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• Lorena Vivas

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Clase 12 05 2020 Eficiencia superficial Aletas

mL 

Per  h kAz

L=

2 wh L 2h 3/2  L L kwt L kAp

1

Nfin fins, each with base cross-sectional area, Ac,b, and surface area, As,fin

T , h

base surface area, As,b Af  Per  L+A z

= Per  Lc  Lc  L  Az / Per

EFICIENCIA SUPERFICIAL La transferencia de calor total desde una superficie con aletas se encuentra sumando el calor transferido desde la superficie de las aletas y el calor transferido desde la superficie libre de aletas Asin así: QT  hAsin  TS  T   h  NAf

 T

S

 T   f

(1.59)

Aquí se supone que el coeficiente convectivo es igual para la superficie con aletas que para la sin aletas, N es el  A número de aletas y f y f son la eficiencia y el área superficial de una aleta respectivamente. Si denominamos AT el área total para transferencia de calor en la superficie, es decir, el área de las aletas más A  NAf  Asin el área que no tiene aletas T (que podríamos denominar “área activa”), podemos definir una  eficiencia total T para toda la superficie con y sin aletas así: QT  h  Asin   NAf   f   TS  T   hAT  TS  T  T

(1.59a)

De esta manera, la eficiencia global o ponderada para la superficie con aletas está dada por:

T 

Asin   NAf   f AT

(1.60)

Teniendo en cuenta que

T  1 

NA f AT

Asin  AT  NAf

se reorganiza la ecuación (1.60) para obtener:

 1   f

(1.60a) 2

Y la resistencia térmica correspondiente a la superficie con aletas es por tanto

R

1 hATT

(1.60b)

Problema 1.32 IdeW

Un chip de silicio isotérmico de ancho W = 20 mm por lado está soldado a un disipador de calor de aluminio (k = 180 W/m.K) del mismo tamaño. El disipador de calor base de espesor Lb = 3 mm y una serie de aletas rectangulares, cada una de Lf = 15 mm de longitud. El flujo de aire a T = 20 °C se mantiene a través de canales formados por las aletas y una placa de cubierta, y para un coeficiente de convección de h = 100 W/m2.K, un espacio mínimo de la aleta de 1.8 mm está dictado por las limitaciones en la caída de presión para el fluido. La unión de soldadura tiene una resistencia térmica de R"c. a) Considere las limitaciones para las cuales la matriz tiene N = 11 aletas, en cuyo caso los valores del espesor de la aleta t = 0.182 mm y el paso S = 1.982 mm se obtienen de los requisitos que W = (N - 1)S + t y S - t = 1,8 mm. Si la temperatura máxima permitida del chip es Tc = 85 °C, ¿cuál es el valor correspondiente de la potencia del chip qc? Se puede suponer una condición de aleta adiabática, y se puede suponer que el flujo de aire a lo largo de las superficies externas del disipador de calor proporciona un coeficiente de convección equivalente al asociado con el flujo de aire a través de los canales. (b) Con (S - t) y h fijadas a 1,8 mm y 100 W/m2.K, respectivamente, explore el efecto de aumentar el espesor de la aleta reduciendo el número de aletas. Con N = 11 y S - t fijados en 1,8 mm, pero sin la restricción sobre la caída de presión, explorar el efecto de aumentar el flujo de aire y, por lo tanto, el coeficiente de convección. Se adjunta la solución. 3

EJEMPLO 1.38: (Thirumaleshwar Ej. 6.5 p 240 modificado) Los dos extremos de una barra de cobre (k = 380 W/m.K), de 15 mm de diámetro y 300 mm de longitud, están conectados a dos paredes cuyas superficies permanecen a 300 °C. Aire a 40 °C y velocidad de 3 m/s fluye transversal al cilindro. Calcule (a) la temperatura del punto medio del cilindro, (b) el calor transferido al aire y (c) el calor transferido desde los primeros 10 cm medidos desde cualquiera de los extremos.

Solución: (a) Este problema puede resolverse como del caso (iv), ecuación (1.46a) sistema de conducción convección con ambos extremos a temperaturas conocidas, z= L/2. (b) Por integración para el mismo caso de temperatura conocida en el extremo, se usa la ecuación (1.47b) o (1.47c). (c) La ecuación (1.47b) con límite de integración z = 0.10 [m] en lugar de L. Sin embargo, debido a la simetría, en el punto medio de la barra se cumple dT / dz  0 , por lo que el análisis se puede simplificar considerando el sistema como equivalente a dos aletas de extremo adiabático y de 150 mm de longitud cada una. Desde este punto de vista la solución es: (a) Ecuación (1.44b), con z = L = 0.15 [m] (cambian las dimensiones)

θ cosh [ m( L−z )] = θ S cosh (mL)

(1.44b)

(b) El flujo de calor desde esta aleta se obtiene con la ecuación (1.44c):

QS   kAS

d dz

 S

 PhkAS  tanh(mL)

z 0

(1.44c)

Se debe tener presente que la aleta simétrica equivale a dos de estas aletas por lo cual el calor disipado es el doble. (c) El calor transferido en los primeros 10 cm de la aleta debe determinarse por integración sobre la superficie especificada: z

Q0 z   h Pdz 0

(1.47b) 4

   T  T  Aquí P   D es el perímetro y es el perfil de temperatura en la aleta dado por la ecuación (1.44b). Este calor también puede encontrarse aplicando la diferencia entre el calor transferido por conducción en la base y a los 10 cm:  d Q0 z   kAz   dz

 z 0

d dz

  Per  h  k  A z  S zz  =

 sinh  mL   sinh  m  L  z      cosh  mL   

2 En este caso AZ   D / 4 es el área para transferencia de calor por conducción.

Para determinar el coeficiente convectivo, flujo externo transversal a un cilindro, se usa la ecuación (A.17) propuesta por Churchill y Bernstein que cubre todo el rango de Re D:

NuD =0 .3+

0 .62 Re0D. 5 Pr 1/3

[ 1+( 0 . 4 /Pr )2 /3 ]

1/4

Re D 1+ 282000

[(

5/8 4/5

)

]

(A.17)

Esta correlación tiene validez para Re Pr  0.2 y las propiedades del fluido se evalúan a la temperatura de película. Con base en un análisis preliminar se selecciona, para evaluar las condiciones de película T=150 °C, estimado como el promedio aritmético entre la temperatura media aritmética de la barra y el aire. 300 290 280

T [C]

270 260 250 240 230 220 0

0,05

0,1

0,15

z [m]

0,2

0,25

0,3

Figura ejemplo 1.38

Nota: se modificó la velocidad del aire a un valor más realista. Q_iz=sqrt(Per*h*k*A)*(Tb-Tf) *(tanh(m*L)-sinh(m*(L-z))/cosh(m*L))} "Para hacer el gráfico se usa la ecuación para la aleta completa (1.46a) (T-Ta)=(Tb-Ta)*cosh(m*z)+(TL-Ta-(Tb-Ta)*cosh(m*L))/sinh(m*L)*sinh(m*z) L=0,3 [m]: D=0,015 [m]{: z=L/2} h=46,14 [W/m^2-K]: Tb=300: Ta=40: TL=Tb 5

m=sqrt(Per*h/k/A): k =380 Per=pi*D: A=pi*D^2/4 Resultados: A=0,0001767 [m^2] h=46,14 [W/m^2-K] k_f=0,03443 [W/m-K] L=0,15 [m] m=5,69 [1/m] mu=0,00002385 [kg/m-s] Nusselt=20,1 [-] Per=0,04712 [m] Pr=0,704 [-] Q=68,84 [W] Re=1574 [-] rho=0,8343 [kg/m^3] T=150 [K] Tb=300 [C] Tf=40 [C] T_L=227,5 [C] V=3 [m/s]

área transversal coeficiente convectivo calculado conductividad térmica del aire a 150 °C y 1 ata longitud de media barra Parámetro válido para lasdos barras viscosidad del aire a 150 °C y 1 ata coeficiente adimensional perímetro Prandtl para el aire a 150 °C y 1 ata calor tranferido en la primera mitad de la barra, 15 cm Reynolds densidad del aire a 150 °C y 1 ata temperatura de película temperatura en el centro de la barra

Una vez calculado el flujo de calor y la temperatura del punto medio, con el coeficiente convectivo conocido, se estima el calor transferido en los primeros 10 cm de la barra. eta=0,8045 Qi=48,18 = Q_iz T=235,1 [C]

eficiencia de la aleta corta calor transferido en los primeros 10 cm de la barra temperatura a los 10 cm

Los valores son idénticos pero al no usar la integral el programa corre más fácilmente.

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