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Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Matem´atica

Gu´ıa preparatoria CAR (MAT023) 1er Semestre de 2010 Sebasti´an Quevedo

Apunte CAR • Problema 1: Determine los m´ aximos y m´ınimos absolutos de la funci´on. f (x, y, z) = (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 En la regi´ on R = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1} −1 −1 Soluci´ on: Al resolver el problema por La Grange se obtienen los puntos, P1 = ( 31 , 13 , 13 ) y P2 = ( −1 3 , 3 , 3 ). Evaluando P1 y P2 en la funci´ on es f´ acil notar que la funci´on tiene (En la regi´on R) un m´aximo absoluto en P2 y un m´ınimo absoluto en P1 .

y z ∂u ∂u ∂u • Problema 2: Si u = x3 f ( , ) demuestre que x +y +z = 3x3 u x x ∂x ∂y ∂z Desarrollo: y z Sea r = y s = , Luego: x x ∂f ∂r ∂f ∂s ∂f ∂f ∂u = 3x2 f (r, s) + x3 + x3 = 3x2 f (r, s) − xy − xz ∂x ∂r ∂x ∂s ∂x ∂r ∂s ∂u ∂f ∂u ∂f = x2 y = x2 . Reemplazando en el problema inicial es f´acil ver que en efecto, ∂y ∂r ∂z ∂s el enunciado se cumple. An´ alogamente

• Problema propuesto: Sea w = f (

∂w ∂w ∂w y−x z−y , ), probar que x2 + y2 + z2 =0 yx yz ∂x ∂y ∂z

• Problema 3: Considere A ⊂ R2 dado por A = {(x, y) ∈ R2 /0 < y < x ∧ x > 0. Determine los valores de α ∈ R, tal que la funci´ on f : R2 −→ R2 sea continua.  (x − y)y   si (x, y) ∈ A xα f (x) =   0 si (x, y) ∈ Ac Soluci´ on: α > 2 Como sugerencia, pasar la divisi´on de polinomios a coordenadas polares. (Esto es u ´til para verificar continiudad en todo cociente de polinomios). • Problema 4: Sea

 4x3 + 4xy 2 + xy 2    x2 + y 2 f (x) =    0

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

– Determine todos los puntos de R2 donde f es continua. Justifique – Determine todos los puntos de R2 donde f es diferenciable. Justifique

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Soluci´ on: La funci´ on es continua en todo R2 . Ahora bien, la funci´on es diferenciable en los puntos distintos al (0, 0). Recuerde que: todo cociente de funciones continuas (polinomios en particular) es continuo SIEMPRE en todo su dominio, por lo tanto basta con analizar puntos de discontinuidad. • Problema 5: Sean u = xy, v = o refute:

x y

y sea z = f (u) +

√

ug(v), donde f, g son funciones de clase C 2 . Demuestre

1 ∂z 1 ∂z 1 + = 2f 0 (u) + p g(v) y ∂x x ∂y (u)

∂z ∂z ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v y . Para ello solo recordar que = + . ∂x ∂y ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x Una vez hecho esto el problema se reduce a reemplazar y comprobar si se cumple, o no, el enunciado. Soluci´ on: Basta con determinar la forma de

• Problema 6: Sea f (x, y, z) = z − ex sen (y) y P = (ln 3, 3π 2 , −3). Determinar: – Gradiente de f en el punto P – La recta normal a la superficie en el punto P – El plano tangente a la superficie en el punto P Soluci´ on: – ∇f (ln 3, 3π 2 , −3) = (3, 0, 1) – Ecuaci´ on vectorial de la recta normal: (x, y, z) = (ln 3, 3π 2 , −3) + t(3, 0, 1) – Ecuaci´ on del plano tangente: 3x + z = 3 ln(3) − 3 • Problema 7: Sea f (x, y, z) = 0 y z = z(x, y). Calcular

∂2z ∂x2

Desarrollo: Hacer f (x, y, z(x, y)) = 0. Luego, derivando impl´ıcitamente, con respecto a x tenemos: ∂f ∂f ∂z + =0 ∂x ∂z ∂x ∂f ∂f (x, y, z(x, y)) y (x, y, z(x, y)) y repetimos el paso Luego basta con repetir el proceso pero haciendo ∂x ∂z anterior realizado. Luego despejamos y : ∂2f ∂ 2 f ∂z ∂ 2 f ∂z ( 2 +2 + 2 ) ∂2z ∂x ∂z∂x ∂x ∂z ∂x = − ∂f ∂x2 ∂z • Problema 8: Resuelva la ecuaci´ on diferencial y 2 dx = (x3 − xy)dy (Hint: Use un factor integrante del tipo xn y m ) Soluci´ on: 1 1 − x−2 y −2 + y −3 = K 2 3 • Problema 9: Un tanque contiene inicialmente 60 gal. de agua pura. Entra al tanque, a una tasa de 2 gal/min., salmuera que contiene 1 lb. de sal por gal´on, y la soluci´on (perfectamente mezclada) sale de ´el a raz´ on de 3 gal. por minuto; el tanque se vac´ıa despu´es de 1 hora exactamente. (a) Encuentre la cantidad de sal que hay en el tanque despu´es de t miutos. (b) ¿Cu´ al es la m´ axima cantidad de sal que llega a tener el tanque? Soluci´ on: MAT023 (Apunte CAR)

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(a) Tras modelar el problema y al resolver la ecuaci´on lineal de valor inicial se tiene que x(t) = (60 − t) −

1 (60 − t)3 602

(b) Para determinar el tiempo t∗ donde la sal es m´axima se obtienen los puntos criticos de la funci´ on x(t) (derivando obviamente). Luego, ya sea por criterio de segunda derivada o por Weierstrass, se encuentran los m´ aximos y m´ınimos. • Problema 10: Encuentre la soluci´ on general de la ecuaci´on (x2 − 2x)y 00 + 2(1 − x)y 0 + 2y = 6(x2 − 2x)2 sabiendo que y1 (x) = x − 1 es soluci´ on de la correspondiente ecuaci´on homog´enea. Soluci´ on: Dividiendo por (x2 − 2x) se puede homogeneizar la ecuaci´on para poder aplicar la f´ormula de Abel, luego encontramos soluci´ on particular mediante variaci´on de parametros, As´ı la soluci´on general es: y = A(x − 1) + B(x2 − x + 1) + x4 − 4x3 • Problema 11: Encuentre la soluci´ on de la siguiente ecuaci´on diferencial: (1 + x2 )y 0 + xy = x3 y 3 , con y(0) = 1 Soluci´ on: La soluci´ on general es: 1 = −(1 + x2 ) ln(1 + x2 ) − 1 − c(1 + x2 ) y2 Luego, reemplazando la condici´ on de valor inicial: 1 = −(1 + x2 ) ln(1 + x2 ) + 2x2 + 1 y2 • Problema 12: Una soluci´ on y = u(x) de la ecuaci´on diferencial y 00 − y 0 − 2y = 0 interesecta a una soluci´ on 00 y = v(x) de la ecuaci´ on y + 4y 0 − 5y = 0 en el punto (0, 0). Determine las funciones u y v si ambas tienen la misma pendiente en el origen y adem´ as: [v(x)]2 lim =1 x→∞ u(x) Soluci´ on: La soluci´ on general de y 00 − y 0 − 2y = 0 es y = Ae2x + Be−x , adem´as sabemos que y(0) = 0 y y 0 (0) = u0 (0). Derivando y evaluando se tiene que 1 1 A+B =0 ⇒ A = u0 (0) y B = − u0 (0) 0 2A − B = u (0) 3 3 Luego u(x) =

⇒ limx→∞

1 1 0 alogamente encontramos que v(x) = u0 (0)[ex − e−5x ]. u (0)[e2x − e−x ], an´ 3 6

[v(x)]2 1 0 = u (0) ⇒ u0 (0) = 12 Con lo que f´acilmente se pueden determinar los valores de u(x) y u(x) 12

v(x) • Problema 13: y 0 =

2y 4 + x4 xy 3

Soluci´ on: y 4 = x4 (kx4 − 1)

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• Problema 14: Resolver y 0 = − Soluci´ on: y(x) = • Problema 15:

1 + x

c x

1 −

1 y 1 − + y 2 . Si una soluci´on particular es y(x) = . 2 x x x

x 2

dy 2 + x sen(2y) = xe−x cos2 (y) usando la sustituci´on t = tan(y) dx 2

Soluci´ on: tan(y) = e−x (

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x2 + C) 2

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