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HOJA DE TRABAJO INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 a Y b EJERCICIO 1 Un taller de reparaciones puede efectuar el trabajo A o el trabajo B pero no los dos simultáneamente; la tarea A requiere 2 dias y la B 1 dia. Los posibles estados del taller son pues: 1 = ninguna tarea,

2 = primer día de la tarea A

3 = segundo dia de la tarea A

4 = tarea B

La probabilidad de una nueva demanda de tarea A al principio de cada dia es a; la de la tarea B es b. No hay colas, si el taller está a mitad de ejecución de una tarea A, la llegada de una nueva demanda se pierde. La única ambigüedad se plantea cuando el taller termina un trabajo al final de un dia y tiene la posibilidad de empezar al dia siguiente con una tarea A o una B. Las dos políticas son posibles: 1) Empezar siempre con una tarea A con preferencia a una B 2) Empezar siempre con una tarea B con preferencia a una A a) Demostrar que para la política 1 la matriz de probabilidades de transición es:

P =

(1- a) (1- b)

a

0

b (1- a)

0

0

1

0

(1- a) (1- b)

a

0

b (1- a)

(1- a) (1- b)

a

0

b ( 1- a)

b) Encontrar las probabilidades límite de estados para este proceso c) Encontrar la matriz de probabilidades de transición para la política 2 d) ¿Cual es la relación entre los porcentajes límite de dias de desocupación de ambas políticas?

EJERCICIO 2 Un bosque consta de dos tipos de árboles: jóvenes (entre 0 y 3 mts de altura) y adultos (más de 3 mts). Cada año, el 30% de los árboles jóvenes muere, el 10% se vende por $20 cada uno, el 20% se mantiene entre 0 y 3 mts y el 40% crece superando los 3 mts. Cada año, el 40% de los árboles adultos se vende por $50, el 20% se vende por $20, el 30% permanece en el bosque y un 10% muere. a)

¿Cuál es la probabilidad de que un árbol joven muera antes de ser vendido?

b)

Si plantar un árbol joven cuesta $5, ¿cuál es el beneficio esperado para cada árbol joven plantado ?

EJERCICIO 3

En un país como GUATEMALA existen 3 operadores principales de telefonía móvil como lo son tigo, Comcel y movistar (estados). Los porcentajes actuales que tiene cada operador en el mercado actual son para tigo 0.4 para Comcel 0.25 y para movistar 0.35. (estado inicial) Se tiene la siguiente información un usuario actualmente de tigo tiene una probabilidad de permanecer en tigo de 0.60, de pasar a Comcel 0.2 y de pasarse a movistar de 0.2; si en la actualidad el usuario es cliente de Comcel tiene una probabilidad de mantenerse en Comcel del 0.5 de que esta persona se cambie a tigo 0.3 y que se pase a movistar de 0.2; si el usuario es cliente en la actualidad de movistar la probabilidad que permanezca en movistar es de 0.4 de que se cambie a tigo de 0.3 y a Comcel de 0.3. Cuales son las probabilidades de ocurrencia para cada compañía? EJERCICIO 4 Suponga que en el mercado se consiguen 3 tipos de gaseosas colas que son: coca cola, Pepsi cola y big cola cuando una persona a comprado coca cola existe una probabilidad de que la siga consumiendo del 75%, un 15% de que compre Pepsi cola y un 10% de que compre big cola; cuando el comprador actualmente consume Pepsi existe una probabilidad de que la siga comprando de 60%, un 25% que compre coca cola y un 15% big cola; si en la actualidad consuma big cola la probabilidad de que la siga consumiendo es del 50%, un 30% que compre coca cola y 205 pepsi cola. En la actualidad cada marca cocacola, Pepsi y big cola tienen los siguientes porcentajes en participación en el mercado respectivamente (60% 30% 10%). Calcular las probabilidades finales. Hallar la probabilidad que tiene cada marca en el periodo 5. EJERCICIO 5 Considerar el laberinto siguiente:

El ratoncito puede moverse cada 2 minutos al siguiente nivel o bien quedarse en el a terminar de inspeccionar el área donde este. Cual es la probabilidad de preferencia del ratoncito?. B) Consideremos que la probabilidad de introducir el ratón en cada una de las celdas del laberinto para comenzar el experimento es la misma. Una vez dentro del laberinto el ratón se va a cualquier celda contigua o se queda en la celda en la que está con la misma probabilidad. C) Supongamos que en el laberinto el ratón se traslada a celdas contiguas conigual probabilidad y que la probabilidad de introducir el ratón en cada una de las celdas del laberinto para comenzar el experimento es (0.2, 02, 0,1, 0.05, 0.05, 0.4). C) Supongamos ahora que, en el laberinto el ratón irá a una celda contigua con probabilidad proporcional al número de la celda y que la probabilidad de introducir el ratón en cada una de las celdas del laberinto para comenzar el experimento es la misma.

EJECICIO 6 Una urna contiene dos bolas sin pintar. Se selecciona una bola al azar y se lanza una moneda. Si la bola elegida no esta pintada y la moneda produce cada, pintamos la bola de rojo; si la moneda produce cruz, la pintamos de negro. Si la bola ya está pintada, entonces cambiamos el color de la bola de rojo a negro o de negro a rojo, independientemente de si la moneda produce cara o cruz.a) Modele el problema como una cadena de markov y encuentre la matriz de probabilidades de transición. b) Después de haber pintado dos bolas, ¿cuál es la probabilidad que el estado sea[0 2 0] (0 sin pintar, 2 rojas, 0 negras)?c) Después de haber pintado tres bolas, ¿cuál es la probabilidad que el estado sea[0 1 1] (0 sin pintar, 1 roja, 1 negra)? EJERCICIO 7 La probabilidad de que una persona de baja estatura tenga un hijo también de baja estatura es de 0,75, mientras que la probabilidad de que un padre alto tenga un hijo algo es de 0,60 (se ignora la posibilidad de concebir un hijo de mediana estatura) a) ¿cuál es la probabilidad de que un hombre alto tenga un nieto de baja estatura? b) ¿cuál es la probabilidad de que un hombre de baja estatura tenga un nieto alto? c) Encuentre la matriz estacionaria del proceso y dé su interpretación EJERCICIO 8 Suponga que la ocupación de cada persona puede clasificarse como de profesional, calificado o no calificado. Suponga, además, que siempre es cierto que de los hijos de profesionales 70% son profesionales, 20% calificados y 10% no calificados, de los hijos de personas calificadas, 60% son calificados, 20% son profesionales y 20% son no calificados y de los hijos de personas no calificadas, 20% son profesionales, 30% son calificados y 50% no calificados. Suponga que el número total de personas con un ocupación es el mismo en cada generación y que en la generación actual, 35% son profesionales, 35% calificados y 30% no calificados. Encuentre la matriz de transición. Halle la distribución de trabajos después de una generación y después de dos generaciones. EJERCICIO 9 En cierto país 90% de la energía es generada por petróleo, gas o carbón y 10% provenía de la energía atómica. Cinco años después los porcentajes eran 80% y 20% respectivamente, mientras que 5 años más tarde fueron 75% y 25%. Suponiendo que el proceso es de Markov con

Calcule la matriz de transición. Encuentre la matriz estacionaria e interprétela.

EJERCICIO 10 Se marcan 6 puntos en una circunferencia a intervalos regulares. Un proceso mueve los puntos de la siguiente forma: de un punto dado se mueve a otro vecino con probabilidad 1/4 y al punto diametralmente opuesto con probabilidad 1/2. Determinar la matriz de probabilidades de transición.

EJERCICIO 11 Supongamos que en un país hay tres tipos de Universidades: la literaria, científica y la politécnica. La influencia familiar en la elección de la Universidad se cifra en que el hijo de un graduado literario en el 80 por ciento de los casos sigue una carrera afín a la de su padre o si no ingresa en la Universidad científica. El hijo de un graduado en ciencias sigue el 50 por 100 de las veces en dicho tipo de Universidad y en caso contrario muestra igual preferencia por una carrera literaria o una politécnica. El hijo de un licenciado politécnico sigue en el 60 por ciento de los casos la senda del padre, el 30 por 100 pasa a la rama científica y el 10 por 100 a la literaria. a: ¿Cuál es la probabilidad de que el nieto de un "politécnico" sea especialista en literatura? ¿Cuál es la probabilidad de que un biznieto de un politécnico sea científico? ¿Cuál será a la larga la distribución de la tipología de la población de universitarios?. EJERCICIO 12 3 de cada 4 camiones en la carretera son seguidos por un coche. Uno de cada 5 coches es seguido por un camión. ¿Qué fracción de vehículos son camiones en la carretera? EJERCICIO 13 Cada mañana una persona sale de su casa y va a correr. Puede salir de su casa por la puerta delantera o por la puerta trasera con igual probabilidad. Al salir de casa, elige un par de zapatillas o bien sale a correr descalzo si no hay zapatillas en la puerta que elige para salir de casa. A su regreso, escoge para entrar la puerta trasera o la delantera con igual probabilidad, donde dejará sus zapatillas (si las llevaba). Si posee un total de k pares de zapatillas, ¿Qué proporción de veces correrá descalzo?. EJERCICIO 14 un marino dispone de 4 veleros que alquila diariamente a los turistas para toda la jornada. Uno cualquiera de los veleros se avería con probabilidad 0.25, independientemente de la suerte de los demás. El marino sólo puede hacer reparaciones por las noches y repara exactamente un velero por noche. Por razones de seguridad, no alquila ningún velero a no ser que al menos tenga dos disponibles. La demanda siempre es suficiente para alquilar todos los veleros que haya disponibles. En el límite, ¿en qué proporción de días tendrá todos los veleros disponibles?} EJERCICIO 15 Todos los años al inicio de la estación de cultivo un jardinero, realiza pruebas químicas, para revisar las condiciones de las parcelas, dependiendo de los resultados de las pruebas puede clasificar la productividad del jardín para la nueva temporada, como buena, regular o mala, con el paso de los años el jardinero observo que la productividad del año en curso, puede reponerse dependiendo solo de la condición del terreno del año anterior, por lo tanto puede representar la probabilidad de transición en un periodo de un año, de un estado de productividad a otro en termino de la siguiente cadena de Markov:

P1=

1 0,2 0,5 0,3 2 0 0,5 0,5 3 0 0 1

La representación supone la siguiente correspondencia entre la productividad y estado de la cadena. Productividad Estado del sistema Buena 1 Regular 2 Deficiente 3 El jardinero puede alterar la probabilidad de transición P1 tomando otro curso de acción que tenga a su disposición, puede decir fertilizar el jardín para mejorar las condiciones del terreno, que producirá la siguiente matriz de transición P2

P2=

1 0,3 0, 6 0,1 2 0,1 0,6 0,3 3 0,05 0,4 0,55

Si se aplica fertilizante, es posible mejorar las condiciones del terreno respecto al año pasado. Se puede asociar este problema de decisión a funciones de rendimiento con la transición de un estado a otro. La función de rendimiento expresa la ganancia o pérdida durante un periodo de un año, dependiendo entre los estados los que se haga la transición. Como el jardinero tiene las opciones de fertilizar o no, se espera que sus ganancias o pérdidas varíen según la decisión tomada. Las matrices R1 y R2 resumen las funciones de rendimiento en ciento de unidades monetarios asociados a las matrices P1 y P2. 1 7 6 3 R1= 2 0 5 1 3 0 0 -1

R2=

1 6 5 -1 2 7 4 0 3 6 3 -2

Cuales son los unidades monetarias al final del proceso?

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