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CENTROS DE GRAVEDAD

Para iniciar, considere una placa plana horizontal (figura 5.1). La placa puede dividirse en n elementos pequeños. Las coordenadas del primer elemento se representan con x1y y1, las del segundo elemento se representan con x2 y y2, etcétera. Las fuerzas ejercidas por la Tierra sobre los elementos de la placa serán representadas, respectivamente, con W1, W2, . . . , Wn. Estas fuerzas o pesos están dirigidos hacia el centro de la Tierra; sin embargo, para todos los propósitos prácticos,se puede suponer que dichas fuerzas son paralelas. Por tanto, su resultante es una sola fuerza en la misma dirección. La magnitud W de esta fuerza se obtiene a partir de la suma de las magnitudes de los pesos de los elementos. Definen al centroide del área. En el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme, la magnitud W del peso de un elemento de alambre puede expresarse como W a L donde peso específico del material a área de la sección transversal del alambreL longitud del elemento. 5.4. PRIMEROS MOMENTOS DE ÁREAS Y LÍNEAS La integral x dA en las ecuaciones (5.3) de la sección anterior se conoce como el primer momento del área A con respecto al eje y y se representa con Qy . En forma similar, la integral y dA define el primer momento de A con respecto al eje x y se representa con Qx Así se escribe Qy x dA Qx y dA (5.5) Si comparamos las ecuaciones (5.3) con las ecuaciones (5.5), se observa que los primeros momentos del área A pueden ser expresados como los productos del área con las coordenadas de su centroide: Qy xA Qx yA (5.6) A partir de las ecuaciones (5.6) se concluye que las coordenadas del centroide de un área pueden obtenerse al dividir los primeros momentos de dicha área entre el área misma. Los primeros momentos de un área también son útiles en la mecánica de materiales para determinar los esfuerzos de corte en vigas sujetas a cargas transversales. Por último,a partir de las ecuaciones (5.6) se observa que si el centroide de un área está localizado sobre un eje coordenado,

entonces el primer momento del área con respecto a ese eje es igual a cero. De manera inversa, si el primer momento de un área con respecto a un eje coordenado es igual a cero, entonces el centroide del área está localizado sobre ese eje. Se pueden utilizar relaciones similares a partir de las ecuaciones (5.5) y (5.6) para definir los primeros momentos de una línea con respecto a los ejes coordenados y para expresar dichos momentos como los productos de la longitud L de la línea y las coordenadas x y y de su centroide. El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de fórmulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. Se consideran tres casos específicos. VOLUMEN. Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las fórmulas que resultan son: X = " x dv Y = " y dv Z = " z dv " dv " dv " dv AREA. De manera semejante, el centroide para el area para el area superficial de un boleto, como una planca o un casco puede encontrase subdividiendo el area en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de aerea en torno a los ejes de coordenadas a saber. X = " x dA Y = " y dA Z = " z dA " dvA " dA " dA LINEA. Si la geomentria del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una linea, la manera de encontrar su centoide es el siguiente: X = " x dL Y = " y dL Z = " z dL " dL " dL " dL

DEFINICIÓN PARA LOS MOMENTOS DE INERCIA PARA LAS AREAS El momento de inercia de una area se origina cuando es necesario calcular el momento de una carga distibuida que varia linealmentedesde el eje de momento. Un ejemplo característico de esta clase de carga lo tenemos en la carga de presion debida a un liquido sobre la superficie de una placa sumergida. MOMENTO DE INERCIA Consideremos el area A, que se muestra en la figura situada en el plano x - y. Por definición los momentos de inercia del area plana diferencial dA en torno al eje x y al eje y son dlx = y2 dA y dly = x2 dA, respectivamente. Para el area total los momentos de inercia se determina por integración es decir, Tambien podemos formular el segundo momento del area diferencial dA en torno al polo O o el eje Z, a esto no referimos como el Momento Polar de Inercia, dJo = r2 dA. Aquí r es la distancia perpendicular del polo (eje z) al elemento dA. Para el area total, el momento polar de inercia es:

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Si se conoce el momento de inercia de una area alrededor de un eje que pasa por su centroide, conviene determinar el moimento d inercia del area en torno al eje correspondiente paralelo usando el teorema de los eje paralelos. Para deducir este teorema, consideramos la determinación del momento de inercia de la region sombreada que se muestra en la figura, alrededor del eje x. En este caso, un elemento doferencial dA del area se localiza a una distancia arbitraria y a partir del eje centroidal x' mientras que la distancia fija entre los ejes paralelos x y x' se define como dy. Como el momento de inercia de dA alrededor del eje x es dlx=(y' + dy)2 entonces para la totalidad del area: Ix ="A (y' + dy)2 dA Iy ="A y'2 dA + 2dy "A y' dA + dy2 "A dA