• Author / Uploaded
• rafael soto

• Categories
• Integral
• Física y matemáticas
• Matemáticas
• Análisis matemático
• Conceptos matemáticos

Citation preview

Ejercicio 2

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Profesor: Ma. Elsa Molina Díaz Módulo: 2 Actividad: Ejercicio 2

1

Ejercicio 2

Parte 1

1. Resuelve el problema utilizando los conceptos matemáticos de optimización. a. A partir de una hoja de máquina tamaño carta- A4 cuyas medidas son aproximadamente 21 cm de ancho y 30 cm de largo, se desea construir una caja rectangular, sin tapa recortando un cuadrado de cada esquina de “x” cm. Obtener las dimensiones de la caja: ancho largo y alto, para que la caja encierre un volumen máximo. 2. Responde las siguientes preguntas: a. Cuánto va a medir el ancho de la caja al recortarle los cuadrados en cada esquina: R= Ancho= 21- 2x b. Cuánto va a medir el largo de la caja al recortar los cuadrados en cada esquina: R= Largo= 30 – 2x c. Con los resultados anteriores, plantear la ecuación matemática para el volumen de la caja en función de “x” V(x)= (21 – 2x ) (30 – 2x) V(x)= 4 𝑥 3 − 120 𝑥 2 + 630 𝑥 𝑉(𝑥) = 12 𝑥 2 − 204𝑥 + 630 Igualamos a cero 𝑥 = 12,94 𝑥 = 4,06 𝑐𝑚 d. Obtener los puntos críticos de la función volumen R= 12, 94 se desecha porque esta fuera de dominio 21 − 2𝑥 no puede ser negativo. Queda solo un punto crítico 𝑥 = 4.06 𝑐𝑚 e. Utilizar el criterio de la primera derivada para obtener el valor de “x” con el cual el volumen es máximo R= 𝑉(4,05) = 0.63 𝑉(4,07) = 1,5 ( en este hay un máximo) Volumen máximo es 𝑉(4,06) = 1144.1 𝑐𝑚3 f. Dar la respuesta al problema: Dimensiones de la caja con volumen máximo: 2

Ejercicio 2 Ancho: 21- 2.4,06 = 12, 88 cm Largo: 30 – 2, 06 = 21 . 88 cm Alto: 4.06 cm

Parte 2: Debes responder a las preguntas planteadas, pues son evidencias de comprensión, pues son evidencias de comprensión del proceso de solución. 3. Utiliza las fórmulas básicas para resolver las siguientes integrales indefinidas.

2. ∫ 𝑦 6 𝑑𝑦 =

1. ∫ 𝑤𝑑𝑤 =

𝑦6 + 1 𝒚𝟕 = 6+1 𝟕

𝑤1 + 1 𝒘𝟐 = 1+1 𝟐 3. ∫ 𝑥 −2 𝑑𝑥 =

4. ∫ 𝑡 −3 𝑑𝑡 =

𝑥 −2 + 1 −𝟏 = −2 + 1 𝒙

𝑡 −3+1 −𝟏 = −3 + 1 𝟐𝒕𝟐

5. ∫ 𝑧 3/4 𝑑𝑧 = 3

6. ∫ 𝑥 −2/5 𝑑𝑥 = 𝟕

−2

𝟑

𝑥 2 +1 𝟓𝒙𝟓 = −2 𝟑 +1 5

𝑧4 + 1 𝟒𝒛𝟒 = 3 𝟕 4+1

4. En las siguientes integrales primero transforma la función del integrado para que quede como una función potencial y después integra.

7

7. ∫ √𝑦 5 𝑑𝑦 =

∫𝒚

𝟓 𝟕

𝟏𝟐

𝑑𝑦 =

𝒚𝟕 𝟏𝟐 𝟕

3

Ejercicio 2 8. ∫ 1

−𝟑

∫𝒙 𝟐

𝑑𝑥 =

𝑑𝑥 =

−𝟏 𝐱𝟐 𝟏 𝟐

−

𝑥 3/2

5. Utiliza las propiedades y fórmulas básicas para resolver las siguientes integrales. 𝟏

𝟏

a. ∫ [ + 𝟑𝒙 − 𝒙−𝟐 ] 𝒅𝒙 = 𝒙 3𝑥

In |𝑥| + b. ∫

𝟑𝒙𝟐 −𝟏 𝒙

−1

−(𝑥) 𝐼𝑛 (3) 𝒅𝒙

= ∫

𝑥 1 2

𝟏

+ 𝒙

=

3𝑥 2

c. ∫( 2𝑥 − 3)2 𝑑𝑥 =

∫ 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝟑𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 = 𝟑𝒙 𝑰𝒏 (𝟑)

+ 𝑰𝒏 |𝒙|

1

𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =

− (2𝑥 − 3)2+1 =

𝟑𝒙𝟐

∫

𝒙

𝟏

𝒅𝒙 – 𝑰𝒏 |𝒙|

(𝟐𝒙 − 𝟑)𝟑

𝟔

6. Resuelve las siguientes integrales compuestas.

a. ∫

8√𝑦+5 √𝑦

𝑑𝑦 = 8 . 2 ∫

√𝑦+5 √𝑦

= 𝑑𝑦 = 8 . 2 ∫ √𝑢2 + 5 𝑑𝑢 =

8 . 2 ∫ √5 . ∫ √𝑡𝑎𝑛2 𝑢 + 5 𝑠𝑒𝑐 2 𝑑𝑢 = 8 . 2 ∫ √5 . ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑢) sec( 𝑢) √5𝑑𝑢 8 . 2 √5 . ∫ 5 𝑠𝑒𝑐 3 𝑑𝑢

b. ∫

1 𝑥

𝑠𝑒𝑛 ( ) 𝑥2

𝑥

1

= 3 𝐼𝑛 𝐼𝑛 . 2 . 1 3

1

𝑑𝑥 = ∫

√2 𝑡𝑎𝑛

1 (𝐼𝑛 𝑥 3 −2)2

1 √2( 𝑤 2 +1

=

1 3

𝑑𝑥 = ∫

𝐼𝑛. 2.

1 √2

1 3 𝐼𝑛

tan(

𝑢+2 𝑖𝑛

1 √2

√𝑢 𝑑𝑢 =

= √−2 + 𝐼𝑛 𝑥 3 ) =

( √𝑥 3 𝐼𝑛−2 √2

4

Ejercicio 2 c. ∫

1 𝑥

𝑠𝑒𝑛( ) 𝑥2

1

𝑑𝑥 = −(− cos(𝑢)) = −(− cos( 𝑥))

1 1 cos ( ) = cos ( ) 𝑥 𝑥

5