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• Estiben Dorado

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1. Una pared plana con una temperatura superficial de 300°C está unida a aletas triangulares de aluminio rectas (k=236 𝑊⁄𝑚𝐾 ). Las aletas están expuestas al aire ambiental de 25°C y el coeficiente de trasferencia de calor por convección es de 25 𝑊⁄𝑚2 𝑘. Cada aleta tiene 55mm de largo, una base de 4mm de espesor y ancho de 110mm. Mediante la tabla 3.4 determine la eficiencia, la razón de trasferencia de calor y la efectividad de cada aleta. Suposiciones 1. La conducción del calor es estable y unidimensional. 2. Las propiedades térmicas son constantes. 3. La transferencia de calor por radiación es despreciable.

Figura ejercicio 1

Datos: 1𝑚



𝑡 = 4𝑚𝑚 (1000𝑚𝑚) = 0.004𝑚



𝑤 = 110𝑚𝑚 (1000𝑚𝑚) = 0.11𝑚



𝐿 = 55𝑚𝑚 (1000𝑚𝑚) = 0.055𝑚 𝑘𝐴𝑙 = 236 𝑊⁄𝑚𝐾 ℎ∞ = 25 𝑊⁄𝑚2 𝐾

      

1𝑚

1𝑚

𝑇𝑏 = 300°𝐶 𝑇∞ = 25°𝐶 𝜂𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 =? 𝑄̇𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 =? 𝜖 =?

TABLA 3-4 Funciones modificadas de Bessel, de primera y segunda especie 𝑥 𝑒 −𝑥 𝐼𝑜(𝑋) 𝑒 −𝑥 𝐼1(𝑋) 𝑒 𝑥 𝐾𝑜(𝑋) 𝑒 𝑥 𝐾1(𝑋) 0.0000 0.0 1.0000 0.0823 2.1408 5.8334 0.2 0.8269 0.1368 1.6627 3.2587 0.4 0.6974 0.1722 1.4167 2.3739 0.6 0.5993 0.1945 1.2582 1.9179 0.8 0.5241 0.2079 1.1445 1.6362 1.0 0.4658 0.2153 1.0575 1.4429 1.2 0.4198 0.3831 0.2185 0.9881 1.3011 1.4 0.2190 0.9309 1.1919 1.6 0.3533 0.2177 0.8828 1.1048 1.8 0.3289 0.2153 0.8416 1.0335 2.0 0.3085

Datos tomados de la tabla 3-3 de Cengel Aletas

triangulares

rectas

2(25 𝑊⁄𝑚2 𝐾 ) 2ℎ∞ 𝑚=√ =√ 𝑘 (𝑡) 236 𝑊⁄𝑚𝐾 (0.004𝑚) 𝑚 = 7.27𝑚−1 𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎

𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎

𝑡 2 2 √ = 2𝑤 𝐿 + ( ) 2

0.004𝑚 2 2 √ = 2(0.11𝑚) 0.055𝑚 + ( ) 2 𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 0.0121𝑚2

𝑚𝐿 = 7.27𝑚−1 (0.055𝑚)

𝑥 = 2𝑚𝐿

𝑚𝐿 = 0.39 ≈ 0.40

𝑥 = 2(0.40) = 0.8

Cálculo de la eficiencia de la aleta 𝜂𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 =

1 𝐼1 (2𝑚𝐿) 𝑚𝐿 𝐼0 (2𝑚𝐿) 𝑒 −𝑥 𝐼1(𝑋) = 0.1945 (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 3 − 4)

𝑒 −𝑥 𝐼𝑜(𝑋) = 0.5241 (𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 3 − 4)

𝐼𝑜(𝑚𝐿) =

0.5241 𝑒 −0.8

= 1.17

𝐼1(𝑚𝐿) = 𝜂𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 =

1 0.433 0.4 1.17

𝜼𝒂𝒍𝒆𝒕𝒂 = 𝟎. 𝟗𝟐𝟓

0.1945 𝑒 −0.8

= 0.433

Cálculo de la razón de trasferencia de calor de una aleta 𝑄̇𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 𝜂𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑄̇𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎,𝑚á𝑥 𝑄̇𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 𝜂𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 ℎ∞ 𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 𝜃𝑏 𝑄̇𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 0.925 (25 𝑊⁄𝑚2 𝐾 ) (0.0121𝑚2 )(300 − 25)𝐾 𝑸̇𝒂𝒍𝒆𝒕𝒂 = 𝟕𝟔. 𝟗𝟒𝑾 Calculo de la efectividad de una aleta 𝜖𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 𝜂𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 𝜖𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 =

𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 𝜂𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑤(𝑡)

0.0121𝑚2 𝑥0.925 0.11𝑚(0.004𝑚) 𝝐𝒂𝒍𝒆𝒕𝒂 = 𝟐𝟓. 𝟒𝟒

2. Se desea enfriar la superficie de una pared plana a 200°C con aletas de pasador de aluminio de perfil parabólico con puntas romas. Cada aleta tiene una longitud de 25mm y un diámetro de base de 4mm. Las aletas están expuestas a una condición de aire ambiental de 25°C y el coeficiente de trasferencia de calor por convección es de 45 𝑊⁄𝑚2 𝐾. Si la conductividad térmica de las aletas es de 230 𝑊⁄ 𝑚𝐾,determine la razón de trasferencia de calor de una sola aleta y el incremento en la razón de trasferencia de calor por m2 de área superficial como consecuencia de adherirle las aletas. Suponga que hay 100 aletas por m2 de área superficial. Suposiciones 1. La conducción del calor es estable y unidimensional. 2. Las propiedades térmicas son constantes. TABLA 3-4 Funciones modificadas de Bessel, de primera y segunda especie 𝑥 𝑒 −𝑥 𝐼𝑜(𝑋) 𝑒 −𝑥 𝐼1(𝑋) 𝑒 𝑥 𝐾𝑜(𝑋) 𝑒 𝑥 𝐾1(𝑋) 0.0000 0.0 1.0000 0.0823 2.1408 5.8334 0.2 0.8269 0.1368 1.6627 3.2587 0.4 0.6974 0.1722 1.4167 2.3739 0.6 0.5993 0.1945 1.2582 1.9179 0.8 0.5241 0.2079 1.1445 1.6362 1.0 0.4658 0.2153 1.0575 1.4429 1.2 0.4198 0.3831 0.2185 0.9881 1.3011 1.4 0.2190 0.9309 1.1919 1.6 0.3533 0.2177 0.8828 1.1048 1.8 0.3289 0.2153 0.8416 1.0335 2.0 0.3085

Datos 1𝑚

 𝜑 = 4𝑚𝑚 (1000𝑚𝑚) = 0.004𝑚 1𝑚

 𝑤 = 110𝑚𝑚 (1000𝑚𝑚) = 0.11𝑚 1𝑚

 𝐿 = 25𝑚𝑚 ( ) = 0.025𝑚 1000𝑚𝑚  𝑘𝐴𝑙 = 230 𝑊⁄𝑚𝐾  ℎ∞ = 45 𝑊⁄𝑚2 𝐾    

𝑇𝑏 = 200°𝐶 𝑇∞ = 25°𝐶 Número de aletas=100 𝑄̇𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 =?

Figura Ejercicio 2

Datos tomados de la tabla 3-3 de Cengel Caso aletas de espiga de perfil parabólico (punta truncada)

𝑚=√

4(45 𝑊⁄𝑚2 𝐾 ) 4 ℎ∞ =√ 𝐾𝐷 230 𝑊⁄𝑚𝐾 (0.004𝑚) 𝑚 = 13.98𝑚−1

𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎

𝜋 𝐷4 𝐿 2 = {[16 ( ) + 1] 96𝐿2 𝐷

3⁄ 2

− 1}

3⁄ 2

𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎

𝜋 0.004𝑚4 0.025𝑚 2 = {[16 ( ) + 1] 96(0.025𝑚)2 0.004𝑚 𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠 = 2.099𝑥10−4 𝑚2

− 1}

𝜂𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎

4𝑚𝐿 3 𝐼1 ( 3 ) = 2𝑚𝐿 𝐼 (4𝑚𝐿) 0 3

𝑚𝐿 = 2(13.98)𝑚−1 (0.025𝑚)

𝑥=

𝑚𝐿 = 0.699

4𝑚𝐿 3

4(13.98𝑚−1 )(0.025𝑚)

𝑥=

3

= 0.466

Como el valor de x no se encuentra en la tabla 3-4 hay que interpolar entre 0.4 y 0.6 𝑒 −𝑥 𝐼𝑜(𝑋) = 0.665

𝐼𝑜(4𝑚𝐿) = 3

0.665 𝑒 −0.466

𝑒 −𝑥 𝐼1(𝑋) = 0.1484

(Tabla 3-4)

= 1.05

𝐼1(4𝑚𝐿) = 3

0.1484 𝑒 −0.466

(Tabla 3-4)

= 0.236

Cálculo de la eficiencia 𝜂𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎

4𝑚𝐿 3 𝐼1 ( 3 ) = 2𝑚𝐿 𝐼 (4𝑚𝐿) 0 3

𝜂𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 =

3 0.236 0.699 1.05

𝜼𝒂𝒍𝒆𝒕𝒂 = 𝟎. 𝟗𝟔𝟓 Cálculo de la razón de trasferencia de calor de una aleta 𝑄̇𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 𝜂𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑄̇𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎,𝑚á𝑥 𝑄̇𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 𝜂𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 ℎ∞ 𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 𝜃𝑏 𝑄̇𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 0.965 (45 𝑊⁄𝑚2 𝐾 ) (2.099𝑥10−4 𝑚2 )(200 − 25)𝐾 𝑸̇𝒂𝒍𝒆𝒕𝒂 = 𝟏. 𝟓𝟗𝟓𝑾 Cálculo de la razón de trasferencia de calor de 100 aletas 𝑄̇100 𝑄̇100

𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠

𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠

𝑸̇𝟏𝟎𝟎

= 100(𝑄̇𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 )

= 100(1.595𝑊)

𝒂𝒍𝒆𝒕𝒂𝒔

= 𝟏𝟓𝟗. 𝟓𝑾

Cálculo de la razón de trasferencia de calor entre aletas (𝑸̇𝒅𝒆𝒔𝒏𝒖𝒅𝒐 ) 𝑄̇𝑑𝑒𝑠𝑛𝑢𝑑𝑜 = ℎ∞ 𝐴𝑑𝑒𝑠𝑛𝑢𝑑𝑜 𝜃𝑏 𝐴𝑑𝑒𝑠𝑛𝑢𝑑𝑜 = 1𝑚2 − 100𝜋𝑟 2 𝐴𝑑𝑒𝑠𝑛𝑢𝑑𝑜 = 1𝑚2 − 100𝜋(0.002𝑚)2 = 0.9987𝑚2

𝑄̇𝑑𝑒𝑠𝑛𝑢𝑑𝑜 = 45 𝑊⁄𝑚2 𝐾 (0.9987𝑚2 )(200 − 25)𝐾 𝑸̇𝒅𝒆𝒔𝒏𝒖𝒅𝒐 = 𝟕𝟖𝟔𝟓. 𝟐𝑾 Cálculo de la razón de trasferencia de calor total 𝑄̇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑄̇100 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 + 𝑄̇𝑑𝑒𝑠𝑛𝑢𝑑𝑜 𝑄̇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 159.5𝑊 + 7865.2𝑊 𝑸̇𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟖𝟎𝟐𝟒. 𝟔𝑾 Cálculo de la razón de trasferencia de calor sin aletas 𝑄̇𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑙𝑖𝑒𝑡𝑎𝑠 = ℎ∞ 𝐴𝑃𝑎𝑟𝑒𝑑 𝜃𝑏 𝑄̇sin 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠 = 45 𝑊⁄𝑚2 𝐾 (1𝑚2 )(200 − 25)𝐾 𝑸̇𝐬𝐢𝐧 𝒂𝒍𝒆𝒕𝒂𝒔 = 𝟕𝟖𝟕𝟓 𝑾 Cálculo del 𝑸̇𝒂𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐 𝑄̇𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 = 𝑄̇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑄̇sin 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑄̇𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 = 8024.6𝑊 − 7875𝑊 𝑸̇𝒂𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐 = 𝟏𝟒𝟗. 𝟔𝑾