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• Eduardo Chavarry Llontop

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Ejercicios de matriz de flexibilidad 1. En la siguiente figura se tiene un pórtico plano compuesto por elementos flexibles. Se pide presentar el significado físico de los elementos de la primera columna de la matriz de flexibilidad.

a) Primero se ubicara un sistema de coordenadas para el elemento a estudiar

b) Luego la matriz de flexibilidad será la siguiente:

[

F11 F21 F= F31 F 41 F 51 F 61

F 12 F 22 F 23 F24 F25 F26

F13 F41 F32 F42 F33 F 43 F 34 F 44 F35 F 45 F 36 F46

F 51 F 52 F 53 F54 F55 F56

F 61 F 62 F 63 F 64 F 65 F 66

]

c) Al analizar notamos que al aplicar una fuerza horizontal en el nudo B, como se muestra en la figura los desplazamientos y giros que se generan son los elementos de la primera columna de F.

2. Determinar la matriz de flexibilidad de la viga de altura variable presentada en la figura

a) Primero determinaremos los giros con las siguiente ecuaciones:

∅1 ( x ) =

L2 −1 L 2 ln 2−1 + + 2 E I 0 x+ L (x + L)2 2L

]

∅2' ( x )=

L2 −1 L 4 ln 2−1 + + 2 E I 0 x+ L (x + L)2 4L

]

'

[

[

b) La primera fila de la matriz de flexibilidad se encuentra sustituyendo � = 0 con lo que se determina �11 y � = � con lo que se halla �12 en ∅1’ (�). El �21 = �12; para encontrar �22 se evalúa ∅2′ en � = �. Finalmente �33 se encuentra sustituyendo � = � en ∅3(�).

[

L ( 2 ln2−1) 2E I0 −L 3 f= ( −ln2) E I0 4

−L 3 ( −ln 2) E I0 4 L ln 2 5L ( 2 ln−1 ) − E I0 8E I0

0

0

0 0 L ln 2 E A0

]

3. Encontrar los elementos de la segunda columna de la matriz de flexibilidad de la estructura presentada en la figura.

a) Se tiene que Q2 = 1; Qi = 0 para i  2 b) Equilibrio de elementos

Por consiguiente: (1)

L 4

P1 =

L 4

P2 =

P1 =

(1)

P2 =

(2)

(2)

L 4

P1 =

L 4

P2 =

(3)

(3)

L 4

P1 =

L 4

P2 =

(4 )

(4 )

L 4

L 4

c) Cálculo de las deformaciones:

f (1)=f (2) =f (3)=f ( 4)=

[

L 2 −1 6 E I 0 −1 2

]

p=f P L2 p = 24 E I 0 (1) 1

p(41 )=

L2 24 E I 0

p(1) 2 =

L2 24 E I 0

(4 )

p2 =

L2 24 E I 0

L2 p = 24 E I 0 (2) 1

p(2) 2 =

L2 24 E I 0

L2 p = 24 E I 0 (3) 1

p(3) 2 =

L2 24 E I 0

d) Cálculo del vector q

L2 α = Se denomina 24 E I 0

. Por lo tanto las deformaciones a flexión en cada uno de los

elementos valen toda vez que tienen ese valor.

La estructura de la figura no cumple con la geometría de deformación, para esto se procede de la siguiente forma: i) El nudo D se desplaza verticalmente una magnitud igual a L como lo indica la figura de esa manera las vigas giran un ángulo y ya cumplen con el principio de Williot. Pero el nudo F se ha desplazado a F’. En consecuencia se solucionó un problema pero se creó otro y para solucionarlo se da el siguiente paso. ii) Con centro en el nudo A, se rota a la estructura en sentido horario un ángulo figura

como lo ilustra la

De la figura se tiene: 3

q1 =∝ L=

L 24 E I 0

3

q 2=2∝ L=

L 12 E I 0

Pero:

q1 =F12=

L3 24 E I 0

q 2=F22 =

Quedando la matriz de flexibilidad de la siguiente manera:

[

F=

L3 24 E I 0

L3 24 E I 0

L3 24 E I 0

L3 12 E I 0

]

L3 12 E I 0