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EJERCICIO RESUELTO. En una facultad 200 alumnos han aprobado por curso una asignatura. Se hace una entrevista a una muestra de 25 alumnos elegidos mediante M.A.S, y se obtiene que 18 alumnos están satisfechos con la enseñanza recibida, y el número de horas de estudio viene dado por la siguiente distribución:

1. Estimar la proporción de alumnos satisfechos y su error de muestreo. ¿Cuál será el número total de alumnos satisfechos? 2. Estimar la media del número de horas de estudio por alumno, su error de muestreo y dar un intervalo de confianza para dicha media al nivel del 95%. ¿Cuál se estima que será el total de horas estudiadas por todos los alumnos? 3. Repetir los apartados anteriores suponiendo que la información se ha obtenido mediante una muestra aleatoria con reposición. Solución. Para estimar la proporción de alumnos satisfechos con la enseñanza recibida determinamos la proporción de alumnos en la muestra que están satisfechos con ella 18

p= 25=0,72 Se estima que un 72% de los alumnos de la facultad que han aprobado por curso la asignatura están satisfechos con la enseñanza recibida. El error de muestreo asociado a esta estimación será estimado de la siguiente forma

Teniendo en cuenta que la proporción estimada de alumnos satisfechos es del 72% y que la población de interés consta de 200 alumnos; el total de la clase, es decir, el total de alumnos satisfechos se estima mediante

Se estima un total de 144 alumnos satisfechos. Para estimar el número medio de horas de estudio por alumno calcularemos la media muestral para la distribución del número de horas de estudio observada

Es decir, se estiman 21.6 horas de estudio por término medio por alumno. Para estimar el error de muestreo asociado calculamos en primer lugar la cuasi varianza muestral del número de horas. ELABORADO: JIMENEZ CLINTON AULA: 29

Entonces el error de muestreo asociado se estimará como:

Un intervalo de confianza al nivel de confianza del 95% para el número medio de horas de estudio se construye partiendo de la siguiente expresión.

Si el nivel de confianza requerido es del 95% entonces α/2=0.025 y el cuantil de la distribución normal estándar a considerar es Z0.975 =1.96. Por tanto, el intervalo de confianza sería. (21.6-1.96*1.0706, 21.6+1.96*1.0706) = (19.5016, 236983) Es decir, aproximadamente entre 20 y 24 horas de estudio como media han invertido los alumnos en aprobar la asignatura. Para estimar el total de horas estudiadas por los alumnos basta con tener en cuenta que: 𝑋̂ = 𝑁𝑥 = 200 ∗ 21.6 = 4320

Por lo tanto se estima que los alumnos de la facultad han necesitado 4320 horas de estudio para aprobar por curso la asignatura. Puesto que para el muestreo aleatorio con reposición los estimadores lineales e insesgados de los parámetros usuales son los mismos que para el muestreo aleatorio simple, pasamos a estimar el error de muestreo asociado a la estimación de la proporción de alumnos satisfechos con la enseñanza recibida.

La estimación del número medio de horas de estudio por alumno es 𝑋̂ = 21,6 horas, pero con una estimación del error igual a

Con esta información el número medio de horas de estudio real se encuentra, con una confianza del 95%, en el intervalo (19.5016, 236983). FUENTE: MUESTREO, muestreo aleatorio simple, ejercicio 2,2 pág. 50, http://bvirtual.uce.edu.ec:2054/lib/bgeneralucesp/reader.action?docID=10084107&ppg=61. ELABORADO: JIMENEZ CLINTON AULA: 29

Ejercicio propuesto La siguiente tabla muestra la distribución de una muestra aleatoria de 400 truchas cafés de un gran río., según la longitud y el sector donde fueron extraídas.

a) Si se desea estimar la proporción de truchas de longitud bajo el promedio en el sector alto del río, usando una confianza de 95% y un error no mayor a 0.05 ¿Cuántas truchas se debe extraer del sector alto del río? b) b) Si se desea estimar la proporción de truchas del sector alto del río cuya longitud está bajo el promedio con una confianza de 95% y un error de estimación no mayor a 0.05 ¿Cuántas truchas con longitud bajo el promedio se debe elegir? SOLUCION. Literal a) Para la resolución del presente ejercicio realizamos los siguientes pasos:   

Se trasladamos los datos a una hoja de Excel. Se determina la formula a utilizarse. Se realiza los cálculos para la determinación de nuestra n o en este caso la respuesta que se desea encontrar.

FORMULA:

𝒏=

𝒁𝟐𝜶/𝟐 ∗ 𝒑 ∗ 𝒒 ∗ 𝑵 𝒆𝟐 ∗ 𝑵 + 𝒁𝟐𝜶/𝟐 ∗ 𝒑 ∗ 𝒒

SECTOR ALTO q p p*q N Zα/2 = e n

0,67 0,33 0,2211 400 0,95 0,05 183,711036

1,96 0,05

3,8416 0,0025

ELABORADO: JIMENEZ CLINTON AULA: 29

Literal b) Para la resolución del presente ejercicio realizamos los siguientes pasos:   

Se trasladamos los datos a una hoja de Excel. Se determina la formula a utilizarse. Se realiza los cálculos para la determinación de nuestra n o en este caso la respuesta que se desea encontrar.

FORMULA:

𝒏=

𝒁𝟐𝜶/𝟐 ∗𝒑∗𝒒∗𝑵 𝒆𝟐 ∗𝑵+𝒁𝟐𝜶/𝟐 ∗𝒑∗𝒒

LONGUITUD BAJO EL PROMEDIO q 0,25 p 0,75 p*q 0,1875 N 400 Zα/2 = 0,95 e 0,05 n 167,482416

1,96 0,05

3,8416 0,0025

BIBLIOFRAFIA: apuntes de muestreo, ejercicios de repaso # 3, Pág. 4, http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/jreyes/DOCENCIA/APUNTES/APU NTES%20PDF/Unidad%207%20Muestreo.pdf.

ELABORADO: JIMENEZ CLINTON AULA: 29