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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL ESTÁTICA TEMA

:

DESARROLLO DE LA SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA DOCENTE: ING. TARSICIO VALDERRAMA SORIANO ALUMNOS :  ALTAMIRANO SEGURA, Roiser  CARRERA TERRONES, José Wilson  VASQUEZ AGIP, José Kevins

CICLO

: VACACIONAL

FECHA

: Cajamarca febrero de 2015

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

PROBLEMA UNICO: Hallar el centro de gravedad del área que se muestra en la figura.

1 CB 3 3 CL  BA 5 FG  16.314899953 KB 

VQ  4m VE  VS  160

VA Es altura del AFD Tímpano circula de radio 4 m DESARROLLO DEL EJERCICIO.

1. HALLAMOS LAS COORDENADAS DE TODOS LOS PUNTOS DE LA FIGURA CENTRO DE GRAVEDAD

2

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a. Hallamos el punto L 3 |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA| AL| = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 5

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = (-11, 3, -3) |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB| = 11.78982612 𝑢|AB| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−0.93300782, 0.25445668, −0.25445668) |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AL| = 7.07389567 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐿 = (-6.6, 1.8, -1.8) L = A +|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AL| L = (-9.1, 25.3, -11.8)

b. Hallamos el punto C, en el rectángulo ABCD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 = (3.75, −3.55, −17.3) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD| = 18.05422388 𝑢|AD| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0.207707, -0.196630, -0.958224) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC| = 18.05422388 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 = (3.75, -3.55, -17.3) ⃗⃗⃗⃗⃗ + B C = 𝐵𝐶 C = (-9.75, 22.95, -30.3)

c. Hallamos el punto K 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |KB| = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CB| 3

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 = (3.75, −3.55, −17.3) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC| = 18.05422388 𝑢|BC| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0.207707, -0.196630, -0.958224) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |KB| = 6.01807463 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐵 KB|. 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐵 = (1.25, −1.18333333, −5.76666667) K = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝐵 + 𝐵 K = (-12.25, 25.31666667, -18.76666667)

d. Hallamos el punto I ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CI| = 4

CENTRO DE GRAVEDAD

3

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𝑢|CB| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (-0.207707, 0.196630, 0.958224) ⃗⃗⃗⃗⃗ |CI|. 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐼 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CB|

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐼 = (−0.83083051, 0.78651955, 3.83284808) 𝐼 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐼 + 𝐶 I = (-10.58083051, 23.73651955, -26.46710192)

e. Hallamos el punto H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CH| = 4 𝑢|CD| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0.933008, -0.254457, 0.254457) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CH|. 𝑢|CD| 𝐶𝐻 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐻 = (3.73203129, −1.01782672, 1.01782671) 𝐻 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐻 + 𝐶 H = (-6.01796871, 21.93217328, -29.28217328)

f. Hallamos el punto J |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ HJ| = 4 𝑢|CI| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (-0.20770761, 0.19662989, 0.95812452) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻𝐽 = |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ HJ|. 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CI|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐻 = (-0.83083051, 0.78651955, 3.83284808) 𝐽 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻𝐽 + 𝐻 J = (-6.8487992274, 22.71869283, -25.44927521)

g. Hallamos el punto F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |FG| = 16.31489995 F = (X, Y, Z) G = (-4, 26.4067345724, 21.1765433395) Se tiene la siguiente ecuación: (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 26.40673457)2 + (𝑧 − 21.17654334)2 = (16.31489995)2 …. (1) En el plano GFA, se tiene: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐴. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐺 = |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ FA|. |FG|. cos(90°) = 0 2 𝑥 + 6.3𝑥 + 𝑦 2 − 49.90673457𝑦 + 𝑧 2 − 11.17654334𝑧 + 418.7928290 = 0 … (2) En el plano FAGD, se tiene: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐹 . (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐺 𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 ) = 0 CENTRO DE GRAVEDAD

4

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60.39022075X + 90.96203752Y – 5.57525465Z = 2042.38487638…………… (3) De las ecuaciones (1), (2) y (3) se tiene: X=8 Y = 18 Z = 14 F = (8, 18, 14)

h. Hallamos el punto V ⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝐴 𝑉𝐹 = 0 2 𝑋 − 5.5𝑋 + 𝑌 2 − 41.5𝑌 + 𝑍 2 − 4𝑍 + 263 = 0 … … … … … … . . (4) ⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑉𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 𝑉𝐷 𝑋 2 1.25𝑋 + 𝑌2 − 43.45𝑌 + 𝑍 2 + 37.3𝑍 + 738.7 = 0 … … … … . . (5) En el plano AFVD se tiene: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑉 . (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐹 𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 ) = 0 180.35X + 271.65Y - 16.65Z – 6099.4 = 0……………………………………… (6) De las ecuaciones (4), (5) y (6) se tiene: X = 3.87397546 Y = 19.19196264 Z = -11.24515756 V = (3.87397546, 19.19196264, -11.24515756)

i.

Hallamos el punto Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |VQ| = 4 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |VA| = (-0.81786782, 0.55277984, 0.15977066) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝑄 = |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ VQ|. 𝑢|VA| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝑄 = (−3.27147130, 2.21111937, 0.63908266) 𝑄 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝑄 + 𝑉 Q = (0.60250416, 21.40308201, -10.60607489)

j.

Hallamos los puntos E y S ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |VE| = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |VS| = √160 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |FD| = (−0.16112332, 0.04654674, −0.98583603 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |VE|. 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝐸 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |FD|

CENTRO DE GRAVEDAD

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⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝐸 = (−2.03806673, 0.58877483, −12.46994801) 𝐸 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝐸 + 𝑉 E = (1.83590873, 19.78073748, -23.71510656)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |SV|. 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑆𝑉 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |FD| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝐸 = (−2.03806673, 0.58877483, −12.46994901) 𝑆 = 𝑉 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑆𝑉 S = (5.91204218, 18.60318781, 1.22479145)

k. Hallamos el punto T |TV|)2 + (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |VS|)2 = (|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ TS|)2 |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ TS| = |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ TV| + 4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |VS| = √160 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |TV| = 18 𝑢|AV| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0.81786782, -0.55277984, -0.15977067) ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |TV|. 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝑇 |AV| ⃗⃗⃗⃗⃗ = (14.72162087, -9.95003715, -2.87587199) 𝑉𝑇 𝑇 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝑇 + 𝑉 T = (18.59559633, 9.24192549, -14.12102955)

l.

Hallamos el ángulo α 𝑉𝑆

α = arctan (𝑇𝑉) α = 35.0968012276°

̅̅̅̅̅̅ HALLANDO EL CENTRO DE GRAVEDAD DE LA ENJUTA PARABOLICA 𝑨𝑭𝑮

CENTRO DE GRAVEDAD

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𝑨𝑹𝑬𝑨 =

𝑨∗𝑯 𝟑

AREA=145.5697907 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶 ′| = 4 |𝐴𝐹|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶 ′| = 20.0756 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 ′ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶 ′|µ𝐴𝐹 C’ (3.375, 19.375, 8) ′ 𝐺 | = 3 |𝐹𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐶 10

′ 𝐺 | = 4.89447 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐶 ′ 𝐺 |µ𝐹𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶′𝐺

G (1.775, 21.8970203717, 10.1529630018)

CENTRO DE GRAVEDAD

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HALLANDO EL CENTRO DE GRAVEDAD DEL RECTANGULO ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑨𝑩𝑪𝑫

𝑨𝑹𝑬𝑨 = 𝑩 ∗ 𝑯 AREA= 212.8561603524 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′| = 1 |𝐷𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐷𝐶 2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′| = 5.89491 |𝐷𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝐷𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′|µ𝐷𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶′ C’ (-4.25, 21.45, -28.8)

′ 𝐺 | = 1 |𝐶𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐶 2

′ 𝐺 | = 9.02711 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐶 ′ 𝐺 |µ𝐹𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶′𝐺

G (-6.125, 23.225, -20.15)

CENTRO DE GRAVEDAD

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HALLANDO EL CENTRO DE GRAVEDAD DEL TIMPANO CIRCULAR ̅̅̅̅̅̅ 𝑯𝑪𝑰

𝝅

𝑨𝑹𝑬𝑨 = 𝑹𝟐 − 𝟒 𝑹𝟐 AREA = 3.4336293856 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′| = |𝐻𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 2|𝐻𝐶 3∗(4−𝜋)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′| = 3.106528244 |𝐻𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝐻𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′|µ𝐻𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻𝐶′ C’ (-8.9163838625, 22.722650144, -30.072650144)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

′ 𝐺 | = 4 − 2|𝐻𝐶 | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐶 3∗(4−𝜋) ′ 𝐺 | = 0.893471756 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐶 ′ 𝐺 |µ𝐶𝐼 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝐶′𝐺

G (-9.10196476, 22.898333395, 29.21650360)

CENTRO DE GRAVEDAD

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HALLANDO EL CENTRO DE GRAVEDAD DE LA SEMIPARABOLA ̅̅̅̅̅̅ 𝑩𝑳𝑲

𝑨𝑹𝑬𝑨 =

𝟐∗𝑩𝑯 𝟑

AREA = 30.675058328 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′| = 5 |𝐵𝐿 ⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐵𝐶 8

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′| = 2.94746 |𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′|µ𝐵𝐿 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶′ C’ (-10.75, 25.75, -12.25)

′ 𝐺 | = 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐶 |𝐵𝐾| 5 ′ 𝐺 | = 3.61084 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐶 ′ 𝐺 |µ𝐵𝐾 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶′𝐺

G (-10, 25.04, -15.71)

CENTRO DE GRAVEDAD

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HALLANDO EL CENTRO DE GRAVEDAD DEL TRIANGULO ̅̅̅̅̅̅ 𝑭𝑨𝑫

𝑨𝑹𝑬𝑨 =

𝑩𝑯 𝟐

AREA = 163.2460317282 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ | + |𝐹𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ |) |𝐹𝐶′| = (|𝐹𝑉 3

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′| = 22.50041440 |𝐹𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′|µ𝐹𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐶′ = |𝐹𝐶 C’ (4.3746584865, 19.0473208817, -8.1817191864)

′ 𝐺 | = 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐶 |𝐴𝑉| 3 ′ 𝐺 | = 2.59780177 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐶 ′ 𝐺 |µ𝑉𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶′𝐺

G (2.250, 20.483333334, -7.766666667)

CENTRO DE GRAVEDAD

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HALLANDO EL CENTRO DE GRAVEDAD DEL SEGMENTO CIRCULAR ̅̅̅̅̅̅ 𝑺𝑻𝑬

𝑨𝑹𝑬𝑨 = 𝑹𝟐 𝜽 − 𝑹𝟐 𝑺𝒆𝒏𝜽𝑪𝒐𝒔𝜽 AREA = 68.792501824 𝜽 𝑬𝑵 𝑹𝑨𝑫𝑰𝑨𝑵𝑬𝑺 ⃐⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟕𝟎. 𝟏𝟗𝟑𝟔𝟎𝟐𝟒𝟓 , ⃐⃗⃗⃗⃗⃗ ⃐⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟐𝟐 = 𝑹 EL ANGULO DE 𝑺𝑻𝑬 𝑻𝑺 = 𝑻𝑬 𝟐𝜽 = 𝟕𝟎. 𝟏𝟗𝟑𝟔𝟎𝟐𝟒𝟓 𝜽 = 𝟎. 𝟔𝟏𝟐𝟓𝟓𝟒𝟕𝟑𝟖𝟑 ⃐𝑿⃗⃗ = 𝟐𝑹(𝑺𝒆𝒏𝜽)^𝟑 𝟑∗(𝜽−𝑺𝒆𝒏𝜽𝑪𝒐𝒔𝜽) 𝟐∗𝟐𝟐(𝑺𝒆𝒏𝟑𝟓.𝟎𝟗𝟔𝟖)^𝟑 ⃐𝑿⃗⃗ = = 𝟏𝟗. 𝟔𝟏𝟑𝟏𝟔𝟏𝟕𝟗𝟏𝟕𝟖𝟖 , 𝟑∗(𝟎.𝟔𝟏𝟐𝟓𝟓𝟓−𝑺𝒆𝒏(𝟑𝟓.𝟎𝟗𝟔𝟖)𝑪𝒐𝒔(𝟑𝟓.𝟎𝟗𝟔𝟖)

⃐⃗ = 𝟎 𝒀 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 19.613161791788 |𝑇𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑇𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ |µ𝑇𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑇𝐺 G (2.554622331822, 20.08368596503, -10.9874216248889)

CENTRO DE GRAVEDAD

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𝑍̅

𝑋̅*A

𝑌̅*A

𝑍̅*A

1.775000

𝑌̅ 21.897020

10.152963

258.3863785

3187.54467

1477.9647

-6.125000

23.225000

-20.150000

-1303.74398

4943.58432

-4289.05163

-3.433629

-9.101965

22.898333

29.216504

31.25277367

-78.6243904

-100.318645

-10.000000

25.040000

-15.710000

306.7505833

-768.103461

481.905166

TRIANGULO

-30.675058 163.246032

2.250000

20.483333

-7.766667

367.3035714

3343.82288

-1267.87751

SEGMENTO CIRCULAR

-68.792502

2.554622

20.083686

-10.987422

-175.738861

-1381.60700

755.852222

SUMA

418.770793

-515.789537

9246.61703

-2941.5257

FIGURA ENJUTA PARABOLICA RECTANGULO TIMPANO CIRCULAR SEMIPARABOLA

AREA A

𝑋̅

145.569791 212.856160

Entonces el centro de gravedad de la figura es: t 6

X 

 Ai * X t 1 t 6

 Ai

 -1.23167505

t 1

t 6

Y

 Ai * Y t 1 t 6

 Ai

 22.08037708

t 1

t 6

Z

 Ai * Z t 1 t 6

 Ai

 -7.02419020

t 1

CENTRO DE GRAVEDAD

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