  que  garantice la igualdad entre ambos. Para ello se plantea el problema de maximización  incorporando un incentivo (impuesto o subvención) a la función de beneficios. 

70   



Tema 2. Economía del bienestar 

  En  cuarto  lugar,  a  partir  de  los  valores  del  óptimo  de  Pareto,  podemos  obtener  la  relación marginal de sustitución que ha de ser igual a la relación de transformación del  producto y a los precios relativos.  En  quinto  lugar,  igualamos  las  condiciones  de  máximo  beneficio  con  los  precios  relativos y obtenemos el valor del impuesto y/o la subvención. 

2.1.4. Fallos de mercado.‐ Bienes Públicos  a) Determinación de la cantidad de bien público. Condición de Samuelson.   En primer lugar se tenemos el siguiente problema de maximización. 



. .

,

,



Obtenemos la siguiente condición:  |RMS |

|RMS |



Es decir, la suma de las relaciones marginales de sustitución debe ser igual al CMg de  suministrar una unidad adicional del bien público. Es decir:    Esta expresión se conoce como Condición de Samuelson y también puede expresarse  en relación con la RTP  / G   / b) Cálculo del precio Lindahl.  En primer lugar se tenemos el siguiente problema de maximización.  , . . Obtenemos la siguiente condición:  |

|



Y resolviendo calculamos el precio Lindahl. 

71   

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2.2. Ejercicios resueltos Ejercicio 2.1. Óptimo social y Segundo Teorema Economía Bienestar  Dada  una  economía  de  intercambio  puro  formada  por  dos  individuos  con  las  siguientes preferencias y dotaciones iniciales: (Repasar)  /



/

.

/

.

/

,



,

a) Calcular  el  óptimo  social  (en  términos  de  asignaciones)  correspondiente  a  la  siguiente función de bienestar social:  b) ¿Puede concluirse que la asignación competitiva es un óptimo social?  c) Dado  el  óptimo  social  en  términos  de  asignaciones,  calcule  las  dotaciones  iniciales  de  los  consumidores  que  hacen  que  ese  óptimo  social  sea  un  equilibrio competitivo.  SOLUCIÓN  a) Calcular el óptimo social (en términos de asignaciones)  Para  calcular  el  óptimo  social  hemos  de  resolver  el  siguiente  problema  de  maximización  . .



Para  ello,  en  primer  lugar,  hemos  de  calcular  la  función  de  la  frontera  de  utilidad.  Recordemos  que  la  frontera  de  utilidad  recoge  los  niveles  de  utilidad  de  cada  consumidor a lo largo de la curva de contrato; es decir, es una aplicación de la curva de  contrato en el espacio de utilidades.  ,

⁄

,

∈



Por  tanto,  para  calcular  la  frontera  de  utilidad  hemos  de  calcular  previamente  la  expresión  de  la  curva  de  contrato,  que  sabemos  que  es  el  lugar  geométrico  de  las  asignaciones en que las curvas de indiferencias de los dos individuos son tangentes y  sus relaciones marginales de sustitución iguales.   Planteamos el siguiente problema de optimización. 

72   

Tema 2. Economía del bienestar 

  /



/ /

. .

/



4





4

Sustituimos  en  la  factibilidad  la  RMS  del  individuo  B  y  así  podemos  obtener  la  expresión de la curva de contrato en términos del individuo A.  4 4

⇒



Una  vez  obtenida  la  relación  funcional  de  la  curva  de  contrato,  proyectamos  dicha  curva  en  el  espacio  de  utilidades  y  obtenemos  así  la  expresión  de  la  Frontera  de  Posibilidades de Utilidad. Para ello, aplicamos la expresión de la curva de contrato en  las funciones de utilidad.  / /

/

/

/

/

4

/ /

4

⇒ 4

⇒

4



Para llegar a una expresión de la frontera de posibilidades de utilidad en función de la  utilidad  que  obtienen  ambos  individuos  de  las  asignaciones  correspondientes  a  la  curva  de  contrato  procedemos  a  igualar  las  expresiones  de  utilidad  en  función  de  la  cesta de consumo del bien 1 por el individuo A que acabamos de calcular: 

4

⇒

4

La utilidad total de la economía es, por tanto, 4 lo que nos indica que es una función de  utilidad líneal.  El problema a resolver por lo tanto es:  .

4

⇒

4

Las condiciones de primer orden son: 

0 ⇒

0 ⇒



0 ⇒

0 ⇒

⇒



0 4

Por lo tanto, el óptimo social es: 

73   

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Guía Teórico‐Práctica Microeconomía Avanzada. Curso 2013/14. 

2 Recordemos que el enunciado nos planteaba calcular las asignaciones que dan lugar al  óptimo social; es decir, a la utilidad que acabamos de calcular. Para ello:  ∗

2

∗ /

.

∗ /



∗

2

∗ /

.

∗ /



Es decir,   ∗ /

∗ /

.

∗ /

∗ /

.



Una  solución  particular  a  esta  igualdad  teniendo  en  cuenta  la  factibilidad  de  las  dotaciones iniciales sería por ejemplo:  2

2

b) ¿Puede concluirse que la asignación competitiva es un óptimo social?  La asignación competitiva dadas las funciones de utilidad de los consumidores debe de  cumplir que:   Consumidor A  /



/

.

2

⇒



Sustituimos en la RP  y obtenemos las funciones de demanda 

2 2



2

2



2



 Consumidor B  /



/

.

3

2

⇒



Sustituimos en la RP  y obtenemos las funciones de demanda  3

2 2

74   

3

2

3

2 2



Tema 2. Economía del bienestar 

  En el vaciado de Mercado del bien 1, tendremos   4 2

3

2

2

4

2

Despejamos y obtenemos: 

2

3

2

4

4

8

4

8

4 1



Dado  los  precios  relativos  obtenidos,  sustituimos  en  las  funciones  de  demanda  y  las  dotaciones del equilibrio serán:   ∗

2 2 ∗

3 2

∗

5 2

∗

2 2

3 2

5 2

La utilidad de estas dotaciones es:  3 3 , 2 2

3 2 5 5 , 2 2

3 2

3   2

5 2

Por lo tanto el equilibrio competitivo no es un óptimo social, pues el individuo B tiene  una  utilidad  superior  a  la  del  óptimo  (5/2  >  2  )  mientras  que  la  del  individuo  A  es  inferior (3/2