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21. Una central de productos lácteos recibe diariamente la leche de dos granjas A y B. Con el fin de estudiar la calidad de los productos recibidos se extraen dos muestras, una de cada granja, y se analiza el contenido de materia grasa de cada producto. Se obtienen los siguientes resultados:

Obtén un intervalo de confianza al 95% para la diferencia en el contenido graso promedio de los productos de ambas granjas. Las varianzas poblacionales son desconocidas por eso utilizaremos la siguiente formula:

( μ1−μ 2 ) ∈

(

( n n ))

1 1 1 1 ( x´ 1− x´ 1 )−t( 1−α /2 ;n +n −2 ) S2 p + ; ( x´ 1− ´x 1 ) +t (1−α/ 2 ;n +n −2) S 2 p + 1

2

√

(n n ) 1

2

1

2

√

1

2

Hallamos las medias para las muestras de cada granja:

´ A =0.305 Granja A: X ´ B=0.305 Granja A: X Nivel de confianza: 95%

1−α=0.95 α =0.05 1−α /2=0.975 Hallamos las varianzas muestrales: Granja A: S2 A =0.00028182 Granja B: S2B =0.00024231 Hallamos el valor de la t de Student para 0.975 de probabilidad y 24 grados de libertad:

t (1-α/2, n1+n2-2) = 2.063898562 Hallamos la varianza mancomunada:

S p2 

S2p=

 n1  1 S12   n2  1 S 22 n1  n2  2

(12−1)0.0028182+( 14−1) 0.00024231 12+14−2

S2p=12. El intervalo de confianza es: -2.8126 < µ1 - µ2 < 2.8126 Interpretación: Se estima con un nivel de confianza del 95% que el contenido graso promedio de los productos de ambas granjas son iguales. 22. Una muestra de 150 focos de la marca A mostró un promedio de vida de 1400 horas y una desviación estándar de 120 horas. Una muestra de 200 focos de la marca B mostró un promedio de vida de 1200 horas y una desviación estándar de 80 horas. Calcule los límites de confianza a) 95% y b) 99% para la diferencia de medias de los promedios de vida para las poblaciones de las marcas A y B. Para un nivel de confianza de 0.95:

1−α=0.95 α =0.05 1−α /2=0.975 Las varianzas muestrales son: S21 =

14400

S22 =

6400

Hallamos el grado de libertad(υ):

υ=

(

S21 S 21 + n 1 n2 2

2

)

2

S 21 S22 n1 n2 + n1−1 n 2−1

( ) ( )

14400 6400 2 + 150 200 υ= 2 14400 6400 2 150 200 + 149 199

(

)

(

) (

)

υ=244.544 Hallamos la t de student con probabilidad 0.975 y grados de libertad 244.544 t(1-α/2,υ ) = 1.97 El Intervalo de confianza es:

177.7150038 < µ1 - µ2 < 222.2849962 Interpretación: Se estima con un nivel de confianza del 95% que los promedios de vida son diferentes y que el promedio de vida de la marca A es mayor que el de la marca B. Suponemos que las varianzas son diferentes Para un nivel de confianza de 0.99:

1−α=0.9 9 α =0.0 1 1−α /2=0.9 95 Las varianzas muestrales son: S21 =

14400

S22 =

6400

Hallamos el grado de libertad(υ):

υ=

(

S21 S 21 + n 1 n2 2

2

)

2

S 21 S22 n1 n2 + n1−1 n 2−1

( ) ( )

14400 6400 2 + 150 200 υ= 2 14400 6400 2 150 200 + 149 199

(

(

)

) (

)

υ=244.544 Hallamos la t de student con probabilidad 0.995 y grados de libertad 244.544 t(1-α/2,υ ) = 2.6 El Intervalo de confianza es:

170.63 < µ1 - µ2 < 229.37 Interpretación: Se estima con un nivel de confianza del 99% que los promedios de vida son diferentes y que el promedio de vida de la marca A es mayor que el de la marca B. 23. En una muestra aleatoria de 400 adultos y 600 adolescentes que vieron programa de televisión, 100 adultos y 300 adolescentes manifestaron que les gusto. Construya limites de confianza a) 95% b) 99% para la diferencia de proporciones de todos los adultos y todos los adolescentes que vieron el programa y les gusto. n1 = 400 n2 = 600 proporción: p1 = 0.25 p2 = 0.5 a) para un nivel de confianza de 0.95: 1 - α = 0.95 α = 0.05 α/2 = 0.025 1 - α/2 = 0.975 Z(1 - α/2) = 1.96 Intervalo de confianza:

-0.308 < π1 - π2 < - 0.192 Interpretación: Se estima con un nivel de confianza del 95% que las proporciones son diferentes b) para un nivel de confianza de 0.99: 1 - α = 0.95 α = 0.05 α/2 = 0.025 1 - α/2 = 0.975 Z(1 - α/2) = 2.58 Intervalo de confianza:

-0.337 < π1 - π2 < - 0.173 Interpretación: Se estima con un nivel de confianza del 99% que las proporciones son diferentes 24. Un estudio de dos tipos de equipo de fotocopiado demuestra que 60 fallas del primer tipo de equipo tardaron un promedio de 80.7 minutos en ser reparadas, con una desviación estándar de 19.4 minutos; mientras tanto, 60 fallas del segundo tipo de equipo tardaron en promedio 88.1 minutos en repararse con una desviación estándar de 18.8 minutos. Obtenga un intervalo de confianza del 99% de la diferencia entre los tiempos promedio reales que se requirieron para reparar fallas de los dos tipos de equipo de fotocopiado. Suponemos que las varianzas son diferentes: nivel de confianza: 1 - α = 0.99 α = 0.01 α/2 = 0.005 1 - α/2 = 0.995 Varianzas muestrales S21 = 376.36 S22 = 353.44 Hallamos el grado de libertad(υ)

υ=

(

S21 S 21 + n 1 n2

2

)

2

2

S 21 S22 n1 n2 + n1−1 n 2−1

( ) ( ) 376.36 353.44 2 + 60 60 υ= 2 376.36 353.44 60 60 + 59 59

(

)

(

) (

2

)

υ=117.884 T de estudent: t(1-α/2,υ ) =2.619 Intervalo de confianza:

-16.532 < µ1 - µ2 < 1.732 Interpretación: Se estima con un nivel de confianza del 99% que los tiempos promedios para reparar las fallas en los dos tipos de equipo son iguales 25. Doce árboles de frutos cítricos maduros, seleccionados al azar de una variedad de ejemplares, tienen una altura media de 13.8 pies con una desviación estándar de 1.2 pies y 15 árboles de frutos cítricos maduros seleccionados también al azar de otra variedad, tienen una altura media 12.9 pies con una desviación estándar de 1.5 pies. Suponiendo que las dos muestras aleatorias se seleccionaron de poblaciones normales con varianzas iguales, construya un intervalo de confianza del 95% de la diferencia en las alturas promedio reales de los dos tipos de árboles de frutos cítricos. n1 = 12 n2 = 15 Varianzas muestrales S21 = 1.44,

S22 = 2.25

Varianza mancomunada:

S

2 p

n1  1 S12   n2  1 S 22   n1  n2  2

S2p=

(12−1)1.44+(1 5−1)2.25 12+ 15−2 S2p=1.89

t de student: t(1-α/2, n1+n2-2) = 2.06 Intervalo de confianza:

 1   2  

1 1 1 1 ( x1  x2 )  t (1 2 ),n1  n2  2 S p2   ; ( x1  x2 )  t(1 2 ),n1  n2  2 S p2    n1 n2   n1 n2 

-0.198 < µ1 - µ2 < 1.998 Interpretación: Se estima con un nivel de confianza del 95% que las alturas promedio de los árboles de diferentes variedades son iguales.