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Física (fluidos, acústica y calor) Informe “Centro de Gravedad” Autores: Alex Arce Alexis Vintimilla Docente: Ing. Andrés Vázquez Fecha: 29/09/2016 Ciclo Lectivo: Septiembre 2016 – Febrero 2017

Introducción El centro de masa de un sistema de partículas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sometido a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el mismo. Se utiliza para describir el movimiento de traslación de un sistema de partículas. El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.

Objetivos: 1. Considerar una figura en 2D que tenga como subconjuntos diferentes figuras geométricas conocida. 2. Realizar un estudio de centros de gravedad de cada figura de la cual se compone la figura total. 3. Calcular el centro de gravedad de la figura y demostrarlo de forma física el punto de equilibrio.

Marco teórico En física, además del centro de gravedad aparecen los conceptos de centro de masa y de centro geométrico o centroide que, aunque pueden coincidir con el centro de gravedad, son conceptualmente diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio. Centro de masa y centro de gravedad: El centro de masa coincide con el centro de gravedad cuando el cuerpo está en un campo gravitatorio uniforme. Es decir, cuando el campo gravitatorio es de magnitud y dirección constante en toda la extensión del cuerpo. A los efectos prácticos esta coincidencia se cumple con precisión aceptable para casi todos los cuerpos que están sobre la superficie terrestre, incluso para una locomotora o un gran edificio, puesto que la disminución de la intensidad gravitatoria es muy pequeña en toda la extensión de estos cuerpos. Centro geométrico y centro de masa: El centro geométrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de materia en el sistema tiene ciertas propiedades, tales como simetría.

“En la mayoría de los problemas de equilibrio, una de las fuerzas que actúa sobre un cuerpo es su peso. Es necesario poder calcular la torca de esta fuerza. El peso no actúa en un solo punto; se distribuye en todo el cuerpo. No obstante, siempre se puede calcular la torca debida al peso del cuerpo, suponiendo que toda la fuerza de la gravedad (el peso) se concentra en un solo punto llamado centro de gravedad abreviado (c.g). La aceleración debida a la gravedad disminuye con la altura; son embargo, si esta variación a lo largo de la dimensión vertical del cuerpo es despreciable, el centro de gravedad es idéntico al centro de masa (cm).”

Propiedades La resultante de todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre las partículas que constituyen un cuerpo puede reemplazarse por una fuerza única, 𝑴𝒈 esto es, el propio peso del cuerpo, aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. Esto equivale a decir que los efectos de todas las fuerzas gravitatorias individuales (sobre las partículas) pueden contrarrestarse por una sola fuerza, −𝑴𝒈, tal de que sea aplicada en el centro de gravedad del cuerpo, como se indica en la figura. Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio estable si la vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo. Lo expresamos diciendo que el c.g. se proyecta verticalmente dentro de la base de apoyo. Además, si el cuerpo se aleja ligeramente de la posición de equilibrio, aparecerá un momento restaurador y recuperará la posición de equilibrio inicial. No obstante, si se aleja más de la posición de equilibrio, el centro de gravedad puede caer fuera de la base de apoyo y, en estas condiciones, no habrá un momento restaurador y el cuerpo abandona definitivamente la posición de equilibrio inicial mediante una rotación que le llevará a una nueva posición de equilibrio.

Fórmulas

Cálculos de centro de gravedad

De esta forma calculamos el área y el centro de masa de cada figura geométrica. Para un área semicircular por ejemplo tenemos el centro de masa de la siguiente forma: x

y

área

Para nuestra figura:

Calculamos el área de cada figura geométrica y su centro de masa medido desde el mismo origen, luego multiplicamos el área con las coordenadas x y y correspondientes. Así procedemos con las sumatoria y obtenemos el centro de masa de nuestra figura en estudio dividiendo la sumatoria de el área por el centro geométrico para el área total de la figura.

componente

área

x

y

x*A

y*A

cuadrado 1 semicírculo 2 rectángulo 3 triangulo 4 triangulo 5 triangulo 6

256 39,2699082 24 16 32 -18

8 5 17 17,3333333 18,6666667 5

8 18,1220659 18 13,3333333 2,66666667 4

2048 196,349541 408 277,333333 597,333333 -90

2048 711,651864 432 213,333333 85,3333333 -72

sumatoria

349,269908

3437,01621

3418,31853

X=3347.01/349.269=

9,84057351

Y=3418.31/349.269=

9,78703991

Que corresponden a las coordenadas del centro de gravedad de nuestra figura. Bibliografía    

Young, H., Freedman, R., Ford, A. and Sears, F. (2004). Sears and Zemansky's university physics. San Francisco: Pearson Addison Wesley. Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics. Nueva York: John Wiley & Sons. Beer, F., Johnston, E., Eisenberg, E. and Vilardell, J. (1997). Mé canica vectorial para ingenieros. Madrid [etc,]: McGraw-Hill. Acer.forestales.upm.es. (2016). Dinámica de un sistema de partículas. Centro de masa. [online] Available at: http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/dinamsist/cdm.html