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Centros de gravedad

5th December 2011

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Centros de gravedad

Introducción Hasta ahora se ha supuesto que la atracción ejercida por la Tierra sobre un cuerpo rígido podía representarse por una sola fuerza W. Esta fuerza, denominada fuerza de gravedad o peso del cuerpo, debía aplicarse en el centro de gravedad del cuerpo. De hecho, la Tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que constituyen al cuerpo. En este sentido, la acción de la Tierra sobre un cuerpo rígido debe representarse por un gran número de pequeñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo. Sin embargo, la totalidad de dichas fuerzas pequeñas puede ser reemplazada por una sola fuerza equivalente W.

Conceptos relacionados a centro de gravedad: Por ejemplo, si consideramos dos puntos materiales A y B, cuyas masas respectivas valgan m1 y m2; además los suponemos rígidamente unidos por una varilla de masa despreciable, a fin de poder considerarlos como formando parte de un cuerpo sólido. La gravedad ejerce sobre dichos puntos sendas fuerzas paralelas m1g y m2g que admiten una resultante cuyo punto de aplicación recibe el nombre de centro de gravedad o centroide.

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En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo. Centro de masa y centro de gravedad: El centro de masas coincide con el centro de gravedad sólo si el campo gravitatorio es uniforme; es decir, viene dado en todos los puntos del campo gravitatorio por un vector de magnitud y dirección constante. Centro geométrico y centro de masa: El centro de geométrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogéneo (densidad uniforme) o si la distribución de materia en el objeto tiene ciertas propiedades, tales como simetría.

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Propiedades del centro de gravedad: Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio estable si la vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo. Lo expresamos diciendo que el CG cae dentro de la base de apoyo. Además, si el cuerpo se aleja algo de la posición de equilibrio, aparecerá un momento restaurador y recuperará la posición de equilibrio inicial. No obstante, si se aleja más de la posición de equilibrio, el centro de gravedad puede caer fuera de la base de apoyo y, en estas condiciones, no habrá un momento restaurador y el cuerpo abandona definitivamente la posición de equilibrio inicial mediante una rotación que le llevará a una nueva posición de equilibrio. Tabla de centros de gravedad:

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Teoremas de Pappus-Guldin: TEOREMA I. El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie. TEOREMA II. El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo.

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Formas experimentales de hallar el centro de gravedad Hallar el centro de gravedad experimentalmente de una varilla:

Hallar el centro de gravedad experimentalmente de un objeto plano: Se puede colgar el objeto plano de un punto cualquiera A y lo soltamos. Cuando el objeto alcanza el

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equilibrio es cuando el centro de gravedad se encuentra en la vertical justo debajo del punto A (recta que une A con G) Si ahora colgamos el objeto de otro punto diferente, punto B, y repetimos el proceso, obtendríamos otra línea, la que une B con G. El centro de gravedad sería el punto de intersección entre estas dos líneas.

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Hallar el centro de gravedad experimentalmente de un objeto con volumen con autocad :

http://www.youtube.com/watch?v=pdOgWHLP8g8 Ejemplo propio realizado sobre el objeto volumetrico propuesto a continuacion.

Pieza plana

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Las dimensiones de esta figura en función de las figuras que lo componen son: El triangulo tiene 10 u de base y 9 u de altura . El rectángulo tiene 50 u de base y 20 de altura. El cuadrado tiene 15 u de lado. Obtención de su centro de gravedad de forma experimental

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Obtención de su centro de gravedad de forma teórica Para hallar el centro de gravedad de una figura compuesta hay que hallar el centro de gravedad de sus figuras parciales,así como sus áreas y su área total. El método más intuitivo y visual es realizar una tabla con todos estos datos. Al hallar su centro de gravedad habra que tener en cuenta que la única figura que se encuentra sobre el eje es el rectángulo el resto de figuras no. Por ello el centro de gravedad del triangulo en el eje Y será h / 3 y en este caso habrá que sumarle la altura del rectángulo, sin embargo el eje X no cambiara será b / 2 . En el caso del cuadrado su centro de gravedad en el eje Y será la altura del rectángulo más L / 2 del cuadrado y en el eje X se encontrará a la base del rectángulo menos L / 2 del cuadrado .

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Una vez hallados el centro de gravedad de cada figura que compone la figura final , sus áreas y el área total para hallar el centro de gravedad de la figura compuesta se realizan las siguientes operaciones :

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[http://1.bp.blogspot.com/2dLzV2S8X9Q/Tu6TFxbf7wI/AAAAAAAAAFg/9JzyQD3vA2c/s1600/y.PNG]

[http://2.bp.blogspot.com/gaxUXSJ6blg/Tu6TE_fjDGI/AAAAAAAAAFQ/adJ0lB8f7ik/s1600/x+final.PNG]

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Conclusiones El centro de gravedad de un cuadrado se encuentra donde se cortan sus diagonales, el de un rectángulo es igual que el cuadrado, y el centro de gravedad de un triangulo se encuentra donde se cortan sus medianas (línea que une el punto medio de un segmento del triangulo con su vértice opuesto). Por tanto con el centro de gravedad de las tres figuras puedes calcular el centro de gravedad final de la figura compuesta por las tres anteriores. Como se observa el resultado obtenido de forma teórica y el resultado obtenido mediante experimentación con autocad son idénticos.

Pieza con volumen

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Las dimensiones de esta figura son : El radio de la semiesfera 20 u . La altura de cilindro pegado a la semiesfera es 10 u y su radio 15 u . La altura del otro cilindro es 40 u y su radio 10 u .

Obtención de su centro de gravedad de forma experimental

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Obtención de su centro de gravedad de forma teórica

Al igual que en autocad hallamos el centro de gravedad de la figura dando por echo que la parte en forma de semiesfera que compone la figura está por debajo del eje , por lo que al sumar las coordenadas para hallar el centro de masas final tomaremos el dato de la semiesfera como negativo. Por la simetría de la figura tanto la coordenada X como la coordenada Y del centro de masas son iguales y nulas .Por lo tanto solo hay que obtener la coordenada Z del centro de masas. [http://4.bp.blogspot.com/-IxSvtTv0wjw/Tu6XNv7yvNI/AAAAAAAAAGM/LUUMWDEuOLM/s1600/la+foto.PNG]

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En este caso al ser una pieza compuesta la coordenada Z vendrá dada por la siguiente operación :

[http://3.bp.blogspot.com/p7tpNbPLzhs/Tu6XMwFfklI/AAAAAAAAAGA/PAXpcWkUWQM/s1600/es.PNG]

Para obtener los datos de esa formula , previamente debemos hallar con integrales el centro de gravedad de cada una de las figuras que componen la figura final a partir de esta integral :

[http://2.bp.blogspot.com/-o8mVtPvqxsY/TulKKCrMm3I/AAAAAAAAACk/nTjtaBnWFY/s1600/ole23.gif] -CENTRO DE GRAVEDAD

DE LA SEMIESFERA:

[http://2.bp.blogspot.com/ToWrG1eBGbU/Tu55Eebi8uI/AAAAAAAAAEs/F6NMMC_5DmE/s1600/IMG_0852.JPG]

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[http://3.bp.blogspot.com/cldrDEw0gGk/Tu55DxZlFxI/AAAAAAAAAEk/VsNFV_cSbqA/s1600/IMG_0849.JPG]

[http://3.bp.blogspot.com/G0aMCSAfpxo/Tu6XNeDxHzI/AAAAAAAAAGI/3QeKCoL-6DI/s1600/eso.PNG]

Este resultado es negativo debido a que la semiesfera se encuentra bajo el eje de coordenadas.

-CENTRO DE GRAVEDAD DEL CILINDRO PEGADO A LA SEMIESFERA

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Por simetría, el centro de masas tiene que estar en el eje longitudinal del cilindro (que es el lugar geométrico de todos los puntos de cada anillo de un corte transversal del cilindro que equidistan del centro). Y luego, dentro del eje longitudinal, también por simetría, estará en el punto medio de dicho eje.

[http://3.bp.blogspot.com/-xxv7jzW7R70/Tu8Z9MEfIhI/AAAAAAAAAI8/V0Mlk1rRte4/s1600/j.PNG]

[http://4.bp.blogspot.com/OTaCr8mYy5U/Tu8Z6CgR0bI/AAAAAAAAAI0/ZNC6H2SOfaI/s1600/j2.PNG]

Por ello el centro de gravedad del cilindro se encuentra en la mitad de la altura del cilindro.

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k5Nc/s1600/cilindr00o.PNG]

[http://4.bp.blogspot.com/-

udC0f0Bj7Go/Tu6XL5PqppI/AAAAAAAAAF0/VCYi6Wrgtps/s1600/1+cilindro.PNG]

-CENTRO DE GRAVEDAD DEL SEGUNDO CILINDRO

Se halla igual que en el caso anterior:

[http://1.bp.blogspot.com/fN2DOFn8Rx0/Tu6jNOdsRDI/AAAAAAAAAIs/_nfI2y1trTY/s1600/Z3.PNG]

-CENTRO DE GRAVEDAD TOTAL

Una vez hallado el centro de gravedad de cada uno de las figuras se obtiene el centro de gravedad de la figura a través de esta formula que incluye sus volúmenes parciales y su volumen total :

[http://2.bp.blogspot.com/AA6paLcQcYI/Tu6Zh2mTpfI/AAAAAAAAAGk/SXgUbt6aQms/s1600/es.PNG]

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[http://4.bp.blogspot.com/JK8izZhzhck/Tu6hEfcv5zI/AAAAAAAAAIM/drlOUR1tRL8/s1600/V2.PNG]

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[http://1.bp.blogspot.com/-fOmjO42H8dw/Tu6hR3CHtCI/AAAAAAAAAIc/Jnz3F7QrcGw/s1600/VT.PNG]

[http://2.bp.blogspot.com/-9V-vXQkdOBM/Tu6hZwOG7II/AAAAAAAAAIk/-MGQCcrwRbw/s1600/FINAL.PNG]

Conclusiones La figura esta compuesta por dos cilindros y una semiesfera, mediante cálculos experimentales, o mediante integrales, sabemos que el centro de gravedad de los cilindros se encuentran a H/2, siendo H la altura del cilindro y por el mismo procedimiento sabemos que el centro de gravedad de una semiesfera se encuentra a

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3R/8, siendo R el radio de la semiesfera, con estos tres valores ya podemos hallar el centro de gravedad de la figura formada por los cilindros y la semiesfera.

Como se observa el resultado obtenido de forma teórica y el resultado obtenido mediante experimentación con autocad son idénticos.

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Juan Carlos Álvarez

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Alfredo Martínez

Bibliografía *http://highered.mcgrawhill.com/sites/dl/free/9701061039/468032/capitulo_muestra_estatica_9e_05m.pdf [http://highered.mcgrawhill.com/sites/dl/free/9701061039/468032/capitulo_muestra_estatica_9e_05m.pdf]

*Fundamentos de la Ingeniería Industrial I Ed. García Maroto ­Laura Abad Toribio

Publicado 5th December 2011 por juan carlos y alfredo 0

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