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PROBLEMAS RESUELTOS

(a) Cuando se aprecia muchos daños y colapsos en construcciones de adobe se debe haber presentado una intensidad de: grado VIII.

PROBLEMAS RESUELTOS

2. Evaluar el espectro de diseño considerando los efectos locales de amplificación. (k) ¿Cuáles son los aspectos visibles de la manifestación de un sismo?

(b) En función de los daños apreciados en la ciudad de Nazca se habría presentado una intensidad de: grado VII (c) A que se puede atribuir principalmente los extensos daños en el bloque de aulas-torre del Colegio de Vista Alegre-Nazca A la irregularidad en planta tanto en masas como en rigideces debida a la distribución de los elementos resistentes y la forma en L del edificio. Tiene un núcleo rígido (octógono) a un extremo lo que ha traído como consecuencia desplazamientos excesivos en el extremo opuesto. Asimismo los muros están adosados a las estructuras (sin junta)y al deformarse con la estructura han sufrido daños extensos. (d) ¿Porqué se han observado daños en las columnas con alféizares bajos en el pabellón de aulas del colegio de Vista Alegre? Por el efecto de columna corta al no existir junta entre las columnas y los alféizares. (e) ¿Porqué se ha dañado la tabiquería en aquellos pabellones cuando los muros están separados por juntas? Por que las juntas han sido insuficientes y se ha producido el problema de columna corta al impactar estas con los muros. Adicionalmente en las columnas no se aprecia la existencia de estribos los que ha reducido su resistencia al corte. (f)

¿Cuál podría ser la estrategia del diseño para reducir la posibilidad de daños en estructuras con tabiquería de relleno? Diseñar y construir edificaciones más rígidas.

(g) Las construcciones ubicadas sobre una ”loma” experimentarán diferente intensidad? Si, se produce in incremento de las intensidades por el efecto topográfico

Vibración del suelo de las edificaciones. Ruido. Deslizamientos de taludes. Agietamiento del suelo. (l)

Si el sismo de México tuvo su epicentro a 400 km de la ciudad, ¿ cómo se explica que haya habido tanto daño en un sector de la ciudad.? Por la amplificación debido a las condiciones locales del suelo, en este caso del estrato blando del antiguo Lago Texcoco que es donde se asentaba la original ciudad de Tenochtitlan, hoy el centro de la ciudad de México.

NORMA.- La norma peruana establece cuantos criterios de desempeño y cuáles son éstos?. Tres criterios de desempeño: 1. Sin daños, 2. Con daños estructurales leves, 3. Daños estructurales importantes pero no colapso. ¿Cuántos niveles de diseño especifica la norma peruana actual? Uno sólo y corresponde al sismo severo, aunque reducido por el factor R SISMOLOGIA.- Explique el proceso completo mediante el que se origina un sismo. Considerando este proceso ¿cuál es la máxima profundidad a la que puede producirse un sismo , explique porqué? La capa exterior de la tierra está constituida por placas continentales separadas pero en contacto unas con otras. Estas placas se deforman por la acción de fuerzas que resultan de las corrientes de convección de calor al interior de la tierra debidas al gradiente térmico entre el centro y la superficie. Cuando la deformación de las placas excede ciertos valores, la superficie de contacto se rompe liberando la energía de deformación acumulada en las placas. Esta energía se trasmite en forma de ondas que causa el sacudimiento del terreno denominado sismo. La máxima profundidad donde se originan es a700 km.

(h) ¿Cómo se originan los incendios después de ocurrido un sismo? Al producirse fugas de gas por rotura de las tuberías subterráneas y simultáneamente corto circuitos o chispas en las líneas de transmisión eléctrica que caen sobre ellas. (i)

¿Cómo se relaciona el contenido de frecuencias de un sismo con el tipo de movimiento al que están sometidos los edificios? A través del espectro de diseño que refleja el factor de amplificación sísmica en relación al período del edificio.

(j)

Algunos edificios del centro de la ciudad de México colapsaron, incluyendo hospitales. Para la reconstrucción que aspecto en sugiere usted sería el más importante. Mencione por lo menos dos: 1. Rigidizar los edificios. Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

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INGENIERÍA ANTISÍSMICA

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PROBLEMAS RESUELTOS

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PROBLEMAS RESUELTOS

RIGIDEZ 1GDL

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Y PERIODO NATURAL.-

El sistema mostrado en la figura consiste en una viga de concreto armado (módulo de elasticidad 250 000 kg/cm2), de 3m de luz y 0,25 x 0,30 m de sección, empotrada en un extremo y sujetada en el opuesto por un conjunto de 3 varillas lisas de acero (módulo de elasticidad 2 100 000 kg/cm2) de φ = 3/8". Las dos varillas superiores están conectadas con la inferior mediante una placa metálica que puede considerarse de gran rigidez. Calcule la rigidez del sistema para el grado de libertad señalado por la flecha.

Determine la ecuación de movimiento y el período natural de vibración del sistema de un grado de libertad, compuesto por una viga ( I = 4 000 cm4) con un peso concentrado de 500 kg. y una varilla de 5/8” de diámetro en uno de sus extremos, tal como se muestra en la figura 3. Ambos elementos son de acero (E = 2 100 000 kg/cm2 ). La viga se puede considerar sin masa.

L = 3m 1.5 m

L = 4m 1.5 m

Solución .Modelo:

3.0 m

5" φ= 8 A = 1.98cm 2

La rigidez total K = k viga + k3 varillas Rigidez varillas. El sistema de varillas consiste de dos en paralelo y luego esas dos en serie con la siguiente.

m

Todas las varillas tienen una rigidez axial igual a: ka = EA/L = 2 100 000 x 0,71/150 = 9975 kg/cm. Las dos superiores tienen una rigidez de 2ka

K = K VIGA + K CABLE = 3

m

EI EA + L3 h

3 x 2 100 000 x4 000 2 100 000 x1,98 + 400 3 300 kg K = 393 ,7 + 13 860 = 14 253 ,7 cm

K=

2k F El conjunto de las tres varillas: k3 varillas F = = a F F ∆ 3 + k a 2k a

3EI I= bh3/12 = 56250cm4. L3 3 x 2 500 000 x56250 kviga= = 1 562,5 kg/cm 300 3

Laviga tiene una rigidez de: kviga=

Luego la ecuación de movimiento : mu&& + ku = F ( t ) 0 ,51u&& + 14 253 ,7 u = F1 f ( t )

K= kviga + k3 varillas = 1562,5 + 2/3 x 9975 = 8 213,5 kg/cm

Por lo tanto el período : T = 2π

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

m 0 ,51 = 2π KT 14 253 ,7

INGENIERÍA ANTISÍSMICA

P = 500 kg

→

T = 0 ,038 s

m=

P 500 kg kg − s 2 = = 0 ,51 cm g cm 981 2 s

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PROBLEMAS RESUELTOS

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PROBLEMAS RESUELTOS

AMPLITUD DE VIBRACIÓN

PROBLEMA 1.-

Se tiene un sistema masa-resorte (sin amortiguamiento) de un grado de libertad sometido a la fuerza excitadora F(t) = F1 x f(t).

Se tiene un edificio de un piso que en la dirección X está conformado por dos pórticos y dos muros. Los muros son de albañilería (Em=25000 kg/cm2) y tienen 12cm de espesor. Las dimensiones de vigas y columnas son de 25cm x 60cm (Ec=250000 kg/cm2). El peso total a la altura del techo es de 96 toneladas (incluyendo la parte correspondiente de muros y columnas). La altura es 2.80m.

En la figura se muestra la variación de f(t) con el tiempo. Se pide determinar la máxima amplitud de la vibración en el tramo t > td. El tiempo td = 1.0 s . F1 = 1.579 t. El período del sistema es de 1 s y la rigidez K es 157.91 t/m. Debe justificar debidamente su respuesta.

Y Muro de albañilería

4m

Pórticos de concreto

4m

Muro de albañilería

4m

F(t)

f(t)

M

1

K

X

t td

t > td

8m PLANTA Calcule el periodo sistema de un grado de libertad.

→

Vibración Libre U& U = U o cos ω(t − t d ) + o senω(t − t d ) ω

1er Tramo: F U = 1 (1 − cos ω t )

del edificio como un

SOLUCIÓN : Muro

Peso = P= 96t =

k 2π T= = 1 → ω = 2π ω U = 0 ,01 (1 − cos 2 π t ) U& = 0 ,01 x 2 π (sen 2 π t )

1,579 (1 − cos ω t ) = 0 ,01 m (1 − cos ω t ) 157 ,91

C 25 x60

T = 2π

2

Em=25000 kg/cm

m k

V 25 x60

Ec=250000 kg/cm2 t = t d = 1s

t = 1s

kg .s 2 P 9600 = = 97.859 cm g 981

m=

U = 0 ,01 (1 − cos 2 π ) = 0 U& = 0 ,01x 2 π (sen 2 π ) = 0

K= 2xKmuro+2xKpórtico U máx =

[U ( ) ]

2

td

⎡ U& (t ) ⎤ +⎢ d ⎥ ⎣ ω ⎦

2

∴ U=

0 +0

U =0

* Cálculo del Kmuro:

Muro

h=2.8m L=8m

h=2.8m

L=8m

K muro =

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

Et 3

⎛h⎞ ⎛h⎞ 4 x⎜ ⎟ + 3 x⎜ ⎟ ⎝ L⎠ ⎝L⎠

INGENIERÍA ANTISÍSMICA

=

25000 x12 3

⎛ 2.8 ⎞ ⎛ 2.8 ⎞ 4 x⎜ ⎟ + 3 x⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 8 ⎠

= 245,600

kg cm

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PROBLEMAS RESUELTOS

* Cálculo del KPórticos:

I KC = C h

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PROBLEMAS RESUELTOS

VARIANTE DEL PROBLEMA 1.-

I KV = V L

60

3m

2.7m=3-0.60/2

Se tiene un edificio de un piso que en la dirección Y está conformado por dos pórticos y dos muros. Los muros son de albañilería (Em=25000 kg/cm2) y tienen 12cm de espesor. Las dimensiones de vigas y columnas son de 25cm x 60cm (Ec=250000 kg/cm2) y las vigas se pueden considerar de rigidez infinita. El peso total a la altura del techo es de 96 toneladas (incluyendo la parte correspondiente de muros y columnas). La altura es 2.80m.

60

Y

K Pórtico

4m

Pórticos de concreto

4m

Muro albañilería

4m

7.4m

8m I C = IV =

Muro albañilería

25 x60 3 = 450 000 cm 4 12

24 EI C 1 + 6 γ = h3 4 + 6 γ

X 8m

k ( I / L) h 2,70 = = = 0.365 γ= V = v kC ( I c / h) L 7,40

→

γ = 0,365

PLANTA Calcule el periodo del edificio como un sistema de un grado de libertad .

Entonces : 24 x 250 000 x 450 000 1 + 6 x0,365 K Pórtico = K P = 2703 4 + 6 x0,365 Finalmente : K Total = K T = 2 x 245 600 + 2 x70 674,1

→

→

m 97 ,859 = 2π KT 632 549

→

SOLUCIÓN : Muro

Peso = P= 96t

C 25 x60

T = 2π

2

K T = 632 549

Por lo tanto el periodo del edificio como un sistema de un grado de libertad será:

T = 2π

kg K P = 70 674,1 cm kg cm

Em=25000 kg/cm

m k

V 25 x60 2

Ec=250000 kg/cm

m=

P 9600 kg .s 2 = = 97.859 g 981 cm

T = 0 ,078 s K= 2xKmuro+2xKpórtico * Cálculo del Kmuro:

Muro

h=2.8m L=8m

h=2.8m

L=8m K muro =

Et ⎛h⎞ ⎛h⎞ 4 x ⎜ ⎟ + 3 x⎜ ⎟ L ⎝ ⎠ ⎝L⎠

* Cálculo del KPórticos: Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

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INGENIERÍA ANTISÍSMICA

KC =

=

IC h

2500 x12 3

⎛ 2.8 ⎞ ⎛ 2.8 ⎞ 4 x⎜ ⎟ + 3 x⎜ ⎟ 8 ⎝ ⎠ ⎝ 8 ⎠

= 245 ,600

kg cm

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PROBLEMAS RESUELTOS

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PROBLEMAS RESUELTOS

ESFUERZO CORTANTE EN MUROS Se tiene un edificio de un piso que en la dirección Y está conformado por dos pórticos y dos muros. Los muros son de albañilería (E=25000 kg/cm2) y tienen 15cm de espesor. Las dimensiones de vigas y columnas son de 25cm x 60cm (E=250000 kg/cm2). El peso total a la altura del techo se puede considerar 96 toneladas . La altura de piso a techo es 3m. La losa del techo tiene 20cm de espesor. Calcule el periodo del edificio como un sistema de un grado de libertad

60

2.2m

60

2.8m

Se desea determinar el máximo esfuerzo cortante que se presentará en los muros debido al sismo en la dirección Y usando el método de fuerzas estáticas equivalentes según la Norma de Diseño Sismorresistente. El edificio es un colegio ubicado en Villa El Salvador, Lima. El suelo de cimentación es una arena densa con un estrato de 30m de potencia. (NO USE EL PERIODO APROXIMADO DE LA NORMA SINO EL CALCULADO ANTERIORMENTE).

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K Pórtico = K P = 3 xK ColumnaEmpotrada = 3 x

12 EI C 36 EI C = h3 h3

Calcularemos el periodo para h=2.20m y h=2.80m

Y

4m

4m

4m

muro

Entonces : 36 x 250 000 x450 000 220 3 36 x 250 000 x450 000 K P [h=2.80 ] = 280 3 Como : K P [h=2.20 ] =

→ →

kg cm kg K P [h=2.80 ] = 184 493 cm

K P [h=2.20 ] = 380 353

8m

X

K Total = K T = 2 K m + 2 K p

PLANTA

K T [h=2.20 ] = 2 x 245 600 + 2 x380 353

→

K T [h=2.80 ] = 2 x 245 600 + 2 x184 493

→

Con

m = 97 ,859

kg K T [h= 2.20 ] = 1 251 906 cm kg K T [h=2.80 ] = 860 187 cm

Viga =0,30

Losa =0,20

H muro =2,80

kg − s 2 cm

0,60

Por lo tanto el periodo del edificio como un sistema de un grado de libertad será: T[h=2.20 ] = 2π

97 ,859 1 251 906

T[h=2.80 ] = 2π

97 ,859 860 187

→ →

8 - 0,60 = 7,40 m

Rigidez: K Total = 2 k muro + 2 k Pórtico

T[h=2.20 ] = 0 ,055 s T[h=2.80 ] = 0 ,067 s

k muro =

Et 3

⎛h⎞ ⎛h⎞ 4⎜ ⎟ + 3⎜ ⎟ ⎝L⎠ ⎝L⎠

=

25 x60 3 I= = 450 000 cm 4 12

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25 000 x15 3

⎛ 2 ,80 ⎞ ⎛ 2 ,8 ⎞ 4⎜ ⎟ + 3⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 8 ⎠

= 306 999 ,6

kg cm

IV h 2 ,70 γ= L = = = 0 ,365 IC L 7 ,40 h

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PROBLEMAS RESUELTOS

k pórtico =

24 E I c 1 + 6 γ = h3 4 + 6 γ

kg 24 x 250 000 x450 000 1 + 6 x0 ,365 = 70 683 ,66 3 4 + 6 x0 ,365 cm (270 )

K Total = 2 x 70 683,66 + 2 x 306 999,6 = 755 366,5

T = 2π Z U S C TP

kg cm

96000 = 0,072 s < TP 981x755 366,5

= 0 ,4 = 1,5 = 1,2 = 2 ,5 = 0 ,6

R = 6 ( regular )

V =

ZUSC 0 ,4 x1,5 x1,2 x 2 ,5 P= P = 0 ,30 P R 6

Vmuros

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PROBLEMAS RESUELTOS

FUERZAS SÍSMICAS Y CORTANTES La estructura cuya planta se adjunta está ubicada en Arequipa. Será usada para vivienda y está asentada sobre un suelo que ha sido clasificado como intermedio. Tiene un total de ocho pisos. Las vigas son de 25 x 40cm y las columnas de 30 x 60cm. Las placas o muros tienen un espesor de 25cm. La losa es un aligerado de 20cm que pesa 300 kg/m2 . Considerar 100 kg/m2 de acabado y 200 kg/m2 de tabiquería, donde sea aplicable. La sobrecarga es 200 kg/m2 en el piso típico y 100 kg/m2 en la azotea. La altura del piso típico es 3.00m y la del primero 4m. Usando el Método de Fuerzas Estáticas Equivalentes de la Norma E-030-97, determinar las fuerzas sísmicas y cortantes en cada piso en la dirección Y. Calcular el peso correspondiente a cada piso acumulando el de los distintos elementos estructurales. Puede considerar el peso específico del concreto 2.4 t/m3 .

Y

6m

6.125m

3m

6.125m

k 2 x 306 999 ,6 = muros V = x0 ,30 P = 0 ,244 P K Total 755 366 ,5

Muros de concreto

V 0,244 P 0,244 x 96 t v = muros = = = 9,76 2 Area 2 x 0,15 x 8 2,4 m

3m 4.125m

3m 3m

4.125m

3m

X

3m

PLANTA

3m

kg V = 0 ,98 cm 2

4m

Dibujar los diagramas correspondientes de la variación en altura, sin escala pero guardando las proporciones. Cálculo del Peso del Peso por Piso:

Area Total:

(6,125x2 +6)(2x4,125)

= 150,56 m2

Area de Columnas:

12 columnas x 0,3 x 0,6

=

Area de Vigas: Area de Placas: Area de Losas:

2,16 m2

3x0,25[6,125-(0,6-0,3)x2-(6-0,6)] = 11,89 m2 0 ,30 )x2 = 1,84 m2 0,25x(4,125-0,32 Atotal - Acolumnas - Avigas = 150,56 - 2,16 - 11,89 = 129,16 m2

Área para Acabados: Atotal - Acolumnas - Aplacas = 150,56 - 2,16 – 1,84 = 146,57 m2 Longitud de Vigas:

15,85x3+4x7,35

= 76,95 m

Longitud de Placas:

3,675x2

=

Peso Típico:

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7,35 m

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PROBLEMAS RESUELTOS

Losa:

129,16

x0,30

= 38,748 t

Acabado:

146,57

x0,10

= 14,657 t

Tabiquería:

146,57

x0,20

= 29,314 t

Vigas:

0,25x0,40x76.95x2,40

= 18,468 t

Placas:

7,35x0,25x3x2,40

= 13,230 t

Columnas:

0,30x0,60x12x3x2,40

= 15,552 t

T=

25% /c:

0,25x146,57x0,20

PL

=

hn CT

hn = 7 pisos x 3m + 4 = 25m CT = Pórticos más muros = 45

T=

25 = 0 ,556 < TP = 0 ,6 s 45

Factor de Amplificación Sísmica: ( C ) 1.25

⎛T ⎞ C = 2 ,5⎜ P ⎟ ≤ 2 ,5 ⎝T ⎠ C = Cmáx = 2 ,5

PD = 129,969 t S

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PROBLEMAS RESUELTOS

7,329 t

T = 0 ,556 < TP

∴

PT = 137,298 t

1er Piso:

Cortante en la Base: ( V )

Diferencia en altura de columnas y placas ⎛3 4⎞ Columnas: 0,30x0,60x12x2,4x ⎜ + ⎟ ⎝2 2⎠ Placas: 7,35x0,25x2,4x3,5

= 15,435 t

Losa, acabado, tabiquería, vigas:

= 101,187 t

Z = 0 ,4 U = 1,0

= 18,144 t

S = 1,2

V=

ZUSC 0 ,4 x1,0 x1,2 x 2 ,5 P = P = 0 ,16 x P R 7 ,5

TP = 0 ,6

C = 2 ,5 R = 10 x0 ,75 = 7 ,5

V = 168 ,96 t

PD = 134,766 t 25% S/c

PL = P1

7,329 t

= 142,095 t

Distribución:

Azotea:

No hay tabiquería, media columna y S/c = 100 kg/m2 Losa:

= 38,748 t

Piso

Pi

Acabado:

= 14,657 t

8 7 6 5 4 3 2 1

89.928 137.298 137.298 137.298 137.298 137.298 137.298 142.095 1,056.000

Vigas:

= 18,468 t

Placas:

13,230 / 2

=

6,615 t

Columnas:

15,552 / 2

=

7,776 t

25% S/c:

0,25x146,57x0,10

PD

= 86,264 t

PL =

3,664 t

PA = 89,928 t Peso Total

P = P1 + 6 PT + PA = 142.095 + 6 x 137,298 + 89,928

= 1 055,81 t

P ≅ 1 056 t Período de la Edificación: ( T )

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hi 25 22 19 16 13 10 7 4

Pi hi 2248.200 3020.556 2608.662 2196.768 1784.874 1372.980 961.086 568.380 14761.506

Fi 25.733 34.573 29.859 25.144 20.430 15.715 11.001 6.506

Vi 25.733 60.306 90.165 115.309 135.739 151.454 162.454 168.96

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PROBLEMAS RESUELTOS

PERIODO NATURAL – MAX DESPL

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PROBLEMAS RESUELTOS

PERIODO DE VIBRACIÓN (1GDL) 8m

Se tiene un tanque elevado como el que se muestra en la figura adjunta. Se desea calcular su periodo natural de vibración para una excitación sísmica. Suponga que todos los espesores son de 20cm. La cuba y el fuste son cilíndricos. Si se lo somete a una fuerza bruscamente aplicada de 20 t. Calcular cuál es el máximo desplazamiento que puede producirse. Usted debe modelar la masa y la rigidez a considerar, explique sus criterios. (E = 230 000 kg/cm2 ).

4m

Cuba Fuste

15m

3m

Se tiene un edificio de un piso constituido por cuatro pórticos en la dirección X y tres pórticos en la dirección Y (ver planta). Se desea determinar el periodo de vibración en cada dirección. Las vigas pueden considerarse infinitamente rígidas. Todas las columnas son de (25 x 40 cm) orientadas con la mayor dimensión en la dirección X. Todos los pórticos están unidos por una losa maciza que se puede considerar de 800 kg/m2 incluyendo el peso de las vigas, acabado y columnas. Actúa una sobrecarga de 200 kg/m2 . Para estimar la masa puede considerarse el 25% de la sobrecarga. E= 230 000 kg/cm2 .

Solución.Y

Lo que se desea calculares el U máx debido a una fuerza aplicada súbitamente. Luego de la teoría concluimos que: U máx = 2

F1 K

con

Modelo

F1 = 20t

EI K =3 3 h 4 4 π( De − Di ) π( 3 4 − 2 ,6 4 ) = I= 64 64 Entonces :

m

→ I = 1,733m 4

3 x 2300000 x1,733 t → K = 3542 ,8 15 3 m Luego el desplazamiento máximo: 20 x100 = 3542 ,8

1,13cm

T = 2π Di

Vista de Planta del m Fuste

ELEVACION X

800 x área del entrepiso (12 x 8 = 96 m2)

Losa más vigas:

25% de la sobrecarga: ( π8 2 / 4 ) x0 ,2 x 2 ,4 x 2

= 48 ,255t

( 8 − 0 ,2 )π( 4 − 2 x0 ,2 )x 2 ,4 x0 ,2

= 42 ,344t

( 3 − 0 ,2 )π( 15 / 2 )x 2 ,4 x0 ,2

= 31,667 t

X

= 76 800 kg = 76,8 t

0,25 x 200 x 96

= 4 800 kg = 4,8 t

Total Peso

= 81 600 kg = 81.6 t

(Según los datos, en el peso de la losa por m2 se ha incluido ya el peso correspondiente a las vigas y columnas, de lo contrario habría que considerarlo adicionalmente)

( π( 8 − 0 ,2 x 2 )2 / 4 )x( 4 − 2 x0 ,2 )x1 = 163 ,313t

P=

t − s2 m

PLANTA

Cálculo de la Masa: La masa debe incluir todos aquellos elementos que se estima que se aceleran simultáneamente:

K

De

Calculando la masa “m=P/g” Peso de la Tapa y Fondo: Muros: Fuste: Agua:

Modelo -Tapa y fondo -Muros -Fuste -Agua

12m

Modelo: Suponiendo que la losa se comporta como un diafragma rígido, se puede considerar un solo desplazamiento lateral para todo el piso, ya que éste es común a todos los elementos que llegan a la losa. m representa la masa del sistema y k la rigidez, en este caso la rigidez lateral del edificio, KL. El modelo se aplica a ambas direcciones de la vibración, X e Y, la rigidez será diferente en cada caso.

e=0.20m

Para el cálculo del periodo:

m = 29 ,111

-Tapa y fondo -Muros -Fuste -Agua

15m

K=

U máx = 2

4m 6m

Del modelo entonces debemos calcular:

6m

2m

285,579 t

m = P/g = 81.6 t / 9.81 m/s2 = 8.318 t-s2/m Cálculo de la rigidez lateral del edificio, K, en la dirección X: En esa dirección son 4 pórticos. Debido a que todos ellos se desplazan por igual, la rigidez lateral total será la suma de las rigideces de cada pórtico (Por una condición de equilibrio de fuerzas).

Por lo tanto: T = 2π

29 ,11 3542 ,8

→

T = 0 ,57 s

KLX = 4 x K pórtico K pórtico = k columna empotrada + 2 k columnas articuladas Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

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17

PROBLEMAS RESUELTOS

K pórtico =

12 EI 3 EI + 2x 3 h13 h2

,

E=230 000 kg/cm2 =2 300 000 t/m2 I=0.25 x 0.403/12 = 0.0013333m4 h1= 6m; h2= 4m

1⎤ ⎡2 K pórtico = 6 x 2300000 x0 ,001333 ⎢ 3 + 3 ⎥ = 457 ,87 t / m 4 ⎦ ⎣6

18

PROBLEMAS RESUELTOS

PER DE VIBR. – MAX. DESPL. (1GDL).- Se tiene un reservorio elevado como el que se muestra. Se desea calcular su periodo natural de vibración para una excitación sísmica. Suponga que todos los espesores son de 20cm. La cuba y el fuste son cilíndricos, calcular cuál es el máximo desplazamiento que se produce si se le aplica un impulso que aplica instantáneamente una velocidad de 10cm/s. Usted debe modelar la masa y la rigidez a considerar. (E = 230 000 kg/cm2 ). 8m 4m

KLX= 4 x 457.87 = 1 831.47 t/m

Periodo de vibración en la dirección X: El periodo de vibración de un sistema de un grado de libertad está dado por la siguiente expresión:

T = 2π

m k

3m

Reservorio

15m

m

k

Modelo

sustituyendo los valores de m y k (KLX) calculados, se obtiene: T = 2π

m 8.318 = 2π k 1831.47

Modelo: Se observa que la mayor parte de la masa está concentrada en la parte superior del reservorio, por lo que se puede considerar un solo desplazamiento lateral que define la posición de la masa.

Tx=0.423 s

Para evaluar el periodo en la dirección Y, Ty, la rigidez KLY se modifica en función de la inercia de las columnas. El procedimiento es el mismo, así como el valor de la masa. Cálculo de la Masa: La masa debe incluir todo aquello que se estima que se aceleran simultáneamente: π D2 π82 Tapa del tanque tx 2 ,4 = 0 ,20 x 2 ,4 = 24,13 t 4 4 Fondo del tanque = 24,13 t 8 + 7 ,6 0 ,20 x3 ,6 x 2 ,4 Muros o paredes del reservorio π D prom t xhx 2 ,4 = π = 42,34 t 2 3 + 2 ,6 15 Medio fuste π D promedio t xhx 2 ,4 = π 0 ,20 x x 2 ,4 = 31,67 t 2 2 Total peso propio =122,27 t π Dint2 erior π x7 ,6 2 h= 3 ,60 Agua contenida en la cuba =163,31 t 4 4 Peso total = 285,58 t m = P/g =285,58 t / 9,81 m/s2 = 29,11 t-s2/m

Cálculo de la rigidez lateral del reservorio, KL, en el plano: En esa dirección el elemento resistente es el fuste que funciona como una columna empotrada en su base y libre arriba. Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

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19 KL =

PROBLEMAS RESUELTOS

3 EI h3

(

π 4 4 I= Dexterior − Dinterior 64 I=

CORTANTE POR TORSIÓN

E=230 000 kg/cm2 =2 300 000 t/m2

,

(

π 4 3 − 2. 6 4 64

)

20

PROBLEMAS RESUELTOS

Calcular la rigidez torsional de la estructura cuya planta se muestra. Calcular el corte por torsión del pórtico A cuando actúa una fuerza cortante de 40t (ubicada en el centro de masas que coincide con el centro geométrico de la planta).

)

De los valores tabulados en la tabla siguiente se puede calcular el centro de rigidez:

=1.7329m4

xR= 6K/3K = 2m yR= 12K/3K = 4m

h= 15m KL =

3 x 2300000 x1.7329 = 3542.82t / m 15 3

Pórtico

KL= 3 542.82 t/m Periodo de vibración en la dirección X: El periodo de vibración de un sistema de un grado de libertad está dado por la siguiente expresión:

T = 2π

m k

m 29 ,11 = 2π k 3542 ,82

Frecuencia Angular:

1 2 A B

2 1 2 1

Suma

3K

0 6 0 0

3K

Yi 0 0 6 0

K x X K x Y delta 0 6 12 0 6K

-2 4 -2 4

delta2 Kdelta2 Kd /ΣKd2 V torsión 4 16 4 16

8 16 8 16

-0.08333 0.08333 -0.08333 0.08333

-3.33 3.33 -3.33 3.33

12K Rigidez torsional= 48 K

El centro de masas está ubicado en coordenadas: 3,3m. Por lo tanto se pueden calcular las distancias de cada eje al C.R.

sustituyendo los valores de m y k (KL) calculados, se obtiene: T = 2π

K K Xi en X en Y

La rigidez torsional obtenida es JT = 48K

T =0,569

La excentricidad de la fuerza aplicada es: 4-3 = 1m. 2π 2π ω= = =11,04 rad/s T 0 ,569

Luego el Momento torsor actuante será: Mt = 40 x 1 = 40 t.m. (positivo antihorario) Vt = M t

u& 10 La máxima amplitud de la vibración cuando se aplica una velocidad inicial es: 0 = ω 11,04

Kδ ∑ Kδ 2

Aplicando la expresión anterior se obtiene para el eje A, Vt = -3.33t

u máx = 0,91

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PROBLEMAS RESUELTOS

A.D.M.E-F.S VOLTEO

La altura de cada piso es 3m. Usar análisis dinámico modal espectral. Considerar solamente los tres primeros modos. Usando los requisitos que exigen la Normas vigentes calcule el factor de seguridad al volteo.

4 3 2 1 Sa, m/s2 Periodo, s Factores de Participación

1er modo 2o. modo

3er. modo

0.64785 0.33298 0.19402 0.06111 1.33 .3291

0.18322 0.40954 -0.39988 -0.49525 1.33 .0842

-0.33500 -0.12600 0.47616 -0.50269 1.33 .0476

3.301338

-1.08191

-0.50391

Masa 2 (t-s /m) 2.5 14.5 18.0 21.9

4

2.50

2.844567 -0.26364 0.224516 7.111417 -0.65911 0.561289 21.33425 -1.97732 1.683867

3

14.50 1.462042

2

18.00 0.851899 0.575402 -0.31912 15.33418 10.35724 -5.74417 237.2029 -26.1295 -4.83422

1

21.90 0.268321 0.712633 0.336901 5.87622 15.60667 7.378127 385.7672 24.15024 5.424869

-0.5893 0.084445 21.19961 -8.54488 1.224448 106.2673 -29.5893 7.041078

Aplicando la combinación modal a los momentos de volteo se obtiene:

Peso

Mv = 0.25(385.76 + 24.25 + 5.42) + 0.75 (385.77) 2 + (24.15) 2 + (5.42) 2 = 393.76 t - m

El momento equilibrante está dado por el peso del edificio por el brazo respecto al punto donde se supone ocurrirá el volteo: Peso , P = Masa x gravedad P= 56.90 x 9.81= 558.10 t 10m

Σ=56.90

Meq. = 550.10 x 10/2 = 2790.95 t-m FS al volteo = 2780.95/393.76 = 7.09 > FS minimo según RNC = 1.5

El factor de seguridad al volteo es =

M equilibrante M volteo

El momento de volteo es el producido por las fuerzas con respecto a la base. Se calcula combinando los momentos de volteo que producen las fuerzas de cada modo. A su vez estas fuerzas se calculan con la expresión Fj,i= Masaj x aceleraciónj,i (piso j, modo i). La aceleración se calcula con la expresión de análisis dinámico modal espectral: U&&i = S ai Γi X i ,

22

Nivel Masa Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 1 Modo 2 Modo 3

Para una estructura de cuatro pisos se ha realizado un análisis dinámico modal espectral y se han obtenido las formas de modo que se consignan

Nivel

PROBLEMAS RESUELTOS

donde: Sai es la aceleración espectral para el modo i,

Γi el factor de participación estática del modo i Xi es la forma del modo i Los factores de participación para cada modo “i” se han obtenido aplicando la siguiente expresión: j =n

T i T i

X MI Γi = = X MX i

∑M j =1

x j ,i

j =n

∑ M (x )

2

j =1

Aceleración

j

j

Fuerzas

j ,i

Mom. flectores Fi x hi Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

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23

PROBLEMAS RESUELTOS

A.D.M.E.S.T–FRZA-MOM.-

Para una estructura de ocho pisos se ha realizado un análisis dinámico modal espectral pseudo tridimensional y se han obtenido las formas de modos y periodos naturales. Las unidades, donde corresponda, están dadas en metros, segundos y toneladas Nivel

Altura de entrepiso

Xo

Yo

Masa

JM

8 7 6 5 4 3 2 1

2.35 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 3.63

5.65 6.53 6.52 6.52 6.52 6.52 6.52 6.52

6.85 9.13 9.18 7.15 7.15 7.15 7.15 7.15

5.50E+00 1.86E+01 1.64E+01 2.45E+01 2.45E+01 2.45E+01 2.45E+01 2.45E+01

1.22E+01 4.91E+02 4.49E+02 8.70E+02 8.70E+02 8.70E+02 8.70E+02 8.70E+02

Nivel 8 7 6 5 4 3 2 1

1.

Modo 1 u v θ .150411 -.002324 -.002557 .135515 -.001693 -.000150 .111281 -.000131 -.001385 .084460 -.000098 -.001070 .062345 -.000077 -.000757 .041452 -.000056 -.000475 .023043 -.000036 -.000243 .008745 -.000017 -.000086 Factores de Participación 10.567320 .000894 -3.772645 T1= .6291 s Sa = 3.026

Mt4 = ( Inercia rotacional4 )x( aceleración rotacional del modo 3, debida al sismo actuando en X) = JM 4 &θ& 4 ,3 = JM 4 S a 3 Γ3 x θ 4 ,3

Modo 3 u v θ .042930 -.029343 .030246 -.020406 .005218 .025814 -.015046 .004462 .020854 .024496 .003479 .016010 .020881 .002700 .011564 .015938 .001913 .007470 .010130 .001181 .004031 .004465 .000559 .001600 Factores de Participación 1.473460 .249888 57.782410 T3= .2686 s Sa = 3.845

F7y = ( Masa7 )x( aceleración en dirección Y del modo 1, debida al sismo actuando en X ) (ver valores encerrados en marco de línea sólida)

F7y = 18.6 x 3.026 x 10.567320 x -.000150 = -0.089 t

2.

Calcular el momento torsor que se produce en el cuarto piso debido al tercer modo, cuando el sismo actúa en la dirección X : Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

(ver valores encerrados en marco punteado)

Mt4 = 870 x 3.845 x 1.473460 x 0.011564 = 57.0t-m

Calcular la fuerza que se produce en el sétimo piso en la dirección Y debida al primer modo, cuando el sismo actúa en la dirección X :

= M 7U&&1,7 , y = M 7 S a 1 Γ1 x v1,7

24

PROBLEMAS RESUELTOS

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PROBLEMAS RESUELTOS

PER-FREC-FORZADO (1GDL) Se tiene una losa rectangular, maciza, simplemente apoyada en sus cuatro bordes de concreto armado (E=230,000 kg/cm2, γconcreto = 2400kg/m3) de 20cm de espesor y de 6m de luz y 4 de ancho. Se desea calcular el periodo de vibración de la losa ante una fuerza vertical de personas saltando sobre la misma. Para representar la losa se puede suponer que está constituida por dos “vigas” de 1m de ancho. También se puede suponer que la masa asociada con la vibración es la dada por la zona central de la viga (un área rectangular de 2m x 3m de lado centrada con la losa). a) Calcular el periodo y frecuencia natural.

De la figura b: m=

3m

P (( 2 x3 x0 ,2 )x 2 400 ) = g 981

ω=

KT = m

14 907 ,5 2 ,936

T=

2π 2π = ω 71,256

f =

1 1 = T 0 ,088

→

→

→

f = 11,34 Hz

SOLUCIÓN : a) Nuestro modelo será: 0.2m 1m 4m

fig. a

KV =

48 EI 3 LV

Rigidez = K T = K V 1 + K V 2

KT =

6m

masa

fig. d : Modelo

fig. b: Planta

; De la figura c:

fig. c: Secc. viga Viga

1

IV =

100 x 20 3 = 66 667 cm 4 12

; Lv1 =600 cm , Lv2 = 400 cm

48 x 250 000 x66 667 48 x 250 000 x66 667 kg + = 3 407 ,42 + 11 500 → K T = 14 907 ,5 600 3 400 3 cm

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m = 2 ,936

ω = 71,256

T = 0 ,088 s

6

1m

→

Calculando lo solicitado, tenemos que:

4

2m

26

PROBLEMAS RESUELTOS

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rad s

kg − s 2 = m1 = m2 cm

27

PROBLEMAS RESUELTOS

FREC-NAT (1GDL)

PROBLEMAS RESUELTOS

Entonces:

φ

1”=2.54cm [Es el diámetro a usar]

La viga doblemente empotrada de la figura es de acero, E= 2 100 000 kg/cm2, I= 4000 cm4. La viga sola es muy flexible y para comodidad de los que transitan sobre ella se desea que tenga una frecuencia natural mayor o igual a 20 Hertz. Para reducir la vibración se puede colocar una varilla de acero al centro de la luz. Determine el diámetro de la varilla (en los valores comerciales usados en nuestro medio) necesario para cumplir con esta condición. El peso colocado al centro es de 2t.

3

10 m

SOLUCIÓN: kg cm 2 I V = 40000 cm 4 E = 250000

P = 2 t = 2000 kg f TOTAL ≥ 20 Hz (Condición)

P

P 2000 kg − s 2 = = 2.039 g 981 cm De la condición : f TOTAL ≥ 20 Hz

m=

ω 1 KT = ≥ 20 Hz 2π 2π m Despejando K T se tiene : K T ≥ (20 x 2π ) m = (20 x 2π ) x 2.039 2

kg kg → K T [mín ] = 32194.4 cm cm despejando : K Varilla = K T − K VigaSola

→

2

Sabenos que K T = K VigaSola + K Varilla

K T ≥ 32194.4

Como : 2100000 x4000 EI = 192 1000 3 L3 Re emplazando : K VigaSola = 192

K Varilla = 32194.4 − 1612.8 Ya que : K Varilla =

EA L

→

→

K VigaSola = 1612.8

K Varilla = 30581.6

despejando " A":

Como la barra es circular : A =

A=

kg cm

kg cm

K Varilla L 2100000

→

A = 4.37 cm 2

πD 2

4 4 A 4 x 4 . 37 Debido a que 1”=2.54cm > 2.36 = diámetro comercial → Despejando " Dse ": debe D = usar un D =y2φ .36 cm

π

π

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29

PROBLEMAS RESUELTOS

PERIODO DE VIBRACIÓN Se tiene un edificio de un piso que en la dirección Y está conformado por dos pórticos a los extremos y otros dos que están conformados por una columna y un muro de albañilería Los muros tienen 25cm de espesor y un módulo de elasticidad de 25 000 kg/cm2. Las columnas son de concreto armado y tienen 25cm x 40cm (E=250 000 kg/cm2). Para facilitar los cálculos se puede suponer que las vigas son de rigidez infinita y las columnas están empotradas en ambos extremos. El peso total a la altura del techo se puede considerar 96 toneladas. La altura total es de 2,4m y la losa del techo tiene 20cm de espesor. Y

4m

30

PROBLEMAS RESUELTOS

∴ K T = 8 x 37565 .65 + 2 x72472 .17 T = 2π

m KT

⇒ T = 2π

con

m=

97.859 445469 .5

4m

4m

2m 8m 2m X

PLANTA

Se desea determinar el periodo de vibración en la dirección Y. kg cm 2 = t = 0 .25 m

E Muros = 25000 espesor Muros

E Columnas = 25000

Y

Viga

Columna

2m

kg cm 2

C 25 x 40 P = 96 t = 96000 kg espesor Losa = e = 0 .20 m

2m

X

Altura Total : 2 .4 m

* Calculando la Rigidez Total ( KT ) : KT = 8xKColumna + 2xKmuro - Cálculo de KColumna = KC :

12 EI C 25 x40 3 como IC = = 133333cm4 3 12 h 12 x 250000 x133333 kg K C = 37565.65 ⇒ KC = → cm ( 240 − 20 ) 3 KC =

- Cálculo de KMuro = KM :

K Muro =

Et 3

⎛h⎞ ⎛h⎞ 4 x⎜ ⎟ + 3 x⎜ ⎟ L ⎝ ⎠ ⎝L⎠

=

2500 x 25 3

⎛ 2.4 − 0.2 ⎞ ⎛ 2.4 − 0.2 ⎞ 4 x⎜ ⎟ + 3 x⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→

K muro = 72472.17

kg cm

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→

→

K T = 445469 .5

P 96000 kg .s 2 = = 97.859 g cm 981 T = 0.093 s

kg cm

31

PROBLEMAS RESUELTOS

32

PROBLEMAS RESUELTOS

FRZA-CORT (NORMA) Considere el edificio con la planta del problema 3. Tiene un total de cinco pisos. La altura del piso típico es 3.00m y la del primero 4m. Está ubicada en Arequipa. Será usada para hospital y está asentada sobre un suelo que ha sido clasificado como flexible. a) Usando el Método de Fuerzas Estáticas Equivalentes de la Norma E-030-97, determinar las fuerzas sísmicas y cortantes en cada piso en la dirección Y. Suponer que el peso de cada piso es 96t. b) Dibujar los diagramas de variación de las fuerzas y cortantes

MODAL - DESPLAZAMIENTO RELATIVO Para una estructura de ocho pisos se ha realizado un análisis dinámico modal espectral pseudo tridimensional y se han obtenido las formas de modos. Se dan también las alturas, las masas y su ubicación correspondiente. Se ha usado el espectro de las Normas Peruanas, con Z=0.4, U=1, S = 1, R = 7.5 . Las unidades, donde corresponda, están expresadas en metros, segundos y toneladas Y A

C

B 6m

8m

3 8m

4 a 3m

2 60°

8m

4m

SOLUCIÓN:

1 X

PLANTA

Cortantes y fuerzas

Ubicación:

Arequipa

Zona 3

Z=0,4

Uso:

Hospital

Categoría A

U=1,5

Suelo:

Flexible

Perfil S3

S=1,4 y Tp=0,9s

a)

Determine el desplazamiento relativo del pórtico del eje C en el octavo piso cuando el sismo actúa en la dirección Y DEBIDO SOLAMENTE A LA CONTRIBUCIÓN DE LOS MODOS: 2, 5 y 8 que se consignan a continuación.

b)

Usando los requisitos que exige la Norma E-030 para este cálculo compare con el máximo permitido en ella. Si la estructura es de albañilería, diga si está dentro del admisible.

R = 6 ( ya que es Albañilería ) T=

hn 4 x3 + 1x4 = = 0 ,356 s CT 45

T > 1 ⇒ C = 2 ,5 Tp Peso( P ) : P = 5 x96 ⇒ P = 2 ,5

Nivel

Altura de entrepiso

8 7

2.80 2.80

Xo

Yo

5.65 6.53

6.85 9.13

Masa

Jm

5.50E+00 1.86E+01

1.22E+01 4.91E+02

Como

Aplicando la expresión para calcular los desplazamientos del centro de masas en los pisos 7 y 8, en cada grado de libertad Yi = S di Γi X i

ZUSC 0 ,4 x1,5 x1,4 x 2 ,5 P= P R 6 ⇒ V = 168t Luego : V =

Nivel i

Pi(t)

hi(m)

Pi x hi

5 4 3 2 1

96 96 96 96 96 480 t

16 13 10 7 4

1536 1248 960 672 384 4800 t-m

⇒ V = 0 ,35 P = 0 ,35 x480

Fi(t) Fuerza 53,70 43,68 33,60 23,52 13,44 Σ = V = 168 t

Vi(t) Cortante 53,70 97,38 130,98 154,50 167,94

Como el sismo actúa en la dirección Y, se considera el Γiy Niv.

u

Modo 2: v

θ

u

Modo 5: v

θ

u

Modo 8 v

θ

8 7 6 5 4 3 2 1

-.000208 .000141 -.000043 -.000382 -.000345 -.000275 -.000183 -.000087

.165689 .135932 .109497 .083753 .060112 .038590 .020628 .007910

-.001754 -.000263 -.000172 -.000102 -.000047 -.000007 .000018 .000021

-.005424 .002203 .003071 -.000858 -.001244 -.001396 -.001179 -.000641

-.387093 .038832 .042678 .042325 .036694 .027914 .017580 .008045

.019236 -.001376 -.001643 -.001644 -.001413 -.001059 -.000654 -.000294

.040642 -.017929 .000297 .009285 .003273 -.005741 -.011073 -.008863

.044869 -.087071 -.026776 .025389 .055596 .065261 .054479 .030614

.025453 .017318 .005379 -.004710 -.010231 -.012006 -.010078 -.005783

Factores de Participación -.030469 10.40768 -.329139

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

INGENIERÍA ANTISÍSMICA

Factores de Participación -.069083 2.544637 -5.58289

Factores de Participación -.426295 3.868685 -26.0217

33

PROBLEMAS RESUELTOS Sd2=3.240E03

T2 =.6291 s

T5 =.2686 s

Sd5=5.417E04

T8 = .2686 s

Sd8 = 1.649E4

El resultado es el siguiente: Nivel 8 7

U0 -7.01E-6 4.75E-6

Modo 2: V0 5.59E03 4.58E03

θ0

U0

Modo 5: V0

-5.91E-5

-7.48E-6

-5.34E-4

2.65E-5

2.59E-5

2.86E-5

1.62E-5

-8.87E-6

3.04E-6

5.35E-5

-1.90E-6

-1.14E-5

-5.55E-5

1.10E-5

θ0

U0

Modo 8 V0

θ0

COCIENTE DE RAYLEIGH

Considere un sistema de cuatro grados de libertad. Estime el período fundamental utilizando el cociente de Rayleigh.

M4

Nivel

y

d A ,7 = (x A − x0 ,7 )senα A − ( y A − y0 ,7 )cos α A

d, eje A, piso 8 d, eje A, piso 7

Piso 8 7

xA 0 0

yA 0 0

xo 5.65 6.53

Pesos (t) 50 50 50 40

1 2 3 4

Para cada modo, se puede calcular:

d A ,8 = (x A − x0 ,8 )senα A − ( y A − y0 ,8 )cos α A

yo 6.85 9.13

alfa A 90 90

M3 K3

⎛ n 2⎞ ⎜ ∑ M i Di ⎟ i =1 ⎠ ⎝ T = 2π ⎞ ⎛ n ⎜ ∑ Fi Di ⎟ ⎠ ⎝ i =1

M2 K2 M1

Nive Pesos Masas Rigideces Fuerzas Cortantes Distorsión Desplaz. (t/m) l (t) (t-s2/m)

K1

-6.83E-04 6.59E-05

Modo 8 -6.31E-05 -1.28E-04

M d2

40

4.077

5000

40000

40000

8.0000

51.3333

3

50

5.097

6000

30000

70000

11.6667

43.3333 13000000.00 9570.733

2

50

5.097

6000

20000

90000

15.0000

31.6667

633333.33 5110.998

1

50

5.097

6000

10000

100000

16.6667

16.6667

166666.67 1415.789

Σ

4153333.33 26842.11

Periodo ( T ): 0.505 s Frecuencia: 12.439 r/s

∑ (Ri )

2

Desplazamientos relativos del eje C Modo 2 Modo 5 Modo 8 1.28E-03 -7.49E-04 6.45E-05 m 0.00163668 cm 0.16366824 El desplazamiento real será igual al calculado por R : 0,164 x 7.5 =1.23cm b) El desplazamiento relativo admisible, para una edificación de albañilería es 0.005 x hei Para el nivel 8, he2 = 280cm. Luego 0.005 x 280 = 1.40cm. El desplazamiento obtenido es menor que el admisible. Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

Fxd

4

Finalmente para cada modo calcular el desplazamiento relativo restando ambos valores y luego combinarlos mediante la expresión para la combinación modal.

R = 0.25∑ Ri + 0.75

K4

Cálculo del período fundamental usando el Cociente de Rayleigh

y

Desplazamientos del eje A Modo 2 Modo 5 5.92E-03 4.64E-03

La fórmula para el cociente de Rayleigh aplicable es:

Incluida en la Norma E-030, con la variante Pi=Mig

-5,650 -6,520

δ A , piso7 = u0 ,7 cos α A + v0 ,7 senα A + θ0 ,7 d A , piso7

Nivel 8 7

Rigidez (t/cm) 60 60 60 50

dA,j

y luego:

δ A , piso 8 = u0 ,8 cos α A + v0 ,8 senα A + θ0 ,8 d A , piso 8

34

PROBLEMAS RESUELTOS

INGENIERÍA ANTISÍSMICA

2053333.33 10744.592

35

PROBLEMAS RESUELTOS

CORTANTE EN LA BASE

36

PROBLEMAS RESUELTOS

C, coeficiente de amplificación sísmica (espectro).

La estructura cuya planta se muestra está ubicada en Piura. Será usada para un centro comercial y está asentada sobre un suelo que ha sido clasificado como intermedio. La estructura es a base de placas de concreto. Tiene un total de cuatro pisos. Se puede considerar que el peso propio más peso muerto por piso es 800 kg/m2 y recibe una sobrecarga de 500 kg/m2 en el piso típico y 150 kg/m2 en la azotea. La altura del primer piso es 3.5m y los otros tres pisos son de 3m. 5m 15m

5m

15m

Determine: a) El cortante en la base, usando el método de fuerzas estáticas equivalentes. b) Calcule las fuerzas que se deben aplicar en cada nivel. a) V, El cortante en la base por el método de fuerzas estáticas equivalentes está dado por:

1,25

⎛ Tp ⎞ C = 2 ,5 * ⎜ ⎟ ⎝T ⎠

ZUSC P R

PESO Area de cada piso: 15x15 + 5x5 = 250m2 Edificio categoría B, El porcentaje de sobrecarga es 50% en el piso típico y 25% en la azotea. Siempre el porcentaje de S/C en los techos es25% independientemente de la categoría de la edificación. Carga por metro cuadrado: Piso típico: 800+ 0,5 x 500= 1 050 kg/m2. Azotea: 800+0,25x150= 837,5 kg/m2 Piso típico: 250 x 1 050 = 262 500 kg = 262,5 t Azotea: 250 x 837,5 = 209 375 kg = 209,37 t Peso total: 3 x 262,5 + 209,37 = 996,87 t

Luego el cortante en la base será:

T = hn CT

hn = altura total del edificio=3,5 + 3 x 3 = 12,5m CT = 60 (Según la Norma, CT = 60 para estructuras de mampostería y para todos los edificios de concreto armado cuyos elementos sismorresistentes sean fundamentalmente muros de corte) T=

0 ,4 x1,3 x1,2 x 2 ,5 P = 0,277P = 0,277 x 996,87 = 276,47t 5 ,625

b) La distribución de fuerzas en altura está dada por la siguiente expresión:

Z, factor de zona. Ubicación: Piura, corresponde a la Zona 3, factor de zona Z= 0,4 U, factor de uso. Centro comercial, clasifica como categoría B, edificaciones importantes. U=1,3 S, factor de suelo. El suelo ha sido clasificado como intermedio, suelo tipo S2, S=1,2 y Tp=0,6 R, factor de reducción de la respuesta. Como la estructura es a base de placas le corresponde R= 7,5. Sin embargo por tener esquinas entrantes mayores al 20% (5m de 25 y 10 de 15m) debe ser clasificada como irregular, el valor de R a considerar será = 0,75 x 7,5 = 5,625. T, período de vibración:

C ≤ 2 ,5

Para los datos del problema, como T < Tp, la fórmula resulta en C > que 2,5. Luego se debe tomar C= 2,5

V=

V=

,

Fi =

( V − Fa )

∑ Pj h j j =1

Como T