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• Aris Ponce

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Francisco Solórzano

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10.9 Un cubo esta uniformemente polarizado en la dirección del eje z (𝑃 = 𝑃0 𝑧). Encuentre el campo eléctrico en el centro del cubo.

Francisco Solórzano

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Un cubo esta uniformemente polarizado en la dirección del eje z (𝑃 = 𝑃0 𝑧). Encuentre el campo eléctrico en el centro del cubo.  Solución

Ya que la polarización es uniforme, la densidad volumétrica de carga es cero (ρPV = 0). En la cara superior ρPS = Po y en la cara inferior ρPS = -Po. El campo eléctrico se calculará utilizando las densidades de carga ligada.

Francisco Solórzano

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El campo eléctrico sobre el eje z es: 𝐸=𝑘

𝑑𝑞1 3 𝑅1 + 𝑘 𝑅1

𝑑𝑞2 3 𝑅2 𝑅2

En el centro hay suficiente simetría para realizar el calculo sobre una sola de las caras y multiplicar el resultado por 2.

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El campo eléctrico producido por un plano en el centro es: 𝑎

𝐸=𝑘 −𝑎

𝑎

𝑃𝑜 −𝑥 ′ 𝑥 − 𝑦 ′ 𝑦 − 𝑎 𝑧 ′ 𝑑𝑥 𝑑𝑦′ ′2 ′2 2 3/2 𝑥 +𝑦 +𝑎 −𝑎

Francisco Solórzano

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Debido a la simetría las componentes del campo en x y y son cero: 𝑎

𝑎

𝐸=𝑘 −𝑎 −𝑎

𝑃𝑜 −𝑎 𝑧 𝑥 ′2 + 𝑦 ′2 + 𝑎2

′ 𝑑𝑥 𝑑𝑦′ 3/2 𝑎

𝑎

𝑃𝑜 −𝑎 𝑧 𝑥′ 𝐸=𝑘 ′2 + 𝑎 2 ) 𝑥 ′2 + 𝑦 ′2 + 𝑎 2 (𝑦 −𝑎

1/2

𝑑𝑦′ 𝑥=−𝑎

𝑎

2 𝑃𝑜 −𝑎 𝑧 𝑎 𝐸=𝑘 ′2 + 𝑎 2 ) 𝑦 ′2 + 2𝑎 2 (𝑦 −𝑎

Francisco Solórzano

1/2

𝑑𝑦′

6

𝑎

2 𝑃𝑜 −𝑎 𝑧 𝑎 𝐸=𝑘 ′2 + 𝑎 2 ) 𝑦 ′2 + 2𝑎 2 (𝑦 −𝑎

𝐸 = 𝑘 −2𝑃𝑜 ∗

𝑇𝑎𝑛−1

𝐸 = 𝑘 −4𝑃𝑜

𝑦´ 𝑦 ′2 + 2𝑎2

∗ 𝑇𝑎𝑛−1

Francisco Solórzano

𝑑𝑦′

1/2

𝑎

𝑧

1/2

𝑎 3𝑎2 1/2

−𝑎

𝑧

7

𝐸 = 𝑘 −4𝑃𝑜 ∗ 𝑇𝑎𝑛−1

𝐸 = 𝑘 −4𝑃𝑜 ∗

1

3

1/2

𝑧

𝜋 𝑧 6

1 𝜋 𝐸= −4𝑃𝑜 ∗ 𝑧 4 𝜋 𝜖𝑜 6 −𝑃𝑜 𝐸= 𝑧 6 𝜖𝑜 𝑬=

−𝑷𝒐 𝒛 𝟑𝝐𝒐

𝑝𝑎𝑟𝑎 1 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟐 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐𝒔

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Francisco Solórzano

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 Solución

Ya que el cilindro es infinito, solo trabajamos con la cara frontal. ρPS = 𝑃 ∙ 𝑛 = 𝑃 𝐶𝑜𝑠(𝜑´) La densidad de carga volumétrica ligada es cero, debido a que P es uniforme. 𝑑𝑞´ = ρPS 𝑑𝑎´ = 𝑃 𝐶𝑜𝑠 ∅´ 𝑎 𝑑∅´ 𝑑𝑧´ 𝑅 = −𝑎𝑟´ − 𝑧´𝑧

0

Francisco Solórzano

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 Solución

𝐸𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = 𝑘 +∞ 2𝜋

𝐸𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = 𝑘 −∞ 0

𝑃 𝐶𝑜𝑠 ∅´ 𝑎2 +

3 𝑧´2 2

𝑑𝑞´ 𝑅 𝑅2 𝑅

−𝑎𝑟´ − 𝑧´𝑧 (𝑎 𝑑∅´ 𝑑𝑧´ )

Es más fácil integrando primero en z, en la dirección radial el numerador es constante, mientras en la dirección en z aparece una integral impar que al evaluar da cero. ∞

−∞

𝑑𝑧´ 𝑎2

Francisco Solórzano

+

3 2 𝑧´ 2

2 = 2 𝑎

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Solución 𝐸𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜

2 = 2𝑘𝑃 𝑎 2𝜋

𝐸𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = −2 𝑘 𝑃

2𝜋

𝐶𝑜𝑠 ∅´

−𝑎𝑟´ (𝑎 𝑑∅´ )

0

𝐶𝑜𝑠 ∅´

𝑥 𝐶𝑜𝑠 ∅´ + 𝑦 𝑆𝑒𝑛 ∅´ 𝑑∅´

0

𝐸𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜

𝑃 =− 2 𝜋 𝜖0

2𝜋

0

1 − 𝐶𝑜𝑠 2∅´ 𝑥 2

𝐸𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 Francisco Solórzano

𝑆𝑒𝑛 2∅´ +𝑦 2

𝑑∅´

𝑃 =− 𝑥 2 𝜖0 12