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Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Matem´ atica Campus Santiago

Certamen N◦ 2 - Mat 3 (Pauta) xy 3 si x2 + y 2 1.- Sea f (x, y) =  0 si  

(x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0)

(1.a) ¿Es f continua en (0,0) ? (1.b) Hallar fx (x, y) y fy (x, y) 20 puntos Soluci´ on: (1.a) Por teorema del sandwich: xy 3 |xy 3 | ≤ ≤ |xy| → 0 0≤ 2 x + y2 y2 Por lo tanto

lim (x,y)→(0,0)

si (x, y) → (0, 0)

xy 3 = 0 y f es continua en (0,0). x2 + y 2

(1.b) Para (x, y) 6= (0, 0) fx (x, y) = fy (x, y) =

y 3 (x2 + y 2 ) − 2x2 y 3 (x2 + y 2 )2

=

y 3 (y 2 − x2 ) (x2 + y 2 )2

3xy 2 (x2 + y 2 ) − 2xy 4 xy 2 (3x2 + y 2 ) = (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2

Por otra parte: f (h, 0) − f (0, 0) fx (0, 0) = lim = lim h→0 h→0 h f (0, h) − f (0, 0) fy (0, 0) = lim = lim h→0 h→0 h

h·03 h2 +02

h 0·h3 02 +h2

h

= 0

= 0

Luego

fx (x, y) =

 3 2 2   y (y − x ) (x2 + y 2 )2   0

 2 2 2   xy (3x + y ) (x2 + y 2 )2 fy (x, y) =   0

si

(x, y) 6= (0, 0)

si

(x, y) = (0, 0)

si

(x, y) 6= (0, 0)

si

(x, y) = (0, 0)

Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Matem´ atica Campus Santiago

(2.a) Dada la superficie S : x2 + 2y 2 + 3z 2 = 21 , hallar la(s) ecuaci´on(es) del (de los) plano(s) tangente(s) a S que es (son) paralelo(s) al plano x + 4y + 6z = 0 . 20 puntos (2.b) Si z = f (x, y) de clase C 1 y x = r cos(θ) e y = r sen(θ). Probar: sen(θ)

∂z cos(θ) ∂z ∂z + = ∂r r ∂θ ∂y 20 puntos

Soluci´ on: (2.a) ∇ f (x, y, z) = (2x, 4y, 6z) . Por otra parte, se debe tener (2x, 4y, 6z) = α(1, 4, 6) . Se tiene el sistema: 2x = α 4y = 4α 6z = 6α α De donde x = , y = α , z = α . Reemplazando en la ecuaci´on de la superficie S 2 α = ±2 . Para α = 2 el punto corresponde a (x, y, z) = (1, 2, 2) y la ecuaci´on del plano tangente en (1, 2, 2) es: x + 4y + 6z = 21 Para α = −2 el punto corresponde a (x, y, z) = (−1, −2, −2) y la ecuaci´on del plano tangente en (−1, −2, −2) es: x + 4y + 6z = −21 (2.b) ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z = · + · = cos(θ) + sen(θ) ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z = · + · = (−r sen(θ)) + r cos(θ) ∂θ ∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂x ∂y

Luego:  ∂z ∂z cos(θ) + sen(θ) ∂x ∂y   cos(θ) ∂z ∂z + (−r sen(θ) + r cos(θ) r ∂x ∂y

∂z cos(θ) ∂z = sen(θ) sen(θ) + ∂r r ∂θ



= sen(θ) · cos(θ) + sen2 (θ)

=

∂z ∂y

∂z ∂z − sen(θ) · cos(θ) ∂x ∂x

∂z ∂z + cos2 (θ) ∂y ∂y

Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Matem´ atica Campus Santiago

(3.a) Encuentre m´aximos y/o m´ınimos para la funci´on: f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + xy + yz + xz + x − 2y 20 puntos (3.b) Determine los ´angulos α, , β , γ de un tri´angulo de modo que el producto de sus senos sea m´aximo. 20 puntos Soluci´ on: (1.a) fx (x, y, z) = 2x + y + z + 1 = 0 fy (x, y, z) = x + 2y + z − 2 = 0 fz (x, y, z) = x + y + 2z = 0 5 7 1 , y= , z=− . 4 4 4   5 7 1 Por otra parte, la matriz Hessiana en − , , − 4 4 4    2 5 7 1  1 Hf − , , − = 4 4 4 1

Resolviendo el sistema: x = −

es  1 1 2 1  1 2

Se cumple que los 3 determinantes a lo largo de la diagonal son positivos.



5 7 1 fxx − , , − 4 4 4

 Por lo tanto en

 = 2 > 0,

5 7 1 − , ,− 4 4 4

2 1 1 2

= 3 > 0,

 hay un m´ınimo.

2 1 1 1 2 1 1 1 2

=4>0

(3.b) Sea f (x, y, z) = sen(x) sen(y) sen(z) la funci´on a maximizar. Sea g(x, y, z) = x + y + z − π la funci´on restricci´on. Observar que 0 < x, y, z < π, pues son ´angulos interiores de un tri´angulo. Adem´as se debe cumplir: ∇f (x, y, z) = λ∇g(x, y, z) De aqui se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: cos(x) sen(y) sen(z) sen(x) cos(y) sen(z) sen(x) sen(y) cos(z) x+y+z

= = = =

λ λ λ π

Como la funci´on seno nunca es cero en ]0, π[ y si cos(x) = 0 entonces se debe tener cos(y) = cos(z) = 0 , lo que es imposible. Con esto: cos(x) sen(y) = sen(x) cos(y) cos(x) sen(z) = sen(x) cos(z)

⇒

tg(y) = tg(x) tg(z) = tg(x)

Se tienen las siguientes posibilidades: y = x ∨ y = x + π , z = x ∨ z = x + π . Las soluciones (x, x + π, x) , (x, x, x + π) y (x, x + π, x + π) se descartan porque la suma de sus coordenadas es mayor que π, asumiendo que 0 < x < π. Por lo tanto y = z = x es la u ´nica opci´on dadas las restricciones del problema. π el cual debe ser m´aximo, pues este problema no 3 tiene m´ınimos. En efecto basta hacer x → 0 y f (x, y, z) → 0. Reemplazando se tiene x = y = z =